薛定宇教授大講堂：MATLAB微分方程求解（卷Ⅴ）

第 1章微分方程簡介 1
1.1微分方程建模簡介 1
1.1.1電路的建模 1
1.1.2力學(xué)問題的建模 3
1.1.3社會系統(tǒng)的建模 3
1.2微分方程發(fā)展簡史 5
1.3本書主要內(nèi)容 8本
章習(xí)題 9
第 2章常微分方程的解析解 10
2.1一階微分方程的解析解 10
2.1.1可由簡單積分求解的微分方程 11
2.1.2齊次線性方程 11
2.1.3非齊次線性方程 12
2.1.4可分離變量的非線性微分方程 13
2.2特殊函數(shù)與二階線性微分方程 14
2.2.1 Gamma函數(shù) 15
2.2.2超幾何函數(shù) 16
2.2.3 Bessel微分方程 17
2.2.4 Legendre微分方程與 Legendre函數(shù) 19
2.2.5 Airy函數(shù) 20
2.3常系數(shù)線性微分方程的求解 21
2.3.1線性常系數(shù)微分方程解析解的數(shù)學(xué)描述 21
2.3.2基于 Laplace變換的求解方法 22
2.3.3非齊次微分方程的求解 24
2.3.4非零初值的微分方程求解 25
2.4一般微分方程的解析解 27
2.4.1簡單微分方程的解析解 27
2.4.2常系數(shù)高階線性微分方程的解析解 29
2.4.3線性時變微分方程的解析解 31
2.4.4線性時變微分方程組的求解 32
2.4.5邊值問題的計算機求解 33
2.5線性矩陣微分方程的求解 34
2.5.1線性狀態(tài)空間方程的解析解 35
2.5.2狀態(tài)方程的直接求解 36
2.5.3 Sylvester微分方程的求解 37
2.5.4基于 Kronecker乘積的 Sylvester微分方程直接求解 38
2.6特殊非線性微分方程的解析解 39
2.6.1可解的非線性微分方程 39
2.6.2解析解不存在的非線性微分方程 41
本章習(xí)題 41
第 3章微分方程的初值問題 45
3.1一階顯式微分方程組的初值問題 45
3.1.1初值問題的數(shù)學(xué)形式 45
3.1.2初值問題解的存在性與唯一性 46
3.2定步長數(shù)值算法與實現(xiàn) 46
3.2.1 Euler算法 47
3.2.2二階 Runge–Kutta算法 50
3.2.3四階 Runge–Kutta算法 51
3.2.4 Gill算法 52
3.2.5 m階 Runge–Kutta算法 53
3.2.6定步長多步算法與實現(xiàn) 56
3.3變步長數(shù)值算法與實現(xiàn) 58
3.3.1提高求解效率的措施 58
3.3.2變步長方法簡介 59
3.3.3四級五階 Runge–Kutta變步長算法 60
3.3.4基于 MATLAB的微分方程求解函數(shù) 61

3.3.5基于 MATLAB的帶有附加參數(shù)的微分方程求解 65
3.3.6避免附加參數(shù)的方法 67
3.4微分方程數(shù)值解的驗證 68
3.4.1計算結(jié)果的驗證 68
3.4.2中間計算結(jié)果的動態(tài)處理 70
3.4.3更高精度的數(shù)值計算函數(shù) 71
3.4.4計算步長與定步長顯示 72
3.4.5高階非線性微分方程的求解實例 74
本章習(xí)題 75
第 4章微分方程的標(biāo)準(zhǔn)型變換 80
4.1單個高階常微分方程變換方法 80
4.1.1高階顯式微分方程的變換 81
4.1.2時變微分方程的求解方法 84
4.1.3微分方程的奇點 85
4.1.4含有常數(shù)參數(shù)的狀態(tài)增廣方法 87
4.2復(fù)雜高階微分方程的變換與求解 88
4.2.1含有最高階導(dǎo)數(shù)二次方的微分方程 88

4.2.2含有最高階導(dǎo)數(shù)奇數(shù)次方的微分方程 90
4.2.3含有最高階導(dǎo)數(shù)的非線性運算 91
4.3高階常微分方程組的變換 92
4.3.1簡單的顯式微分方程組 92
4.3.2定步長算法的局限性 98
4.3.3簡單的隱式微分方程組 100
4.3.4更復(fù)雜的非線性方程組 102
4.4矩陣型微分方程的變換 104
4.4.1矩陣型微分方程的變換與求解 104
4.4.2 Sylvester微分方程 106
4.4.3 Riccati微分方程 107
4.5一類 Volterra積分微分方程的變換 109
本章習(xí)題 112
第 5章特殊微分方程 116
5.1剛性微分方程 116
5.1.1線性微分方程的時間常數(shù) 117
5.1.2剛性現(xiàn)象 117
5.1.3剛性微分方程的直接求解 119
5.1.4微分方程剛性的檢測 122
5.1.5剛性微分方程的定步長求解 126
5.2隱式微分方程 127
5.2.1隱式微分方程的一般數(shù)學(xué)描述 127
5.2.2隱式微分方程相容初值的變換 129
5.2.3隱式微分方程的直接求解 131
5.2.4多解隱式微分方程的求解 134
5.3微分代數(shù)方程 135
5.3.1微分代數(shù)方程的一般形式 135
5.3.2微分代數(shù)方程的指數(shù)類型 136
5.3.3半顯式微分代數(shù)方程的直接求解 136

5.3.4微分代數(shù)方程直接求解方法的局限性 139
5.3.5一般微分代數(shù)方程的隱式微分方程求解 140
5.3.6微分代數(shù)方程的指數(shù)降型方法 145
5.4切換微分方程 147
5.4.1線性切換微分方程 147
5.4.2過零點檢測與事件設(shè)置 148
5.4.3非線性切換微分方程 151
5.4.4不連續(xù)微分方程 152
5.5線性隨機微分方程 154
5.5.1線性隨機微分方程的傳遞函數(shù) 154
5.5.2連續(xù)隨機系統(tǒng)仿真的誤區(qū) 155
5.5.3隨機線性系統(tǒng)的離散化 156
本章習(xí)題 160
第 6章延遲微分方程 164
6.1帶有延遲常數(shù)的延遲微分方程數(shù)值解 164
6.1.1從普通微分方程到延遲微分方程 164
6.1.2零歷史函數(shù)的延遲微分方程求解 166
6.1.3非零歷史函數(shù)的延遲微分方程 170
6.2變延遲的微分方程 172
6.2.1變延遲的微分方程模型 172
6.2.2基于時間延遲的延遲微分方程 173
6.2.3基于狀態(tài)延遲的微分方程 176
6.2.4帶有廣義延遲的延遲微分方程 177
6.3中立型延遲微分方程的求解 179
6.3.1中立型延遲微分方程 179
6.3.2變延遲中立型微分方程 182
6.4帶有延遲的 Volterra積分微分方程 183
本章習(xí)題 184
第 7章微分方程的性質(zhì)與行為 187
7.1微分方程的穩(wěn)定性 187
7.1.1常系數(shù)線性微分方程的穩(wěn)定性 187
7.1.2 Routh–Hurwitz穩(wěn)定性判據(jù) 189

7.1.3 Lyapunov函數(shù)與 Lyapunov穩(wěn)定性 192
7.1.4時變微分方程的自治化 193
7.1.5一般非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定 193

7.1.6基于數(shù)值仿真的復(fù)雜系統(tǒng)穩(wěn)定性判定 195
7.2微分方程的特殊行為 197
7.2.1極限環(huán) 198
7.2.2周期解 201
7.2.3混沌與吸引子 204
7.2.4 Poincaré映射 208
7.3微分方程的線性化近似 210
7.3.1平衡點 210
7.3.2非線性微分方程的線性化 213
7.3.3平衡點的性態(tài) 216
7.4微分方程的分岔 217
本章習(xí)題 218
第 8章分?jǐn)?shù)階微分方程 219
8.1分?jǐn)?shù)階微積分的定義與數(shù)值計算 220
8.1.1分?jǐn)?shù)階微積分的定義 220

8.1.2不同分?jǐn)?shù)階微積分定義的關(guān)系與性質(zhì) 221
8.1.3 Grünwald–Letnikov定義的數(shù)值計算 222
8.1.4 Caputo微積分定義的數(shù)值計算 223
8.2同元次線性分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解 224
8.2.1 Mittag-Leffler函數(shù) 224
8.2.2同元次線性分?jǐn)?shù)階微分方程 225
8.2.3一個重要的 Laplace變換公式 226
8.2.4基于部分分式展開的解析解方法 227
8.3常系數(shù)線性分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值求解 231
8.3.1線性方程的閉式解法 231

8.3.2 Riemann–Liouville微分方程 233

8.3.3 Caputo微分方程 235
8.3.4等效初值的計算 237
8.3.5微分方程的高精度算法 239
8.4非線性分?jǐn)?shù)階微分方程的求解 242
8.4.1預(yù)估方程 243
8.4.2校正求解方法 246
8.4.3隱式 Caputo微分方程的高精度矩陣算法 247
本章習(xí)題 249
第 9章常微分方程的框圖求解 251
9.1 Simulink必備知識 252
9.1.1 Simulink簡介 252
9.1.2 Simulink相關(guān)模塊 252
9.2微分方程的框圖建模思想 254
9.2.1積分器鏈與關(guān)鍵信號生成 254
9.2.2微分方程的框圖描述方法 255
9.2.3微分方程的求解 257
9.2.4算法與參數(shù)設(shè)定 258
9.3微分方程建模舉例 260
9.3.1一般微分方程組 260
9.3.2微分代數(shù)方程 263
9.3.3切換微分方程 265
9.3.4不連續(xù)微分方程 267
9.3.5延遲微分方程 267
9.3.6非零歷史函數(shù)的延遲微分方程 269
9.3.7隨機微分方程 271
9.4分?jǐn)?shù)階微分方程的 Simulink求解 272
9.4.1分?jǐn)?shù)階算子的模塊逼近 273

9.4.2 Riemann–Liouville分?jǐn)?shù)階微分方程的建模與求解 274
9.4.3 Caputo導(dǎo)數(shù)的模塊計算 276
9.4.4 Caputo分?jǐn)?shù)階微分方程的建模與求解 277
9.4.5分?jǐn)?shù)階延遲微分方程 279
本章習(xí)題 280
第 10章微分方程的邊值問題 283
10.1微分方程標(biāo)準(zhǔn)邊值問題 283
10.2二階微分方程兩點邊值問題的打靶求解 284
10.2.1線性時變方程邊值問題的打靶算法 285
10.2.2線性微分方程的有限差分算法 287
10.2.3非線性方程邊值問題的打靶算法 289
10.3高階微分方程兩點邊值問題 293
10.3.1 MATLAB的直接求解函數(shù) 293
10.3.2簡單邊值問題的求解 294
10.3.3復(fù)雜邊值條件的描述與求解 298
10.3.4帶有待定參數(shù)的邊值問題 298
10.3.5半無窮區(qū)間的邊值問題 301
10.3.6帶有浮動邊值的多解微分方程 302
10.3.7積分微分方程的邊值問題 303

10.4基于最優(yōu)化技術(shù)的微分方程邊值問題求解 304
10.4.1簡單邊值問題的最優(yōu)化求解 304
10.4.2隱式微分方程的邊值問題 305
10.4.3延遲微分方程的邊值問題 308
10.4.4多點已知值的微分方程問題 309
10.4.5浮動邊值問題的重新求解 311
10.4.6基于框圖的邊值問題求解方法 312
10.4.7分?jǐn)?shù)階微分方程的邊值問題 313
本章習(xí)題 314
第 11章偏微分方程入門 316
11.1擴散方程的數(shù)值求解 317
11.1.1一維擴散方程的數(shù)學(xué)形式與解析解 317
11.1.2擴散方程的離散化方法 318
11.1.3非齊次擴散方程 321
11.1.4高維擴散方程的數(shù)學(xué)形式 323
11.2幾種特殊形式的偏微分方程 323
11.2.1偏微分方程的分類 323
11.2.2特征值型偏微分方程 325
11.2.3邊界條件的分類 325
11.3典型二維偏微分方程求解界面 326
11.3.1偏微分方程求解程序概述 326
11.3.2偏微分方程幾何區(qū)域繪制 327
11.3.3偏微分方程邊界條件描述 328
11.3.4偏微分方程求解舉例 329
11.3.5解的其他顯示方法 330
11.3.6函數(shù)參數(shù)的偏微分方程求解 332
11.4一般偏微分方程的求解 333
11.4.1創(chuàng)建空白的偏微分方程對象模型 333
11.4.2幾何區(qū)域的語句描述 333
11.4.3邊界條件與初始條件描述 336
11.4.4偏微分方程的描述 337
11.4.5偏微分方程的數(shù)值求解 338
本章習(xí)題 343
參考文獻 345
MATLAB函數(shù)名索引 350
術(shù)語索引 354