微分方程數(shù)值分析基礎(chǔ)教程

　　圖書簡介：數(shù)值分析向世界展現(xiàn)了它的不同面孔。對數(shù)學(xué)家而言，它是帶有應(yīng)用性的純正的數(shù)學(xué)理論。對科技人員和工程師而言，它是實用的應(yīng)用性學(xué)科，是建模工藝中典型技能的一部分。對計算機科學(xué)家而言，它是關(guān)于計算機結(jié)構(gòu)與實數(shù)運算的算法之間相互影響的理論。正是這些觀點間的不同形成了寫這本書的動力。本書嚴(yán)格論述了常微分方程和偏微分方程數(shù)值分析的基本理論。出發(fā)點是數(shù)學(xué)的，但本書盡力保持在理論上、算法上和應(yīng)用上的平衡。具體地，本書包含求常微分方程的數(shù)值解的多步法和龍格-庫塔方法；泊松方程的有限差分法和有限元法；各種解大型稀疏代數(shù)方程組的算法；解雙曲型和拋物型微分方程的數(shù)值方法以及分析的技巧。本書的附錄是一些數(shù)學(xué)知識點的簡要備份。英國劍橋大學(xué)教授Iserles博士注重基本知識：從最基本原理推得方法，用各種數(shù)學(xué)技術(shù)對這些方法進(jìn)行分析，不時討論這些方法的實現(xiàn)和應(yīng)用。他這樣做，使得讀者能在不忽略應(yīng)用的情況下對這門課有理論上的理解。這樣就形成了一本在數(shù)學(xué)上誠實和嚴(yán)格的教材，為讀者在常微分方程和偏微分方程方面提供了很多技巧。前言人們常說，出書源自一種使命感，一種分享知識、經(jīng)驗和思想的愿望，一種對美的熱愛．本書的出版卻是源自一種挫折感．近10年，在劍橋以及其他地方，我一直從事數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的微分方程數(shù)值分析的教學(xué)．回顧這一漫長的實踐過程，總結(jié)其間的經(jīng)驗教訓(xùn)，我得出了兩條結(jié)論，它們均對本書的選材及表述方式發(fā)揮了指導(dǎo)性的作用．第一條，數(shù)學(xué)家不同于其他領(lǐng)域的專家．你可能會發(fā)現(xiàn)，人們學(xué)習(xí)數(shù)值分析有各種各樣的原因．自然科學(xué)家和工程師把它當(dāng)做一種手段、一個工具，用以探究那些真正使他們感興趣的東西．所以很自然，他們既不愿意花費時間，也不愿花費腦力去做精致的數(shù)學(xué)分析，而是喜歡你將數(shù)值方法像食譜一樣列出來，再加上些直覺的、淺顯的解釋．計算機科學(xué)家的態(tài)度則不同，他們更看重算法，致力于研究漂亮的算法及其與計算機構(gòu)造的聯(lián)系，類似微分方程這樣的數(shù)學(xué)構(gòu)造一旦情況允許（甚至更快）即被棄置一邊，代之以離散化的模型，然后用組合技術(shù)來研究．?dāng)?shù)學(xué)家則遵循另一種推理模式．通常學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生在本科階段最后一年或研究生階段第一年參加一門高等數(shù)值分析課的學(xué)習(xí)．到那時候，他們所學(xué)的大部分內(nèi)容都遵循著一個數(shù)學(xué)中熟知的形式推理模式：公理定理證明推論……而數(shù)值分析通常很難套用這一模式，這是許多學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生覺得數(shù)值分析缺乏魅力的深層原因．所以，給數(shù)學(xué)系學(xué)生講數(shù)值分析往往令人感到兩難：如果完全上成數(shù)學(xué)理論的課程，會使學(xué)生感到智力上的愉悅，但應(yīng)用方面就會欠缺；如果大量灌以應(yīng)用方向的介紹，又很可能讓學(xué)生本末倒置，暈頭轉(zhuǎn)向．要解決這個問題并不很難，我們只需以誠實的數(shù)學(xué)態(tài)度來表述材料，偶爾轉(zhuǎn)向應(yīng)用問題和算法，但永不失誠實和嚴(yán)密．如果一個證明要用到許多討論范圍之外的材料，完全可以略去這個證明．我們甚至可以用表面上的正確性連同實際應(yīng)用中的好的運行記錄來說明一個數(shù)值方法的可行性，但表面上的正確性，好的運行記錄，直覺和淺顯的說明并非誠實的數(shù)學(xué)論證，而且也永遠(yuǎn)不應(yīng)當(dāng)稱做數(shù)學(xué)論證．第二條，在數(shù)值分析這門課中，學(xué)生們應(yīng)當(dāng)既學(xué)常微分方程，又學(xué)偏微分方程，還有處理大規(guī)模稀疏代數(shù)方程組的方法．由于眾多數(shù)學(xué)課程的壓力，使得僅有少數(shù)本科生有可能參加多于一門的高等數(shù)值分析課的學(xué)習(xí)．而更多的人很可能在其未來的職業(yè)生涯中要用到微分方程數(shù)值解法．所以，如果將課程內(nèi)容僅限于某一主題，比如常微分方程或有限元，雖然內(nèi)容緊湊，重點明確，從長遠(yuǎn)來看卻不是一個有益的方法．再重復(fù)一下，面向數(shù)學(xué)系學(xué)生的理想的微分方程數(shù)值分析課，應(yīng)當(dāng)具備數(shù)學(xué)的誠實和嚴(yán)密，并教給聽眾廣博的技能，既包括常微分方程方面的內(nèi)容，也包括偏微分方程方面的內(nèi)容．過去10年，我一直熱切地想要找到一本關(guān)于這門課程的令人滿意的教材，但沒有找到．關(guān)于其特定的專題，比如常微分方程數(shù)值解法、有限元、稀疏代數(shù)方程組的計算，都有許多好的教科書，也有幾本書涉及到各個專題，但遺憾的是，它們都相對缺乏數(shù)學(xué)的精致和嚴(yán)密．就我所知，還沒有哪本書能做到準(zhǔn)確地為自己定位，并達(dá)到相應(yīng)的成熟程度．我因而感到失望，這也是促成我寫這本書的主要原因．我們或許應(yīng)當(dāng)在此簡要回顧一下本書的主要特點．★我們選材的覆蓋面很廣：用多步法和龍格—庫塔法求常微分方程數(shù)值解；泊松方程的有限差分法及有限元法；泊松方程求解時出現(xiàn)的大型稀疏代數(shù)方程組的各種求解算法；最后，拋物型和雙曲型微分方程的方法及分析技巧．或許這本書可作為一本一年制快速課程的教材，也有可能很多教師只想講其中一部分內(nèi)容，為了幫助他們（以及他們的學(xué)生）在數(shù)值“地雷陣”中順利前進(jìn)，在本前言的后面附有一張流程圖，表明本書各部分的“鏈接”．沿中線以陰影標(biāo)識的部分是核心內(nèi)容：講這門課而忽略這些主題，那是說不過去的（當(dāng)然，在每章內(nèi)部適當(dāng)?shù)貟x內(nèi)容是合理的?。疅o陰影標(biāo)識的框是選修內(nèi)容——這些主題的取舍依個人的選擇而定．它們均包含有價值的材料，但就其整體而言，或許超出了高等本科教材的覆蓋能力和范疇．★這是一本面向數(shù)學(xué)系學(xué)生的教材，也就是說，它不以計算機科學(xué)家、工程師或自然科學(xué)家為對象．如前所述，不同的學(xué)生群體關(guān)心不同的事情，有不同的思維模式和吸收知識的方式．所以，一本教材若想取悅所有讀者，則可能令所有讀者都失望．盡管如此，那些需要數(shù)值方面知識的非數(shù)學(xué)工作者仍可以從本書中受益，但應(yīng)當(dāng)指出，他們或許應(yīng)當(dāng)在他們職業(yè)生涯中稍微晚些時候再去鉆研這些，也就是當(dāng)他們具備了適當(dāng)?shù)膭訖C和背景知識的時候．關(guān)于本書的一個更為基本的限制就是它是一本教材，而不是學(xué)術(shù)論文或技巧集錦．特別需要強調(diào)，我們的使命不是讓人欣賞藝術(shù)展覽，或關(guān)注最新進(jìn)展，同樣，我們也無意提供能對付任何問題和情況的萬能方法．★許多數(shù)學(xué)教材都有個惱人的毛病，解任何一個問題時都要不必要地羅列一大串方法和算法．因而不止有1個龍格—庫塔法，而是20個！可憐的讀者們面對著一大堆武器，卻往往沒有任何線索告訴他們應(yīng)當(dāng)選用其中的哪一個，以及為什么用它．本書中我們采取另一種方式：我們從支持算法的原理中推導(dǎo)出算法，這些原理是我們論證的中心，而不是算法本身．一旦這些原理被提煉出來，算法就成為數(shù)值分析中最容易的部分，像煙花般驟然盛開——真正的腦力挑戰(zhàn)在于數(shù)學(xué)的分析．這并不是說軟件的問題不重要或其體系的學(xué)術(shù)性相對較弱．我們在第5章中對這些問題予以關(guān)注，并且我必須趕快強調(diào)一下，好的軟件設(shè)計同定理的證明一樣具有挑戰(zhàn)性．事實上，對計算數(shù)學(xué)中分析方面的了解有助于正確鑒識軟件及應(yīng)用中的困難．★數(shù)值分析的一個真正激動人心的特點，在于它廣泛運用多門數(shù)學(xué)學(xué)科的知識．如果你以為數(shù)值分析是逃避數(shù)學(xué)，是因為喜歡研究某些更“軟”些的東西而借它來取代研究數(shù)學(xué)，那你注定會大吃一驚．?dāng)?shù)值分析可能是最廣泛應(yīng)用多種數(shù)學(xué)理論的學(xué)科，從基本的線性代數(shù)和微積分，直到泛函分析、微分拓?fù)?、圖論、解析函數(shù)理論、非線性動力系統(tǒng)、數(shù)論、凸理論——這個單子可一直列下去．幾乎所有的現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論都對數(shù)值分析研究給予啟發(fā)和幫助．因而，研究數(shù)值分析的人必須思維開放，隨時準(zhǔn)備借用其他各種技巧——它可不是給閉門造車的人預(yù)備的！本書中我們著重討論那些啟發(fā)和豐富數(shù)值分析研究的各種數(shù)學(xué)理論．這不像乍聽起來那么簡單，因為來自不同大學(xué)的學(xué)生有不同的純數(shù)學(xué)知識，這一點我們不得不考慮．換言之，我們常常需要加以闡明，請那些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識雄厚的讀者予以諒解——你們所需做的只是略過幾頁……★回憶一個數(shù)學(xué)概念和理解一個數(shù)學(xué)概念之間有很大的差別．在讀數(shù)學(xué)文章時我經(jīng)常碰到一些概念，很熟悉而且我過去肯定碰到過．然而，要考我背出其準(zhǔn)確定義，我恐怕要考不及格．這種時候恰當(dāng)?shù)?、正統(tǒng)的做法應(yīng)當(dāng)是暫時停下來，走到附近的數(shù)學(xué)圖書館查一下有關(guān)資料．坦白地講，雖然我有時確實這么做，但更多時候，我只是繼續(xù)讀下去．我有充分的理由相信不只我一個人這么做．本書中我增加了一個名為“相關(guān)數(shù)學(xué)知識約略導(dǎo)讀”的附錄，嘗試多少彌補上述情況帶來的不便．該附錄粗略地介紹了一些數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要定義和定理——包括線性代數(shù)、初等泛函分析和逼近理論——學(xué)生們以前應(yīng)當(dāng)已接觸過這些內(nèi)容，但很可能已被遺忘．這樣做的目的既不是要取代那些初等的數(shù)學(xué)課程，也不是提供數(shù)學(xué)補遺．如果你過于頻繁地翻到書尾去查找某個定義，那么，我的朋友，也許你最好還是停下來去專心地學(xué)習(xí)一下相關(guān)的學(xué)科，使用一本合適的教材．相類似，如果你總是遵循正統(tǒng)的做法，每有一點疑問就去查閱有關(guān)資料，請恕我勸你別那樣循規(guī)蹈矩．★寫數(shù)學(xué)文章的一個規(guī)矩是要指明援引資料的作者和出處．這不僅僅是為了滿足原作者的虛榮心，也是為了將文章記錄傳載下去，并使有興趣的讀者有機會查閱更進(jìn)一步的資料．談到這兒，我不禁懷疑起那些在教材中連篇累牘到處標(biāo)記引文出處的做法．其導(dǎo)致的情形可以想見，讀到一句“……假定x∈U，其中U是一個葉層器具［37］”，讀者就會去查閱一下參考文獻(xiàn)，找到“［37］”代表J.Bloggs發(fā)表于Pro.SDW的一篇論文，然后認(rèn)出“Pro.SDW”代表“可微器具協(xié)會會議記錄”，然后走到圖書館，找到這本雜志的位置（它還真在書架上，而不是租出去了，或放錯了地方，或被偷了……）．如果是高深的數(shù)學(xué)學(xué)術(shù)論文，這樣做并不為過．但如果是本教材，這樣做就沒什么意義了．所以我所采取的做法是在正文中不標(biāo)出處，而在每章后面專設(shè)一節(jié)叫做“注釋與參考文獻(xiàn)”，在其中簡要列出可能會對學(xué)生（和教師）有所幫助的更進(jìn)一步的文獻(xiàn)．這些小節(jié)還有一個重要的作用．可能會有一些學(xué)生（也許我太樂觀了？）對該章內(nèi)容感興趣，受到啟發(fā)而有意深入鉆研，為此，在每一節(jié)“注釋與參考文獻(xiàn)”之中我都簡要地介紹了相關(guān)領(lǐng)域的進(jìn)一步發(fā)展、算法、分析的方法及其與其他數(shù)學(xué)分科的聯(lián)系．★表述的清晰與否常取決于所用的符號是否明了，因而，在全書中我們做如下約定：白體小寫斜體字母（a，b，c，α，β，γ，…）代表標(biāo)量;黑體小寫斜體字母（a，b，c，α，β，γ，…）代表向量;白體大寫字母（A，B，C，…）代表算子．像i=-1和自然對數(shù)基底e這樣的數(shù)學(xué)常數(shù)以羅馬字體標(biāo)記，而不用斜體字母，這遵從了英國的排字習(xí)慣，并有助于區(qū)分一個數(shù)學(xué)公式中的不同元素．如同所有原則均有例外一樣，我們的符號約定也有其例外情況．比如，在3.1節(jié)，我們按以往的習(xí)慣，用Pn和Tn分別代表勒讓德多項式和切比雪夫多項式：任何其他表示方法都會招致混淆．此外，亦如所有其他原則一樣，意義不明，含混不清之處大量存在．我曾盡力引導(dǎo)讀者調(diào)動其常識性的感覺來感知和理解這些說不清的地方．但不用說，這樣的理解具有相當(dāng)?shù)闹饔^性．本書源自兩套簡縮的講稿：一套是面向第二組學(xué)生（劍橋數(shù)學(xué)本科階段最后一年）的；另一套是面向第三組學(xué)生（劍橋高級數(shù)學(xué)課程班）的．可是，將講稿擴充為一整本教科書的工作可不像做杯熱湯那樣簡單，不是濃汁加水?dāng)嚁囋僦笾缶屯晔麓蠹畬戇@本書共花了我大半年時間，與此同時，還要進(jìn)行其他日常的學(xué)術(shù)研究工作．手稿的大部分寫于1994年秋天，那時我正在加州理工學(xué)院（Caltech）休假，我很愿意在此感謝那里的許多好朋友的熱情款待，帕薩迪納的工作環(huán)境也非常之棒．一條熟知的計算機諺語說，九成的編程工作需九成的時間，剩下一成的編程工作仍需九成時間……編寫教材遵循類似的規(guī)律，回到劍橋我花了幾個月的時間把手稿讀了又讀．在此，要感謝眾多的朋友和同事，他們給予我非常重要的幫助：BradBaxter（皇家學(xué)院，倫敦），MartinBuhmann（瑞士理工學(xué)院，蘇黎世），YuChungChang（加州理工學(xué)院），StephenCowley（劍橋），GeorgeGoodsell（劍橋），MikeHolst（加州理工學(xué)院），HerbKeller（加州理工學(xué)院），YorkeLiu（劍橋），MichelleSchatzman（里昂），AndrewStuart（斯坦福），StefanVandewalle（盧文）和AntonellaZanna（劍橋）．他們中有些人讀了手稿并提出了意見．有些人提供了計算實例．有些人以此書稿為教材在其學(xué)生中進(jìn)行教學(xué)實驗，并聽取學(xué)生的反饋意見．有些人提供了寶貴的見解，使我免于犯令人尷尬的錯誤．他們所有人都幫助我、鼓勵我，而且對我的缺點和個性寬容之至．盡管我誠心誠意盡了最大努力，書中一定還留有大大小小的錯誤、打印錯誤和不當(dāng)之處．對此，他們均不負(fù)任何責(zé)任．也許應(yīng)當(dāng)在此再感謝另外兩位“朋友”，他們使寫書的過程大大簡化：Tex排版系統(tǒng)和Matlab軟件包．當(dāng)今我們對數(shù)學(xué)排版系統(tǒng)習(xí)以為常，而常常忘了僅僅十年前數(shù)學(xué)文稿還是手寫的，然后再一遍遍打印，最終由出版社排版，每一道程序中都要進(jìn)行艱難的校對．再說說Matlab，它是惟一能讓我們將辦公室變成一個計算、繪圖實驗室的工具，使我們能從計算機屏幕彈射出新的想法，使我們能夠制造出富含信息的圖形和動畫．自從咖啡被發(fā)現(xiàn)以來，還沒有哪樣非生物體給這么多的數(shù)學(xué)家?guī)磉@么大的快樂！劍橋出版社的編輯人員，特別是AlanHarvey，DavidTranah和RogerAstley，給予我們的幫助、友善和精誠合作，已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了他們所應(yīng)承擔(dān)的義務(wù)．文字編輯SusanParkinson作出了最高水平的工作，她的專業(yè)素養(yǎng)、勤奮和高雅的品位化解了眾多的錯誤，彌補了我的不足，奇跡般地為讀者鋪平了閱讀之路．很高興有機會在此向他們所有人致謝！最后，但絕不失半點誠意和敬意，要感謝我的妻子和最好的朋友——Dganit.她的鼓勵、建議和支持無法以數(shù)字來計量，謝謝您！我想把這本書獻(xiàn)給我的父母，Gisella和Israel.他們不是數(shù)學(xué)家，然而我從他們身上學(xué)到了那些促使我成為數(shù)學(xué)家的東西：對學(xué)術(shù)的熱愛和對美與藝術(shù)的崇拜．

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