從空間曲線到高斯：博內定理

第一部分 向量及其運算

第一章 向量及其代數運算

1.1 向量的概念

1.2 向量的加法與減法

1.3 向量的數乘

1.4 向量的線性相關性

1.5 R3中的直角坐標系與標準正交基i，j，k

1.6 直角坐標系下向量加法與數乘的表達式

1.7 向量的內積

1.8 內積與投影

1.9 向量的向量積

1.10 向量的混合積

1.11 向量混合積的一些公式

1.12 求和符號與愛因斯坦規(guī)約

1.13 向量三重系

第二章 向量的微分運算

2.1 向量函數

2.2 多變量向量函數的偏導數

2.3 泰勒級數與鏈式法則

第二部分 曲線理論

第三章 有關曲線的一些概念

3.1 空間曲線的參數表示與正則曲線

3.2 容許參數

3.3 簡單曲線

3.4 曲線的正投影

3.5 弧長的定義與弧長的計算

3.6 弧長參數作為容許參數

第四章 空間曲線的曲率、撓率以及弗雷內-塞雷公式

4.1 曲線的切線與切向量

4.2 切線方程與法平面方程

4.3 曲線的曲率與曲率向量k

4.4 應用：空間曲線是直線的充要條件

4.5 曲線的主法線與主法線單位向量n

4.6 主法線方程與密切面

4.7 曲線的撓率與副法線

4.8 撓率的計算公式

4.9 平面曲線與撓率

4.10 活動標架系與弗雷內一塞雷公式

4.11 曲線理論的一個基本定理

第三部分 曲面理論

第五章 曲面的概念與曲面上的、第二、第三基本形式

5.1 曲面的表示與正則曲面

5.2 曲面上的u1，u2曲線與切向量

5.3 練習：橢圓拋物面與環(huán)面丁

5.4 曲面上的切平面與活動標架系

5.5 曲面上的三個基本形式

5.6 曲面上的基本形式工

5.7 討論：平面上的線元

5.8 I是du，dv的正定二次形式

5.9 x1，x2作為切平面上的基給出的一些結果

5.10 應用：曲面上曲線的弧長與曲面上的面積

5.11 曲面上的單位法向量

5.12 曲面上的第二基本形式Ⅱ

5.13 L，M，N的另一種表達式

5.14 曲面上的第二基本形式的幾何意義

5.15 LN-M2在參數變換下的性質

5.16 曲面上點的分類

第六章 曲面上的一些曲率

6.1 法曲率向量與法曲率

6.2 kn與基本形式和第二基本形式的關系

6.3 法截線的法曲率±K

6.4 主曲率、高斯曲率與中曲率

6.5 以k1，k2為根的二次方程的判別式與曲面上的臍點

6.6 曲面上點的主方向

6.7 曲率線與u，v曲率系

6.8 一道說明題

第七章 曲面上的一些方程式

7.1 曲面上的基本方程之一——高斯方程

7.2 克氏符號Γh

7.3 曲面上的基本方程之二——魏因加滕方程

7.4 魏因加滕方程與第三基本形式Ⅲ

7.5 由曲面上的基本方程的可積條件給出的方程

7.6 黎曼曲率張量Rhijk與Rhijk

7.7 高斯的“絕妙定理”

7.8 I，Ⅱ，Ⅲ之間的一個關系

第四部分 高斯-博內定理

第八章 測地線

8.1 曲面上的測地線

8.2 最速降線與歐拉-拉格朗日方程

8.3 最速降線是擺線

8.4 曲面上的測地線應滿足的微分方程

8.5 弧長作曲線參數時測地線滿足的微分方程

第九章 曲率、法曲率與測地曲率

9.1 曲率向量、測地曲率向量與法曲率向量

9.2 測地曲率及其計算

9.3 繼續(xù)討論測地線

9.4 歐拉公式

9.5 羅德里格斯公式

9.6 漸近曲線

9.7 恩尼珀定理

第十章 高斯-博內定理

10.1 測地坐標系

10.2 測地坐標系的構成

10.3 用向量混合積、行列式及解析法來表示高斯曲率

10.4 曲線多邊形與高斯-博內定理

10.5 測地曲率Kg的劉維爾公式

10.6 證明高斯-博內定理

10.7 閉曲面上的高斯-博內定理

10.8 歐拉示性數X（S）

10.9 歐拉示性數是一個拓撲不變量

10.10 應用：一些閉曲面的虧格

附錄

附錄1 曲線曲率的幾何意義

附錄2 Kn=II/I的另一種證明

附錄3 曲面上點P的帶符號的曲率K取極值時應滿足的方程式

附錄4 變分法中的歐拉-拉格朗日方程

附錄5 最速降線是擺線

附錄6 引入參數u，v使曲率線族成為u參數族與v參數族

附錄7 測地曲率Kg的計算公式

附錄8 證明K（EG-F2）2=[xuuxuxv][xvvxuxv]-[xuvxuxv]2

附錄9 高斯曲率的行列式表達式

附錄10 高斯曲率K在正交坐標系下的一個表達式

附錄11 證明測地曲率Kg的劉維爾公式

附錄12 關于在φdθ+εαi-2πn中，n=1的一個說明

參考文獻