力學與工程問題的分數階導數建模

前言　
主要符號說明　
第一章　概論　
　1.1　分數階微積分的歷史　
　1.2　分數階導數方程的幾何和物理解釋　
　　1.2.1　任意頻率依賴的能量耗散過程　
　　1.2.2　分形描述和冪律現象　
　　1.2.3　反常擴散　
　　1.2.4　復雜材料本構關系　
　　1.2.5　分數階薛定諤方程　
　1.3　科學和工程應用　
　參考文獻　
第二章　分數階微積分數學基礎　
　2.1　分數階微積分的定義　
　　2.1.1　riemann-liouville定義　
　　2.1.2　caputo定義　
　　2.1.3　grtinwald-letnikov定義　
　　2.1.4　空間分數階拉普拉斯算子的riesz定義　
　2.2　分數階微積分的性質　
　　2.2.1　riemann-liouville算子的一些簡單性質　
　　2.2.2　常見函數的分數階微積分　
　　2.2.3　不同定義的關系　
　2.3　分數階微積分的傅里葉與拉普拉斯變換　
　　2.3.1　分數階微積分的?里葉變換　
　　2.3.2　分數階微積分的拉普拉斯變換　
　2.4　求解分數階微分方程的解析方法　
　　2.4.1　積分變換方法　
　　2.4.2　格林函數法　
　　2.4.3　adomian分解法　
　　2.4.4　同倫函數法　
　　2.4.5　其他迭代方法　
　2.5　問題及討論　
　　2.5.1　分形導數、正定分數階導數、變導數和隨機導數　
　　2.5.2　空間分數階導數的討論　
　　2.5.3　分數階微積分的幾何和物理解釋的討論　
　參考文獻　
第三章　分形幾何與分數階微積分　
　3.1　分形簡介及其應用　
　　3.1.1　簡單的分形幾何　
　　3.1.2　分形的基本性質　
　　3.1.3　分形維數的測量　
　　3.1.4　分形的應用　
　3.2　分形與分數階微積分的聯系　
　　3.2.1　一類分形函數的分數階微積分　
　　3.2.2　分形函數的維數與其分數階微積分階數的關系　
　　3.2.3　分數階微積分在描述分形介質本構關系中的應用　
　　3.2.4　分形介質中的分數階動力學方程　
　參考文獻　
第四章　分數階反常擴散模型、非常規(guī)統計分布和隨機過程　
　4.1　分數階導數反常擴散方程　
　　4.1.1　反常擴散問題的統計描述　
　　4.1.2　分數階反常擴散方程　
　　4.1.3　分數階fick定律　
　　4.1.4　分數階對流與擴散方程　
　4.2　湍流粒子加速度分布的統計模型　
　　4.2.1　現有的模型　
　　4.2.2　冪律—擴展高斯聯合分布模型　
　　4.2.3　比較與討論　
　4.3　levy穩(wěn)態(tài)分布　
　　4.3.1　一般形式下的levy分布　
　　4.3.2　在x＞0情形下的levy分布　
　　4.3.3　穩(wěn)態(tài)分布　
　4.4　擴展高斯分布　
　4.5　tsallis分布　
　　4.5.1　tsallis熵　
　　4.5.2　tsallis分布　
　4.6　伊藤公式　
　　4.6.1　伊藤積分的概念　
　　4.6.2　伊藤公式　
　4.7　隨機行走模型　
　4.8　問題與討論　
　　4.8.1　統計分布的應用背景　
　　4.8.2　統計分布、擴散過程與微分方程的關系　
　　4.8.3　levy穩(wěn)態(tài)分布和頻率依賴聲波耗散的指數(0，2]分布　
　參考文獻　
第五章　分數階微分方程的典型應用　
　5.1　冪律現象與非梯度本構關系　
　　5.1.1　冪律分?現象與分數維　
　　5.1.2　冪律分布現象的形成機理　
　　5.1.3　冪律現象與非梯度本構關系　
　5.2　分數階langevin方程　
　　5.2.1　langevin方程　
　　5.2.2　分數階iangevin方程　
　5.3　復雜阻尼振動　
　　5.3.1　振子模型　
　　5.3.2　分數階振子　
　5.4　黏彈性與流變材料本構模型　
　　5.4.1　元件模型　
　　5.4.2　松弛模量和蠕變柔量　
　　5.4.3　復松弛模量和復蠕變柔量　
　　5.4.4　分數階黏彈性模型中的復松弛模量和復蠕變柔量　
　　5.4.5　黏彈性體的分數階力學模型　
　　5.4.6　土流變試驗數據擬合與分析　
　　5.4.7　stokes第二類問題分數階導數模型的精確解　
　5.5　聲波的任意階頻率依賴耗散　
　　5.5.1　波在彈性固體中傳播　
　　5.5.2　波在黏彈性介質中耗散傳播的經典模型　
　　5.5.3　波在黏彈性介質中耗散傳播的分數階模型　
　　5.5.4　流體中的聲波　
　　5.5.5　聲波的吸收與頻率依賴耗散　
　　5.5.6　任意階頻率依賴耗散聲波傳播的分數階拉普拉斯方程模型　
　　5.5.7　非線性聲?的分數階導數耗散模型　
　　5.5.8　分數階導數地震波模型　
　5.6　力學中的分數階變分原理　
　　5.6.1　力學變分原理　
　　5.6.2　分數階變分原理　
　5.7　分數階薛定諤方程　
　　5.7.1　波粒二象性　
　　5.7.2　薛定諤方程　
　　5.7.3　波函數的物理意義　
　　5.7.4　時間分數階薛定諤方程　
　　5.7.5　路徑積分原理和薛定諤方程　
　　5.7.6　空間分數階薛定諤方程　
　　5.7.7　分數階薛定諤方程的分形時空起源　
　5.8　其他應用領域　
　　5.8.1　分數階微積分在斷裂力學中的應用　
　　5.8.2　分數階微積分在系統控制中的應用　
　　5.8.3　分數階導數模型的反問題　
　5.9　變導數、分布式導數與隨機導數的建模與應用　
　　5.9.1　變導數的建模與應用　
　　5.9.2　分布式導數的建模與應用　
　　5.9.3　隨機導數的建模與應用　
　參考文獻　
第六章　分數階微分方程的數值解法　
　6.1　時間分數階微分方程　
　　6.1.1　有限差分與積分方程法　
　　6.1.2　時間分數階導數方程數值算法的總結與分析　
　6.2　空間分數階微分方程的數值解法　
　　6.2.1　主要的數值解法簡介　
　　6.2.2　三種求解空間分數階反常擴散方程的方法比較　
　6.3　存在的問題　
　6.4　分形導數方程數值解法　
　6.5　正定分數階導數方程數值解法　
　參考文獻　
第七章　分數階微積分的發(fā)展情況與展望　
　7.1　總結與討論　
　　7.1.1　研究與應用現狀　
　　7.1.2　關鍵問題　
　7.2　展望　
附錄i　特殊函數　
　i.1　伽馬函數　
　i.2　貝塔函數　
　i.3　dirac-delta函數　
　i.4　mittag-leffler函數　
　i.5　wrrighe函數　
　i.6　h-fox函數　
　參考文獻　
附錄ii　分數階動力學相關的電子資源　
　參考文獻