數(shù)理方程典型應(yīng)用案例及理論分析

第1章熱傳導(dǎo)方程1

1．1熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出3

1．1．1無內(nèi)熱源熱傳導(dǎo)方程的導(dǎo)出3

1．1．2有內(nèi)熱源熱傳導(dǎo)問題的導(dǎo)出4

1．2熱傳導(dǎo)方程的初邊值問題7

1．2．1定解條件7

1．2．2定解問題9

1．3熱傳導(dǎo)方程初邊值問題的分離變量法10

1．3．1疊加原理10

1．3．2分離變量法10

1．3．3非齊次熱傳導(dǎo)方程初邊值問題15

1．4熱傳導(dǎo)方程柯西問題的積分變換法18

1．4．1傅里葉變換的概念和性質(zhì)18

1．4．2齊次熱傳導(dǎo)方程柯西問題20

1．4．3非齊次熱傳導(dǎo)方程柯西問題21

1．5熱傳導(dǎo)方程的基本理論24

1．5．1極值原理24

1．5．2初邊值問題解的唯一性和穩(wěn)定性25

1．5．3柯西問題解的唯一性和穩(wěn)定性26

1．6熱傳導(dǎo)方程的應(yīng)用案例27

1．6．1無限大平壁導(dǎo)熱問題27

1．6．2大顆粒炭內(nèi)部熱應(yīng)力的分布及熱應(yīng)力破碎理論31

1．6．3電流傳輸導(dǎo)熱問題33

1．6．4太陽能集熱器導(dǎo)熱問題35

1．6．5擴(kuò)散問題41

1．6．6一維擴(kuò)散反應(yīng)問題43

1．6．7蔬菜大棚濕度擴(kuò)散問題46

1．6．8非平衡截流子擴(kuò)散問題49

小結(jié)52

習(xí)題52

第2章波動(dòng)方程55

2．1波動(dòng)方程的導(dǎo)出57

2．1．1弦振動(dòng)方程的導(dǎo)出57

2．1．2膜振動(dòng)方程的導(dǎo)出62

2．2弦振動(dòng)方程的初邊值問題64

2．3弦振動(dòng)方程的柯西問題的行波法66

2．3．1達(dá)朗貝爾公式66

2．3．2傳播波69

2．3．3依賴區(qū)間、決定區(qū)域和影響區(qū)域69

2．3．4半無界弦及有界弦的振動(dòng)問題70

2．3．5非齊次弦振動(dòng)方程的柯西問題72

2．4弦振動(dòng)方程的初邊值問題的分離變量法75

2．4．1弦振動(dòng)方程的分離變量法75

2．4．2解的物理意義81

2．4．3非齊次弦振動(dòng)初邊值問題82

2．4．4非齊次邊界條件83

2．5三維波動(dòng)方程的柯西問題的球平均法85

2．5．1齊次三維波動(dòng)方程的柯西問題85

2．5．2非齊次三維波動(dòng)方程的柯西問題87

2．6二維波動(dòng)方程的柯西問題的降維法89

2．7波的傳播與衰減90

2．7．1依賴區(qū)域、決定區(qū)域、影響區(qū)域和特征錐90

2．7．2泊松公式的物理意義、惠更斯原理92

2．8波動(dòng)方程的基本理論93

2．8．1振動(dòng)的動(dòng)能和位能 93

2．8．2初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性 94

2．8．3柯西問題解的唯一性與穩(wěn)定性 97

2．9波動(dòng)方程的應(yīng)用案例100

2．9．1波動(dòng)方程在均勻傳輸線方程中的應(yīng)用100

2．9．2弦振動(dòng)方程在斜拉橋上的應(yīng)用101

2．9．3波動(dòng)方程在動(dòng)力打樁中的應(yīng)用106

2．9．4波動(dòng)方程在琴弦發(fā)聲中的應(yīng)用110

2．9．5波動(dòng)方程在高頻輸電斷路中的應(yīng)用113

小結(jié)114

習(xí)題114

第3章調(diào)和方程117

3．1調(diào)和方程的導(dǎo)出119

3．2調(diào)和方程的邊值問題120

3．3格林公式及其應(yīng)用121

3．3．1格林公式121

3．3．2調(diào)和函數(shù)的基本性質(zhì)122

3．4格林函數(shù)126

3．4．1格林函數(shù)的概念126

3．4．2格林函數(shù)的基本性質(zhì)128

3．5靜電源像法129

3．5．1球域的格林函數(shù)129

3．5．2半空間的格林函數(shù)131

3．5．3二維區(qū)域的格林函數(shù)131

3．6調(diào)和方程的基本理論134

3．6．1極值原理134

3．6．2邊值問題解的唯一性136

3．7調(diào)和方程的應(yīng)用案例137

3．7．1導(dǎo)體槽內(nèi)的電位分布問題137

3．7．2油氣滲流問題139

小結(jié)139

習(xí)題139

第4章二階線性偏微分方程的分類141

4．1二階線性偏微分方程的分類與化簡143

4．1．1兩個(gè)自變量二階線性偏微分方程的分類143

4．1．2兩個(gè)自變量二階線性偏微分方程的化簡144

4．1．3化二階線性偏微分方程為標(biāo)準(zhǔn)型146

4．2三類方程的比較150

4．2．1線性方程的疊加原理150

4．2．2三類方程解的性質(zhì)的比較152

4．2．3三類方程定解問題提法的比較155

小結(jié)158

習(xí)題159

參考文獻(xiàn)160