鞅與隨機微分方程（第二版）

目錄
前言
第一版前言
全文符號
第一篇　概率論基礎
第1章　可測空間與乘積可測空間　3　
1.1　σ代數理論　3　
1.1.1　σ代數　3　
1.1.2　單調類定理　7　
1.2　可測空間和乘積可測空間　10　
1.2.1　可測空間　10　
1.2.2　有限維乘積可測空間　11　
1.2.3　無窮維乘積可測空間　13　
1.3　可測映射與隨機變量　15　
1.3.1　映射、可測映射　15　
1.3.2　可測函數——隨機變量　16
1.3.3　可測函數的運算　17　
1.3.4　函數形式的單調類定理　20　
1.3.5　多維隨機變量　21　
第2章　測度與積分　23　
2.1　測度與測度空間　23　
2.1.1　測度空間　23　
2.1.2　代數上的測度　24　
2.1.3　完備測度　25　
2.1.4　分布函數及其生成的測度　26　
2.2　隨機變量的數字特征　29　
2.2.1　積分——期望　29　
2.2.2　隨機變量的矩　32
2.2.3　隨機向量的數學特征　34　
2.3　隨機變量及其收斂性　35　
2.3.1　隨機變量的等價類　35　
2.3.2　幾乎必然（a.s.）收斂　37　
2.3.3　依概率收斂　38　
2.3.4　依分布收斂　39　
2.3.5　平均收斂　40　
2.4　獨立性與零一律　41　
2.4.1　獨立性　41　
2.4.2　零一律　43　
2.5　乘積可測空間上的測度　45　
2.5.1　有限維乘積空間上的測度　46　
2.5.2　無限維乘積空間上的測度　51　
第3章　條件期望　55　
3.1　廣義測度　55　
3.1.1　Hahn-Jordan分解　55　
3.1.2　Lebesgue分解　58　
3.1.3　Radon-Nikodym定理　61　
3.2　條件期望　65　
3.2.1　條件期望的定義　65　
3.2.2　條件期望的性質　68　
3.2.3　條件概率分布　71　
3.2.4　條件獨立性　78　
第二篇　鞅
第4章　隨機過程　83　
4.1　隨機過程的概念　83　
4.2　可料過程　91　
4.3　停時　96　
4.3.1　連續(xù)時間隨機過程的停時　96　
4.3.2　離散時間隨機過程的停時　102　
4.3.3　停時隨機變量　104　
4.3.4　停時過程和截斷過程　106　
4.4　Lp收斂和一致可積　108
4.4.1　Lp收斂　108
4.4.2　隨機變量族的一致可積　110
第5章　鞅　120
5.1　鞅、下鞅和上鞅　120　
5.1.1　鞅、下鞅和上鞅的定義　120　
5.1.2　鞅的凸理論　125　
5.1.3　離散時間的增過程和Doob分解　125　
5.1.4　鞅變換　128　
5.2　下鞅基本不等式　131　
5.2.1　可選停時和可選采樣　132　
5.2.2　極大和極小不等式　139　
5.2.3　上穿和下穿不等式　147　
5.3　下鞅的收斂性　156　
5.3.1　離散時間下鞅的收斂性　156　
5.3.2　連續(xù)時間下鞅的收斂性　161　
5.3.3　用一個*終元素封閉下鞅　164　
5.3.4　離散時間平方可積（L2）鞅　167　
5.4　一致可積下鞅　172　
5.4.1　一致可積下鞅的收斂性　172　
5.4.2　逆時間下鞅　172　
5.4.3　無界停時的可選采樣　180　
5.4.4　停時隨機變量族的一致可積性　187　
5.5　下鞅樣本函數的正則性　190　
5.5.1　右連續(xù)下鞅的樣本函數　190　
5.5.2　下鞅的右連續(xù)修正　194　
5.6　連續(xù)時間的增過程　202　
5.6.1　關于增過程的積分　202　
5.6.2　右連續(xù)類（DL）下鞅的Doob-Meyer分解　207　
5.6.3　正則下鞅　225　
第三篇　隨機積分　
第6章　隨機積分　235　
6.1　平方可積鞅和它的二次變差過程　235　
6.1.1　右連續(xù)平方可積（L2）鞅空間　235
6.1.2　局部有界變差過程　244　
6.1.3　右連續(xù)平方可積（L2）鞅的二次變差過程　247　
6.2　關于鞅的隨機積分　252　
6.2.1　有界左連續(xù)適應簡單過程關于L2鞅的隨機積分　252　
6.2.2　可料過程關于L2鞅的隨機積分　261　
6.2.3　截斷被積函數和用停時停止積分　272　
6.3　適應Brownian運動　278　
6.3.1　獨立增量過程　278　
6.3.2　Rd值Brownian運動　280　
6.3.3　一維Brownian運動　287　
6.3.4　關于Brownian運動的隨機積分　292　
6.4　隨機積分的推廣　300　
6.4.1　局部平方可積（L2）鞅和它們的二次變差　300　
6.4.2　隨機積分對局部鞅的推廣　306　
6.5　關于擬鞅的It公式　311　
6.5.1　連續(xù)局部半鞅和關于擬鞅的It公式　311　
6.5.2　關于擬鞅的隨機積分　326　
6.5.3　指數擬鞅　328　
6.5.4　關于擬鞅的多維It公式　330　
6.6　It隨機微積分　335　
6.6.1　隨機微分的空間　335　
6.6.2　It過程　340　
6.6.3　矩不等式　345　
6.6.4　Gronwall型不等式　352　
第四篇　隨機微分方程理論　
第7章　It型隨機微分方程的一般理論　357　
7.1　隨機微分方程概述　357　
7.1.1　問題介紹　357　
7.3　解的估計　370　
7.3.1　解的Lp-估計　370　
7.3.2　解的幾乎處處漸近估計　375　
7.4　It型隨機微分方程的近似解　384　
7.4.1　Caratheodory近似解　385　
7.4.2　Euler-Maruyama近似解　389　
7.4.3　強解和弱解　391　
7.5　SDE和PDE：Feynman-Kac公式　393　
7.5.1　Dirichlet問題　395　
7.5.2　初始邊界值問題　398　
7.5.3　Cauchy問題　399　
7.6　隨機微分方程解的Markov性　401　
第8章　線性隨機微分方程　409　
8.1　線性隨機微分方程簡介　409　
8.2　隨機Liouville公式　410　
8.3　常數變易公式　414　
8.4　幾種特殊情形的研究　417　
8.4.1　標量線性方程　417　
8.4.2　狹義線性方程　417　
8.4.3　自治線性方程　418　
8.5　某些特殊的線性隨機微分方程　419　
第9章　隨機微分方程的穩(wěn)定性　426　
9.1　穩(wěn)定性的一般概念　426　
9.2　解的依概率穩(wěn)定性　430　
9.3　解的幾乎必然指數穩(wěn)定性　440　
9.4　解的矩指數穩(wěn)定性　448　
9.5　隨機穩(wěn)定化與不穩(wěn)定化　457　
9.6　解穩(wěn)定性的進一步論題　463　
參考文獻　469　
名詞索引　470