廣義微分幾何

　　上世紀末，微分幾何受到了理論物理學的挑戰(zhàn)：新的對象從經典理論的邊緣轉移到了幾何學家的關注中心。理論物理對數學提出了新需求，于是誕生了廣義微分幾何（diffeology），本書是這一領域的第一部教科書，奠定了在理論物理中使用的微分幾何主要領域的基礎。廣義微分幾何（diffeology）是經典微分幾何的一個全局性和包容性的擴展。全局性在于它將其對象擴展到流形之外的 （1）奇異空間，例如無理環(huán)面、軌形及葉狀集；（2）無限維光滑函數集，微分同胚群、群胚等。這是一種包容性理論，因為在幾何構造過程中產生的各種對象都自然帶有廣義微分結構，包括子空間、商、函數集、冪集等等。這是通過簡化公理來實現的：集合上的廣義微分結構規(guī)定集合中哪些參數化是光滑的。參數化是該理論的核心，它只是由一組數集索引的任意族。為了與通常的實數世界中的光滑性一致，這組參數化需要滿足三個簡單公理：覆蓋、光滑兼容性和局部性。通過將視角從流形轉移到一般的廣義微分空間，我們得到了一個關于最常見的集合論運算（和、積、子集和商）的強封閉范疇。此外，光滑映射集在泛函廣義微分結構下也自然是一個廣義微分空間。換句話說，廣義微分空間范疇是一個非常簡單的完備、余完備和笛卡爾閉的范疇，并且包含流形作為一個滿子范疇。許多例子表明，這種靈活性并沒有丟失什么；相反，像無理環(huán)面這樣的對象在幾乎所有其它推廣流形的方法中都是平凡的，而它們作為廣義微分幾何對象絕對是非平凡的，并且是有用的。廣義微分幾何這種公理式的范疇性質使許多定理和構造變得自然。我們可以在不切換范疇的情況下使用光滑路徑或環(huán)路空間，這帶來了深度簡化。例如，環(huán)路空間上的微分學將許多經典定理簡化為最簡單的表達式，并強調了它們的高層本質。同時，它們給出了任何廣義微分空間的恰當推廣。同倫、同調、上同調、De Rham演算、纖維叢、聯(lián)絡、軌形、覆蓋、辛幾何、矩映射，所有這些經典構造都能在廣義微分幾何中自然實現。經典微分幾何中的許多啟發(fā)式構造（例如軌形、帶角流形、分層等）實際上定義了明確的子范疇，而不需要通過調整或扭曲公理來實現。本書中包含了奇異空間和無限維空間的例子。通過這些例子和練習，讀者可以熟悉廣義微分幾何中發(fā)展出來的具體技術。廣義微分幾何（diffeology）是一種強調實際操作的理論，是一種工具。有了這些經驗，讀者將能夠把這一理論擴展到本書的范圍之外。本書對研究微分幾何或數學物理的學生與研究人員會非常有用。

　　帕特里克·伊格萊西亞斯-澤穆爾（Patrick Iglesias-Zemmour）是法國馬賽數學研究所研究員，也是以色列希伯來大學的長期客座教授。他以辛幾何和廣義微分幾何的研究而聞名。他所著的《廣義微分幾何》（Diffeology）是該領域全世界的第一部教材。