微分幾何（修訂版）

第一章 三維歐氏空問(wèn)的曲線論
1 曲線曲線的切向量弧長(zhǎng)
2 主法向量與從法向量曲率與撓率
3 Frenet標(biāo)架Frenet公式
4 曲線在一點(diǎn)鄰近的性質(zhì)
5 曲線論基本定理
6 平面曲線的一些整體性質(zhì)
6．1 關(guān)于閉曲線的一些概念
6．2 切線的旋轉(zhuǎn)指標(biāo)定理
*6．3 凸曲線
*6．4 等周不等式
*6．5 四頂點(diǎn)定理
*6．6 Cauchy-Crofton公式
7 空間曲線的整體性質(zhì)
*7．1 球面的Cruflon公式
*7．2 Fenchel定理
*7．3 Fary-Milnor定理
第二章 三維歐氏空間中曲面的局部幾何性質(zhì)
1 曲面的表示切向量法向量
1．1 曲面的定義
1．2 切向量切平面
1．3 法向量
1．4 曲面的參數(shù)變換
1．5 例
1．6 單參數(shù)曲面族平面族的包絡(luò)
面可展曲面
2 曲面的第一、第二基本形式
2．1 曲面的第一基本形式
2．2 曲面的正交參數(shù)曲線網(wǎng)
2．3 等距對(duì)應(yīng)曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)
2．4 共形對(duì)應(yīng)
2．5 曲面的第二基本形式
3 曲面上的活動(dòng)標(biāo)架曲面的
基本公式
3．1 省略和式記號(hào)的約定
3．2 曲面上的活動(dòng)標(biāo)架
曲面的基本公式
3．3 Weingarten變換Ⅳ
3．4 曲面的共軛方向漸近方向
漸近曲線
4 曲面上的曲率
4．1 曲面上曲線的法曲率
4．2 主方向主曲率
4．3 Dupin標(biāo)線
4．4 曲率線
4．5 主曲率及曲率線的計(jì)算
總曲率平均曲率
4．6 曲率線網(wǎng)
4．7 曲面在一點(diǎn)鄰近處的形狀
4．8 Gauss映射及第三基本形式
4．9 總曲率、平均曲率滿足某些性質(zhì)的曲面
5 曲面的基本方程及曲面論的基本定理
5．1 曲面的基本方程
5．2 曲面論的基本定理
6 測(cè)地曲率測(cè)地線
6．1 測(cè)地曲率向量測(cè)地曲率
6．2 計(jì)算測(cè)地曲率的Liouville公式
6．3 測(cè)地線
6．4 法坐標(biāo)系測(cè)地極坐標(biāo)系測(cè)地坐標(biāo)系
6．5 應(yīng)用
6．6 測(cè)地?fù)下?br />6．7 Gauss-Bonnet公式
7 曲面上向量的平行移動(dòng)
7．1 向量沿曲面上一條曲線的平行移動(dòng)絕對(duì)微分
7．2 絕對(duì)微分的運(yùn)算性質(zhì)
7．3 自平行曲線
7．4 向量繞閉曲線一周的平行移動(dòng)總曲率的又一種表示
7．5 沿曲面上曲線的平行移動(dòng)與歐氏平面中平行移動(dòng)的關(guān)系
第三章 曲面的整體性質(zhì)初步
1 曲面的整體表述
2 曲面上的Gauss-Bonnet公式
3 向量場(chǎng)
4 球面的剛性
*5 極小曲面
*6 完備曲面Hnpf．Rinow定理
*7 微分流形黎曼流形
附錄1 向量函數(shù)及其運(yùn)算
1 向量代數(shù)
2 向量函數(shù)極限
3 向量函數(shù)的微分
4 向量函數(shù)的積分
附錄2 歐氏空間的點(diǎn)集拓?fù)?br />1 n維歐氏空間開(kāi)集閉集
2 連續(xù)映射
3 連通集
4 緊致集
5 拓?fù)淇臻g
5．1 拓?fù)淇臻g的定義
5．2 拓?fù)淇臻g中的閉集
5．3 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的等價(jià)性
5．4 第二可列基公理
5．5 Hausdorff空間
5．6 連續(xù)映射同胚映射
5．7 向量空間的拓?fù)?br />附錄3 微分幾何的發(fā)展簡(jiǎn)史
索引