可積系統(tǒng)、正交多項(xiàng)式和隨機(jī)矩陣：Riemann-Hilbert方法

目錄　
《現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)叢書》序　
前言　
第1章　緒論　1　
1.1　RH問題　1　
1.1.1　RH問題的產(chǎn)生和發(fā)展　1　
1.1.2　RH方法和思想　2　
1.2　RH方法在可積系統(tǒng)初值問題應(yīng)用狀況　3　
1.2.1　求解可積系統(tǒng)方面　4　
1.2.2　分析解的漸近性方面　7　
1.2.3　RH方法、反散射和方法比較　10　
1.3　在正交多項(xiàng)式和隨機(jī)矩陣應(yīng)用狀況　10　
第2章　矩陣分析初步　12　
2.1　矩陣范數(shù)　12　
2.2　矩陣序列和級(jí)數(shù)　14　
2.3　矩陣的導(dǎo)數(shù)和積分　17　
2.4　張量積和外積　21　
2.5　矩陣特征值估計(jì)　24　
第3章　復(fù)分析和RH問題　26　
3.1　Jordan定理　26　
3.2　解析變換　27　
3.2.1　保域性　28　
3.2.2　保角性　29　
3.3　共形映射　31　
3.4　Cauchy積分定理和Painlevé開拓定理　35　
3.5　Cauchy主值積分和Plemelj公式　37　
3.5.1　Cauchy主值積分37　
3.5.2　Cauchy主值積分存在性　40　
3.5.3　Plemelj公式　41　
3.6　Laplace積分　44
3.7　*速下降法　45　
3.7.1　速降方向　45　
3.7.2　穩(wěn)態(tài)相位點(diǎn)和速降線　47　
3.7.3　復(fù)積分的漸近估計(jì)與應(yīng)用　49　
3.8　矩陣RH問題　50　
3.9　積分型Taylor公式　53　
第4章　廣義函數(shù)及其應(yīng)用　56　
4.1　廣義函數(shù)的定義　56　
4.1.1　歷史概述　56　
4.1.2　基本空間　57　
4.2　廣義函數(shù)的性質(zhì)　59　
4.2.1　廣義函數(shù)方程　67　
第5章　RH方法求解零邊界的NLS方程　69　
5.1　聚焦NLS方程　69　
5.1.1　特征函數(shù)　69　
5.1.2　漸近性　69　
5.2　解析性和對(duì)稱性　71　
5.2.1　解析性　72　
5.2.2　對(duì)稱性　75　
5.3　相關(guān)的RH問題　76　
5.3.1　規(guī)范化RH問題　76　
5.3.2　RH問題的可解性　78　
5.4　NLS方程的N孤子解　83　
5.4.1　矩陣向量解的時(shí)空演化　83　
5.4.2　N孤子解公式　84　
5.4.3　單孤子解　86　
第6章　RH方法求解非零邊界的NLS方程　88　
6.1　非零邊界問題　88
6.2　NLS方程的Lax對(duì)　89　
6.3　Riemann面和單值化坐標(biāo)　91　
6.4　Jost函數(shù)的解析性、對(duì)稱性和漸近性　94　
6.4.1　Jost函數(shù)　94　
6.4.2　μ±的依賴性　95　
6.4.3　μ±和S(z)的解析性　96　
6.4.4　μ±和S(z)的對(duì)稱性　99　
6.4.5　μ±和S(z)的漸近性　101　
6.5　相關(guān)廣義RH問題　102　
6.6　離散譜和留數(shù)條件　103　
6.7　RH問題的可解性　105　
6.7.1　重構(gòu)公式　105　
6.7.2　跡公式和θ條件　106　
6.7.3　無反射勢(shì)情況　107　
6.8　NLS方程的N孤子解　108　
6.9　帶有非零邊界的NLS方程的雙重極點(diǎn)解　110　
6.9.1　雙重極點(diǎn)的離散譜和留數(shù)條件　111　
6.9.2　雙重極點(diǎn)下的RH問題和重構(gòu)公式　113　
6.9.3　跡公式和相位差　115　
6.9.4　無反射勢(shì)情況和雙重極點(diǎn)解　117　
第7章　方法與可積系統(tǒng)　120　
7.1　問題　120　
7.1.1　問題的概念　120　
7.1.2　廣義Cauchy積分定理　122　
7.1.3　廣義Cauchy公式　123　
7.1.4　算子的Green函數(shù)　125　
7.1.5　求解問題　126　
7.1.6　問題與RH問題的聯(lián)系　128　
7.2　ZS譜問題和NLS方程族　131　
7.2.1　問題和Lax對(duì)　131　
7.2.2　推導(dǎo)方程族　136　
7.2.3　構(gòu)造孤子解　139　
7.2.4　譜問題的規(guī)范等價(jià)性　143　
7.3　WKI譜問題和mNLS方程族　145　
7.3.1　WKI譜問題　145
7.3.2　mNLS方程族　146　
7.3.3　孤子解　148　
7.3.4　規(guī)范等價(jià)性　149　
7.4　非局部問題和2+1維可積系統(tǒng)　150　
7.4.1　2+1維譜問題　150　
7.4.2　2+1維演化方程　153　
7.4.3　遞推算子　155　
7.5　方法求解KPII方程　157　
7.5.1　特征函數(shù)和Green函數(shù)　157　
7.5.2　散射方程和問題　160　
7.5.3　反譜問題　162　
第8章　Deift-Zhou速降法分析NLS方程的漸近性　165　
8.1　散焦NLS方程的特征函數(shù)　165　
8.2　解析性和對(duì)稱性　167　
8.3　相關(guān)RH問題　171　
8.4　穩(wěn)態(tài)相位點(diǎn)和速降線172　
8.5　跳躍矩陣上下三角分解　174　
8.6　散射數(shù)據(jù)的有理逼近估計(jì)　177　
8.7　振蕩RH問題到標(biāo)準(zhǔn)RH問題形變　181　
8.7.1　跳躍矩陣的解析延拓　181　
8.7.2　RH問題的有理逼近　185　
8.7.3　RH問題的尺度化　192　
8.7.4　去除RH問題的振蕩因子　196　
8.7.5　對(duì)RH問題取極限　198　
8.8　預(yù)解算子的一致有界性　204　
8.9　標(biāo)準(zhǔn)RH問題　209　
8.10　求解標(biāo)準(zhǔn)RH問題　211　
8.10.1　Weber方程　211　
8.10.2　NLS方程初值問題解的漸近性　215　
第9章　速降法分析NLS方程在非孤子解區(qū)域中的漸近性　218　
9.1　散焦NLS方程的RH問題　218　
9.2　跳躍矩陣三角分解　221　
9.3　散射數(shù)據(jù)的連續(xù)延拓　224　
9.4　混合RH問題　227　
9.5　純問題及其解的漸近性　231
9.6　散焦NLS方程的長時(shí)間漸近性　236　
附錄　可解的矩陣RH問題　238　
第10章　速降法與NLS方程在孤子區(qū)域中的漸近性　243　
10.1　初值問題的適定性和解的整體存在性　243　
10.2　Lax對(duì)和譜分析　244　
10.3　聚焦NLS方程的RH問題　250　
10.4　跳躍矩陣三角分解　252　
10.5　跳躍矩陣的連續(xù)延拓　263　
10.6　混合RH問題及其分解　266　
10.6.1　混合RH問題　266　
10.6.2　混合RH問題分解　272　
10.7　純RH問題及其漸近性　274　
10.7.1　外部孤子解區(qū)域　274　
10.7.2　內(nèi)部非孤子解區(qū)域　286　
10.8　純問題及其解的漸近性　293　
10.9　聚焦NLS方程的孤子解區(qū)域長時(shí)間漸近性　300　
附錄　可解的矩陣RH問題　303　
第11章　正交多項(xiàng)式　308　
11.1　正交多項(xiàng)式基本概念　308　
11.2　正交多項(xiàng)式的性質(zhì)　309　
11.2.1　三項(xiàng)遞推公式　310　
11.2.2　Darboux-Christoffel公式　311　
11.2.3　Hankel行列式表示　313　
11.3　正交多項(xiàng)式與Jacobi矩陣　316　
11.3.1　正交多項(xiàng)式與Jacobi矩陣聯(lián)系　316　
11.3.2　正交多項(xiàng)式零點(diǎn)分布　316　
11.4　正交多項(xiàng)式與RH問題聯(lián)系　321　
11.5　多重正交多項(xiàng)式　327　
第12章　隨機(jī)矩陣　329　
12.1　隨機(jī)矩陣系綜　329　
12.2.1　常見的系綜　329　
12.2　特征值的聯(lián)合概率密度　333　
12.3　隨機(jī)矩陣與正交多項(xiàng)式聯(lián)系　338　
12.3.1　關(guān)聯(lián)核函數(shù)　338　
12.3.2　m點(diǎn)關(guān)聯(lián)核函數(shù)　342
12.4　隨機(jī)矩陣與RH問題聯(lián)系　344　
12.5　間隙概率　344　
12.6　特征值的間距分布　349　
12.7　隨機(jī)矩陣與Painlevé方程　350　
第13章　平衡測(cè)度　352　
13.1　變分法　352　
13.1.1　單重積分　353　
13.1.2　多未知函數(shù)　356　
13.1.3　多重積分　356　
13.1.4　條件極值　357　
13.2　平衡測(cè)度的定義和存在性　358　
13.2.1　平衡測(cè)度的定義　358　
13.2.2　平衡測(cè)度的存在性　360　
13.3　計(jì)算平衡測(cè)度　361　
13.3.1　第一種方法　361　
13.3.2　第二種方法　366　
第14章　特殊函數(shù)與RH問題　371　
14.1　Airy函數(shù)　371　
14.1.1　定義和性質(zhì)　371　
14.1.2　漸近性　372　
14.1.3　Stokes現(xiàn)象　375　
14.1.4　RH問題刻畫　377　
14.2　Bessel函數(shù)　379　
14.2.1　定義和性質(zhì)　379　
14.2.2　RH問題刻畫　381　
14.3　Painlevé方程　383　
14.3.1　Painlevé性質(zhì)　383　
14.3.2　PainlevéII方程RH問題刻畫　384　
第15章　正交多項(xiàng)式的RH方法　386　
15.1　正交多項(xiàng)式的RH問題刻畫　386　
15.2　規(guī)范化RH問題　387　
15.3　標(biāo)準(zhǔn)RH問題　390　
15.3.1　跳躍矩陣分解　390　
15.3.2　形變跳躍路徑　394　
15.3.3　取極限　397
15.4　求解標(biāo)準(zhǔn)RH問題　398　
15.5　標(biāo)準(zhǔn)RH問題解的逼近　400　
15.5.1　一般理論　400　
15.5.2　具體應(yīng)用　405　
15.6　RH問題參數(shù)化構(gòu)造　406　
15.6.1　局部參數(shù)化　406　
15.6.2　整體參數(shù)化　417　
15.7　正交多項(xiàng)式的一致漸近性　418　
15.7.1　實(shí)軸Imz=0之外　418　
15.7.2　實(shí)軸Imz=0上　420　
15.8　隨機(jī)矩陣統(tǒng)計(jì)量的普適性　425　
15.8.1　關(guān)聯(lián)核的普適性　426　
15.8.2　Fredholm行列式的普適性　429　
15.8.3　m點(diǎn)關(guān)聯(lián)核函數(shù)的普適性　430　
15.8.4　Ps的漸近性　432　
參考文獻(xiàn)　437　
后記　449