簡明線性代數教程（第三版）

目錄
前言
第1章 行列式 1
1.1 二階與三階行列式 1
1.1.1 二元線性方程組與二階行列式 1
1.1.2 三階行列式 2
1.2 全排列及逆序數 4
1.3 n階行列式的定義 5
1.4 行列式的性質 8
1.5 行列式展開定理 12
1.6 克拉默法則 17
本章小結 20
習題1 21
第2章 矩陣及其運算 24
2.1 矩陣 24
2.1.1 矩陣的概念 24
2.1.2 特殊矩陣 24
2.2 矩陣的運算 25
2.2.1 矩陣的加法 25
2.2.2 矩陣的數乘 26
2.2.3 矩陣的乘法 26
2.2.4 矩陣的冪 29
2.2.5 矩陣的轉置 30
2.2.6 方陣的行列式 31
2.3 矩陣的逆 31
2.3.1 逆矩陣的概念 32
2.3.2 矩陣可逆的條件 32
2.3.3 逆矩陣的性質 33
2.3.4 求逆矩陣的方法 34
2.3.5 逆矩陣的應用 35
2.4 矩陣的分塊 35
2.4.1 分塊矩陣的加法 36
2.4.2 分塊矩陣的相乘 36
2.4.3 分塊矩陣的乘法 36
2.4.4 分塊矩陣的轉置 37
2.4.5 分塊對角陣 37
2.5 矩陣的初等變換與初等矩陣 39
2.5.1 矩陣的初等變換 39
2.5.2 初等矩陣的概念及性質 42
2.5.3 初等矩陣的作用 44
2.5.4 初等矩陣的應用 45
2.5.5 矩陣方程的求解 47
2.6 矩陣的秩 49
2.6.1 矩陣秩的概念 49
2.6.2 矩陣秩的求法 49
2.6.3 矩陣秩的性質 52
2.7 線性方程組的解 52
2.7.1 線性方程組的相關概念 52
2.7.2 齊次線性方程組有解的條件 53
2.7.3 非齊次線性方程組有解的條件 54
本章小結 58
習題2 59
第3章 向量組的線性相關性 63
3.1 n維向量的概念 63
3.1.1 n維向量 63
3.1.2 向量組 64
3.2 向量組的線性組合 65
3.3 向量組的線性相關性 68
3.3.1 線性相關性的概念 69
3.3.2 線性相關性的判定 69
3.3.3 向量組線性相關性的有關理論 71
3.4 向量組的秩 72
3.4.1 極大線性無關向量組 72
3.4.2 矩陣的秩與向量組秩的關系 73
3.4.3 向量組秩的一些簡單結論 74
本章小結 76
習題3 77
第4章 線性方程組解的結構 80
4.1 齊次線性方程組解的結構 80
4.2 非齊次線性方程組解的結構 86
*4.3 向量空間 88
4.3.1 向量空間的概念 88
4.3.2 解空間及解向量在基中的坐標 90
本章小結 92
習題4 93
第5章 相似矩陣及二次型 96
5.1 預備知識 96
5.1.1 向量的內積 96
5.1.2 向量的長度及夾角 96
5.1.3 正交向量組 97
5.1.4 正交矩陣與正交變換 99
5.2 方陣的特征值與特征向量 100
5.2.1 特征值與特征向量的概念 100
5.2.2 特征值與特征向量的求法 101
5.2.3 特征值與特征向量的性質 102
5.3 相似矩陣 103
5.3.1 相似矩陣的概念 104
5.3.2 相似矩陣的性質 104
5.3.3 矩陣相似對角化的條件 104
5.4 實對稱矩陣的對角化 107
5.4.1 實對稱矩陣的性質 107
5.4.2 實對稱矩陣的對角化 108
5.5 二次型及其標準形 111
5.5.1 二次型及其矩陣形式 111
5.5.2 線性變化下的二次型 112
5.5.3 矩陣的合同 113
5.6 化二次型為標準形 113
5.6.1 正交變換法 114
5.6.2 配方法 117
5.7 正定二次型 118
5.7.1 慣性定理 118
5.7.2 正定二次型的概念 119
5.7.3 正定二次型的判定 119
本章小結 120
習題5 122
第6章 線性空間與線性變換 126
6.1 線性空間的定義與性質 126
6.1.1 線性空間的概念 126
6.1.2 線性空間的性質 128
6.2 子空間 129
6.3 維數 基與坐標 130
6.4 基變換與坐標變換 132
6.5 線性變換 135
6.5.1 線性變換的概念 135
6.5.2 線性變換的性質 136
6.6 線性變換的矩陣 136
6.6.1 線性變換關于基的矩陣 136
6.6.2 同一個線性變換在不同基下的矩陣的關系 139
本章小結 140
習題6 143
附錄 線性代數實驗及應用 144
附錄1 MATLAB在矩陣和行列式中的應用 144
一、實驗目的 144
二、實驗內容 145
三、實驗舉例：人口流動問題 148
附錄2 MATLAB在向量組中的應用 149
一、實驗目的 149
二、實驗內容 149
附錄3 MATLAB在線性方程組中的應用 151
一、實驗目的 151
二、實驗中常用命令 151
三、設計性實驗：劍橋食譜問題 153
附錄4 MATLAB在相似矩陣及二次型中的應用 154
一、實驗目的 154
二、實驗中常用的MATLAB命令 154
三、設計性實驗：三元二次方程的三維圖形判定 156
本章小結 157
附錄習題 158
習題答案 160
參考文獻 208