分數階微積分學：數值算法與實現(xiàn)

第 1章分數階微積分學簡介  1 
1.1分數階微積分學的歷史回顧  1 
1.2自然世界中的分數階現(xiàn)象與模型舉例  4 
1.3分數階微積分計算的歷史回顧  5 
1.3.1分數階微積分的數值計算  5 
1.3.2分數階常微分方程的數值計算  6 
1.3.3分數階偏微分方程的數值計算  7 
1.4分數階微積分與分數階控制工具簡介  8 
1.5本書的結構 9 
1.5.1本書的主要內容與要點 9 
1.5.2閱讀本書的建議  11
參考文獻  12
第 2章常用特殊函數的定義與計算  17 
2.1誤差函數與補誤差函數  17 
2.2 Gamma函數 19 
2.2.1 Gamma函數的定義與性質  20 
2.2.2復數的 Gamma函數  23 
2.2.3 Gamma函數的其他表現(xiàn)形式  23 
2.2.4不完全 Gamma函數  24 
2.3 Beta函數  24 
2.3.1 Beta函數的定義與性質  24 
2.3.2不完全 Beta函數 27 
2.4 Dawson函數 27 
2.5超幾何函數 29 
2.6 Mittag-Leffler函數  32 
2.6.1單參數 Mittag-Leffler函數  32 
2.6.2雙參數 Mittag-Leffler函數  34 
vi分數階微積分學——數值算法與實現(xiàn) 
2.6.3多參數 Mittag-Leffler函數  39 
2.6.4 Mittag-Leffler函數與超幾何函數的關系 39 
2.6.5 Mittag-Leffler函數的導數 40 
2.6.6 Mittag-Leffler函數及其導數的數值運算 43
本章習題  44
參考文獻  46
第 3章分數階微積分：定義與計算 47 
3.1分數階 Cauchy積分公式 48 
3.1.1 Cauchy積分公式 49 
3.1.2常用函數的分數階微分與積分公式  49 
3.2 Grünwald–Letnikov分數階微積分定義與計算  50 
3.2.1高階整數階導數的推導 50 
3.2.2 Grünwald–Letnikov分數階微分的定義 50 
3.2.3 Grünwald–Letnikov分數階微分與積分的數值計算  51 
3.2.4 Podlubny的矩陣算法  58 
3.2.5短時記憶效應及其探討 59 
3.3 Riemann–Liouville分數階微積分定義與計算 62 
3.3.1高階整數階積分公式  63 
3.3.2 Riemann–Liouville分數階微積分定義  63 
3.3.3常用函數的 Riemann–Liouville微積分公式  64 
3.3.4初始時刻平移的性質  65 
3.3.5 Riemann–Liouville定義的數值計算  66 
3.3.6 Riemann–Liouville微積分的符號計算  68 
3.4 Caputo分數階微積分定義  69 
3.4.1 Caputo微積分定義  69 
3.4.2常用的 Caputo導數公式  69 
3.4.3 Caputo定義的符號運算  71 
3.5各種不同分數階微積分定義之間的關系 72 
3.5.1 Grünwald–Letnikov與 Riemann–Liouville定義的關系  72 
3.5.2 Caputo與 Riemann–Liouville定義的關系  73 
3.5.3 Caputo分數階微分的數值計算 73 
3.6分數階微積分的性質與幾何解釋  75 
3.6.1分數階微積分的性質  75 
3.6.2分數階積分的幾何解釋 77 
本章習題  80
參考文獻  82
第 4章分數階微積分的高精度數值計算  83 
4.1任意整數階的生成函數構造  83 
4.2高精度 Grünwald–Letnikov導數算法的嘗試 87 
4.2.1基于 FFT的算法 88 
4.2.2系數計算的遞推公式  90 
4.3高精度 Grünwald–Letnokov算法與實現(xiàn)  95 
4.3.1非零初值的分解與補償 95 
4.3.2高精度算法與實現(xiàn)  96 
4.3.3算法的測試與評價  97 
4.3.4再論矩陣算法  100 
4.4 Caputo微分的高精度算法  100 
4.4.1算法與實現(xiàn)  101 
4.4.2算法的測試與評價  101 
4.4.3基準測試問題求解  103 
4.5更高階分數階導數的計算 105 
4.5.1整數階高階導數的高精度算法  105 
4.5.2高階分數階導數計算  107
本章習題  110
參考文獻  112
第 5章分數階微積分算子與系統(tǒng)的近似  113 
5.1線性整數階模型的表示與分析  114 
5.1.1數學模型輸入與處理  114 
5.1.2時域與頻域響應  115 
5.1.3分數階線性系統(tǒng)的建模與分析  115 
5.2基于連分式的幾種近似方法  116 
5.2.1連分式近似  116 
5.2.2 Carlson近似  118 
5.2.3 Matsuda–Fujii近似 121 
5.2.4擬合效果與濾波器參數選擇的關系  123 
5.3 Oustaloup濾波器近似  124 
5.3.1常規(guī)的 Oustaloup近似  124 
5.3.2一種改進的 Oustaloup濾波器 129 
viii分數階微積分學——數值算法與實現(xiàn) 
5.4分數階傳遞函數的整數階近似  132 
5.4.1分數階傳遞函數的高階近似  132 
5.4.2基于模型降階技術的低階近似方法  135 
5.5無理分數階模型的近似  140 
5.5.1隱式無理模型的近似  140 
5.5.2頻域響應近似方法  141 
5.5.3 Charef近似  144 
5.5.4復雜無理模型的最優(yōu) Charef濾波器設計 148 
5.6離散濾波器近似  154 
5.6.1 FIR濾波器逼近  155 
5.6.2 IIR濾波器逼近  157 
5.6.3基于階躍或沖激響應不變性的離散濾波器  159
本章習題  161
參考文獻  163
第 6章線性分數階微分方程的解析解與數值解 165 
6.1線性分數階微分方程簡介 165 
6.1.1線性分數階微分方程的一般形式  166 
6.1.2不同定義下的分數階導數初值問題  166 
6.1.3一個重要的 Laplace變換公式  168 
6.2一些線性分數階微分方程的解析解方法 169 
6.2.1線性單項分數階微分方程  169 
6.2.2雙項分數階微分方程  169 
6.2.3三項分數階微分方程  170 
6.2.4一般 n項分數階微分方程  171 
6.3同元次線性微分方程的解析求解  172 
6.3.1同元次微分方程的一般形式  172 
6.3.2線性分數階微分方程求解的一些常用 Laplace變換公式  174 
6.3.3同元次微分方程的解析解  175 
6.4零初值線性分數階微分方程的閉式解算法  179 
6.4.1閉式解算法  179 
6.4.2分數階線性模型的沖激響應  181 
6.4.3分數階微分方程數值解的檢驗  183 
6.4.4基于矩陣的求解算法  184 
6.4.5高精度閉式解算法  186 
6.5非零初值線性 Caputo微分方程的數值解法  188 
6.5.1 Caputo微分方程的數學描述  188 
6.5.2 Taylor輔助函數算法 188 
6.5.3 Caputo微分方程的高精度算法 191 
6.6線性分數階狀態(tài)方程求解 197 
6.6.1線性分數階系統(tǒng)的狀態(tài)方程描述  197 
6.6.2狀態(tài)轉移矩陣  198 
6.6.3非同元次系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型  201 
6.7無理分數階微分方程的數值解法  202 
6.7.1無理分數階傳遞函數描述  202 
6.7.2基于數值 Laplace反變換的仿真方法  202 
6.7.3閉環(huán)無理系統(tǒng)的時域響應計算  205 
6.7.4任意輸入信號的時域響應  207 
6.8線性分數階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定  208 
6.8.1線性同元次分數階系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定 209 
6.8.2非同元次系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定  211 
6.8.3無理系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定 214
本章習題  216
參考文獻  217
第 7章非線性分數階微分方程的數值求解  219 
7.1分數階微分方程描述  220 
7.1.1分數階微分方程的一般形式  220 
7.1.2同元次狀態(tài)方程  221 
7.1.3擴展狀態(tài)方程  221 
7.2非線性 Caputo微分方程的數值解算法 223 
7.2.1標量型同元次方程的數值解方法  223 
7.2.2向量型同元次 Caputo微分方程的求解  227 
7.2.3分數階擴展狀態(tài)方程的數值求解  231 
7.2.4基于代數方程求解的微分方程算法  237 
7.3 Caputo微分方程的高效高精度算法 239 
7.3.1預估方程 239 
7.3.2校正求解方法  242
本章習題  244
參考文獻  246 
x分數階微積分學——數值算法與實現(xiàn)
第 8章基于框圖的分數階微分方程求解  247 
8.1 FOTF工具箱與模塊集簡介  247 
8.1.1分數階傳遞函數模塊的輸入與連接  248 
8.1.2分數階線性狀態(tài)方程模型  250 
8.1.3線性分數階系統(tǒng)的分析函數  250 
8.1.4 FOTF模塊集  251 
8.2零初值分數階微分方程的框圖解法  252 
8.2.1 Simulink建模準則  252 
8.2.2 Simulink的環(huán)境參數設置  253 
8.2.3分數階微分方程的 Simulink建模與求解  255 
8.2.4非線性分數階微分方程數值解的檢驗 261 
8.3非零初值 Caputo微分方程的框圖解法 262 
8.3.1顯式 Caputo微分方程的建模仿真方法  262 
8.3.2分數階狀態(tài)方程的 Simulink建模  267 
8.3.3階次大于 1的狀態(tài)方程處理方法 273 
8.4分數階反饋控制系統(tǒng)的 Simulink仿真  276 
8.4.1分數階傳遞函數模塊  276 
8.4.2分數階 PID控制器及閉環(huán)系統(tǒng)仿真  276 
8.4.3多變量控制系統(tǒng)的仿真 278
本章習題  280
參考文獻  282
第 9章特殊微分方程的數值求解 285 
9.1隱式微分方程  285 
9.1.1隱式 Caputo微分方程的高精度矩陣算法  285 
9.1.2隱式分數階微分方程的數值解法  289 
9.1.3基于剛性微分方程的求解方法  291 
9.1.4隱式模塊的逼近效果  292 
9.2延遲微分方程的求解  294 
9.2.1基本測試問題的設計  295 
9.2.2歷史函數的建模  295 
9.2.3延遲微分方程的求解  296 
9.3微分方程的邊值問題求解 299 
9.3.1邊值問題的數學形式  299 
9.3.2打靶法的最優(yōu)化與代數方程建模  300 
9.3.3 Simulink的快速重啟設置  302 
9.3.4邊值問題的直接求解  302 
9.4時間分數階偏微分方程的數值求解  307
本章習題  314
參考文獻  316
附錄A分數階微分方程求解的基準測試問題 317 
A.1基準測試問題的數學描述與證明  317 
A.1.1分數階常微分方程初值問題 317 
A.1.2分數階微分方程的邊值問題 322 
A.1.3分數階延遲微分方程  323 
A.2基本測試問題 Simulink模塊組 324
本章習題  325
參考文獻  326
附錄B分數階和無理函數相關的Laplace反變換  327 
B.1分數階微積分學常用的特殊函數  327 
B.2 Laplace反變換表  328
參考文獻  330
附錄C FOTF工具箱函數與模型  331 
C.1基本計算函數  331 
C.1.1特殊函數與其他數學問題計算與支持函數 331 
C.1.2分數階微積分數值計算  332 
C.1.3濾波器設計 332 
C.1.4線性分數階微分方程求解 332 
C.1.5非線性分數階微分方程求解 333 
C.2面向對象的程序設計  333 
C.2.1分數階傳遞函數的 FOTF類 333 
C.2.2分數階狀態(tài)方程的 FOSS類  334 
C.3 Simulink模型 335 
C.3.1 Simulink的 FOTF模塊集  336 
C.3.2重要的可重用分數階系統(tǒng)仿真模型  336
參考文獻  336
索引  337