從代數(shù)基本定理到超越數(shù)：一段經(jīng)典數(shù)學(xué)的奇幻之旅

第一部分 從求解多項式方程到代數(shù)基本定理
第一章 從自然數(shù)系到有理數(shù)系
§1.1 自然數(shù)系與一元一次方程的求解
§1.2 有理數(shù)與循環(huán)小數(shù)
§1.3 可公度線段
第二章 無理數(shù)與實數(shù)系
§2.1 無理數(shù)和不可公度線段
§2.2 黃金分割與黃金三角形
§2.3 黃金矩形
§2.4 兔子繁殖與黃金分割
§2.5 斐波那契數(shù)列的通項公式——比奈公式
第三章 復(fù)數(shù)系與代數(shù)基本定理
§3.1 二元數(shù)與復(fù)數(shù)系
§3.2 數(shù)域的概念
§3.3 代數(shù)基本定理
§3.4 復(fù)數(shù)域是代數(shù)閉域
第二部分 代數(shù)基本定理的證明
第四章 代數(shù)基本定理的定性說明
§4.1 復(fù)平面中的一些圓周曲線
§4.2 多項式函數(shù)及其纏繞數(shù)
§4.3 纏繞數(shù)的一個重要性質(zhì)
§4.4 r極大與極小時的兩個極端情況
第五章 業(yè)余數(shù)學(xué)家阿爾崗的證明
§5.1 考慮|p(z)|的最小值
§5.2 計算|p(z0+ζ)|等
§5.3 對qζν(1+ζξ)的討論
§5.4 反證法： 證明了代數(shù)基本定理
第六章 美國數(shù)學(xué)家安凱奈的證明
§6.1 復(fù)變函數(shù)論中的解析函數(shù)
§6.2 柯西-黎曼定理
§6.3 連續(xù)復(fù)函數(shù)的線積分
§6.4 微積分學(xué)中的格林定理的回顧
§6.5 柯西積分定理
§6.6 安凱奈的思路
§6.7 (z)的兩個特殊線積分
§6.8 兩個不相等的積分
第三部分 圓周率π和自然對數(shù)底e,及其無理性
第七章 圓周率π及其無理性
§7.1 劉徽割圓與圓周率π
§7.2 π是一個無理數(shù)
第八章 自然對數(shù)的底e及其無理性
§8.1 自然對數(shù)的底e與一些重要的公式
§8.2 一些重要的應(yīng)用
§8.3 歐拉數(shù)e是一個無理數(shù)
第四部分 有關(guān)多項式與擴域的一些理論
第九章 有關(guān)多項式的一些理論
§9.1 數(shù)系S上的多項式的次數(shù)與根
§9.2 數(shù)系S上的可約多項式與不可約多項式
§9.3 多項式的可除性質(zhì)
§9.4 多項式的因式、公因式與最大公因式
§9.5 多項式的互素與貝祖等式
§9.6 貝祖等式的一些應(yīng)用以及多項式因式分解定理
§9.7 高斯引理
§9.8 整系數(shù)多項式的可約性性質(zhì)
§9.9 艾森斯坦不可約判據(jù)
§9.10 多元多項式與對稱多項式
§9.11 初等對稱多項式
§9.12 對稱多項式的基本定理
§9.13 由對稱多項式基本定理得出的一個有重要應(yīng)用的定理
§9.14 關(guān)于多項式根的兩個重要的推論
第十章 有關(guān)擴域的一些理論
§10.1 數(shù)域的另一個例子
§10.2 擴域的概念
§10.3 要深入研究的一些課題
§10.4 域上的代數(shù)元以及代數(shù)數(shù)
§10.5 代數(shù)元的最小多項式
§10.6 互素的多項式與根
§10.7 代數(shù)元的次數(shù)以及代數(shù)元的共軛元
§10.8 代數(shù)元域
§10.9 單代數(shù)擴域
§10.10 添加有限多個代數(shù)元
§10.11 多次代數(shù)擴域可以用單代數(shù)擴域來實現(xiàn)
第五部分 代數(shù)擴域、有限擴域以及尺規(guī)作圖
第十一章 代數(shù)擴域、有限擴域與代數(shù)元域
§11.1 代數(shù)擴域
§11.2 代數(shù)元集合A成域的域論證明
§11.3 擴域可能有的基
§11.4 有限擴域
§11.5 維數(shù)公式
§11.6 有限擴域的性質(zhì)
§11.7 代數(shù)元域是代數(shù)閉域
第十二章 擴域理論的一個應(yīng)用——尺規(guī)作圖問題
§12.1 尺規(guī)作圖的公理與可作點
§12.2 可作公理的推論
§12.3 可作數(shù)與實可作數(shù)域
§12.4 所有的可作數(shù)構(gòu)成域
§12.5 可作數(shù)擴域
§12.6 可作實數(shù)域中的直線與圓的方程
§12.7 尺規(guī)作圖給出的新可作點
§12.8 尺規(guī)可作數(shù)的域論表示
§12.9 三大古典幾何問題的解決
第六部分 π以及e是超越數(shù)
第十三章 超越數(shù)的存在與劉維爾數(shù)
§13.1 再談代數(shù)元與超越元
§13.2 兩個有趣的例子
§13.3 無窮可數(shù)集合
§13.4 有理數(shù)域Q是可數(shù)的
§13.5 康托爾的對角線法： 實數(shù)域R是不可數(shù)的
§13.6 代數(shù)數(shù)的整數(shù)多項式定義及相應(yīng)的最低次數(shù)的本原多項式
§13.7 代數(shù)數(shù)域是可數(shù)的
§13.8 存在超越數(shù)
§13.9 劉維爾定理
§13.10 劉維爾數(shù)ξ是超越數(shù)
§13.11 超越數(shù)的另一例
第十四章 π以及e是超越數(shù)
§14.1 一次代數(shù)數(shù)的一般形式
§14.2 二次實代數(shù)數(shù)的一般形式
§14.3 e不是二次實代數(shù)數(shù)
§14.4 e是超越數(shù)
§14.5 π是超越數(shù)
§14.6 超越數(shù)的一些基本定理
§14.7 超越擴域、代數(shù)擴域，以及有限擴域
§14.8 尾聲
——希爾伯特第七問題以及蓋爾方德-施奈德定理
附錄
附錄1 比奈公式以及常系數(shù)線性遞推數(shù)列
附錄2 線性方程組求解簡述
參考文獻