矩陣論

目錄　
第1章　線性空間　1　
1.1　預備知識　1　
1.1.1　映射　1　
1.1.2　乘積映射　2　
1.1.3　逆映射　2　
1.1.4　數(shù)域　3　
1.1.5　實矩陣和復矩陣　4　
1.2　線性空間的概念　7　
1.2.1　線性空間的定義及性質　7　
1.2.2　線性相關、基、維數(shù)與坐標　10　
1.3　線性子空間　18　
1.3.1　線性子空間的概念　18　
1.3.2　子空間的交與和　22　
1.3.3　線性空間的同構　27　
1.4　內積空間　28　
1.4.1　內積空間的基本概念與性質　29　
1.4.2　內積在基下的矩陣　30　
1.5　標準正交基與向量的正交化　32　
1.5.1　向量的度量性質　32　
1.5.2　標準正交基　34　
1.5.3　向量的正交化　34　
1.6　正交子空間　36　
1.6.1　子空間的正交　36　
1.6.2　正交補空間　37　
1.6.3　向量到子空間的距離　39　
習題1　40　
第2章　線性映射與線性變換　44　
2.1　線性映射與線性變換的概念　44　
2.1.1　線性映射與線性變換的定義及性質　44
2.1.2　線性映射的矩陣刻畫　47　
2.1.3　線性映射的核與值域　54　
2.2　線性變換的不變子空間　57　
2.3　酉（正交）變換與正交投影　59　
2.3.1　酉（正交）變換　59　
2.3.2　正交投影　61　
習題2　62　
第3章　方陣的相似標準形　65　
3.1　單純矩陣　65　
3.1.1　方陣的特征值與特征向量　65　
3.1.2　單純矩陣的對角化　68　
3.1.3　正規(guī)矩陣及其對角化　73　
3.2　Hermite矩陣與Hermite二次型　78　
3.2.1　Hermite矩陣和Hermite二次型的概念　78　
3.2.2　Hermite矩陣的廣義特征值　87　
3.3　λ-矩陣　88　
3.3.1　λ-矩陣的定義和初等變換　89　
3.3.2　λ-矩陣的行列式因子、不變因子　90　
3.3.3　初等因子　95　
3.4　方陣的Jordan標準形　97　
3.4.1　Jordan標準形的定義　97　
3.4.2　Jordan標準形的計算　98　
習題3　106　
第4章　矩陣分解　109　
4.1　矩陣的三角分解　109　
4.2　矩陣的滿秩分解　114　
4.3　矩陣的UR分解　117　
4.4　矩陣的奇異值分解　118　
4.5　單純矩陣的譜分解　125　
習題4　132　
第5章　矩陣函數(shù)　135　
5.1　向量范數(shù)　135　
5.1.1　向量范數(shù)的概念與性質　135　
5.1.2　Cn上的常用范數(shù)　138　
5.1.3　向量范數(shù)的等價性1405.2矩陣范數(shù)　142　
5.2.1　Cn×n上的矩陣范數(shù)　142　
5.2.2　F-范數(shù)的性質　144　
5.2.3　矩陣范數(shù)的性質　146　
5.3　矩陣范數(shù)與向量范數(shù)的相容性　147　
5.3.1　與已知矩陣范數(shù)相容的向量范數(shù)　147　
5.3.2　由已知向量范數(shù)生成的與其相容的矩陣范數(shù)（算子范數(shù)）　148　
5.4　矩陣序列　154　
5.4.1　矩陣序列和極限　154　
5.4.2　收斂矩陣序列的性質　156　
5.5　矩陣冪級數(shù)　163　
5.5.1　矩陣級數(shù)的概念　163　
5.5.2　矩陣級數(shù)的性質　166　
5.5.3　矩陣冪級數(shù)　168　
5.6　矩陣多項式　172　
5.6.1　矩陣的化零多項式　172　
5.6.2　矩陣的最小多項式　175　
5.7　矩陣函數(shù)的定義及計算　179　
5.7.1　矩陣函數(shù)的冪級數(shù)定義　180　
5.7.2　矩陣函數(shù)的計算　183　
習題5　191　
第6章　矩陣微積分　195　
6.1　矩陣的Kronecker積　195　
6.1.1　Kronecker積的概念與性質　195　
6.1.2　Kronecker積的特征值與特征向量　197　
6.2　函數(shù)矩陣的微分　200　
6.2.1　函數(shù)矩陣對變量的導數(shù)　201　
6.2.2　數(shù)量值函數(shù)對矩陣變量的導數(shù)　205　
6.2.3　矩陣值函數(shù)對矩陣變量的導數(shù)與微分　208　
6.3　函數(shù)矩陣的積分　213　
6.3.1　函數(shù)矩陣的連續(xù)性　213　
6.3.2　矩陣函數(shù)積分的定義　214　
6.4　矩陣微分方程的求解　217　
習題6　224　
符號索引　226　
名詞索引　230