應用近世代數

　　內容提要近世代數（又名抽象代數）是現代數學的重要基礎，在計算機科學、信息科學、近代物理與近代化學等方面有廣泛的應用，是從事現代科學技術人員所必需的數學基礎。本書介紹群、環(huán)、域的基本理論與應用。適用于數學與應用數學、計算機科學、無線電、物理、化學、生物醫(yī)學等專業(yè)的學生、研究生以及專業(yè)人員。片斷：歷史上，有幾個幾何作圖問題曾經困擾人們很長時間，它們是：（1）二倍立方體問題作一個立方體使其體積為一已知立方體體積的兩倍。（2）三等分任意角問題給定任意一個角，將其三等分。（3）圓化方問題給定一個圓（即已知其半徑r），作一個正方形使其面積等于已知圓的面積。（4）n等分一個圓周這些問題直到近世代數理論出現以后才得到完全的解決。8.代數方程根式求解問題我們知道，任何一個一元二次代數方程可用根式表示它的兩個解。對于一元三次和四次代數方程，古人們經過長期的努力也巧妙地做到了這一點。于是人們自然要問：是否任何次代數方程的根均可用根式表示？許多努力都失敗了，但這些努力促使了近世代數的產生，并最終解決了這個問題。19世紀初，法國青年數學家伽羅瓦（Galois）在研究五次代數方程的解法時提出了著名的伽羅瓦理論，成了近世代數的先驅。但他的工作未被當時的數學家所認識，他于21歲就過早地去世了。直到19世紀后期，他的理論才由別的數學家加以進一步的發(fā)展和系統(tǒng)的闡述。這樣一門具有悠久歷史、充滿許多有趣問題和故事的數學分支，在近代又得到了蓬勃發(fā)展和廣泛應用，出現了許多應用于某一領域的專著，正吸引越來越多的科技人員和學生來學習和掌握它。習題1.11.用2種顏色的珠子做成有5顆珠子的項鏈，可做成多少種不同的項鏈？2.對正四面體的頂點用兩種顏色著色，有多少種本質上不同的著色法？3.有4個頂點的圖共有多少個？其中互不同構的有多少個？4.如何用圓規(guī)和直尺5等分一個圓周？5.如何用根式表示3次和4次代數方程的根？1.2集合與映射前已指出，近世代數研究的對象是所謂代數系，它是一個集合，并在其中定義了一種或若干種運算。因此，我們必須對集合的基本理論很熟悉。由于大家從中學開始就對集合與映射有所了解，這里只作一些復習、補充和約定。1.集合的記號集合的表示方法通常有兩種：一種是直接列出所有的元素，另一種是規(guī)定元素所具有的性質。例如：A＝｛1，2，3｝，S＝｛X｜P（x）｝，其中p（x）表示元素x具有的性質。本書中經常用到以下的集合及記號：整數集合Z＝｛0，士1，±2，±3，…｝，正整數集合Z＋＝｛1，2，3，…｝，有理數集合Q，實數集合R，復數集合C等。一個集合A的元素個數用｜A｜表示。當A中有有限個元素時，稱為有限集，否則稱為無限集。用｜A＝∞表示A是無限集，｜A｜＜∞表示A是有限集。本書前言前言為了滿足數學與應用數學以及理工科專業(yè)學生和科技人員學習近世代數的需要，本書盡力做到聯(lián)系實際，多舉例子，使讀者感到有趣想學。在敘述方法上盡力做到連貫、前后呼應、合乎中文習慣。對部分定理的證明采用提示式、部分論證式等方式給出，留有思考余地，讀者若能邊學邊動手按提示完成證明或計算，會收到滿意效果。每節(jié)后的習題均附有提示或答案，便于自學。本書出版后受到讀者的歡迎，并得到同行的好評和支持，榮獲國家教委第三屆高校優(yōu)秀教材二等獎。本次再版時，根據讀者和同行的意見與建議做了修改與補充。在此，作者向所有給予本書關心、支持與提供寶貴意見的讀者、同行和編輯表示衷心的感謝。

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