有趣的矩陣：看得懂又好看的線性代數(shù)

第1章 雞兔同籠：矩陣與線性方程組的關(guān)系 1
1.1　列算式解雞兔同籠問(wèn)題 2
1.1.1　《孫子算經(jīng)》中記載的解法 2
1.1.2　小學(xué)課堂上的解法 2
1.2　用方程的思想求解雞兔同籠問(wèn)題 2
1.2.1　用二元一次方程組求解雞兔同籠問(wèn)題 2
1.2.2　解方程組的方法更程序化 3
1.2.3　什么是線性方程組 4
1.3　用數(shù)的表格——“矩陣”表示線性方程組 4
1.3.1　用數(shù)字表格簡(jiǎn)化表示線性方程組 4
1.3.2　一種新的數(shù)學(xué)符號(hào)——矩陣誕生了！ 5
1.4　用矩陣方法求解線性方程組 7
1.4.1　用矩陣表示線性方程組的解題過(guò)程 7
1.4.2　矩陣的一種運(yùn)算——初等行變換 7
1.4.3　矩陣的初等行變換與方程組的等價(jià)變換 8
1.5　用矩陣解決升級(jí)版雞兔同籠問(wèn)題 9
1.5.1　升級(jí)版雞兔同籠問(wèn)題——獸禽問(wèn)題 9
1.5.2　更難的問(wèn)題——王婆賣(mài)瓜問(wèn)題 10
1.5.3　王婆賣(mài)瓜問(wèn)題的思考——出現(xiàn)多個(gè)解時(shí)，怎么選擇？ 11
1.6　怎么吃最健康——定制健康食譜 12
1.6.1　定制食譜第一步：確定攝入量 13
1.6.2　定制食譜第二步：選定食物，建立線性方程組 13
1.6.3　定制食譜第三步：求解線性方程組 14
1.6.4　定制食譜最后一步：選擇一組合適的食物搭配 15
1.6.5　什么是規(guī)劃問(wèn)題 16
1.7　我們的生活離不開(kāi)線性方程組 17
第2章 數(shù)字游戲：好玩的矩陣 18
2.1　矩陣就是數(shù)字公寓 19
2.1.1　矩陣的尺寸 19
2.1.2　數(shù)字公寓的門(mén)牌號(hào) 20
2.2　把矩陣翻轉(zhuǎn)一下，會(huì)怎么樣？ 21
2.2.1　怎樣翻轉(zhuǎn)矩陣 21
2.2.2　翻轉(zhuǎn)后不變的方陣 23
2.3　各種特殊的方陣 24
2.3.1　三角矩陣就是數(shù)字三角形 24
2.3.2　對(duì)角矩陣 25
2.4　幻方游戲你玩過(guò)嗎？ 26
2.4.1　幻方是中國(guó)人的發(fā)明 26
2.4.2　利用矩陣求解一個(gè)三階幻方 28
2.4.3　三階幻方的特點(diǎn) 30
2.4.4　利用矩陣求解[n]階幻方的思路 31
2.5　數(shù)獨(dú)也是矩陣游戲 32
2.5.1　令歐拉著迷的拉丁方陣 32
2.5.2　數(shù)獨(dú)游戲 34
2.5.3　用分塊矩陣的思想填寫(xiě)數(shù)獨(dú)矩陣 35
第3章 經(jīng)營(yíng)水果店：經(jīng)營(yíng)管理中的矩陣 38
3.1　用矩陣加法計(jì)算總銷(xiāo)量 39
3.1.1　總銷(xiāo)量計(jì)算問(wèn)題 39
3.1.2　矩陣的加法不能隨便做 40
3.1.3　用矩陣的減法找回丟失的報(bào)表 42
3.1.4　矩陣的加、減法與實(shí)數(shù)的加、減法 43
3.1.5　幻方矩陣的加法 44
3.2　用數(shù)乘矩陣解決銷(xiāo)量、損耗量問(wèn)題 45
3.2.1　利用數(shù)與矩陣的乘法運(yùn)算制定銷(xiāo)量計(jì)劃 45
3.2.2　促銷(xiāo)打折、水果損耗量計(jì)算中的矩陣運(yùn)算 46
3.2.3　數(shù)乘矩陣的進(jìn)一步探究 47
3.2.4　數(shù)乘矩陣運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)律 48
3.2.5　幻方矩陣的數(shù)乘 50
3.3　用矩陣乘法進(jìn)行更復(fù)雜的經(jīng)營(yíng)管理 50
3.3.1　阿明的精品水果禮盒業(yè)務(wù) 50
3.3.2　用矩陣乘矩陣算賬 51
3.3.3　最簡(jiǎn)單的矩陣乘法 53
3.3.4　矩陣乘法真好用！ 54
3.3.5　單位矩陣是沒(méi)有美顏功能的素顏相機(jī) 55
3.4　矩陣乘法的顯微鏡底下看線性方程組 55
3.4.1　線性方程組的真面目 55
3.4.2　橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)近高低各不同 56
3.5　矩陣乘法中的座位號(hào)是不可以交換的！ 57
3.5.1　交換位置，可能就玩不到一起了！ 57
3.5.2　為什么矩陣乘法不滿足交換律？ 59
3.5.3　什么樣的矩陣乘法滿足交換律？ 60
3.5.4　總是可交換的矩陣 61
3.5.5　可逆的方陣 61
3.6　一個(gè)藤上N個(gè)瓜——矩陣的連乘 62
3.6.1　雖然不滿足交換律，矩陣乘法還是可以靈活計(jì)算的 62
3.6.2　矩陣有平方嗎？ 63
3.6.3　不忘初心的冪等矩陣 64
3.7　水果店老板的市場(chǎng)調(diào)研 65
3.7.1　阿明要在大學(xué)城里開(kāi)水果店 65
3.7.2　預(yù)測(cè)水果店的市場(chǎng)占有率 66
3.8　神出鬼沒(méi)的零矩陣 67
3.8.1　遇上它們，就成了它們——它們是誰(shuí)？ 67
3.8.2　沒(méi)遇上它們，也可能變成它們——神出鬼沒(méi)的零矩陣 68
第4章 數(shù)碼照片：矩陣與PS技術(shù) 70
4.1　對(duì)計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)，照片就是矩陣 71
4.1.1　組成數(shù)碼照片的最小單元——像素 71
4.1.2　一張黑白照片=一個(gè)矩陣 72
4.1.3　一張彩色照片=三個(gè)矩陣 73
4.2　修圖其實(shí)是做數(shù)學(xué)計(jì)算題 75
4.2.1　美顏App用矩陣運(yùn)算精修你的照片 75
4.2.2　給照片加上濾鏡 76
4.2.3　給照片加水印 78
4.3　怎樣給照片“瘦身”？ 79
4.3.1　壓縮一張照片的數(shù)學(xué)原理是什么？ 79
4.3.2　隔一行刪一行——最簡(jiǎn)單的壓縮算法 80
4.3.3　矩陣的乘法分解——最常用的SVD壓縮算法 80
4.3.4　視頻壓縮也是矩陣運(yùn)算 81
4.3.5　壓縮的反操作——照片恢復(fù) 81
4.4　改變?nèi)祟?lèi)生活的人工智能算法離不開(kāi)矩陣 83
4.4.1　人工智能要讓計(jì)算機(jī)像人類(lèi)一樣思考 83
4.4.2　一個(gè)水果店的例子 85
4.4.3　人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu) 86
4.4.4　神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的必經(jīng)之路——訓(xùn)練和學(xué)習(xí) 87
4.4.5　計(jì)算機(jī)認(rèn)人和你認(rèn)人的過(guò)程是類(lèi)似的 88
4.4.6　熟能生巧——數(shù)百萬(wàn)次的訓(xùn)練，才能做到過(guò)目不忘 90
4.4.7　深度學(xué)習(xí)，不僅僅能學(xué)認(rèn)人 92
第5章 計(jì)算機(jī)繪畫(huà)：用矩陣創(chuàng)造藝術(shù) 93
5.1　意義非凡的平面直角坐標(biāo)系 94
5.1.1　認(rèn)識(shí)平面直角坐標(biāo)系 94
5.1.2　坐標(biāo)系可以讓函數(shù)和方程有“顏” 95
5.1.3　用幾何解決雞兔同籠問(wèn)題 96
5.2　計(jì)算機(jī)繪圖是怎么做到的？ 97
5.2.1　計(jì)算機(jī)是怎么畫(huà)出一條線段的？ 98
5.2.2　計(jì)算機(jī)是怎么畫(huà)圓的？ 100
5.2.3　更好的畫(huà)圓思路 102
5.2.4　計(jì)算機(jī)繪制幾何圖形的總體思路 103
5.3　字體和藝術(shù)字——幾何圖形和線性變換 103
5.3.1　不同的字體，計(jì)算機(jī)是如何顯示出來(lái)的？ 103
5.3.2　改變字符的字號(hào)，計(jì)算機(jī)是怎么做的？ 104
5.3.3　把一個(gè)字符變成斜體的線性變換——剪切變換 106
5.3.4　藝術(shù)字體中的鏡像變換，其實(shí)也是矩陣乘法 108
5.4　從心形線到四葉草——旋轉(zhuǎn)變換的魔力 110
5.4.1　怎么畫(huà)心形線和四葉草？ 110
5.4.2　旋轉(zhuǎn)變換的數(shù)學(xué)原理 112
5.4.3　平面幾何圖形的線性變換 113
5.5　計(jì)算機(jī)怎么制作電影特效？ 114
5.5.1　悸動(dòng)的心——二維動(dòng)畫(huà)特效演示 114
5.5.2　海嘯、暴風(fēng)雪、爆炸的特效，計(jì)算機(jī)是怎么做到的？ 115
第6章 加密解密：矩陣與密碼 116
6.1　用小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)銀行卡密碼加密 117
6.1.1　設(shè)計(jì)要求——安全、準(zhǔn)確地傳遞信息 117
6.1.2　用十以?xún)?nèi)整數(shù)加法設(shè)計(jì)的加密算法 118
6.1.3　用乘法表設(shè)計(jì)的加密算法 120
6.1.4　更復(fù)雜的加密算法 121
6.2　怎么加密文字信息？ 121
6.2.1　古羅馬戰(zhàn)神凱撒的秘密武器——凱撒密碼 121
6.2.2　凱撒密碼的數(shù)學(xué)原理 122
6.2.3　用乘法原理對(duì)文字信息進(jìn)行加密 124
6.2.4　使用統(tǒng)計(jì)規(guī)律破譯加密算法 125
6.2.5　自帶“鑰匙”的加密算法 125
6.3　用矩陣乘法加密你的銀行卡密碼 127
6.3.1　用矩陣乘法加密數(shù)字明文 127
6.3.2　這樣加密靠譜嗎？ 128
6.3.3　怎么解密數(shù)字信息？ 129
6.3.4　解密過(guò)程怎么改進(jìn)？ 130
6.3.5　一些密碼學(xué)干貨 131
6.3.6　請(qǐng)你來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)加密算法吧！ 133
6.4　希爾密碼——用矩陣乘法加密文字信息 134
6.4.1　怎樣設(shè)計(jì)希爾密碼的加密矩陣？ 134
6.4.2　為你的日記設(shè)計(jì)希爾加密算法 135
6.4.3　怎樣得到希爾密碼的解密矩陣？ 136
6.4.4　希爾密碼的破譯 137
6.4.5　動(dòng)態(tài)的希爾密碼 137
第7章 互聯(lián)網(wǎng)：矩陣的世界 139
7.1　用矩陣表示你的社交網(wǎng)絡(luò) 140
7.1.1　繪制一張微信好友關(guān)系圖 140
7.1.2　繪制一張微博好友關(guān)系圖 141
7.1.3　你有幾個(gè)微信好友？幾個(gè)微博粉絲？ 143
7.1.4　代表真實(shí)社交網(wǎng)絡(luò)的矩陣非常大 145
7.2　認(rèn)識(shí)一個(gè)陌生人，最少需要幾個(gè)人介紹？ 145
7.2.1　通過(guò)社交網(wǎng)絡(luò)，通過(guò)一個(gè)中間人認(rèn)識(shí)另一個(gè)人 145
7.2.2　兩個(gè)人相識(shí)，最多需要幾個(gè)中間人？ 147
7.2.3　真實(shí)世界——全世界任何兩個(gè)人相識(shí)，只需要六個(gè)人 148
7.3　玩“見(jiàn)面分一半”的游戲，能實(shí)現(xiàn)“共同富裕”嗎？ 149
7.3.1　財(cái)富分布不均衡的人類(lèi)社會(huì) 149
7.3.2　實(shí)現(xiàn)財(cái)富平均分配的一種方法 149
7.4　網(wǎng)頁(yè)搜索的原理是什么？ 152
7.4.1　網(wǎng)頁(yè)搜索結(jié)果是隨機(jī)排序的嗎？ 152
7.4.2　早期的網(wǎng)頁(yè)搜索算法 152
7.4.3　因一個(gè)算法而誕生的高科技公司 153
7.4.4　谷歌公司的網(wǎng)頁(yè)排序新算法——PageRank算法 153
7.4.5　PageRank算法的數(shù)學(xué)模型 154
7.4.6　網(wǎng)頁(yè)的得分和用戶(hù)打開(kāi)的第一個(gè)網(wǎng)頁(yè)有關(guān)系嗎？ 156
7.4.7　網(wǎng)頁(yè)的得分和超鏈接關(guān)系圖密不可分 157
7.4.8　算法比你還懂你 159
7.5　谷歌每天為幾百萬(wàn)億個(gè)網(wǎng)頁(yè)排序，計(jì)算量大嗎？ 160
7.5.1　網(wǎng)頁(yè)之間的鏈接關(guān)系圖有多大？ 160
7.5.2　網(wǎng)頁(yè)之間的鏈接，和人類(lèi)社會(huì)網(wǎng)絡(luò)很像 160
7.5.3　面對(duì)巨大的計(jì)算量，該怎么辦？ 162
7.5.4　計(jì)算工程分包自動(dòng)化——MapReduce算法 163
第8章 田忌賽馬：博弈論中的矩陣 165
8.1　田忌賽馬與博弈論 166
8.1.1　田忌賽馬的故事 166
8.1.2　用矩陣表示賽馬結(jié)果 166
8.1.3　博弈論的發(fā)展歷史 168
8.2　如果齊王也懂博弈論 168
8.2.1　一場(chǎng)賽馬比賽的所有可能結(jié)果有哪些？ 168
8.2.2　下一次賽馬，田忌還能繼續(xù)贏嗎？ 170
8.2.3　用矩陣表示博弈雙方的收益 171
8.2.4　最佳策略與納什均衡 172
8.3　一個(gè)“雙輸”的博弈——囚徒博弈 174
8.3.1　什么是囚徒博弈？ 174
8.3.2　囚徒困境——為了避免最壞的結(jié)局，錯(cuò)過(guò)了更好的結(jié)局 174
8.3.3　現(xiàn)實(shí)中的囚徒困境 175
8.3.4　囚徒困境可以改變嗎？ 176
8.4　一個(gè)“雙贏”的博弈——雪堆博弈 177
8.4.1　什么是雪堆博弈？ 177
8.4.2　什么時(shí)候不鏟雪？ 179
8.4.3　什么時(shí)候鏟雪？ 180
8.4.4　歷史故事中的“雪堆博弈” 181
8.5　為什么俗話說(shuō)“久賭必輸”？ 182
8.5.1　一個(gè)“看上去公平”的簡(jiǎn)單模型 182
8.5.2　一個(gè)貪心的賭徒 184
8.5.3　賭博的潛在不公：莊家的贏面稍大一些 186