大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題精講（第3版）

目錄


第1部分要點(diǎn)、例題與習(xí)題


第1章一元函數(shù)的極限與連續(xù)

1.1極限

1.1.1內(nèi)容要點(diǎn)

1.1.2例題選講

1.1.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
一般數(shù)列的極限
遞推、迭代數(shù)列的極限
數(shù)列的收斂速度
數(shù)列極限的綜合題
函數(shù)極限
 特色題
數(shù)列極限的平均值例2
數(shù)列xn+1=c+xn的極限例3
用比值法和根值法求數(shù)列極限例5
數(shù)列an，n-p趨于零的速度比較例7（1）
lnαx,xβ,eγx趨于無(wú)窮大速度的比較例7（2）
用施托爾茨定理求數(shù)列極限題10
用夾逼準(zhǔn)則求數(shù)列極限題12
數(shù)列 sinnθ 的極限題15
用單調(diào)有界原理求數(shù)列極限題25
方程tanx=x的根所成數(shù)列的
極限題37
交叉迭代的數(shù)列極限題41
空間中4個(gè)點(diǎn)交叉迭代的點(diǎn)列
極限題43
冪指型極限的等價(jià)無(wú)窮小代換題51
用微分中值定理求極限題52
笛卡兒葉形線的漸近線題56


函數(shù) (ax1+ax2+…+axn)/n1/x的
極限題61
x→0+時(shí)函數(shù) xxxx的極限題62
1.2一元函數(shù)的連續(xù)性

1.2.1內(nèi)容要點(diǎn)

1.2.2例題選講

1.2.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
介值定理、零點(diǎn)定理與連續(xù)性
函數(shù)方程與連續(xù)性
連續(xù)函數(shù)的應(yīng)用題
 特色題
2x的函數(shù)方程例1
橢圓的外切正方形例2
奇偶次多項(xiàng)式的實(shí)零點(diǎn)與最值例3
連續(xù)性與不動(dòng)點(diǎn)例4
最大、最小函數(shù)的連續(xù)性題8
地球上的同溫點(diǎn)題14
陳家全的百米世界紀(jì)錄題15
方桌的平穩(wěn)擺放問(wèn)題題17
“一刀二餅”問(wèn)題題19
第2章一元函數(shù)微分學(xué)

2.1導(dǎo)數(shù)、微分中值定理

2.1.1內(nèi)容要點(diǎn)

2.1.2例題選講

2.1.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
求導(dǎo)法

高階導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)
微分中值等式
 特色題
用遞推公式求x=0處arctanx的
高階導(dǎo)數(shù)例3
導(dǎo)函數(shù)的極限定理例5

導(dǎo)函數(shù)的介值定理例7
微分中值等式的一般解法例10
函數(shù)行列式的導(dǎo)數(shù)題14
相關(guān)變化率題16
反函數(shù)的二三階導(dǎo)數(shù)題27




導(dǎo)數(shù)不為零的函數(shù)是單調(diào)函數(shù)題33
導(dǎo)函數(shù)沒(méi)有第一類(lèi)間斷點(diǎn)題34
重根與導(dǎo)函數(shù)題39
其他特色題題2，25（2），31
2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)、極值、凸凹及
泰勒公式

2.2.1內(nèi)容要點(diǎn)

2.2.2例題選講

2.2.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
泰勒公式
泰勒公式與不等式
函數(shù)的單調(diào)性與不等式
函數(shù)的凹凸性與不等式
函數(shù)的極值與最值
 特色題

函數(shù)展開(kāi)為麥克勞林公式的常用
方法例1
麥克勞林公式與等價(jià)無(wú)窮小例2
泰勒公式與不等式例3，4
極值的高階導(dǎo)數(shù)判別法例8
關(guān)于嚴(yán)格凹（凸）不等式例10
從低階到高階排列的4個(gè)無(wú)窮小題7
若爾當(dāng)不等式 2θπ≤sinθ≤θ題24
反函數(shù)的凹凸性題29
平均值不等式題35
柯西不等式題36
凹凸函數(shù)與最值題44
數(shù)列 {nn}的最大項(xiàng)題46
函數(shù)∑ni=1|x－ai|的最小值題47
伯努利不等式(1+x)α≥1+αx題49
其他特色題
題9，26，27，28，32，37，39，54
2.3一元函數(shù)微分學(xué)綜合題
 內(nèi)容分類(lèi)
導(dǎo)數(shù)與函數(shù)方程、恒等式
方程的根與導(dǎo)數(shù)
優(yōu)化問(wèn)題
其他綜合題
 特色題
f(x)=tanx的函數(shù)方程題4
方程2x=x2+1有3個(gè)不同的實(shí)根
題17
多項(xiàng)式［(x2－1)n］(n)的實(shí)零點(diǎn)分布
題20
由圖形判斷x3－3x+p=0的根題26
公路上的選址問(wèn)題與重心法題30
函數(shù)1+x+…+xn/n!的實(shí)零點(diǎn)題38
e是無(wú)理數(shù)題43
誤差悖論與泰勒公式題45
與arctanx的高階導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題題47
數(shù)列{nsin(2πen!)}的極限題50

最大熵原理題55

其他特色題
題1，10，14，15，24，42，49，57

第3章不定積分與定積分

3.1不定積分

3.1.1內(nèi)容要點(diǎn)

3.1.2例題選講

3.1.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
有理函數(shù)的積分
三角函數(shù)有理式的積分
無(wú)理函數(shù)的積分
冪三指函數(shù)的積分
綜合題
 特色題
有理函數(shù)積分的5個(gè)常見(jiàn)類(lèi)型例1
三角函數(shù)有理式積分的常用換元法例2
函數(shù)系{Pn(x)eλx}對(duì)原函數(shù)的封
閉性例8
非常規(guī)分解的有理函數(shù)的積分題2
∫tannxdx與∫sinnxdx的遞推公式題5
∫cosmxsinnxdx的遞推公式題7
用倒代換計(jì)算的積分題10
∫eaxcosbxdx和∫eaxsinbxdx的積分
題13
函數(shù)系{Pn(x)eaxcosbx+Qn(x)eaxsinbx}對(duì)原函數(shù)的封閉性題15
分段函數(shù)的原函數(shù)題26
3.2定積分及其在幾何與物理中的
應(yīng)用

3.2.1內(nèi)容要點(diǎn)

3.2.2例題選講

3.2.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
定積分與廣義積分的計(jì)算
積分等式及變限積分
定積分在幾何與物理中的應(yīng)用
 特色題
某些定積分的簡(jiǎn)算例2，題1
連接兩點(diǎn)的最短路徑是線段例4
求變項(xiàng)和的極限例5
定積分與微元法例6
圖形繞斜軸的旋轉(zhuǎn)體體積例7，題30
正交函數(shù)系題7,8
柱殼法求旋轉(zhuǎn)體體積題29
橢圓外等距線的長(zhǎng)度題38
惠更斯擺的等時(shí)性題44
旋輪線的等時(shí)性題45
其他特色題例3，題2，15，17，19，23
3.3定積分綜合題
 內(nèi)容分類(lèi)
積分不等式
積分極限
其他綜合題
 特色題
積分的柯西不等式題3
凹凸形函數(shù)的積分不等式與等式題15
積分極限limn→∞n∫ba［f(x)］ndx題21
積分極限 limx→+∞∫x0|sint|dt/x題29
原函數(shù)的奇偶性和周期性題32
圓周率π是無(wú)理數(shù)題37
最大微分熵題43
其他特色題題2,4，11，12,18，42，48

第4章多元函數(shù)微分學(xué)

4.1函數(shù)與圖形

4.1.1內(nèi)容要點(diǎn)

4.1.2例題選講

4.1.3習(xí)題匯編
 特色題
下料問(wèn)題例1
曲面上的螞蟻尋路問(wèn)題例2，題14
正劈錐的參數(shù)方程例3
默比烏斯帶的參數(shù)方程例5
一般旋轉(zhuǎn)曲面的參數(shù)方程例6
在橢球面上截圓題1
單葉雙曲面是直紋面題6
歐拉四面體問(wèn)題題8
齊次函數(shù)與錐面方程題11
空間圓的參數(shù)方程題15
禮花綻放題21
其他特色題題16，17，18
4.2多元函數(shù)的極限、連續(xù)與微分

4.2.1內(nèi)容要點(diǎn)

4.2.2例題選講

4.2.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
多元函數(shù)的極限與連續(xù)
偏導(dǎo)數(shù)
全微分
高階偏導(dǎo)數(shù)
綜合題
 特色題
x2+y2的方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)例4
已知全微分求原函數(shù)例7，題18
高階偏導(dǎo)數(shù)例10，題20
解偏微分方程例13，題31
極坐標(biāo)下的偏導(dǎo)數(shù)題6
調(diào)和函數(shù)題21,22
一個(gè)二元函數(shù)的恒等式題34
齊次函數(shù)題38
其他特色題例8，題7，37
4.3多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

4.3.1 內(nèi)容要點(diǎn)

4.3.2例題選講

4.3.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用
多元函數(shù)的極值與最值
多元函數(shù)微分學(xué)的綜合題
 特色題
曲線簇的包絡(luò)線例2，題6,7
等距線例3，題9
最遠(yuǎn)（近）點(diǎn)的垂線原理例5，題24,25，26，27
一個(gè)不尋常的切線問(wèn)題題2
橢球面的切線束題10
柱面方程的特征題11
唯一極值非最值的例子題22
點(diǎn)到3條直線的距離之和最小題32
4點(diǎn)共圓時(shí)四邊形的面積最大題36
三角形的費(fèi)馬點(diǎn)題37
其他特色題題15，21，37，38，
第5章多元函數(shù)積分學(xué)

5.1重積分

5.1.1內(nèi)容要點(diǎn)

5.1.2例題選講

5.1.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
重積分的計(jì)算與簡(jiǎn)算
重積分的一般變量代換
含參數(shù)的積分
積分不等式
求面積和體積問(wèn)題
綜合題
 特色題
重積分的對(duì)稱(chēng)奇偶性例1
用重心法計(jì)算的重積分例3
卷積的計(jì)算例7，題21
卷積的運(yùn)算律題20
二次型與橢圓的面積題31
二次型與橢球的體積題33
其他特色題例5,6，題5，11，22，23，26，34，42，44
5.2曲線積分與曲面積分

5.2.1內(nèi)容要點(diǎn)

5.2.2例題選講

5.2.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
曲線積分
對(duì)面積的曲面積分
對(duì)坐標(biāo)的曲面積分
 特色題
用平移變換計(jì)算的一個(gè)曲線積分例1
閉曲線內(nèi)部有奇點(diǎn)的曲線積分例2
調(diào)和函數(shù)的平均值定理例4
靈活選擇的面積微元 例5
用積分坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換計(jì)算曲面積分例6，題22
用輪換對(duì)稱(chēng)計(jì)算的曲面積分例9
湊原函數(shù)計(jì)算曲線積分題10
用對(duì)稱(chēng)奇偶性計(jì)算曲面積分題14
用斯托克斯公式計(jì)算曲線積分
題27，28
其他特色題題6，11，23，30
5.3多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用

5.3.1內(nèi)容要點(diǎn)

5.3.2例題選講

5.3.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
多元積分學(xué)的幾何應(yīng)用
多元積分學(xué)的物理應(yīng)用
 特色題
用微元法解釋對(duì)稱(chēng)奇偶性例1，題1
用曲線積分求柱面的面積例2
星形線的旋轉(zhuǎn)面面積例3
圓錐面鋪平后其上的曲線長(zhǎng)度不變例4
公路隔離欄原理例5
公路占地原理例6
等周問(wèn)題的證明例7
圓柱面鋪平后其上的曲線長(zhǎng)度不變
題2
咕嚕金定理題6

彎管的啟示題8
阿基米德定律的推導(dǎo)題16
旋轉(zhuǎn)液面的形狀題18
雪堆的融化問(wèn)題題19

第6章無(wú)窮級(jí)數(shù)

6.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

6.1.1內(nèi)容要點(diǎn)

6.1.2例題選講

6.1.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
級(jí)數(shù)求和
正項(xiàng)級(jí)數(shù)
一般項(xiàng)級(jí)數(shù)
綜合題
 特色題
拆項(xiàng)相消法求級(jí)數(shù)的和例1，題1
正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性與一般項(xiàng)趨于零的
速度例3
正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性的積分判別法例4
條件收斂級(jí)數(shù)中的正負(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)例5
條件收斂的級(jí)數(shù)不滿足加法交換律
例6
用泰勒公式分解級(jí)數(shù)例7，題29，30
級(jí)數(shù)的斂散性與數(shù)列的斂散性例8
比較法的極限形式不適合非正項(xiàng)
級(jí)數(shù)例9
一個(gè)二重級(jí)數(shù)的斂散性題17
數(shù)列xn=cosxn－1的斂散性題45
斐波那契數(shù)列與黃金分割比題47
無(wú)窮積分的斂散性與級(jí)數(shù)的斂散性題51,52
狄利克雷積分∫+∞0(sinx/x)dx條件收斂題53
壓縮映射原理題58

其他特色題題13，14，31，34，35，48
6.2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

6.2.1內(nèi)容要點(diǎn)

6.2.2例題選講

6.2.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
冪級(jí)數(shù)的收斂域
函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式
冪級(jí)數(shù)求和
一般函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)
綜合題
 特色題
兩個(gè)冪級(jí)數(shù)和的收斂域例1
e－1/x2不能展開(kāi)為麥克勞林級(jí)數(shù)例6
傅里葉級(jí)數(shù)的閉合性公式例8
冪級(jí)數(shù) ∑∞n=1sinnn2xn的收斂域題5
斐波那契數(shù)列的母函數(shù)題14
∑∞n=0sinnx與∑∞n=0cosnx的收斂域題20
用傅里葉級(jí)數(shù)求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和題24
有理函數(shù)的冪級(jí)數(shù)特征題30，31
提不盡的銀行存款題38
傅里葉級(jí)數(shù)的維爾丁格不等式題42
用傅里葉級(jí)數(shù)證明等周問(wèn)題題43
其他特色題題19，25，34，37
第7章微分方程

7.1初等積分法與線性方程

7.1.1內(nèi)容要點(diǎn)

7.1.2例題選講

7.1.3習(xí)題匯編
 內(nèi)容分類(lèi)
用初等積分法解微分方程
線性微分方程
綜合題
 特色題
積分因子例1，題8，9
非齊次線性方程特解的算子解法例5,6，7，題11
二階線性齊次方程的朗斯基行列式例8

由通解求方程形式題1
二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個(gè)新
解法題19
用逆算子求不定積分∫x3e2xdx題20
可化為常微分方程的偏微分方程題21
其他特色題題14,25

7.2微分方程的應(yīng)用題
 內(nèi)容分類(lèi)
微分方程的物理應(yīng)用
微分方程的幾何應(yīng)用
其他應(yīng)用題
 特色題
將地球變?yōu)楹诙搭}1
滑行距離問(wèn)題題2
浮筒的振動(dòng)題3
單擺小幅擺動(dòng)的周期題4
懸鏈線題7
最速降線問(wèn)題題8
馬王堆一號(hào)墓的年代考證題9
攀巖的路徑題10
雨滴流淌的軌跡題11
曳物線題12
追線問(wèn)題題13
橫渡江河的線路題14
擺渡線路題15
4人追逐線路題16
盤(pán)山公路的修筑題17
湖泊污染的治理題18
降雪與掃雪問(wèn)題題21
兇犯的排除題22
給CPU降溫題23
新技術(shù)的推廣題24
第2部分習(xí) 題 解 答


第1章一元函數(shù)的極限與連續(xù)

1.1極限

1.2一元函數(shù)的連續(xù)性

第2章一元函數(shù)微分學(xué)

2.1導(dǎo)數(shù)、微分中值定理

2.2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)、極值、凸凹及
泰勒公式

2.3一元函數(shù)微分學(xué)綜合題

第3章不定積分與定積分

3.1不定積分

3.2定積分及其在幾何與物理中的
應(yīng)用

3.3定積分綜合題

第4章多元函數(shù)微分學(xué)

4.1函數(shù)與圖形

4.2多元函數(shù)的極限、連續(xù)與微分

4.3多元函數(shù)微分學(xué)的應(yīng)用

第5章多元函數(shù)積分學(xué)

5.1重積分

5.2曲線積分與曲面積分

5.3多元函數(shù)積分學(xué)的應(yīng)用

第6章無(wú)窮級(jí)數(shù)

6.1數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

6.2函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

第7章微分方程

7.1初等積分法與線性方程

7.2微分方程的應(yīng)用

附錄A中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱
（非數(shù)學(xué)類(lèi)）
附錄B8~11屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽
（非數(shù)學(xué)類(lèi)）賽題及解答
第8屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽賽題
（非數(shù)學(xué)類(lèi)，2016年）

第9屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽賽題
（非數(shù)學(xué)類(lèi)，2017年）

第10屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽賽題
（非數(shù)學(xué)類(lèi)，2018年）

第11屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽賽題
（非數(shù)學(xué)類(lèi)，2019年）

附錄C7~10屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽
（非數(shù)學(xué)類(lèi)）賽題及解答
第7屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽賽題
（非數(shù)學(xué)類(lèi)，2016年）

第8屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽賽題
（非數(shù)學(xué)類(lèi)，2017年）

第9屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽賽題
（非數(shù)學(xué)類(lèi)，2018年）

第10屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽賽題
（非數(shù)學(xué)類(lèi)，2019年）


附錄D常用公式與記號(hào)

參考文獻(xiàn)