微分幾何簡明教程

目錄

序

前言

第1章 曲線論的基本概念 1

1.1 正則參數化的曲線 1

1.2 弧長參數 1

1.3 Frenet標架的運動方程、曲率和撓率 2

第2章 曲線論基本定理 8

2.1 兩個例子 8

2.2 曲率、撓率與曲線形狀 9

第3章 平面曲線的相對曲率 12

3.1 相對曲率 12

3.2 相對曲率與切向輻角 13

第4章 平面簡單閉曲線 16

4.1 Hopf旋轉數定理 17

4.2 相對曲率的駐點 21

第5章 曲面論的基本概念 24

5.1 正則參數化的曲面 24

5.2 標架運動方程 25

5.3 曲面論的基本幾何量 27

5.4 關于剛體運動的不變性 31

5.5 切向量場與參數變換 31

5.5.1 線性獨立的向量場與參數變換 31

5.5.2 曲率線參數 33

5.6 Gauss曲率與曲面形狀 34

5.7 Gauss曲率的內蘊表示 35

5.8 平均曲率公式 37

第6章 幾類特殊曲面 39

6.1 函數的圖 39

6.2 旋轉曲面 40

6.3 直紋面 41

6.3.1 直紋面的Gauss曲率 41

6.3.2 可展曲面 42

6.3.3 沒有臍點的可展曲面 42

6.4 全臍點曲面 44

6.5 常Gauss曲率曲面的例子 44

6.6 極小曲面 45

6.6.1 平均曲率與面積泛函 45

6.6.2 懸鏈面 46

6.6.3 極小圖 47

6.7 管狀曲面 49

第7章 曲面上的曲線 51

7.1 測地曲率和測地撓率 51

7.1.1 標架運動方程 51

7.1.2 正則參數化曲線的測地曲率和測地撓率 53

7.1.3 測地曲率、測地撓率與曲率、撓率的關系 54

7.2 協變導數與平行移動 55

7.2.1 協變導數 55

7.2.2 協變導數的基本性質 56

7.2.3 測地線 56

7.2.4 平行移動 57

7.3 局部Gauss-Bonnet公式 59

7.4 有孤立奇點的向量場 61

7.4.1 向量場在一點處的指標 61

7.4.2 指標的積分公式 63

第8章 兩類特殊參數化 65

8.1 測地線方程組 65

8.2 一點規(guī)范化的參數變換 66

8.3 極坐標變換 67

8.4 共形參數化 69

8.4.1 共形參數變換 69

8.4.2 局部存在性 70

8.4.3 球極投影 71

第9章 曲面論基本定理 72

9.1 第一基本型、第二基本型的相容性條件 72

9.1.1 標架運動方程的相容性條件 72

9.1.2 Gauss方程 73

9.1.3 Codazzi方程 74

9.1.4 Gauss方程的一個應用 75

9.2 曲面論基本定理的證明 76

第10章 極小曲面 81

10.1 極小圖 81

10.1.1 可積條件 81

10.1.2 Levy變換 82

10.1.3 極小曲面的局部共形參數化 83

10.1.4 Bernstein定理 84

10.2 極小曲面與復分析 85

10.2.1 Weierstrass數據 86

10.2.2 共形參數化曲面的Weierstrass數據 86

10.2.3 Weierstrass數據的亞純函數表示 87

10.2.4 Weierstrass表示 88

第11章 曲面的整體描述 91

11.1 R3中的曲面 91

11.2 R3中的可定向曲面 92

11.3 共形坐標覆蓋 94

11.4 曲面的幾何量 95

11.5 球面剛性定理 96

11.6 整體Gauss-Bonnet公式 97

11.6.1 三角剖分與歐拉數 97

11.6.2 虧格與歐拉數 99

11.6.3 整體Gauss-Bonnet公式的證明 100

11.6.4 向量場的指標公式 102

11.7 亞純微分 103

11.8 協變導數和指數映射 105

11.8.1 協變導數 105

11.8.2 測地線 105

第12章 內蘊距離與三角剖分 107

12.1 內蘊距離 107

12.2 最短測地線 108

12.3 強凸集 110

12.4 Radó定理的微分幾何證明 113

參考文獻 116

索引 117