目錄
第1部分要點、例題與習題
第1章一元函數(shù)的極限與連續(xù)
1.1極限
1.1.1內容要點
1.1.2例題選講
1.1.3習題匯編
內容分類
一般數(shù)列的極限
遞推、迭代數(shù)列的極限
數(shù)列的收斂速度
數(shù)列極限的綜合題
函數(shù)極限
特色題
數(shù)列極限的平均值例2
數(shù)列xn+1=c+xn的極限例3
用比值法和根值法求數(shù)列極限例5
數(shù)列an，n-p趨于零的速度比較例7（1）
lnαx,xβ,eγx趨于無窮大速度的比較例7（2）
用施托爾茨定理求數(shù)列極限題10
用夾逼準則求數(shù)列極限題12
數(shù)列 sinnθ 的極限題15
用單調有界原理求數(shù)列極限題25
方程tanx=x的根所成數(shù)列的
極限題37
交叉迭代的數(shù)列極限題41
空間中4個點交叉迭代的點列
極限題43
冪指型極限的等價無窮小代換題51
用微分中值定理求極限題52
笛卡兒葉形線的漸近線題56
函數(shù) (ax1+ax2+…+axn)/n1/x的
極限題61
x→0+時函數(shù) xxxx的極限題62
1.2一元函數(shù)的連續(xù)性
1.2.1內容要點
1.2.2例題選講
1.2.3習題匯編
內容分類
介值定理、零點定理與連續(xù)性
函數(shù)方程與連續(xù)性
連續(xù)函數(shù)的應用題
特色題
2x的函數(shù)方程例1
橢圓的外切正方形例2
奇偶次多項式的實零點與最值例3
連續(xù)性與不動點例4
最大、最小函數(shù)的連續(xù)性題8
地球上的同溫點題14
陳家全的百米世界紀錄題15
方桌的平穩(wěn)擺放問題題17
“一刀二餅”問題題19
第2章一元函數(shù)微分學
2.1導數(shù)、微分中值定理
2.1.1內容要點
2.1.2例題選講
2.1.3習題匯編
內容分類
求導法
高階導數(shù)
導函數(shù)的性質
微分中值等式
特色題
用遞推公式求x=0處arctanx的
高階導數(shù)例3
導函數(shù)的極限定理例5
導函數(shù)的介值定理例7
微分中值等式的一般解法例10
函數(shù)行列式的導數(shù)題14
相關變化率題16
反函數(shù)的二三階導數(shù)題27
導數(shù)不為零的函數(shù)是單調函數(shù)題33
導函數(shù)沒有第一類間斷點題34
重根與導函數(shù)題39
其他特色題題2，25（2），31
2.2導數(shù)與函數(shù)的單調、極值、凸凹及
泰勒公式
2.2.1內容要點
2.2.2例題選講
2.2.3習題匯編
內容分類
泰勒公式
泰勒公式與不等式
函數(shù)的單調性與不等式
函數(shù)的凹凸性與不等式
函數(shù)的極值與最值
特色題
函數(shù)展開為麥克勞林公式的常用
方法例1
麥克勞林公式與等價無窮小例2
泰勒公式與不等式例3，4
極值的高階導數(shù)判別法例8
關于嚴格凹（凸）不等式例10
從低階到高階排列的4個無窮小題7
若爾當不等式 2θπ≤sinθ≤θ題24
反函數(shù)的凹凸性題29
平均值不等式題35
柯西不等式題36
凹凸函數(shù)與最值題44
數(shù)列 {nn}的最大項題46
函數(shù)∑ni=1|x－ai|的最小值題47
伯努利不等式(1+x)α≥1+αx題49
其他特色題
題9，26，27，28，32，37，39，54
2.3一元函數(shù)微分學綜合題
內容分類
導數(shù)與函數(shù)方程、恒等式
方程的根與導數(shù)
優(yōu)化問題
其他綜合題
特色題
f(x)=tanx的函數(shù)方程題4
方程2x=x2+1有3個不同的實根
題17
多項式［(x2－1)n］(n)的實零點分布
題20
由圖形判斷x3－3x+p=0的根題26
公路上的選址問題與重心法題30
函數(shù)1+x+…+xn/n!的實零點題38
e是無理數(shù)題43
誤差悖論與泰勒公式題45
與arctanx的高階導數(shù)有關的問題題47
數(shù)列{nsin(2πen!)}的極限題50
最大熵原理題55
其他特色題
題1，10，14，15，24，42，49，57
第3章不定積分與定積分
3.1不定積分
3.1.1內容要點
3.1.2例題選講
3.1.3習題匯編
內容分類
有理函數(shù)的積分
三角函數(shù)有理式的積分
無理函數(shù)的積分
冪三指函數(shù)的積分
綜合題
特色題
有理函數(shù)積分的5個常見類型例1
三角函數(shù)有理式積分的常用換元法例2
函數(shù)系{Pn(x)eλx}對原函數(shù)的封
閉性例8
非常規(guī)分解的有理函數(shù)的積分題2
∫tannxdx與∫sinnxdx的遞推公式題5
∫cosmxsinnxdx的遞推公式題7
用倒代換計算的積分題10
∫eaxcosbxdx和∫eaxsinbxdx的積分
題13
函數(shù)系{Pn(x)eaxcosbx+Qn(x)eaxsinbx}對原函數(shù)的封閉性題15
分段函數(shù)的原函數(shù)題26
3.2定積分及其在幾何與物理中的
應用
3.2.1內容要點
3.2.2例題選講
3.2.3習題匯編
內容分類
定積分與廣義積分的計算
積分等式及變限積分
定積分在幾何與物理中的應用
特色題
某些定積分的簡算例2，題1
連接兩點的最短路徑是線段例4
求變項和的極限例5
定積分與微元法例6
圖形繞斜軸的旋轉體體積例7，題30
正交函數(shù)系題7,8
柱殼法求旋轉體體積題29
橢圓外等距線的長度題38
惠更斯擺的等時性題44
旋輪線的等時性題45
其他特色題例3，題2，15，17，19，23
3.3定積分綜合題
內容分類
積分不等式
積分極限
其他綜合題
特色題
積分的柯西不等式題3
凹凸形函數(shù)的積分不等式與等式題15
積分極限limn→∞n∫ba［f(x)］ndx題21
積分極限 limx→+∞∫x0|sint|dt/x題29
原函數(shù)的奇偶性和周期性題32
圓周率π是無理數(shù)題37
最大微分熵題43
其他特色題題2,4，11，12,18，42，48
第4章多元函數(shù)微分學
4.1函數(shù)與圖形
4.1.1內容要點
4.1.2例題選講
4.1.3習題匯編
特色題
下料問題例1
曲面上的螞蟻尋路問題例2，題14
正劈錐的參數(shù)方程例3
默比烏斯帶的參數(shù)方程例5
一般旋轉曲面的參數(shù)方程例6
在橢球面上截圓題1
單葉雙曲面是直紋面題6
歐拉四面體問題題8
齊次函數(shù)與錐面方程題11
空間圓的參數(shù)方程題15
禮花綻放題21
其他特色題題16，17，18
4.2多元函數(shù)的極限、連續(xù)與微分
4.2.1內容要點
4.2.2例題選講
4.2.3習題匯編
內容分類
多元函數(shù)的極限與連續(xù)
偏導數(shù)
全微分
高階偏導數(shù)
綜合題
特色題
x2+y2的方向導數(shù)與偏導數(shù)例4
已知全微分求原函數(shù)例7，題18
高階偏導數(shù)例10，題20
解偏微分方程例13，題31
極坐標下的偏導數(shù)題6
調和函數(shù)題21,22
一個二元函數(shù)的恒等式題34
齊次函數(shù)題38
其他特色題例8，題7，37
4.3多元函數(shù)微分學的應用
4.3.1 內容要點
4.3.2例題選講
4.3.3習題匯編
內容分類
多元函數(shù)微分學的幾何應用
多元函數(shù)的極值與最值
多元函數(shù)微分學的綜合題
特色題
曲線簇的包絡線例2，題6,7
等距線例3，題9
最遠（近）點的垂線原理例5，題24,25，26，27
一個不尋常的切線問題題2
橢球面的切線束題10
柱面方程的特征題11
唯一極值非最值的例子題22
點到3條直線的距離之和最小題32
4點共圓時四邊形的面積最大題36
三角形的費馬點題37
其他特色題題15，21，37，38，
第5章多元函數(shù)積分學
5.1重積分
5.1.1內容要點
5.1.2例題選講
5.1.3習題匯編
內容分類
重積分的計算與簡算
重積分的一般變量代換
含參數(shù)的積分
積分不等式
求面積和體積問題
綜合題
特色題
重積分的對稱奇偶性例1
用重心法計算的重積分例3
卷積的計算例7，題21
卷積的運算律題20
二次型與橢圓的面積題31
二次型與橢球的體積題33
其他特色題例5,6，題5，11，22，23，26，34，42，44
5.2曲線積分與曲面積分
5.2.1內容要點
5.2.2例題選講
5.2.3習題匯編
內容分類
曲線積分
對面積的曲面積分
對坐標的曲面積分
特色題
用平移變換計算的一個曲線積分例1
閉曲線內部有奇點的曲線積分例2
調和函數(shù)的平均值定理例4
靈活選擇的面積微元 例5
用積分坐標的轉換計算曲面積分例6，題22
用輪換對稱計算的曲面積分例9
湊原函數(shù)計算曲線積分題10
用對稱奇偶性計算曲面積分題14
用斯托克斯公式計算曲線積分
題27，28
其他特色題題6，11，23，30
5.3多元函數(shù)積分學的應用
5.3.1內容要點
5.3.2例題選講
5.3.3習題匯編
內容分類
多元積分學的幾何應用
多元積分學的物理應用
特色題
用微元法解釋對稱奇偶性例1，題1
用曲線積分求柱面的面積例2
星形線的旋轉面面積例3
圓錐面鋪平后其上的曲線長度不變例4
公路隔離欄原理例5
公路占地原理例6
等周問題的證明例7
圓柱面鋪平后其上的曲線長度不變
題2
咕嚕金定理題6
彎管的啟示題8
阿基米德定律的推導題16
旋轉液面的形狀題18
雪堆的融化問題題19
第6章無窮級數(shù)
6.1數(shù)項級數(shù)
6.1.1內容要點
6.1.2例題選講
6.1.3習題匯編
內容分類
級數(shù)求和
正項級數(shù)
一般項級數(shù)
綜合題
特色題
拆項相消法求級數(shù)的和例1，題1
正項級數(shù)的斂散性與一般項趨于零的
速度例3
正項級數(shù)斂散性的積分判別法例4
條件收斂級數(shù)中的正負項級數(shù)例5
條件收斂的級數(shù)不滿足加法交換律
例6
用泰勒公式分解級數(shù)例7，題29，30
級數(shù)的斂散性與數(shù)列的斂散性例8
比較法的極限形式不適合非正項
級數(shù)例9
一個二重級數(shù)的斂散性題17
數(shù)列xn=cosxn－1的斂散性題45
斐波那契數(shù)列與黃金分割比題47
無窮積分的斂散性與級數(shù)的斂散性題51,52
狄利克雷積分∫+∞0(sinx/x)dx條件收斂題53
壓縮映射原理題58
其他特色題題13，14，31，34，35，48
6.2函數(shù)項級數(shù)
6.2.1內容要點
6.2.2例題選講
6.2.3習題匯編
內容分類
冪級數(shù)的收斂域
函數(shù)的冪級數(shù)展開式
冪級數(shù)求和
一般函數(shù)項級數(shù)
綜合題
特色題
兩個冪級數(shù)和的收斂域例1
e－1/x2不能展開為麥克勞林級數(shù)例6
傅里葉級數(shù)的閉合性公式例8
冪級數(shù) ∑∞n=1sinnn2xn的收斂域題5
斐波那契數(shù)列的母函數(shù)題14
∑∞n=0sinnx與∑∞n=0cosnx的收斂域題20
用傅里葉級數(shù)求數(shù)項級數(shù)的和題24
有理函數(shù)的冪級數(shù)特征題30，31
提不盡的銀行存款題38
傅里葉級數(shù)的維爾丁格不等式題42
用傅里葉級數(shù)證明等周問題題43
其他特色題題19，25，34，37
第7章微分方程
7.1初等積分法與線性方程
7.1.1內容要點
7.1.2例題選講
7.1.3習題匯編
內容分類
用初等積分法解微分方程
線性微分方程
綜合題
特色題
積分因子例1，題8，9
非齊次線性方程特解的算子解法例5,6，7，題11
二階線性齊次方程的朗斯基行列式例8
由通解求方程形式題1
二階常系數(shù)非齊次線性方程的一個新
解法題19
用逆算子求不定積分∫x3e2xdx題20
可化為常微分方程的偏微分方程題21
其他特色題題14,25
7.2微分方程的應用題
內容分類
微分方程的物理應用
微分方程的幾何應用
其他應用題
特色題
將地球變?yōu)楹诙搭}1
滑行距離問題題2
浮筒的振動題3
單擺小幅擺動的周期題4
懸鏈線題7
最速降線問題題8
馬王堆一號墓的年代考證題9
攀巖的路徑題10
雨滴流淌的軌跡題11
曳物線題12
追線問題題13
橫渡江河的線路題14
擺渡線路題15
4人追逐線路題16
盤山公路的修筑題17
湖泊污染的治理題18
降雪與掃雪問題題21
兇犯的排除題22
給CPU降溫題23
新技術的推廣題24
第2部分習 題 解 答
第1章一元函數(shù)的極限與連續(xù)
1.1極限
1.2一元函數(shù)的連續(xù)性
第2章一元函數(shù)微分學
2.1導數(shù)、微分中值定理
2.2導數(shù)與函數(shù)的單調、極值、凸凹及
泰勒公式
2.3一元函數(shù)微分學綜合題
第3章不定積分與定積分
3.1不定積分
3.2定積分及其在幾何與物理中的
應用
3.3定積分綜合題
第4章多元函數(shù)微分學
4.1函數(shù)與圖形
4.2多元函數(shù)的極限、連續(xù)與微分
4.3多元函數(shù)微分學的應用
第5章多元函數(shù)積分學
5.1重積分
5.2曲線積分與曲面積分
5.3多元函數(shù)積分學的應用
第6章無窮級數(shù)
6.1數(shù)項級數(shù)
6.2函數(shù)項級數(shù)
第7章微分方程
7.1初等積分法與線性方程
7.2微分方程的應用
附錄A中國大學生數(shù)學競賽大綱
（非數(shù)學類）
附錄B8~11屆全國大學生數(shù)學競賽預賽
（非數(shù)學類）賽題及解答
第8屆全國大學生數(shù)學競賽預賽賽題
（非數(shù)學類，2016年）
第9屆全國大學生數(shù)學競賽預賽賽題
（非數(shù)學類，2017年）
第10屆全國大學生數(shù)學競賽預賽賽題
（非數(shù)學類，2018年）
第11屆全國大學生數(shù)學競賽預賽賽題
（非數(shù)學類，2019年）
附錄C7~10屆全國大學生數(shù)學競賽決賽
（非數(shù)學類）賽題及解答
第7屆全國大學生數(shù)學競賽決賽賽題
（非數(shù)學類，2016年）
第8屆全國大學生數(shù)學競賽決賽賽題
（非數(shù)學類，2017年）
第9屆全國大學生數(shù)學競賽決賽賽題
（非數(shù)學類，2018年）
第10屆全國大學生數(shù)學競賽決賽賽題
（非數(shù)學類，2019年）
附錄D常用公式與記號
參考文獻
鄂公網安備 42010302001612號 