應用計算方法教程（第2版）

前言

序

第2版前言

第1版前言

第1章計算方法概論1

1 1引言1

1 1 1計算方法的意義1

1 1 2計算方法的特點與任務1

1 2算法與效率3

1 2 1算法3

1 2 2算法的效率4

1 3計算機機器數系與浮點運算6

1 3 1二進制數與計算機機器數系6

1 3 2數據的表示與浮點運算8

1 4誤差10

1 4 1誤差的概念10

1 4 2四則運算與函數求值的誤差12

1 5問題的性態(tài)與算法的數值穩(wěn)定性15

1 5 1問題的性態(tài)與條件數15

1 5 2算法的數值穩(wěn)定性17

1 6應用實例與MATLAB22

1 6 1MATLAB簡介22

1 6 2應用實例26

小結27

習題127

數值實驗129

第2章數值計算的理論基礎31

2 1度量空間與壓縮映射31

2 1 1距離與極限31

2 1 2壓縮映射32

2 2內積34

2 2 1線性空間34

2 2 2內積空間與元素的夾角35

2 3范數37

2 3 1賦范線性空間37

2 3 2向量范數與矩陣范數39

小結44

習題245

第3章非線性方程求根47

3 1引言47

3 1 1問題的背景47

3 1 2基本概念47

3 2二分法48

3 3不動點迭代法50

3 3 1不動點迭代50

3 3 2不動點迭代的收斂性、誤差估計52

3 4牛頓迭代法56

3 4 1牛頓迭代法及其收斂性56

3 4 2牛頓迭代法的變形58

3 5迭代法收斂階與加速收斂61

3 5 1迭代法收斂階61

3 5 2重根的計算63

3 5 3加速收斂65

3 6應用實例與MATLAB68

3 6 1多項式求根68

3 6 2應用實例71

小結73

習題373

數值實驗375

第4章線性方程組的直接解法77

4 1引言77

4 2Gauss消元法78

4 2 1回代法78

4 2 2Gauss順序消元法79

4 2 3選主元消元法83

4 2 4Gauss消元法的計算量與穩(wěn)定性87

4 3矩陣分解與應用89

4 3 1矩陣的直接LU分解89

4 3 2追趕法93

4 3 3平方根法96

4 4誤差分析100

4 4 1方程組的誤差估計100

4 4 2矩陣的條件數與迭代求精法101

4 5應用實例與MATLAB103

小結108

習題4108

數值實驗4110

第5章方程組的迭代解法113

5 1引言113

5 2線性方程組的迭代解法113

5 2 1常用迭代法114

5 2 2迭代法收斂性分析120

5 3非線性方程組的迭代解法131

5 3 1簡單迭代法131

5 3 2牛頓迭代法134

5 3 3最速下降法136

5 4應用實例與MATLAB138

小結141

習題5142

數值實驗5144

第6章矩陣特征值的數值

計算147

6 1引言147

6 2冪法與反冪法149

6 2 1冪法與加速方法149

6 2 2反冪法158

6 3矩陣的正交分解160

6 3 1豪斯荷爾德變換和吉凡斯變換160

6 3 2矩陣正交相似上海森伯格陣165

6 4QR方法168

6 4 1矩陣的QR分解168

6 4 2QR方法171

6 4 3QR方法的改進172

6 5雅可比方法176

6 6應用實例與MATLAB180

6 6 1MATLAB中關于特征值與矩陣

分解相關的命令180

6 6 2應用實例181

小結186

習題6186

附錄6187

數值實驗6190

第7章插值法193

7 1引言193

7 1 1問題描述193

7 1 2代數插值194

7 2拉格朗日插值195

7 2 1線性插值和拋物插值195

7 2 2拉格朗日插值多項式196

7 2 3插值余項與誤差估計197

7 3牛頓插值199

7 3 1差商及其性質199

7 3 2牛頓插值多項式及其插值余項201

7 3 3差分與等距結點牛頓插值204

7 4埃爾米特插值207

7 4 1埃爾米特插值多項式207

7 4 2埃爾米特插值余項209

7 5分段低次插值多項式210

7 5 1龍格現(xiàn)象與分段線性插值210

7 5 2分段三次埃爾米特插值多項式212

7 6三次樣條插值213

7 6 1三次樣條函數的概念213

7 6 2三彎矩法求三次樣條插值函數215

7 7二維插值221

7 8應用實例與MATLAB224

7 8 1一維插值224

7 8 2高維插值226

小結230

習題7230

附錄7233

數值實驗7239

第8章函數逼近與曲線擬合243

8 1引言243

8 2正交多項式244

8 2 1正交函數系244

8 2 2勒讓德多項式246

8 2 3切比雪夫多項式248

8 2 4其他常用的正交

多項式249

8 3最佳平方逼近250

8 3 1問題描述與求解250

8 3 2基于冪函數的最佳平方逼近252

8 3 3基于正交函數的最佳平方逼近255

8 4曲線擬合的最小二乘法258

8 4 1問題描述與求解258

8 4 2基于正交函數的最小二乘法262

8 5最佳平方三角逼近與離散傅里

葉變換264

8 6有理逼近268

8 7應用實例與MATLAB272

8 7 1函數逼近272

8 7 2數據擬合273

8 7 3快速傅里葉變換與三角插值277

小結277

習題8278

數值實驗8281

第9章數值積分與數值微分283

9 1引言283

9 2插值型求積公式284

9 2 1代數精度285

9 2 2牛頓柯特斯積分286

9 2 3牛頓柯特斯公式的求積余項

和數值穩(wěn)定性288

9 2 4復化求積公式290

9 2 5自適應求積公式293

9 3理查森外推法與龍貝格求積公式295

9 3 1理查森外推加速法295

9 3 2龍貝格求積公式296

9 4高斯求積公式299

9 4 1高斯型求積公式300

9 4 2幾種常用高斯型求積公式302

9 5多重積分的數值計算308

9 5 1插值型求積公式308

9 5 2重積分的復化公式310

9 5 3計算多重積分的高斯法312

9 6數值微分313

9 6 1插值型數值微分316

9 6 2數值微分的外推法318

9 7應用實例和MATLAB320

9 7 1MATLAB中關于積分的命令320

9 7 2應用實例322

小結323

習題9324

數值實驗9325

第10章常微分方程初值問題的

數值解法327

10 1引言327

10 2初值問題解法的基本概念 327

10 3簡單單步法328

10 3 1歐拉方法328

10 3 2梯形公式與改進的歐拉方法331

10 4單步法的誤差與穩(wěn)定性334

10 4 1單步法的截斷誤差與階334

10 4 2單步法的收斂性336

10 4 3單步法的穩(wěn)定性337

10 5高階單步方法339

10 5 1泰勒方法339

10 5 2龍格庫塔方法340

10 6線性多步法345

10 6 1亞當姆斯顯式法346

10 6 2亞當姆斯隱式法349

10 6 3線性多步法的穩(wěn)定性351

10 6 4亞當姆斯預測—校正法353

10 7一階微分方程組與高階微分方程356

10 7 1一階微分方程組的數值解法356

10 7 2高階微分方程357

10 8應用實例與MATLAB359

10 8 1MATLAB關于常微分方程初值

問題數值解法的命令359

10 8 2應用實例360

小結363

習題10363

數值實驗10365

第11章常微分方程邊值問題的

數值解法367

11 1引言367

11 2打靶法367

11 3有限差分方法372

11 4應用實例與MATLAB375

11 4 1MATLAB關于常微分方程邊值

問題數值解法的命令375

11 4 2應用實例375

小結379

習題11380

數值實驗11381

部分習題參考答案383

參考文獻396