四維流形的幾何

　　本書對四維流形幾何學的現(xiàn)代研究提供了清晰且易于理解的描述，是該領(lǐng)域的經(jīng)典。書中對四維流形拓撲發(fā)展的主線進行了透徹的講解——特別是四維流形的新不變量的定義——并且還對幾何和全局分析的相關(guān)主題進行了廣泛的處理。本書源自第一作者菲爾茲獎得主西蒙·唐納森（S.K. Donaldson）在牛津大學1985年和1986 年的兩份課程講義，這些課程討論楊-米爾斯理論在四維流形拓撲學中的應用。物理學中的楊-米爾斯理論可能有助于闡明四維流形幾何中的深層問題，這一想法自 1984 年以來一直為數(shù)學家和物理學家的工作注入活力，并激發(fā)了許多令人興奮的不同領(lǐng)域?qū)＜议g的互動。這些結(jié)果對幾何、拓撲和數(shù)學物理產(chǎn)生了深遠的影響，并成為數(shù)學研究的主要動力。這個想法在很大程度上就歸功于唐納森爵士。全書的內(nèi)容按兩個目的組織起來。首要的目標是對這些新技術(shù)給出一個自足的綜合處理，因為它們已經(jīng)被應用于四維流形的研究中。第二個目標是把楊-米爾斯理論自身的一些發(fā)展，置于當代的微分和代數(shù)幾何的框架中。不考慮拓撲上的應用，來自楊-米爾斯理論的想法自1970年代后期以來由眾多數(shù)學家發(fā)展起來，已經(jīng)指明了幾何學的一個現(xiàn)代研究方向。本書作者嘗試把這些想法中的一部分呈現(xiàn)出來，以期彌補教科書和研究論文間的差距。所有研究涉及該主題的數(shù)學和理論物理研究者都需要閱讀本書。

　　西蒙·唐納森（S.K. Donaldson），英國數(shù)學家，目前為倫敦帝國學院教授和紐約州立大學石溪分校西蒙斯幾何與物理中心常任研究員，他還曾在牛津大學、普林斯頓高等研究院、斯坦福大學工作。80年代，當他還是一位牛津大學的研究生，利用從規(guī)范場論發(fā)展出來的技術(shù)手段，尤其是對橢圓偏微分方程的創(chuàng)造性應用，他找到了四維流形的系列不變量，進而發(fā)現(xiàn)特定的四維流形容許無窮多個微分結(jié)構(gòu)，“震驚了數(shù)學界”（Atiyah，1986）。他獲得的榮譽包括：菲爾茲獎.（1986）、英國皇家獎章（1992）、克拉福德獎（1994）、內(nèi)默斯數(shù)學獎（2008）、邵逸夫獎（2009）、數(shù)學突破獎（2014）和沃爾夫獎（2020）等。他是英國皇家學會、美國國家科學院、法國科學院、俄羅斯科學院、瑞典皇家科學院等眾多科學院的院士。彼得·克倫海默（P.B. Kronheimer），英國數(shù)學家，英國皇家學會院士，目前為哈佛大學William Caspar Graustein數(shù)學講席教授，并曾擔任數(shù)學系主任。他以規(guī)范場論及其在三維和四維拓撲學中的應用而聞名。他獲得的榮譽包括：懷特海德獎（1993）、上沃爾法赫獎（1998）、維布倫幾何學獎（2007）、杜博獎（2011）和斯蒂爾開創(chuàng)性研究貢獻獎（2023）等。