數(shù)值分析引論

第一章數(shù)值計算引論
1數(shù)值分析研究對象
2誤差來源及種類
3誤差的基本概念
3.1絕對誤差和相對誤差
3.2有效數(shù)字
4求函數(shù)值的誤差估計
5在數(shù)值計算中應(yīng)注意的幾個問題
習題1
第二章插值法
1引言
2拉格朗日插值多項式
2.1插值基函數(shù)
2.2拉格朗日(Lagrange)插值多項式
2.3插值多項式的余項
2.4算法與例子
3逐步線性插值法
3.1列維爾算法
3.2算法與例子
4差商與牛頓插值多項式
4.1差商(均差)及性質(zhì)
4.2牛頓插值多項式
4.3算法與例子
5差分,等距節(jié)點插值多項式
5.1差分及性質(zhì)
5.2牛頓向前插值,向后插值公式
6埃爾米特插值
7分段插值法
7.1高次插值的龍格(Runge)現(xiàn)象
7.2分段線性插值
7.3分段三次埃爾米特插值
8三次樣條插值
8.1引言
8.2三次樣條插值函數(shù)的表達式
8.3三彎矩方程
8.4算法與例子
8.5三次樣條插值函數(shù)的收斂性
9*B樣條函數(shù)及性質(zhì)
9.1半截冪函數(shù)
9.2樣條函數(shù)
9.3B樣條函數(shù)及性質(zhì)
習題2
第三章函數(shù)與數(shù)據(jù)的逼近
1引言
2連續(xù)函數(shù)空間,正交多項式理論
2.1連續(xù)函數(shù)空間
2.2正交多項式理論
3最佳平方逼近
3.1法方程
3.2用多項式作最佳千方逼近
3.3用正交多項式作最佳平方逼近
4最小二乘逼近
4.1一般的最小二乘逼近
4.2算法與例子
4.3用正交多項式作曲線擬合算法
4.4非線性模型舉例
5*用6樣條作最小二乘逼近
6*近似最佳一致逼近多項式
6.1函數(shù)展開為Chebyshev級數(shù)
6.2拉格朗口插值余項的極小化
6.3泰勒級數(shù)的縮減
習題3
第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分
1插值型數(shù)值求積公式
1.1一般求積公式及其代數(shù)精度
1.2插值型求積公式
1.3Newton-Cotes求積公式
1.4Newton-Cotes求積公式的余項
1.5Newton-Cotes公式的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性
2Gauss型求積公式
2.1最高代數(shù)精度求積公式
2,2Gauss點與正交多項式的聯(lián)系
2.3Gauss求積公式的余項
2.4Gauss求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性和收斂性
2.5幾個常用的Gauss型求積公式
2.6*低階Gauss型求積公式構(gòu)造方法
3復(fù)化數(shù)值求積公式
3.1復(fù)化數(shù)值求積法
3.2復(fù)化梯形公式
3.3復(fù)化Simpson公式
3.4復(fù)化求積公式的收斂階
4外推方法
4.1外推原理
4.2復(fù)化梯形公式余項的漸近展開
4.3Romberg算法
4.4*外推法的進一步討論
5自適應(yīng)求積方法
5.1自適應(yīng)計算問題
5.2自適應(yīng)算法
6*奇異積分和振蕩函數(shù)積分的數(shù)值方法
6.1奇異積分計算
6.2振蕩函數(shù)積分的計算
7*二元函數(shù)數(shù)值積分
7.1矩形域上乘積型求積公式
7.2三角形域上面積坐標積分法
8數(shù)值微分
8.1插值函數(shù)法
8.2差分算子近似微分算子法
8.3*隱式方法
習題4
第五章解線性方程組的直接法
1引言
2初等矩陣
2.1初等下三角陣(高斯變換)
2.2初等置換陣
2.3初等反射陣(Householder變換)
2.4平面旋轉(zhuǎn)矩陣(Givens變換)
3高斯消去法
4高斯選主元素消去法
4.1完全主元素消去法
4.2列主元素消去法
4.3列主元高斯-約當消去法
5用直接三角分解法解線性方程組
5.1矩陣的三角分解
5.2不選主元三角分解法
5.3部分選主元三角分解法
6解對稱正定矩陣線性方程組的平方根法
6.1對稱正定矩陣及性質(zhì)
6.2平方根法
6.3改進的平方根法
7解三對角線方程組的追趕法
8*用直接法解大型帶狀方程組
8.1用分解法解大型等帶寬方程組
8.2用改進平方根法解大型變帶寬對稱正定方程組
9向量,矩陣范數(shù),矩陣的條件數(shù)
9.1向量,矩陣范數(shù)
9.2矩陣的條件數(shù),病態(tài)方程組
9.3*關(guān)于病態(tài)方程組解法
10矩陣的正交分解(QR分解)
習題5
第六章解大型稀疏線性方程組的迭代法
1引言.例子
2基本迭代法
2.1雅可比(Jacobi)迭代法
2.2高斯-塞德爾迭代法(G-S)
2.3解大型稀疏線性方程組的逐次超松弛迭代法(SOR)
3迭代法的收斂性
3.1一階定常迭代法的基本定理
3.2關(guān)于解特殊線性方程組迭代法的收斂性
3.3*迭代法收斂速度
3.4分塊迭代法
4*梯度法
4.1等價性定理
4.2最速下降法
4.3共軛梯度法(CG)
習題6
第七章非線性方程(組)數(shù)值解法
1基礎(chǔ)知識
1.1非線性方程,非線性方程組
1.2非線性方程(組)求解的特點
1.3*映射的Jacobi陣和F導(dǎo)數(shù)
1.4收斂性和收斂階
2非線性方程的二分法和插值法
2.1二分法
2.2正割法
2.3拋物線法
2.4*反插值法
3解x＝g(x)的簡單迭代法
3.1簡單迭代法公式
3.2收斂定理
4迭代的加速法
4.1Aitken加速方法
4.2Steffenson迭代方法
5解f(x)＝0的Newton迭代法
5.1Newton迭代公式
5.2Newton法收斂定理
5.3Newton下[山法
5.4Newton迭代算法
6*解方程組x＝G(x)的簡單迭代法
6.1簡單迭代法
6.2簡單迭代的收斂性
7解方程組F(x)＝0的Newton法
7.1Newton法迭代公式
7.2收斂定理
7.3Newton下山法
7.4*m步Newton法
7.5算法
8*quasi-Newton法
8.1Broyden方法和一般quast-Newton法
8.2幾個秩2quasi-Newton法
習題7
第八章常微分方程數(shù)值解法
1基本概念
1.1常微分方程初值問題的一般解法
1.2初值問題數(shù)值解基本概念
2Euler方法
2.1顯式Euler方法
2.2隱式Euler方法和梯形方法
2.3預(yù)估-校正Euler方法
2.4單步法的局部截斷誤差.整體截斷誤差
3Taylor方法和Runge-Kutta方法
3.1Taylor方法
3.2Runge-Kutta方法的一般形式
3.3常用低階Runge-Kutta方法
3.4其它Runge-Kutta方法
4單步法的進一步討論
4.1收斂性與相容性
4.2穩(wěn)定性
4.3均勻步長重復(fù)Richardson外推法
4.4變步長自動選擇
5Adams方法和一般線性多步法
5.1Adams方法
5.2一般線性多步法
6線性多步法的收斂性與穩(wěn)定性
6.1*常系數(shù)線性差分方程
6.2線性多步法的方法穩(wěn)定性
6.3*數(shù)值穩(wěn)定性
7一階方程組初值問題數(shù)值方法
7.1數(shù)值方法推廣到方程組
7.2*剛性方程組
8*二階常微分方程邊值問題數(shù)值方法
8.1打靶法
8.2有限差分法
習題8
第九章矩陣特征值與特征向量計算方法
1引言
2冪法及反冪法
2.1冪法
2.2加速方法
2.3反冪法(或逆迭代)
3豪斯荷爾德方法
3.1正交相似變換約化一般矩陣為上Hessenberg陣
3.2正交相似變換約化對稱陣為對稱三對角陣
4QR算法
4.1引言
4.2QR算法及收斂性
4.3帶原點位移的QR方法
4.4用單步QR方法計算上Hessenberg陣特征值
4.5*穩(wěn)式對稱QR方法
5*計算對稱矩陣特征值的Jacobi方法
5.1引言
5.2古典Jacobi方法
5.3Jacobi過關(guān)法
習題9
參考文獻