大學數學考研專題復習（2005年修訂版）

第一章極限與連續(xù)………………………………………………………………………l
§1.1極限的概念與性質……………………………………………………………1
1.1.1極限的基本概念………………………………………………………1
1.1.2極限的性質…………………………………………………………………4
1.1.3數列與函數的某些特性的判斷……………………………………………8
§1.2函數的連續(xù)性…………………………………………………………………10
1.2.1　函數連續(xù)的概念……………………………………………………………10
1.2.2　函數間斷的概念……………………………………………………………12
1.2.3　閉區(qū)間上連續(xù)函數的性質…………………………………………………15
§1.3極限存在的準則………………………………………………………………16
§1.4極限的計算……………………………………………………………………22
1.4.1基本型不定式極限的計算…………………………………………………22
1.4.2冪指函數極限的計算………………………………………………………29
1.4.3極限中參數的確定…………………………………………………………32
1.4.4利用導數的定義求極限……………………………………………………35
1.4.5利用定積分的定義求極限…………………………………………………36
1.4.6含有變限定積分的極限的計算……………………………………………38
練習一…………………………………………………………………………………40
第二章一元函數微分學…………………………………………………………………46
§2.1導數與微分的概念……………………………………………………………46
2.1.1導數的定義…………………………………………………………………46
2.1.2導數的基本性質……………………………………………………………48
2.1.3分段函數的可導性…………………………………………………………50
2.1.4微分的定義…………………………………………………………………52
§2.2導數的計算與應用……………………………………………………………53
2.2.1若干基本類型函數的導數………………………………………………...53
2.2.2　高階導數……………………………………………………………………58
2.2.3　函數的最大值與最小值……………………………………………………62
§2.3導數的若干證明………………………………………………………………64
練習二…………………………………………………………………………………71
第三章一元函數積分學…………………………………………………………………77
§3.1　一元函數積分的概念與性質…………………………………………………77
3.1.1　不定積分與定積分的概念與性質…………………………………………77
3.1.2廣義積分的概念與性質……………………………………………………80
§3.2變限定積分……………………………………………………………………83
3.2.1變限定積分函數的概念與性質……………………………………………83
3.2.2　變限定積分函數的連續(xù)性與可導性………………………………………86
3.2.3　變限定積分的導數與積分的計算…………………………………………88
§3.3積分的計算……………………………………………………………………90
3.3.1不定積分的計算……………………………………………………………90
3.3.2定積分的計算………………………………………………………………97
3.3.3分段函數的積分的計算…………………………………………………101
3.3.4廣義積分的計算…………………………………………………………103
§3.4定積分的若干證明…………………………………………………………105
練習三…………………………………………………………………………………110
第四章方程實根的討論…………………………………………………………………115
§4.1利用連續(xù)函數性質討論方程的實根………………………………………115
§4.2結合函數性態(tài)分析討論方程的實根………………………………………118
§4.3利用微分中值定理討論方程的實根………………………………………119
§4.4結合定積分的性質討論方程的實根……………………………………130
練習四…………………………………………………………………………………133
第五章無窮級數………………………………………………………………………138
§5.1無窮級數的基本概念………………………………………………………138
5.1.1數項級數的基本概念……………………………………………………138
5.1.2　函數項級數的基本概念…………………………………………………145
§5.2無窮級數斂散性的判斷……………………………………………………146
§5.3冪級數的收斂域及其和函數……………………………………………158
5.3.1冪級數收斂域的確定……………………………………………………158
5.3.2冪級數和函數的求取……………………………………………………161
5.3.3數項級數和的求取………………………………………………………167
練習五…………………………………………………………………………………169
第六章一元函數及其性態(tài)………………………………………………………………173
§6.1　函數…………………………………………………………………………173
6.1.1　函數的概念………………………………………………………………173
6.1.2　函數構造…………………………………………………………………178
§6.2　一元函數性態(tài)的分析……………………………………………………180
§6.3　函數的泰勒公式與泰勒級數展開…………………………………………186
6.3.1　函數的泰勒公式…………………………………………………………186
6.3.2　函數的泰勒級數展開……………………………………………………188
§6.4　函數的傅里葉級數展開……………………………………………………195
練習六…………………………………………………………………………………203
第七章常微分方程………………………………………………………………………207
§7.1　常微分方程的基本概念及其解的性質……………………………………207
7.1.1　常微分方程的基本概念…………………………………………………207
7.1.2線性微分方程解的性質與解的結構理論………………………………209
§7.2線性微分方程………………………………………………………………210
7.2.1　一階線性微分方程………………………………………………………210
7.2.2常系數線性微分方程……………………………………………………216
7.2.3　變系數線性微分方程……………………………………………………218
§7.3非線性微分方程……………………………………………………………222
7.3.1利用變量代換求解微分方程……………………………………………222
7.3.2可降階的非線性微分方程………………………………………………228
§7.4微分方程的應用問題………………………………………………………229
練習七…………………………………………………………………………………232
第八章多元函數微分學…………………………………………………………………237
§8.1　多元函數的基本概念與性質………………………………………………237
8.1.1　多元函數的概念與二元函數的泰勒公式………………………………237
8.1.2多元函數的極限與連續(xù)…………………………………………………238
8.1.3多元函數的偏導數………………………………………………………240
8.1.4全微分……………………………………………………………………244
§8.2偏導數與全微分的計算……………………………………………………248
§8.3　多元函數的優(yōu)化問題………………………………………………………260
練習八………………………………………………………………………………265
第九章重積分……………………………………………………………………………269
§9.1　重積分的概念與性質………………………………………………………269
§9.2重積分的計算………………………………………………………………278
§9.3無界區(qū)域上廣義重積分的概念與計算……………………………………286
練習九…………………………………………………………………………………287
第十章不等式的證明……………………………………………………………………292
§10.1利用基本不等式證明不等式………………………………………………292
§10.2利用導數證明不等式………………………………………………………294
§10.3定積分不等式的證明………………………………………………………305
§10.4重積分不等式的證明………………………………………………………319
"　練習十…………………………………………………………………………………325
第十一章積分的應用……………………………………………………………………329
§11.1　積分的幾何應用…………………………………………………………329
§11.2積分的物理應用…………………………………………………………339
練習十一………………………………………………………………………………349
第十二章矢量代數·解析幾何·場論……………………………………………………351
§12.1　矢量代數……………………………………………………………………351
§12.2空間解析幾何………………………………………………………………355
12.2.1平面與直線………………………………………………………………355
12.2.2　空間曲面及其方程………………………………………………………363
12.2.3　空間曲線及其方程………………………………………………………366
§12.3場論初步……………………………………………………………………369
練習十二………………………………………………………………………………374
第十三章曲面積分與曲線積分…………………………………………………………377
§13.1　第一類曲線積分與曲面積分………………………………………………377
13.1.1　第一類曲線積分…………………………………………………………377
13.1.2第一類曲面積分…………………………………………………………381
§13.2第二類曲面積分……………………………………………………………384
13.2.1第二類曲面積分的概念與性質………………………………………385
13.2.2第二類曲面積分的計算…………………………………………………386
§13.3第二類曲線積分……………………………………………………………395
13.3.1第二類曲線積分的概念與性質…………………………………………395
13.3.2　第二類曲線積分的計算…………………………………………………397
13.3.3平面曲線積分與路徑無關………………………………………………406
13.3.4　曲線積分的不等式………………………………………………………411
練習十三………………………………………………………………………………412
第十四章函數方程………………………………………………………………………417
練習十四………………………………………………………………………………431
第十五章經濟學中的若干數學問題……………………………………………………434
§15.1微積分在經濟學中的應用…………………………………………………434
15.1.1極限在經濟學中的應用…………………………………………………434
15.1.2利用定積分求解經濟應用問題…………………………………………435
15.1.3利用導數求解經濟應用問題……………………………………………438
15.1.4利用最優(yōu)化原則求解經濟應用問題……………………………………441
§15.2差分方程及其在經濟學中的應用…………………………………………444
練習十五………………………………………………………………………………447
第十六章行列式…………………………………………………………………………450
§16.1　咒階行列式的定義………………………………………………………450
§16.2行列式的計算………………………………………………………………452
16.2.1　可直接用定義求出的四類基本形………………………………………452
16.2.2行列式的性質……………………………………………………………453
16.2.3三種計算行列式的方法…………………………………………………457
16.2.4幾類行列式………………………………………………………………463
16.2.5　用拉普拉斯定理得到的四類行列式的基本形…………………………466
練習十六………………………………………………………………………………468
第十七章矩陣……………………………………………………………………………472
§17.1矩陣的概念和運算…………………………………………………………472
17.1.1矩陣的概念和特殊矩陣…………………………………………………472
17.1.2矩陣的運算………………………………………………………………474
§17.2矩陣的秩和等價……………………………………………………………488
17.2.1矩陣的秩…………………………………………………………………488
17.2.2矩陣的等價………………………………………………………………489
§17.3兩種方法：矩陣的分塊和等價標準形……………………………………491
練習十七………………………………………………………………………………495
第十八章線性方程組……………………………………………………………………500
§18.1解線性方程組的方法和理論………………………………………………500
§18.2解含有參數的線性方程組……………………………………………506
§18.3在解析幾何中的應用………………………………………………………510
練習十八………………………………………………………………………………514
第十九章向量與向量空間………………………………………………………………517
§19.1　向量的概念和線性關系……………………………………………………517
19.1.1　向量的一些基本概念……………………………………………………517
.19.1.2　向量的線性關系…………………………………………………………517
19.1.3　向量線性關系的理論……………………………………………………520
§19.2　向量空間的一些基本的概念………………………………………………523
19.2.1　向量空間及子空間………………………………………………………523
19.2.2基，坐標及基變換、坐標變換……………………………………………525
19.2.3　內積和標準正交基………………………………………………………527
§19.3用向量的觀點來看矩陣和線性方程組……………………………………529
§19.4兩組貫串前四章的典型題…………………………………………………532
練習十九………………………………………………………………………………535
第二十章矩陣的相似(特征值和特征向量)……………………………………………540
§20.1矩陣的相似和對角化………………………………………………………540
§20.2相似的理論和應用…………………………………………………………545
§20.3　實對稱矩陣的對角化………………………………………………………552
20.3.1實對稱矩陣………………………………………………………………552
20.3.2正交矩陣的性質…………………………………………………………555
練習二十………………………………………………………………………………557
第二十一章二次型………………………………………………………………………561
§21.1二次型及標準形(矩陣的合同)……………………………………………561
21.1.1　二次型的定義及其矩陣表示……………………………………………561
21.1.2二次型的標準形，規(guī)范形，矩陣的合同…………………………………562
§21.2正定二次型(正定矩陣)……………………………………………………568
§21.3矩陣的等價、相似、合同……………………………………………………573
21.3.1定義、判別法和性質……………………………………………………574
21.3.2應用………………………………………………………………………576
§21.4第三組題……………………………………………………………………577
練習二十一……………………………………………………………………………579
第二十二章概率論的基本概念…………………………………………………………584
§22.1　隨機事件與概率……………………………………………………………584
22.1.1隨機事件…………………………………………………………………584
22.1.2概率………………………………………………………………………586
22.1.3古典概率問題的計算………………………………………………589
22.1.4)l-何概率的計算…………………………………………………………590
§22.2隨機變量及其分布…………………………………………………………591
22.2.1　離散型隨機變量…………………………………………………………591
22.2.2隨機變量的分布函數……………………………………………………596
22.2.3連續(xù)型隨機變量…………………………………………………………597
練習二十二……………………………………………………………………………603
第二十三章條件概率與條件分布………………………………………………………610
§23.1條件概率及有關公式………………………………………………………610
23.1.1條件概率…………………………………………………………………610
23.1.2乘法公式…………………………………………………………………611
23.1.3全概率公式………………………………………………………………612
23.1.4貝葉斯公式………………………………………………………………613
§23.2條件分布……………………………………………………………………614
23.2.1條件分布律………………………………………………………………614
23.2.2條件密度函數……………………………………………………………616
練習二十三……………………………………………………………………………617
第二十四章隨機變量的進一步討論……………………………………………………621
§24.1　隨機變量的數字特征………………………………………………………621
24.1.1　隨機變量的數學期望與方差………………………………………621
24.1.2協(xié)方差與相關系數………………………………………………………625
24.1.3矩…………………………………………………………………………626
24.1.4隨機變量之間關系小結…………………………………………………627
§24.2隨機變量函數的分布………………………………………………………629
24.2.1　離散型隨機變量函數的分布…………………………………………629
24.2.2一維連續(xù)型隨機變量函數的分布………………………………………630
24.2.3二維連續(xù)型隨機變量函數的分布………………………………………631
§24.3極限定理……………………………………………………………………634
練習二十四……………………………………………………………………………636
第二十五章數理統(tǒng)計初步………………………………………………………………647
§25.1基本概念……………………………………………………………………647
§25.2參數估計……………………………………………………………………652
§25.3假設檢驗……………………………………………………………………660
練習二十五……………………………………………………………………………665