高精度解多維問題的外推法

第1章Richardson外推與分裂外推的算法分析1
1.1多項(xiàng)式外推法1
1.1.1插值多項(xiàng)式與外推2
1.1.2多項(xiàng)式外推算法及其推廣4
1.1.3外推系數(shù)與外推算法的穩(wěn)定性和收斂性7
1.1.4后驗(yàn)誤差估計(jì)12
1.2分裂外推法15
1.2.1多變量漸近展開16
1.2.2分裂外推的通推算法18
1.2.3分裂外推的組合系數(shù)計(jì)算21
1.2.4分裂外推算法的穩(wěn)定性分析22
1.2.5分裂外推的后驗(yàn)誤差估計(jì)28
1.2.6分?jǐn)?shù)軍展開式與逐步齊次分裂外推消去法30
第2章推廣Euler-Maclaurin求和公式與一維超奇積分的外推37
2.1經(jīng)典Euler-Maclaurin和公式與外推37
2.1.1梯形公式的Euler-Maclaurin漸近展開37
2.1.2帶偏差的梯形公式的Euler-Maclaurin漸近展開41
2.2 基于Mellin變換的Euler-Maclaurin展開式在奇異與弱奇異積分的應(yīng)用45
2.2.1Riemann-Zeta函數(shù)46
2.2.2Mellin變換及其逆變換47
2.2.3弱奇異積分的Euler-Maclaurin展開式48
2.2.4帶參數(shù)的弱奇異積分的Euler-Maclaurin展開式53
2.2.5帶參數(shù)的奇異積分的Euler-Maclaurin展開式56
2.3超奇積分的Euler-Maclaurin展開式及其外推59
2.3.1超奇積分的Hadamard有限部分及其性質(zhì)60
2.3.2超奇積分的Mellin變換63
2.3.3在[0，∞)區(qū)間上的超奇積分的Euler-Maclaurin展開式63
2.3.4有限區(qū)間上的奇異和超奇積分的Euler-Maclaurin展開式65
2.3.5有任意代數(shù)端點(diǎn)奇性函數(shù)的積分及其Euler-Maclaurin展開式69
2.4帶參數(shù)的超奇積分的數(shù)值方法及其漸近展開71
2.4.1帶參數(shù)的超奇積分的推廣Euler-Maclaurin漸近展開71
2.4.2超奇積分的推廣Romberg外推78
2.5變數(shù)替換方法與收斂的加速84
2.5.1sinn變換方法84
2.5.2雙軍變換方法87
2.5.3反常積分的變換方法88
第3章多維積分的Euler-Maclaurin展開式與分裂外推算法90
3.1多維積分的Euler-Maclaurin展開式91
3.1.1多維偏矩形積分公式與多參數(shù)Euler-Maclaurin展開式91
3.1.2分裂外推法及其通推算法93
3.1.3變換方法與收斂加速97
3.2多維弱奇異積分的數(shù)值算法——變量替換法98
3.2.1面型弱奇異積分98
3.2.2多維弱奇異積分的Du.y轉(zhuǎn)換法100
3.3多維弱奇異積分的分裂外推法102
3.3.1正方體上的多維弱奇異積分的多變量漸近展開式102
3.3.2多維單純形區(qū)域上的積分106
3.3.3多維曲邊區(qū)域上的積分111
3.3.4多維弱奇異積分的分裂外推法的數(shù)值試驗(yàn)113
3.4多維齊次函數(shù)的弱奇異積分的外推法114
3.4.1多維積分的單參數(shù)漸近展開115
3.4.2多維齊次函數(shù)的定義與積方法116
3.4.3齊次弱奇異函數(shù)的近似積與漸近展開118
3.4.4積分變換與收斂加速122
3.4.5算例126
3.5曲面上積分的高精度算法130
3.5.1轉(zhuǎn)換曲面積分到球面積分130
3.5.2球面數(shù)值積分與Atkinson變換131
3.5.3光滑積分的算例138
3.5.4奇點(diǎn)的處理139
3.5.5奇異積分的算例142
3.5.6Sidi變換與曲面積分的加速收斂方法144
3.5.7Sidi方法的進(jìn)一步改善149
3.6奇點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)部的多維弱奇積分的分裂外推152
3.6.1多維位勢型積分與Du.y變換方法152
3.6.2奇點(diǎn)在原點(diǎn)的多維弱奇異積分的多參數(shù)漸近展開154
3.6.3奇點(diǎn)在任意內(nèi)點(diǎn)的多維弱奇異積分的多參數(shù)漸近展開156
第4章基于三角剖分的有限元外推法159
4.1變系數(shù)橢圓型偏微分方程的線性有限元近似的外推159
4.1.1三角形區(qū)域上積分的積方法與誤差的漸近展開160
4.1.2二階橢圓型偏微分方程的有限元近似168
4.1.3分片一致剖分下的線性有限元近似的誤差與漸近展開170
4.2二次有限元近似解的漸近展開與外推179
4.2.1Poisson方程的Dirichlet問題的二次有限元解與外推179
4.2.2輔助引理及其證明180
4.2.3定理4.2.1的證明183
4.2.4漸近后驗(yàn)估計(jì)與算例189
4.3一類擬線性橢圓型偏微分方程有限元近似的漸近展開與外推190
4.3.1一類擬線性橢圓型偏微分方程有限元近似的L∞范數(shù)估計(jì)190
4.3.2一類擬線性橢圓型偏微分方程的有限元誤差的漸近展開與外推193
第5章橢圓型偏微分方程的等參多線性的有限元分裂外推算法195
5.1二階橢圓型方程的有限元近似與分裂外推196
5.1.1線性橢圓型偏微分方程的Dirichlet問題及其有限元近似196
5.1.2線性問題有限元誤差的多參數(shù)漸近展開197
5.1.3全局細(xì)網(wǎng)格點(diǎn)的高精度算法205
5.1.4算例208
5.2特征值問題的有限元近似與分裂外推212
5.2.1問題的提出212
5.2.2特征值問題的有限元誤差的多參數(shù)漸近展開213
5.2.3算例216
5.3擬線性橢圓型偏微分方程的有限元誤差的多參數(shù)漸近展開217
5.3.1一類擬線性橢圓型偏微分方程的有限元方法及其誤差的多參數(shù)漸近展開217
5.3.2算例221
第6章基于區(qū)域分解的多二次等參有限元分裂外推方法223
6.1二階橢圓型偏微分方程組的多二次等參有限元的分裂外推方法223
6.1.1二階橢圓型方程組及其有限元近似方程223
6.1.2Hermite二次內(nèi)插與相關(guān)的積公式225
6.1.3有限元誤差的多參數(shù)漸近展開230
6.1.4算法和算例234
6.2 擬線性二階橢圓型偏微分方程的多二次等參有限元的分裂外推方法237
6.2.1擬線性二階橢圓型方程的多二次等參有限元方法237
6.2.2d二次等參有限元誤差的多參數(shù)漸近展開239
6.2.3分裂外推與后驗(yàn)估計(jì)246
6.2.4算例248
6.3拋物型偏微分方程的多二次等參有限元的分裂外推方法250
6.3.1二階線性拋物型偏微分方程的多二次等參有限元法250
6.3.2半離散等參多二次有限元誤差的多參數(shù)漸近展開253
6.3.3全離散等參多二次有限元誤差的多參數(shù)漸近展開259
6.3.4全離散有限元解的分裂外推法與后驗(yàn)誤差估計(jì)260
6.3.5算例261
6.4二階線性雙曲型偏微分方程的多二次等參有限元的分裂外推方法264
6.4.1二階線性雙曲型偏微分方程及其離散方法264
6.4.2半離散有限元誤差的多參數(shù)漸近展開266
6.4.3全離散有限元誤差的多參數(shù)漸近展開269
6.4.4全局細(xì)網(wǎng)格的分裂外推算法與算例273
第7章有限差分法的高精度外推與校正法278
7.1差分方程近似解的分裂外推算法278
7.1.1差分方程的構(gòu)造與離散極大值原理278
7.1.2光滑邊界區(qū)域上差分近似解的誤差的多參數(shù)漸近展開284
7.1.3長方體上差分近似解的誤差的多參數(shù)漸近展開292
7.1.4算例298
7.2兩點(diǎn)邊值問題的差分方程解的高精度校正法302
7.2.1一維問題的高精度差分格式302
7.2.2Sturm-Liouville特征值問題的四階差分法304
7.2.3擬線性兩點(diǎn)邊值問題的四階差分法309
7.3多維橢圓型微分方程的高精度校正法311
7.3.1二維Laplace算子的差分格式311
7.3.2二維半線性問題的高精度校正法313
7.3.3二維特征值問題的高精度校正法314
7.3.4二維變系數(shù)散度型橢圓型偏微分方程的高精度校正法318
7.3.5二維變系數(shù)散度型橢圓型偏微分方程的特征值問題的高精度校正法323
7.3.6二維擬線性散度型橢圓型偏微分方程的高精度校正法324
7.3.7多維散度型橢圓型偏微分方程的高精度校正法328
7.3.8算例331
7.4L形區(qū)域特征值問題的高精度校正法332
7.4.1L形區(qū)域特征值問題333
7.4.2L形區(qū)域特征值問題的九點(diǎn)差分格式與特征值估計(jì)335
7.4.3L形區(qū)域特征值問題的校正方法337
7.5基于Laplace反演的發(fā)展方程的高精度校正方法338
7.5.1Laplace變換及其數(shù)值反演338
7.5.2基于Zakian反演的雙曲型方程的高精度校正方法339
7.5.3基于Zakian反演的一類Volterra型積微方程的高精度校正方法341
7.6有限體積法及其分裂外推342
7.6.1數(shù)值解二階橢圓型偏微分方程的有限體積法342
7.6.2有限體積法的分裂外推算例343
第8章基于多網(wǎng)格的τ外推法346
8.1二網(wǎng)格法的τ外推346
8.1.1多網(wǎng)格法的基本思想346
8.1.2二網(wǎng)格的算法348
8.1.3二層網(wǎng)格算法的磨光性質(zhì)與逼近性質(zhì)350
8.1.4二層網(wǎng)格算法的收斂性證明351
8.1.5二網(wǎng)格迭代的磨光性質(zhì)的證明352
8.1.6二網(wǎng)格迭代的逼近性質(zhì)的證明354
8.1.7二網(wǎng)格迭代的τ外推357
8.2多層網(wǎng)格法的τ外推359
8.2.1三網(wǎng)格的V-循環(huán)算法359
8.2.2三網(wǎng)格算法的收斂性證明361
8.2.3輔助定理及其證明362
8.2.4一類新的磨光過程365
8.2.5τ外推的高精度證明367
8.2.6算例368
第9章基于內(nèi)估計(jì)的有限元外推370
9.1有限元的內(nèi)估計(jì)370
9.1.1有限元的負(fù)范數(shù)估計(jì)370
9.1.2有限元子空間的內(nèi)估計(jì)性質(zhì)373
9.1.3有限元誤差的局部漸近展開不等式375
9.2基于內(nèi)估計(jì)的一類非標(biāo)準(zhǔn)的有限元外推377
9.2.1相似子空間的定義377
9.2.2常系數(shù)二階橢圓型偏微分方程的局部有限元外推377
9.2.3變系數(shù)二階橢圓型偏微分方程的局部有限元外推383
9.3局部相似子空間的構(gòu)造387
9.3.1一般描述387
9.3.2平面三角形單元的嵌套子空間388
9.3.3平面矩形元與三維元的子空間390
9.4對特殊邊值問題的應(yīng)用390
9.4.1對Neumann問題的應(yīng)用390
9.4.2對Dirichlet邊值問題的應(yīng)用391
第10章稀疏網(wǎng)格法與組合技巧394
10.1稀疏網(wǎng)格法394
10.1.1有限元空間的多水平分裂394
10.1.2二維稀疏網(wǎng)397
10.1.3高維稀疏網(wǎng)400
10.1.4稀疏網(wǎng)上的有限元方法402
10.2組合技巧403
10.2.1二維稀疏網(wǎng)組合技巧的分裂形式404
10.2.2二維稀疏網(wǎng)組合技巧的一般形式405
10.2.3三維組合技巧407
10.2.4滿網(wǎng)格與稀疏組合網(wǎng)格的數(shù)值比較411
10.2.5組合技巧、分裂外推和稀疏網(wǎng)方法的數(shù)值結(jié)果比較414
10.3多維矩形積公式的組合方法419
10.3.1多元乘積型矩形積公式419
10.3.2組合方法.421
10.3.3算例423
評注425
參考文獻(xiàn)431
后記439
索引440
叢書442