現代應用數學手冊（計算與數值分析卷）

數學符號表
1數值計算概論
1.1數值分析的對象與特點
1.1.1研究對象
1.1.2主要特點
1.1.3數值問題與數值方法
1.2誤差與有效數字
1.2.1誤差的來源與分類
1.2.2誤差概念
1.2.3有效數字
1.3誤差估計與誤差分析
1.3.1算術運算的誤差界
1.3.2函數求值的誤差估計
1.3.3誤差分析方法
1.4誤差的定性分析與運算原則
1.4.1算法的數值穩(wěn)定性
1.4.2病態(tài)問題與條件數
1.4.3數值運算的簡單原則
1.5并行算法及其基本概念
1.5.1并行算法及其分類
1.5.2并行算法基本概念及設計原則
2插值法
2.1引言
2.1.1插值的意義
2.1.2插值問題的提法
2.2拉格朗日插值
2.2.1基函數
2.2.2拉格朗日插值多項式
2.2.3余項
2.3艾特肯法
2.3.1問題的提出
2.3.2艾特肯法的描述
2.3.3計算工作量
2.4均差與牛頓插值
2.4.1均差
2.4.2牛頓插值公式
2.4.3計算工作量
2.5差分與等距節(jié)點插值
2.5.1差分
2.5.2牛頓差分插值公式
2.5.3高斯公式
2.5.4斯特林公式
2.5.5貝塞爾公式
2.5.6等距節(jié)點插值公式的使用
2.6埃爾米特插值
2.6.1一般提法
2.6.2插值多項式的建立與余項
2.6.3重節(jié)點均差與均差形式的埃爾米特插值多項式
2.7插值多項式的收斂性與穩(wěn)定性
2.7.1插值多項式的收斂性與病態(tài)性質
2.7.2插值函數的穩(wěn)定性
2.8分段低次插值
2.8.1分段線性插值
2.8.2分段三次埃爾米特插值
2.9樣條插值
2.9.1樣條函數
2.9.2月樣條
2.9.3三次樣條插值問題的提法
2.9.4均勻分劃的三次樣條插值函數
2.9.5任意分劃的三次樣條插值函數
2.9.6三次樣條插值的收斂性
2.10反插值
2.10.1插值與反插值
2.10.2利用函數的插值多項式反插
2.10.3構造反函數的插值多項式
2.11有理函數插值
2.11.1有理插值的存在準一性
2.11.2蒂埃勒倒差商算法
3函數逼近與曲線擬合
3.1函數空間的范數與最佳逼近問題
3.1.1函數逼近與函數空間的范數
3.1.2最佳逼近問題
3.2最佳一致逼近
3.2.1連續(xù)函數的一致逼近
3.2.2最佳一致逼近多項式
3.3最佳一致逼近多項式的數值方法
3.3.1最佳一致線性逼近
3.3.2列梅茲算法
3.4正交多項式
3.4.1內積與正交多項式
3.4.2勒讓德多項式
3.4.3切比雪大多項式
3.4.4其他常用的正交多項式
3.5最佳平方逼近
3.6用正交函數族作最佳平方逼近
3.6.1最佳平方逼近與廣義傅里葉級數
3.6.2.用勒讓德多項式作平方逼近
3.6.3截斷切比雪夫級數
3.7近似最佳一致逼近
3.7.1泰勒級數項數的節(jié)約
3.7.2切比雪夫多項式零點插值
3.8曲線擬合的最小二乘法
3.8.1基本原理
3.8.2線性最小二乘逼近
3.8.3用正交多項式作最小二乘擬合
3.8.4多元最小二乘擬合
3.9傅里葉逼近
3.9.1最佳平方逼近與三角插值
3.9.2快速傅里葉變換
3.10有理逼近與連分式
3.11最佳有理逼近
3.12帕德逼近
3.13梅利逼近
3.14函數的連分式展開
4數值積分與數值微分
4.1引言
4.2牛頓—科茨求積公式
4.2.1公式的一般形式
4.2.2梯形公式
4.2.3辛普森公式
4.2.4高階牛頓—科茨公式
4.2.5開型牛頓—科茨公式
4.3復合求積公式
4.3.1復合梯形公式
4.3.2復合辛普森公式
4.3.3復合求積公式的收斂性
4.3.4區(qū)間逐次分半法
4.4里查森外推算法和龍貝格積分法
4.4.1里查森外推算法
4.4.2龍貝格積分法
4.5高斯求積公式
4.5.1高斯型求積公式
4.5.2高斯—勒讓德求積公式
4.5.3高斯—切比雪夫求積公式
4.5.4高斯—拉蓋爾求積公式
4.5.5高斯—埃爾米特求積公式
4.6預先給定節(jié)點的高斯求積公式
4.6.1高斯—拉道求積公式
4.6.2高斯—洛巴托求積公式
4.7切比雪夫求積法
4.8三次樣條函數求積法
4.8.1一般情況的求積公式
4.8.2簡單情況的求積公式
4.9自適應積分法
4.9.1自適應辛普森方法
4.9.2計算步驟
4.10奇異積分的計算
4.10.1積分變量替換
4.10.2極限過程
4.10.3奇異性的解析處理
4.10.4乘積積分
4.10.5削減奇異性方法
4.10.6康托洛維奇方法
4.10.7高斯求積
4.1l振蕩函數的積分
4.11.1在兩零點之間的積分
4.11.2菲隆方法
4.12無窮區(qū)間上的積分
4.12.1變量替換
4.12.2無窮區(qū)間的截斷
4.12.3無窮區(qū)間上的高斯求積公式
4.12.4極限過程
4.13重積分的數值計算
4.13.1基本概念
4.13.2梯形公式及其復合公式
4.13.3辛普森求積公式及其復合公式
4.13.4高斯型求積公式
4.13.5一般積分區(qū)域
4.14數值微分的基本方法
4.14.1數值微分的概念
4.14.2用插值多項式求數值微分
4.14.3將微分問題化為積分問題
4.14.4用三次樣條函數求數值微分
4.14.5二階導數
4.15數值微分的外推算法
4.16附表
4.16.1高斯—勒讓德求積公式的節(jié)點和系數
4.16.2高斯—拉蓋爾求積公式的節(jié)點和系數
4.16.3高斯—埃爾米特求積公式的節(jié)點和系數
5方程求根
5.1方程求根與二分法
5.1.1方程求根與根的隔離
5.1.2二分法
5.2迭代法及其收斂性
5.2.1不動點迭代法
5.2.2不動點存在性與迭代法收斂性
5.3迭代法的加速收斂
5.3.1艾特肯加速方法
5.3.2斯蒂芬森迭代法
5.4牛頓法
5.4.1牛頓法及其收斂性
5.4.2簡化牛頓法與牛頓下山法
5.5弦截法與拋物線法
5.5.1弦截法
5.5.2試位法與斯蒂芬森方法
5.5.3拋物線法
5.6多重迭代法
5.7重根計算
5.8代數方程求根與迭代法
5.8.1引言與多項式求值
5.8.2牛頓法與拉蓋爾迭代法
5.9根模的界與實根隔離
5.9.1根模的上下界
5.9.2施圖姆序列
5.10伯努利方法
5.11劈因子法
5.12復根的隔離
5.13復多項式的圓盤迭代法
5.14病態(tài)代數方程
6解線性方程組的直接方法
6.1引言
6.2矩陣分析
6.2.1向量范數
6.2.2矩陣范數
6.2.3初等矩陣
6.3高斯順序消去法和矩陣的LU分解
6.4高斯主元素消去法
6.5高斯—若爾當消去法
6.5.1列主元高斯—若爾當消去法
6.5.2高斯—若爾當消去法求逆矩陣
6.6直接三角分解法
6.6.1杜利特爾分解法
6.6.2列主元三角分解法
6.6.3對稱正定矩陣的楚列斯基分解法
6.7帶狀方程組的解法
6.7.1三對角方程組的托馬斯法和循環(huán)約簡法
6.7.2塊三對角方程組的解法
6.7.3帶狀方程組的列主元消去法
6.7.4對稱正定帶狀方程組的解法
6.8大型稀疏方程組的直接方法
6.8.1稀疏矩陣
6.8.2高斯消去法解大型稀疏方程組所要求的形式
6.8.3壓縮存儲形式
6.8.4對稱正定稀疏方程組的解法
6.9誤差分析
6.9.1矩陣的條件數和病態(tài)方程組
6.9.2方程組的敏感性
6.9.3病態(tài)方程組的解法
6.9.4舍人誤差
7求解線性代數方程組的迭代法
7.1定常迭代法的基本概念
7.2雅可比迭代法、JOR法和RF法
7.3高斯—賽德爾迭代法
7.4逐次超松弛迭代法
7.4.1逐次超松弛迭代法
7.4.2性質AA和相容次序
7.4.3最優(yōu)松弛因子
7.5對稱逐次超松弛迭代法
7.6不完全LU分解
7.6.1M矩陣與正則分解
7.6.2不完全LU分解
7.7塊迭代法和交替方向迭代法
7.7.1塊雅可比法、塊逐次超松弛迭代法和塊高斯—賽德爾法
7.7.2塊逐次超松弛迭代法的收斂性和最優(yōu)松弛因子的選取
7.7.3交替方向隱式方法
7.8擬消去迭代法
7.9共軛梯度法
7.9.1變分原理
7.9.2最速下降法
7.9.3共軛梯度法
7.10預處理共軛梯度法
7.10.1預處理共軛梯度法
7.10.21CCG法
7.10.3迭代預處理
7.11阿諾爾德算法
7.1l.1伽遼金原理和克雷洛夫子空間
7.11.2阿諾爾德過程
7.11.3阿諾爾德算法
7.11.4對稱蘭喬斯算法
7.12廣義極小殘余算法
7.12.1阿諾爾德—GMRES算法
7.12.2豪斯霍爾德—GMRES算法
7.12.3極小化算法
7.12.4GMRES算法的收斂性和中斷
7.12.5分裂預處理GMRES算法
8矩陣特征值問題
巳1基本性質
8.1.1特征值的性質
8.1‘2特征值的界限
8.1.3極值定理
8.1.4擾動和敏感性
8.2矩陣的變換和矩陣的分解
8.2.1矩陣的變換和矩陣的舒爾分解
8.2.2豪斯霍爾德變換和吉文斯變換
8.2.3化矩陣為海森伯格形
8.2.4矩陣的QR分解
8.3冪法和反冪法
8.3.1冪法
8.3.2加速方法
8.3.3收縮方法
8.3.4反冪法和原點位移
8.4QR算法
8.4.1基本算法及收斂性
8.4.2海森伯格陣的QR算法
8.4.3原點位移的QR算法
8.4.4雙步隱式QR算法
8.5對稱QR算法
8.6雅可比方法
8.6.1經典雅可比方法
8.6.2行循環(huán)雅可比方法
8.7子空間迭代法
8.8阿諾爾德方法
8.9蘭喬斯方法
8.10對稱廣義特征值問題
8.10.1楚列斯基—對稱QR算法
8.10.2蘭喬斯算法
9非線性方程組數值解與最優(yōu)化方法
9.1引言
9.1.1非線性方程組求解問題
9.1.2無約束最優(yōu)化與非線性最小二乘
9.1.3非線性映射的導數與中值定理
9.2迭代法與不動點定理
9.2.1迭代法基本概念
9.2.2壓縮映射原理與不動點定理
9.3牛頓型方法
9.3.1牛頓法與牛頓型方法
9.3.2牛頓法的收斂性與誤差估計
9.3.3離散牛頓法與修正牛頓法
9.3.4牛頓下山法
9.4布朗方法與布蘭特方法
9.4.1布朗方法
9.4.2布蘭特方法
9.5牛頓松弛型迭代法
9.5.1牛頓—SOR迭代法
9.5.2非線性松弛迭代法
9.6割線法
9.7擬牛頓法
9.7.1擬牛頓法的基本思想
9.7.2布羅依登方法
9.7.3秩2校正公式
9.8延拓法
9.8.1延拓法基本思想
9.8.2數值延拓法
9.8.3參數微分法
9.9單純形算法
9.9.1三角剖分與算法基本思想
9.9.2同倫算法
9.10區(qū)間迭代法
9.11并行多分裂方法
9.11.1線性多分裂方法
9.11.2非線性多分裂方法
9.12無約束最優(yōu)化方法
9.12.1基本概念
9.12.2下降算法與一維搜索
9.12.3最速下降法與牛頓下降法
9.12.4共軛梯度法
9、12.5變尺度法
9.13非線性最小二乘法
10常微分方程初值問題的數值方法
10.1引言
10.1.1常微分方程的初值問題
10.1.2數值離散方法
10.2顯式單步法的一般概念
10.3歐拉方法
10.3.1歐拉方法
10.3.2隱式歐拉方法和梯形方法
10.3.3改進的歐拉方法
10.4龍格—庫塔方法
10.4.1顯式龍格—庫塔方法的一般形式
10.4.2二階顯式龍格—庫塔方法
10.4.3三階顯式龍格—庫塔方法
10.4.4四階顯式龍格—庫塔方法
10.4.5高階顯式龍格—庫塔方法
10.4.6龍格—庫塔—費爾貝格方法
10.4.7隱式龍格—庫塔方法
10.4.8單步法的絕對穩(wěn)定性
10.5線性多步法
10.5.1線性多步法的一般概念
10.5.2亞當斯方法
10.5.3尼斯特龍方法
10.5.4漢明方法
10.5.5線性多步法的收斂性
10.5.6線性多步法的穩(wěn)定性
10.5.7線性多步法的絕對穩(wěn)定性
10.6預測—校正方法
10.6.1預測—校正的一般方法
10.6.2亞當斯預測—校正方法
10.6.3漢明預測—校正方法
10.7外推方法
10.7.1外推的一般方法
10.7.2格拉格外推方法
10.8方程組和高階方程的數值方法
10.8.1一階微分方程組的數值方法
10.8.2高階方程的數值方法
10.9剛性方程組的數值方法
10.9.1方程組的剛性現象
10.9.2剛性方程組的穩(wěn)定性
10.9.3剛性方程組的數值方法
11常微分方程邊值問題的數值方法
11.1引言
11.2打靶法
11.2.1線性邊值問題的打靶法
11.2.2非線性邊值問題的打靶法
11.3有限差分方法
11.3.1線性邊值問題的差分方法
11.3.2非線性邊值問題的差分方法
11.4變分方法
11.4.1變分問題
11.4.2變分問題的近似計算
11.5有限元方法
11.5.1線.隆元
11.5.2高次元
11.6樣條函數方法
12偏微分方程數值解法
12.1橢圓型方程的有限差分方法
12.1.1典型問題
12.1.2網格和差分近似
12.1.3差分格式的構造方法
12.1.4常用的有限差分格式
12.1.5邊界條件的處理
12.2雙曲型方程的差分方法
12.2.1典型問題
12.2.2差分格式
12.2.3對流方程的差分格式
12.2.4二維對流方程的差分格式
12.2.5波動方程的差分格式
12.3拋物型方程的差分方法
12.3.1典型問題
12.3.2擴散方程的差分格式
12.3.3對流擴散方程的差分方法
12.3.4二維擴散方程的差分方法
12.4有限元方法
12.4.1橢圓型邊值問題的變分原理
12.4.2三角形線性元
12.4.3三角形單元上的高次插值
12.4.4矩形單元
12.4.5等參數單元
13多重網格法
13.1多重網格法基本原理
13.1.1模型
13.1.2多重網格法思想
13.1.3雙網格方法
13.1.4多重網格法原理——一維模型問題分析
13.2線性多重網格法
13.3完整的多重網格法
13.4二維多重網格諸元素
13.4.1差分格式
13.4.2光滑迭代
13.4.3網格粗化
13.4.4延拓或插值
13.4.5限制
13.5非線性多重網格法
13.5.1牛頓多重網格法
13.5.2非線性多重網格法
13.6計算機上的執(zhí)行性能
13.6.1數據結構
13.6.2存儲量
13.6.3計算量
14積分方程數值解法
14.1引言
14.2第二類弗雷德霍姆積分方程的數值求積方法
14.2.1方法的一般描述
14.2.2乘積積分法
14.2.3修正的數值求積方法
14.2.4重疊核方法
14.3近似退化核替代法
14.4基于解的展開方法
14.4.1最小二乘近似
14.4.2矩量法
14.5特征值問題
14.6第二類沃爾泰拉積分方程的數值積分法
14.6.1用多步法解第二類沃爾泰拉積分方程
14.6.2用龍格—庫塔型方法解第二類沃爾泰拉積分方程
附錄數學軟件Matlab簡介
外國人名表
外文一中文名詞索引
中文一外文名詞索引
參考文獻