廣義微分幾何

　　上世紀(jì)末，微分幾何受到了理論物理學(xué)的挑戰(zhàn)：新的對象從經(jīng)典理論的邊緣轉(zhuǎn)移到了幾何學(xué)家的關(guān)注中心。理論物理對數(shù)學(xué)提出了新需求，于是誕生了廣義微分幾何（diffeology），本書是這一領(lǐng)域的第一部教科書，奠定了在理論物理中使用的微分幾何主要領(lǐng)域的基礎(chǔ)。廣義微分幾何（diffeology）是經(jīng)典微分幾何的一個(gè)全局性和包容性的擴(kuò)展。全局性在于它將其對象擴(kuò)展到流形之外的 （1）奇異空間，例如無理環(huán)面、軌形及葉狀集；（2）無限維光滑函數(shù)集，微分同胚群、群胚等。這是一種包容性理論，因?yàn)樵趲缀螛?gòu)造過程中產(chǎn)生的各種對象都自然帶有廣義微分結(jié)構(gòu)，包括子空間、商、函數(shù)集、冪集等等。這是通過簡化公理來實(shí)現(xiàn)的：集合上的廣義微分結(jié)構(gòu)規(guī)定集合中哪些參數(shù)化是光滑的。參數(shù)化是該理論的核心，它只是由一組數(shù)集索引的任意族。為了與通常的實(shí)數(shù)世界中的光滑性一致，這組參數(shù)化需要滿足三個(gè)簡單公理：覆蓋、光滑兼容性和局部性。通過將視角從流形轉(zhuǎn)移到一般的廣義微分空間，我們得到了一個(gè)關(guān)于最常見的集合論運(yùn)算（和、積、子集和商）的強(qiáng)封閉范疇。此外，光滑映射集在泛函廣義微分結(jié)構(gòu)下也自然是一個(gè)廣義微分空間。換句話說，廣義微分空間范疇是一個(gè)非常簡單的完備、余完備和笛卡爾閉的范疇，并且包含流形作為一個(gè)滿子范疇。許多例子表明，這種靈活性并沒有丟失什么；相反，像無理環(huán)面這樣的對象在幾乎所有其它推廣流形的方法中都是平凡的，而它們作為廣義微分幾何對象絕對是非平凡的，并且是有用的。廣義微分幾何這種公理式的范疇性質(zhì)使許多定理和構(gòu)造變得自然。我們可以在不切換范疇的情況下使用光滑路徑或環(huán)路空間，這帶來了深度簡化。例如，環(huán)路空間上的微分學(xué)將許多經(jīng)典定理簡化為最簡單的表達(dá)式，并強(qiáng)調(diào)了它們的高層本質(zhì)。同時(shí)，它們給出了任何廣義微分空間的恰當(dāng)推廣。同倫、同調(diào)、上同調(diào)、De Rham演算、纖維叢、聯(lián)絡(luò)、軌形、覆蓋、辛幾何、矩映射，所有這些經(jīng)典構(gòu)造都能在廣義微分幾何中自然實(shí)現(xiàn)。經(jīng)典微分幾何中的許多啟發(fā)式構(gòu)造（例如軌形、帶角流形、分層等）實(shí)際上定義了明確的子范疇，而不需要通過調(diào)整或扭曲公理來實(shí)現(xiàn)。本書中包含了奇異空間和無限維空間的例子。通過這些例子和練習(xí)，讀者可以熟悉廣義微分幾何中發(fā)展出來的具體技術(shù)。廣義微分幾何（diffeology）是一種強(qiáng)調(diào)實(shí)際操作的理論，是一種工具。有了這些經(jīng)驗(yàn)，讀者將能夠把這一理論擴(kuò)展到本書的范圍之外。本書對研究微分幾何或數(shù)學(xué)物理的學(xué)生與研究人員會(huì)非常有用。

　　帕特里克·伊格萊西亞斯-澤穆爾（Patrick Iglesias-Zemmour）是法國馬賽數(shù)學(xué)研究所研究員，也是以色列希伯來大學(xué)的長期客座教授。他以辛幾何和廣義微分幾何的研究而聞名。他所著的《廣義微分幾何》（Diffeology）是該領(lǐng)域全世界的第一部教材。