高維系統(tǒng)穩(wěn)定性的幾何判據(jù)

前言

第1章 高維系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題 1

1.1 種群與傳染病動(dòng)力學(xué)中的微分方程模型 1

1.2 穩(wěn)定性的概念 9

1.3 問(wèn)題的闡述 20

附錄 22

第2章 預(yù)備知識(shí) 24

2.1 向量與矩陣范數(shù) 24

2.1.1 賦范線(xiàn)性空間 24

2.1.2 誘導(dǎo)范數(shù) 27

2.1.3 矩陣的Lozinskii測(cè)度 30

2.2 函數(shù)的半連續(xù)性 31

2.3 Dini導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性 38

2.3.1 Dini導(dǎo)數(shù)的概念 38

2.3.2 連續(xù)單調(diào)函數(shù)與Dini導(dǎo)數(shù) 41

2.3.3 半連續(xù)單調(diào)函數(shù)與Dini導(dǎo)數(shù) 45

2.4 Gronwall-Bellman不等式 47

2.4.1 純量函數(shù)型 47

2.4.2 向量函數(shù)型 51

2.5 外代數(shù) 58

2.5.1 對(duì)偶空間 58

2.5.2 多重線(xiàn)性函數(shù) 60

2.5.3 張量積 63

2.5.4 交錯(cuò)張量與k-形式 67

2.6 微分形式 77

2.6.1 切空間與余切空間 77

2.6.2 微分形式與外微分(導(dǎo)數(shù))82

2.6.3 Lie導(dǎo)數(shù) 90

2.6.4 k-形式上的積分 93

2.6.5 外微分的應(yīng)用 95

2.7 復(fù)合矩陣及其性質(zhì) 97

第3章 線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性 103

3.1 解的結(jié)構(gòu) 103

3.2 線(xiàn)性系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念 107

3.3 Lappo-Danilevskii系統(tǒng)的穩(wěn)定性 113

3.4 擾動(dòng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 116

3.5 解的指數(shù)估計(jì) 121

3.6 線(xiàn)性周期系數(shù)系統(tǒng) 136

第4章 Lyapunov-LaSalle穩(wěn)定性定理 146

4.1 線(xiàn)性化方法——Lyapunov間接法 146

4.2 Lyapunov穩(wěn)定性定理 150

4.3 LaSalle不變性原理 161

4.3.1 極限集及其性質(zhì) 161

4.3.2 半動(dòng)力系統(tǒng)的持久生存 166

4.3.3 Krasovskii-Barbasin定理 186

4.3.4 LaSalle不變性原理 190

4.4 經(jīng)典Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造 197

4.4.1 常系數(shù)線(xiàn)性系統(tǒng)的Barbasin分式 197

4.4.2 二次型方法的推廣 200

4.4.3 變梯度法 201

第5章 軌道漸近穩(wěn)定與全局漸近穩(wěn)定 206

5.1 軌道穩(wěn)定性概念 206

5.2 基于Poincare-Bendixson性質(zhì)的全局穩(wěn)定性判定 221

5.3 例題分析 223

第6章 Bendixson準(zhǔn)則與全局穩(wěn)定性 228

6.1 Bendixson準(zhǔn)則 229

6.1.1 平面系統(tǒng)的Bendixson-Dulac準(zhǔn)則 229

6.1.2 Butler-Schmid-Waltman判據(jù) 232

6.1.3 Busenberg Driessche準(zhǔn)則 235

6.1.4 Li-Muldowney準(zhǔn)則 241

6.1.5 Leonov-Boichenko準(zhǔn)則 249

6.1.6 Bendixson準(zhǔn)則的一些推廣 256

6.2 全局漸近穩(wěn)定性的一般原理 262

6.3 全局漸近穩(wěn)定性的幾何準(zhǔn)則 263

6.4 不變流形系統(tǒng)的穩(wěn)定性 271

第7章 Gompterz模型的穩(wěn)定性問(wèn)題 278

7.1 Gompterz模型的建立 278

7.2 Gompterz三維競(jìng)爭(zhēng)模型的分類(lèi) 280

7.3 Gompterz模型的全局穩(wěn)定性 281

7.4 Jiang-Niu-Zhu的公開(kāi)問(wèn)題的解答 285

第8章 傳染病模型的全局穩(wěn)定性 289

8.1 Lyapunov函數(shù)與全局穩(wěn)定性的判定 290

8.1.1 SIR傳染病模型的全局穩(wěn)定性 290

8.1.2 SIRS傳染病模型的全局穩(wěn)定性 291

8.1.3 SEIR傳染病模型的全局穩(wěn)定性 293

8.2 Li-Muldowney幾何判據(jù)與全局穩(wěn)定性 295

8.2.1 具有常數(shù)遷入的SEIRS模型 295

8.2.2 總?cè)丝谧儎?dòng)的SEIRS模型 301

8.3 一些公開(kāi)問(wèn)題的解答 303

8.3.1 Liu-Hethcote-Levin猜想 303

8.3.2 Li-Graef-Wang-Karsai問(wèn)題 304

8.4 具短暫免疫與總?cè)丝谧儎?dòng)的SEIRS模型 308

第9章 Lotka-Volterra模型的全局穩(wěn)定性 323

9.1 單調(diào)性原理與全局穩(wěn)定性的判定 323

9.1.1 合作系統(tǒng)的單調(diào)性定理 323

9.1.2 K-單調(diào)系統(tǒng)的單調(diào)性定理 327

9.1.3 擬單調(diào)系統(tǒng)的單調(diào)性定理 340

9.1.4 離散擴(kuò)散Lotka-Volterra系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性 352

附錄 357

9.2 Lyapunov函數(shù)的構(gòu)造與全局穩(wěn)定性的判定 360

9.2.1 Volterra的Lyapunov函數(shù) 360

9.2.2 Chenciner的Lyapunov函數(shù) 363

9.2.3 MacArthur的Lyapunov函數(shù) 364

9.2.4 對(duì)角占優(yōu)矩陣 366

9.3 Li-Muldowney幾何方法與全局穩(wěn)定性的判定 369

9.4 一些公開(kāi)問(wèn)題的解答 374

9.4.1 Wolkowicz問(wèn)題 374

9.4.2 Zeemans猜想 375

9.4.3 Driessche-Zeeman猜想 375

9.4.4 Hofbauer-Sigmund猜想 376

9.4.5 Li-Wang猜想 377

參考文獻(xiàn) 379