反應擴散方程引論

第一章常微分方程準備知識
1.1基本定理
1.1.1初值問題解的存在性與唯一性
1.1.2解的延拓
1.1.3解的連續(xù)性與可微笥
1.1.4線性方程
1.2常微分方程的比較原理
1.2.1方程式的最大解與最小解
1.2.2微分不等式與微分方程式的解的比較
1.2.3方程組的解和模估計
1.2.4方程組的比較原理
1.3自治系統(tǒng)的一般性質(zhì)
1.3.1相空間與相軌線
1.3.2自治系統(tǒng)軌線的簡單性質(zhì)
1.3.3自治系統(tǒng)的解確定一個動力系統(tǒng)
1.3.4軌線的分類
1.3.5不變集與解的不變性
1.4平面自治系統(tǒng)的平衡點
1.4.1概述
1.4.2二維常系數(shù)線性方程的標準化
1.4.3標準化方程的簡單平衡點
1.4.4線性常系數(shù)系統(tǒng)的簡單平衡點
1.4.5非線性系統(tǒng)的平衡點
1.5二階保守系統(tǒng)及其相圖分析
1.5.1相軌線的普遍性質(zhì)
1.5.2平衡點鄰域的相圖
1.5.3整個相平面上的軌線
1.6平面自治系統(tǒng)的周期解與極限集
1.6.1概述
1.6.2判別閉軌不存在的準則
1.6.3極限集的一般性質(zhì)
1.6.4無切線段及其性質(zhì)
1.6.5PoincaréBendixson定理
1.6.6PoincaréBendixson定理的應用
1.7生態(tài)方程
1.7.1捕食方程
1.7.2競爭方程
1.7.3一個互助型方程
1.8n維非線性系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性
1.8.1穩(wěn)定性概念
1.8.2Liapunov函數(shù)
1.8.3判別穩(wěn)定性的Liapunov方法
1.8.4常系數(shù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性
1.8.5常系數(shù)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性
習題一
第二章行波解的存在唯一性
2.1行波解的基本性質(zhì)
2.2波前解的存在性和唯一性
2.2.1問題的轉(zhuǎn)化
2.2.2存在波前解的必要條件
2.2.3初值問題的正解對參數(shù)的單調(diào)性
2.2.4結(jié)鞍情形的波前解
2.2.5鞍鞍情形的波前解
2.3f(u)=u(1-u)(u-a)(0＜a＜1)
2.3.1奇點分析與各種可能的情形
2.3.2c=0的情形
2.3.3c＞0時各種可能情形化為統(tǒng)一的形式
2.3.4顯式解
2.3.5結(jié)鞍與鞍鞍情形的波前解
2.3.6鞍焦與鞍結(jié)情形的非單調(diào)行波解
2.4評注
習題二
第三章基于最大值原理的比較方法及其應用
3.1最大值原理
3.2嵌入定原,線性問題解的存在唯一性及估計
3.2.1幾個函數(shù)空間
3.2.2嵌入定理及線性橢圓型邊值問題
3.2.3線性拋物型方程的初邊值問題
3.3橢圓型邊值問題的比較方法
3.3.1上.下解與比較方法
3.3.2二階性橢圓算子的特征值問題
3.3.3應用——一個平衡解的分叉問題
3.4拋物型方程初邊值問題的比較方法
3.4.1拋物型方程初邊值問題的比較原理
3.4.2上.下解方法——初邊值問題解的存在唯一性
3.4.3爆炸現(xiàn)象
3.5拋物型方程初值問題的比較方法
3.5.1初值問題的比較原理
3.5.2上.下解與初值問題解的存在唯一性
3.6評注
習題三
第四章平衡解的穩(wěn)定性問題
4.1平衡解與穩(wěn)定性概念
4.2初邊值問題平衡解的穩(wěn)定性
4.2.1基于第一特征值與第一特征函數(shù)的穩(wěn)定性判別法
4.2.2基于單調(diào)序列的穩(wěn)定性差別法
4.3初值問題常數(shù)平衡解的穩(wěn)定性
4.3.1基本引理
4.3.2常數(shù)平衡解的(℃)穩(wěn)定性
4.3.3常數(shù)平衡解(逐點收斂意義下)的穩(wěn)定性
4.4評注
習題四
第五章拋物型方程組和橢圓型方程組的比較方法及其應用
5.1概述
5.2擬單調(diào)增加和擬單調(diào)減少情形的比較方法
5.2.1上.下解的定義與迭代格式
5.2.2拋物型方程組的最大值原理
5.2.3拋物型方程組初邊值問題解的存在唯一性定理與橢圓型邊值問題解的存在性定理
5.2.4拋物型方程組的比較原理與上.下解的有序性
5.3混擬單調(diào)情形的比較方法
5.4非擬單調(diào)的情形
5.5上.下解的構(gòu)造
5.6非常數(shù)平衡解的穩(wěn)定性
5.7評注
習題五
第六章不變區(qū)域及其應用
6.1反應擴散方程組的不變矩形
6.2反應擴散方程組的不變區(qū)域
6.3比較定理.t→+∞時解的漸近行為
6.4反應擴散方程的局部解和整體解
6.5評注
習題六
第七章平衡解的存在性與分叉問題——度理論的應用
7.1度的定義
7.1.1有限維空間中的Brouwer度
7.1.2Banach空間中的LraySchauder度
7.2度的性質(zhì)
7.3LeraySchauder度的計算
7.3.1Schauder不動點定理
7.3.2奇算子的度
7.3.3性緊算子的奇點指數(shù)
7.3.4可導緊算子的奇點指數(shù)
7.3.5汽車近線性緊算子的奇點指數(shù)
7.4度理論的應用——半線性橢圓型方程邊值問題解的存在性
7.5度理論的應用——多解問題
7.5.1Banach空間中緊算子方程的多解問題
7.5.2由嚴格上.下解構(gòu)造凸集
7.5.3橢圓型方程組的多解問題——存在嚴格上.下解的情形
7.5.4橢圓型方程的多解問題——極小解與極大解不等的情形
7.6度理論的應用——分叉問題
7.6.1局部分叉的一般結(jié)論
7.6.2一個常微分方程的分叉問題
7.6.3一個偏微分方程的分叉問題
7.6.4全局分叉的一般結(jié)論
7.7評注
習題七
第八章平衡解的存在性與分叉問題——相圖法
8.1一般原理
8.2時間函數(shù)是單調(diào)的情形
8.3時間函數(shù)是非單調(diào)情形
8.4評注
習題八
第九章抽象理論——解析半群與非線性方程的初值問題
9.1線性齊次方程的初值問題與C0半群
9.2線性算子是C0半群的無窮小生成元的充要條件
9.3解析半群與扇形算子
9.3.1解析半群與初值問題的解
9.3.2可微半群與解析半群的性質(zhì)
9.3.3扇形算子
9.3.4由扇形算子確定解析半群
9.4線性方程的初值問題
9.5分數(shù)冪算子與分數(shù)冪空間
9.5.1概述
9.5.2分數(shù)冪算子的定義與例子
9.5.3分數(shù)冪算子的性質(zhì)
9.5.4幾個估計式
9.5.5分數(shù)冪空間與圖范數(shù)
9.6非線性方程的初值問題
9.6.1帶奇性的Gronwall不等式
9.6.2與初值問題等價的積分方程
9.6.3解的局部存在性和唯一性
9.6.4解的延拓
9.6.5解的緊性
9.6.6解的連續(xù)性和可微性
9.6.7微分方程的光滑作用
9.7應用與例子
9.7.1由微分算子所確定的扇形算子
9.7.2由微分算子所確定的分數(shù)冪空間
9.7.3一個例子
習題九
第十章抽象理論——動力系統(tǒng)與平衡點的穩(wěn)定性
10.1動力系統(tǒng)
10.2Liapunov函數(shù)與穩(wěn)定性判別準則
10.3動力系統(tǒng)的極限性質(zhì)與不變性原理
10.3.1極限集
10.3.2極限集與Liapunov函數(shù)的關系,動力系統(tǒng)的極限性質(zhì)
10.3.3關于不穩(wěn)定性的一個結(jié)論
10.4自治方程與Liapunov函數(shù)
10.4.1Liapunov函數(shù)與解的合局存在性
10.4.2Liapunov函數(shù)與解的穩(wěn)定性
10.4.3例子
10.4.4關于漸近穩(wěn)定性的逆定理
10.5漸近自治方程
10.6判斷穩(wěn)定性的線性近似方法
10.6.1線性方程的穩(wěn)定性
10.6.2按線性近似方程確定穩(wěn)定性
10.7穩(wěn)定性問題的若干例子
習題十
參考文獻