欽定四庫(kù)全書(shū) 子部六
提要
益古演段三卷 天文算法類(lèi)二【算書(shū)之屬臣】等謹(jǐn)案益古演段三卷元李冶撰據(jù)至元壬午硯堅(jiān)序稱(chēng)冶測(cè)圓海鏡既巳刻梓其親舊省掾李師徴復(fù)命其弟師珪請(qǐng)冶是編刋行是書(shū)在測(cè)圓海鏡之后矣其曰益古演段者蓋當(dāng)時(shí)某氏算書(shū)【案冶序但稱(chēng)近世有某是冶已不知作者名氏】以方圓周徑冪積和較相求定為諸法名益古集冶以為其蘊(yùn)猶匿而未發(fā)因?yàn)橹蒲a(bǔ)條目厘定圖式演為六十四題以闡明奧義故踵其原名其中有草有條段有圖有義草即古立天元一法條段即方田少?gòu)V等法圖則繪其加減開(kāi)方之理義則隨圖解之蓋測(cè)圓海鏡以立天元一法為根此書(shū)即設(shè)為問(wèn)答為初學(xué)明是法之意也所列諸法文皆淺顯蓋此法雖為諸法之根然神明變化不可端倪學(xué)者驟欲通之茫無(wú)門(mén)徑之可入惟因方圓冪積以明之其理猶屬易見(jiàn)故冶于方圓相求各題下皆以此法步之為草俾學(xué)者得以易入自序稱(chēng)今之為算者未必有劉李之工而褊心局見(jiàn)不肯曉然示人惟務(wù)隱互錯(cuò)糅故為溟涬黯黮惟恐學(xué)者得窺其彷佛云云可以見(jiàn)其著書(shū)之防矣至其條段圖義觸類(lèi)雜陳則又以必習(xí)于諸法而后可以通此法故取以互相發(fā)也其書(shū)世無(wú)?本顧應(yīng)祥唐順之等見(jiàn)測(cè)圓海鏡而不解立天元一法遂謂秘其機(jī)以為竒則明之中葉業(yè)已散佚今檢永樂(lè)大典尚載有全編特録存之俾復(fù)見(jiàn)于世以為筭家之圭臬永樂(lè)大典所載不分卷數(shù)硯堅(jiān)序稱(chēng)三卷今約畧篇頁(yè)仍厘為三卷其?寫(xiě)訛謬者各以本法推之咸為校正焉乾隆四十六年七月恭校上
總纂官【臣】紀(jì)昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
總 ?！」佟 境肌俊￡憽≠M(fèi) 墀
益古演段序
算數(shù)之學(xué)其來(lái)尚矣率自九章支分派委劉徽李淳風(fēng)又為之注后之學(xué)者咸祖其法敬齋先生天資明敏世間書(shū)凡所經(jīng)見(jiàn)靡不洞究至于薄物細(xì)故亦不遺焉近代有移補(bǔ)方圓自成一家號(hào)益古集者大小七十問(wèn)【按書(shū)中六十四問(wèn)】先生一寓目見(jiàn)其用心之勤惜其秘而未盡剖露繙圖式繹條段可移則移之可補(bǔ)則補(bǔ)之祥【按祥字有脫誤應(yīng)作説之詳】非若溟涬黯黮之不可曉析之明非若淺近觕俗之無(wú)足觀厘為三卷目曰益古演段頗曉十百披而覽之辟如登坦途前無(wú)滯礙旁蹊曲徑自可縱橫而通嘉恵后來(lái)為視隠互雜糅惟恐人窺其彷佛者相去大有逕庭矣先生又盡攄已見(jiàn)輯為測(cè)圓海鏡一編二百問(wèn)【按今本一百七十問(wèn)】同出一原致宻纎悉備而不防叅考互見(jiàn)真學(xué)者之指南也海鏡既命工刻梓省掾李師征其親舊也囑弟師珪請(qǐng)是編刋而行之將與眾共推善及人良可尚也已數(shù)學(xué)在六藝為未求之人最為切要邇來(lái)精其能者殊鮮自非先生學(xué)有余力誠(chéng)能搜剔軒轅隸首之奧有不暇矣雖然是特大烹之一臠耳若夫先生胷中渾涵停蓄測(cè)之愈深挹之不窮時(shí)發(fā)于翰墨昭不可揜者則大全集在當(dāng)嗣此出愿肅袵以觀至元壬午仲秋二十六日鄖城硯堅(jiān)序
自序
術(shù)數(shù)雖居六藝之末而施之人事則最為切務(wù)故古之博雅君子馬鄭之流未有不研精于此者也其撰著成書(shū)者無(wú)慮百家然皆以九章為祖而劉徽李淳風(fēng)又加注釋而此道益明今之為算者未必有劉李之工而褊心局見(jiàn)不肯曉然示人惟務(wù)隠互錯(cuò)糅故為溟涬黯黮惟恐學(xué)者得闚其彷佛也不然則又以淺近觕俗無(wú)足觀者致使軒轅隸首之術(shù)三五錯(cuò)綜之妙盡墮于市井沾沾之兒及夫荒村下里蚩蚩之民殊可憫悼近世有某者以方圓移補(bǔ)成編號(hào)益古集真可與劉李相頡頏予猶恨其閉匿而不盡發(fā)遂再為移補(bǔ)條段細(xì)繙圖式使粗知十百者便得入室啗其文顧不快哉客有訂愚曰子所述果能盡軒隸之秘乎愚應(yīng)之曰吾所述雖不敢追配作者誠(chéng)令后生軰優(yōu)而柔之則安知軒隸之秘不于是乎始客退因書(shū)以為自序時(shí)大元己未夏六月二十有四日欒城李冶序
欽定四庫(kù)全書(shū)
益古演段卷上 元 李冶 撰第一問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一十三畝七分半并不記內(nèi)圓外方只云從外田楞至內(nèi)池楞四邊各二十步問(wèn)內(nèi)圓外方各多少
答曰外田方六十步 內(nèi)池徑二十步
法曰立天元一為內(nèi)池徑加倍至步得□丨【按太即真數(shù)此
即四十步并一池徑】為田方靣【按方靣即每邊】以
自增乗得□□丨【按此即一千六百步八十
池徑一平方并】為方積于頭再立天元
一為內(nèi)池徑以自之又三因四
而一得【太○】○□【按此即百分平方之七十五上二○存步與池之位】為池積以減頭位得□□□【按此即一千六百步八十池徑二分半平方】為一段虛積寄左然后列直積以畝法【按畝法二百四十步】通之得三千三百步與左相消【按相消者兩邊同減一千六百歩后凡言相消者皆?xún)蛇劶訙p一數(shù)也】得□□□【按此即一千七百歩與八十池徑二分半平方等】開(kāi)平方得二十步為圓池徑也倍至步加池徑即外方靣也按今借根方法即立天元一法詳見(jiàn)
御制數(shù)理精蘊(yùn)茲不盡釋
以條段求之真積內(nèi)減四段至步冪為實(shí)四之至步為從二分半常法
義曰真積內(nèi)減四段至步冪者是減去四隅也以二分半為常法者是于一步之內(nèi)占卻七分半外有二
分半也
第二問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一十三畝七分半并不記徑面只云從外田南楞通內(nèi)池北楞四十步問(wèn)內(nèi)圓外方各多少
答曰同前
法曰立天元為池徑減倍通步
得□丨【按此即八十步少一圓徑】為田方靣
以自増乗得□□丨【按此即六千四百步
少一百六十徑多一平方】為方田積于頭又
以天元池徑自之三因四而一得【太 ○○】□【按此即百分平方之七十五】為池積以減頭位得□□□【按此即六千四百步少一百六十徑多二分半平方】為一段虛積寄左然后列真積三千三百步與左相消得□□□【按此即三千一百步與一百六十徑少二分半平方等】開(kāi)平方得二十歩即內(nèi)池徑也倍通步內(nèi)減池徑為方靣也
依條段求之倍通步自乗于頭位以田積減頭位余為實(shí)四之通步為從二分半虛常法
義曰倍通步者是于方靣之外引出一圓也用二分半虛常法者是一個(gè)虛方內(nèi)卻有減余圓池補(bǔ)了七分半外欠二分半故以之為虛隅也
第三問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一萬(wàn)一千三百二十八歩只云從外田角斜至內(nèi)池楞各五十二步問(wèn)靣徑外方各多少
答曰外田方一百二十步 內(nèi)池徑六十四步
法曰立天元一為內(nèi)池徑加倍
至步得□丨為方斜以自増乗
得□□丨為方斜冪于頭【其方斜上
本合身外減四今不及減便是寄一步四分為分母也今此方斜冪乃】
【是變斜為方靣以自乘之?dāng)?shù)又別得是展起之?dāng)?shù)也】又立天元為池徑自之又三因四而一為池積今為方田積既以展起則此池積亦須展起故又用一步九分六厘乗之得一步四分七厘亦為一個(gè)展起底圓池積也【以一步九分六厘乘之者葢為分母十四以自之得一步九分六厘也】以池積減田積余□□□為一段虛積寄左然后列真積一萬(wàn)一千三百二十八步亦用分母冪一步九分六厘乗之【或兩度不加四亦同】得二萬(wàn)二千二百○二步八分八厘與左相消得□□□平方開(kāi)之得六十四步為內(nèi)池徑也倍至步加池徑身外除四見(jiàn)方靣也 一法求所展池積以徑自之了更不湏三因四除及以一步九分六厘乗之只于徑冪上以一步四分七厘【按此即三因四除一步九分六厘之?dāng)?shù)】乗之便為所展之池積也
依條段求之展積內(nèi)減四段至步冪余為實(shí)四之至步為從四分七厘益隅
義曰凡言展積者是于正積上以一步九分六厘乗起之?dāng)?shù)元法本是方靣上寄一步四分分母自乗過(guò)于每步上得一步九分六厘故今命之為展起之?dāng)?shù)
也諸變斜為方者皆?xún)怂?br /> 之池積是于一步圓積上展出
九分六厘若以池徑上取斜為
外圓徑則一步上止生得四分
七厘也故以四分七厘為虛常法又取方冪一步九分六厘四分之三亦得圓積一步四分七厘也按法內(nèi)皆以徑一周三方五斜七為率故各靣積分?jǐn)?shù)與宻率不合葢此書(shū)専為明理而作宻率數(shù)繁礙于講解故用古率以從簡(jiǎn)且其法既明即用宻率亦無(wú)不可
第四問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一萬(wàn)一千三百二十八步只云從外田角斜通池徑得一百一十六步問(wèn)靣徑外方各多少
答曰外田方一百二十步 內(nèi)池徑六十四步
法曰立天元一為圓徑減倍通步得下□丨為方斜
以自之得□□丨便為所展方
田積于上再立天元一為池徑
以自之又以一步四分七厘乗
之得【太 ○○】□ 【步】便為所展圓池
積也以池積減上田積余得□□□為一段如積寄左然后列真積如法展之得二萬(wàn)二千二百○二步八分八厘與左相消得□□□平方開(kāi)之得六十四步為內(nèi)池徑也以池徑減倍通步即是方田斜身外除四為方靣也
以條段求之四段通步冪內(nèi)減展積為實(shí)四之通步為從四分七厘常法
義曰四之通步為從其減
積外實(shí)欠一個(gè)方今即有展
池減時(shí)所剰之積補(bǔ)卻一
個(gè)虛方外猶剰一個(gè)四分
七厘為常法也
第五問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一十三畝二分只云內(nèi)圓周不及外方周一百六十八步問(wèn)方圓各多少
答曰外方周二百四十步 內(nèi)圓周七十二步
法曰立天元一為內(nèi)圓周加一百六十八步得□丨為外方周以自増乗得□□丨為一十六個(gè)方田積又三因之得□□□為四十八段方田積于頭【所以三因
為四十八者就為四十八分母也】再立天元圓
周以自之【元○】丨為十二段圓池
積【圓周冪為九個(gè)圓徑冪每三個(gè)圓徑冪為四個(gè)圓池積今九
個(gè)圓徑冪共為十二個(gè)圓池積也】又就分四之
得【元○】□為四十八個(gè)圓池積以減頭位得□□丨為四十八段如積寄左然后列真積一十三畝二分以畝法通之得三千一百六十八步又就分母四十八之得一十五萬(wàn)二千○六十四步與寄左相消得□□丨平方開(kāi)之得七十二步為內(nèi)圓周也三而一為池徑
依條段求之四十八段田積內(nèi)減三段不及步冪為實(shí)六之不及為從一虛隅
義曰每一個(gè)方周方為十六段方田積今三之為四十八段方田積也內(nèi)除了三個(gè)圓周冪外于見(jiàn)積上虛了一個(gè)圓周冪也今求圓周故以一步為虛隅法舊術(shù)曰以十六乗田積為頭位【以合方周之積】以不及步自乗減頭位余三之為實(shí)六之不及步為從法防常以一步為減從法
第六問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地二千六百七十三步只云內(nèi)圓周與外方靣數(shù)等問(wèn)各多少答曰外方靣內(nèi)圓周各五十四步
法曰立天元一為方靣【便是圓周】以
自之得元丨便為十二段池積
也再立天元方靣以自之又十
二之得【元○】□為十二段方田積
也二數(shù)相減余【元○】□為十二段如積寄左然后列真積就分母十二之得□與左相消得□□平方開(kāi)之得五十四步為方靣亦為圓周徑也
依條段求之十二之真積為實(shí)無(wú)從一十一步常法
義曰一個(gè)方田積便是一
個(gè)圓周積也一個(gè)圓周積
便是十二個(gè)圓池積今將
一十二個(gè)圓池積減于十
二個(gè)方田積通有十一段方田積也
舊術(shù)曰以十二乗田如十一而一所得開(kāi)方除之合前問(wèn)也
又法立天元一為等數(shù)以自之為外田積又就分母九之得【元○】□為九個(gè)方田積于頭又立天元等數(shù)以自之為十二個(gè)圓池積也三之四而一得【元○】□為九個(gè)圓池以減頭位得【元○】□為九段如積寄左然后列真積就分九之得二萬(wàn)四千○五十七步與左相消得□○□平方開(kāi)得五十四步為等數(shù)也
依條段求之九之積為實(shí)無(wú)從八步二分半為常法義曰每一個(gè)方冪為十二個(gè)圓池今將見(jiàn)有底九個(gè)
圓池去了七分半余二分半并
實(shí)有八個(gè)方恰是八個(gè)二分半
也
又法立天元一為徑以三之為
外方靣以自之得【元○】□為外方積于上再立天元圓徑以自之三之四而一得【元○】□為圓池積也以此圓積減方積得【元○】□為一段如積寄左然后列真積與左相消得下式□○□平方開(kāi)得一十八步為圓徑也
以條段求之積為實(shí)八步二分半為常法
義曰中間一方除圓池四分之
三外有四分之一即是一步內(nèi)
得二分半也
舊術(shù)曰列積步以八步二分半
為法除之所得再開(kāi)方見(jiàn)內(nèi)圓徑
第七問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一千三百五十七步只云外方靣不及內(nèi)池周一十四步問(wèn)方圓各多少
答曰方靣四十步 圓周五十四步
法曰立天元一為外方加不及
一十四步得□丨為內(nèi)周以自
増乗得□□丨為十二個(gè)圓池
積于頭再立天元方靣以自之
又十二之為十二個(gè)方田積內(nèi)減頭位得□□□為十二段如積寄左然后列見(jiàn)積一千三百五十七步就分母十二通之得一萬(wàn)六千二百八十四步與左相消得□□□開(kāi)平方得四十步為外方靣也依條段求之十二之積內(nèi)加入不及步冪為實(shí)二之不及步為虛從十一步常法
義曰其十二段積內(nèi)?起十二個(gè)圓池其十二個(gè)圓池補(bǔ)成一個(gè)圓周方其圓周多于方靣十四步故
自之為冪加入所
欠之一角又二之
為虛從恰得十一
個(gè)方也
第八問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外有地一十三畝七分半只云內(nèi)外方圓周共相和得三百步問(wèn)方圓周各多少
答曰外方周二百四十步 內(nèi)圓周六十步
法曰立天元一為圓徑以三之
為圓周以減共步得□□為方
周以自増乗得□□□為十六
段方田積于頭再立天元圓徑
以自之又十二之得【太○】○□為十六個(gè)圓池積以減頭位得□□□為十六段如積寄左然后列真積一十三畝七分半以畝法通之得三千三百步又就分母一十六通之得五萬(wàn)二千八百步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十步為圓池徑又三之為圓周也依條段求之和步冪內(nèi)減十六之見(jiàn)積為實(shí)六之和步為從三步常法
義曰十六個(gè)圓池該十二個(gè)方內(nèi)從步合除去九個(gè)方外猶剰三個(gè)方故以三步為常法也
舊術(shù)曰列相和步自乗為頭位又以十六之田積減頭位又六而一為實(shí)以相和步為從法廉常置五分
第九問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地三千一百六十八步只云內(nèi)外周與實(shí)徑共相得三百三十步問(wèn)三事各多少
答曰外方周二百四十步 實(shí)徑十八步 圓周七十二步
法曰立天元一為池徑以五之
減倍之相和步得□□為九個(gè)
方靣以自増乗得□□□為八
十一段方田積于頭位【二之相和步別】
【得是八方面六圓徑二實(shí)徑今?二實(shí)徑與一圓徑就成一方靣共前數(shù)計(jì)九方靣五圓徑卻更無(wú)實(shí)徑也】再立天元池徑以自之又以六十步七分半乗之得【元○】□為八十一個(gè)圓池【所以用六十步七分半乘之者欲齊其八十一分母也每個(gè)圓池七分半以八十一通之得六十步七分半也】以此減頭位余□□□為八十一段如積寄左然后列真積三千一百六十八步以八十一通之得二十五萬(wàn)六千六百○八與
左相消得下□□□ 【步】開(kāi)平方得二十四步為池徑也五因池徑減倍相和余九而一得方田靣以池徑減方余折半為實(shí)徑
依條段求之倍共步自乗于頭以八十一之田積減頭位余為實(shí)二十之共步為從三十五步七分半為常法
義曰八十一個(gè)方田內(nèi)?起八
十一個(gè)圓池每個(gè)圓池七分半
此八十一個(gè)計(jì)該六十步七分
半其從步內(nèi)合除去二十五個(gè)
外猶剰三十五個(gè)七分半故以之為常法也
舊術(shù)曰倍相和步自乗為頭位又以八十一乗田積減頭位余退一位為實(shí)倍相和步為從法廉常置三步五分七厘半
第十問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地三千一百六十八步只云內(nèi)外方圓周與斜徑共相和得三百四十二步問(wèn)三事各多少
答曰外方周二百四十步 內(nèi)圓周七十二步
斜三十步
法曰立天元一為池徑以二十
五之減于十之相和三千四百
二十步得□□為四十七個(gè)外
方靣以自増乗得□□□為二
千二百九段方田積于頭位【十之相和步三千四百二十為方靣四十個(gè)內(nèi)池徑三十個(gè)斜至步一十個(gè)以一十個(gè)斜至步合入五個(gè)池徑共得五斜此五斜卻便是七個(gè)方靣計(jì)總數(shù)該四十七個(gè)方靣二十五個(gè)圓徑外更無(wú)斜至步也】再立天元池徑以自之又以一千六百五十六步七分半乗之得【元○】 □為二千二百○九個(gè)圓池積也【所以用一千六百五十六步七分半乗之者欲齊其二千二百○九分母也每一個(gè)圓池積七分半今有二千二百○九個(gè)圓池積以七分半乘之該一千六百五十六步七分半也】以此減頭位得□□□為二千二百九段如積數(shù)寄左然后列真積三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九萬(wàn)八千一百一十二步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十四步即池徑也以二十五之圓徑減十之和步余四十七而一得為外方靣身加四內(nèi)減了圓池徑余折半為斜徑也
按法內(nèi)所用四十七方靣之?dāng)?shù)亦由立天元一法取出但截去前段恐初學(xué)不能無(wú)疑茲仍依其法補(bǔ)之
法立天元一為池徑五因之以減倍和得□□為八方靣一斜共數(shù)以方五因之得□□為實(shí)又以方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七并之得四十七為法除實(shí)得方靣不除便為四十七個(gè)方靣也
依條段求之相和步進(jìn)一位自乗于頭位以二千二百九之真積減頭位余為實(shí)五百之和步為益從一千三十一步七分五厘為益隅
義曰減數(shù)系是二千二百九段方靣冪內(nèi)卻漏下二千二百九個(gè)圓池此數(shù)該一千六百五十六個(gè)七分
圓徑冪卻于從步上疊用了六
百二十五個(gè)池徑冪外猶剰一
千三十一個(gè)七分五厘故以之
為隅法其從法元有五十個(gè)圓
徑今命為之五百者縁相和步進(jìn)一位也
舊術(shù)曰列相和步進(jìn)一位自相乗為頭位以二千二百九之積減頭位余以三之為實(shí)又以一千五百之相和步為從法廉常置三千九十五步二分半開(kāi)平方見(jiàn)池徑
第十一問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地二十五畝余二百四步只云從外田楞至四邊各三十二步問(wèn)外圓內(nèi)方各多少
答曰外圓徑一百步 內(nèi)方靣三十六步
法曰立天元一為內(nèi)方靣加倍至步為外田徑以自之得下式□□丨又三之得□□□為四段圓田積
于頭再立天元方靣以自之又
就分母四之得【元○】□為四池積
以減頭位得□□丨為四段如
積數(shù)寄左然后列真積又就分
四之得二萬(wàn)四千八百一十六步與左相消得□□丨開(kāi)平方得三十六步為方池靣也加倍至步即圓徑也
依條段求之四之積步于頭位【作三個(gè)外圓徑冪內(nèi)出了四個(gè)方池積也】?jī)?nèi)減十二之至步冪為實(shí)十二之至步為從一虛隅
義曰四個(gè)外圓田內(nèi)減了十二段至步冪復(fù)以十二之至步為從又合去四個(gè)方池今元積內(nèi)有三個(gè)虛池外猶欠一個(gè)虛池故以一步為虛隅常減從以為法
又有圓田一段中有方池水占之外有田五十步只云方池一尖抵圓邊其一尖至圓邊三步問(wèn)圓徑方靣各若干
答曰徑十歩 靣五步
法曰立天元一為方斜加三步
為圓徑以自之又以一步九分
六厘乗之得□ 【步】□□【按此為一平方
九分六厘多十一元七分六厘多十七步六分四厘諸條皆步】
【數(shù)在上此條獨(dú)步數(shù)在下】又三之得□ 【步】□□內(nèi)減四之天元冪得上層□中下云云【按即多三十五元二分八厘多五十二平方九分二厘】寄左然后置五十步兩度加四得□【步】又四之得□【步】與左相消得下層三百三十九步○八厘【按此下當(dāng)加與一平方八分八厘多三十五元二分八厘等十八字方明】負(fù)開(kāi)平方得七步即池斜也副置池斜上位加至步即圓徑下位身外減四即方靣也合問(wèn)
依條段求之四段展起見(jiàn)積內(nèi)減三段展起至步冪為實(shí)六之至步展起為從一步八分八厘為常法也此問(wèn)若求方靣則其法甚易今求方斜故其圖須細(xì)分之
義曰三個(gè)九分六厘共計(jì)二步八分八厘其元初作四段如積時(shí)合有四個(gè)所展之池今來(lái)只見(jiàn)三個(gè)故于二步八分八厘內(nèi)去卻一步有余只有一步八分八厘為常法也【此法于別紙上抄得故録于此】
第十二問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外有地二十五畝零二百四步只云從外田楞通內(nèi)方方靣六十八步問(wèn)各數(shù)若干
答曰外圓徑一百步內(nèi)方靣三十六步
法曰立天元一為內(nèi)方靣減倍通步得□丨為外圓
徑以自之得□□丨為圓徑冪
以三之得□□□為四段圓田
積于頭再立天元內(nèi)方靣以自
之又就分母四之得【元○】□為四
段方池積以減頭位得□□丨為四段如積數(shù)寄左然后以四之見(jiàn)積二萬(wàn)四千八百一十六步與左相消得□□丨平方開(kāi)之得三十六步為內(nèi)方靣也減倍通步即圓徑
依條段求之十二段至步冪內(nèi)減四之見(jiàn)積為實(shí)十二之通步為從一常法
義曰所減數(shù)內(nèi)剰
下四個(gè)方池疊補(bǔ)
了三個(gè)外猶剰一
個(gè)故以之為常法
第十三問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地五千步只云從外田楞至內(nèi)池角四邊各一十五步問(wèn)方圓各多少
答曰外圓徑一百步 內(nèi)方靣五十步
法曰立天元一為內(nèi)方靣身外
加四為內(nèi)方斜又加倍至步得
□□為外圓徑也以自増乗得
□□□為外徑冪以三之得□
□□為四段外圓積于頭再立天元內(nèi)方靣以自之又四之得【元○】□為四段方池積也以減頭位余□□□為四段如積數(shù)寄左然后列四之見(jiàn)積二萬(wàn)步與左相消得□□□開(kāi)平方得五十步為池方靣也身外加四又加入倍至步即為外田徑也
依條段求之四之積步內(nèi)減十二段至步冪為實(shí)十二之至步身外加四為從一步八分八厘為常法義曰三個(gè)九分六厘計(jì)二步八分八厘其四個(gè)圓田內(nèi)有四個(gè)方水池除從步合占三個(gè)外猶剰一個(gè)水
池卻于數(shù)內(nèi)取了一步余一步八分八厘故以之為常法也其從步加四者葢取斜中之方靣也葢不加四不能見(jiàn)方靣而但得方斜也
舊術(shù)曰四因積步為頭位又倍去角步自乗三之減頭位余折半為實(shí)又倍去角步三因加四為從法廉常置九分四厘
第十四問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地三百四十七步只云從田外楞通內(nèi)池斜三十五步半問(wèn)外圓內(nèi)方各多少
答曰外圓徑三十六步 內(nèi)方靣二十五步
法曰立天元一為內(nèi)方靣加四得【元□】為方斜以減倍通步得【太□】□為外圓徑以自増乗得□□□為外田
徑冪也以三之得□□□為四
段圓田積于頭再立天元內(nèi)方
靣以自之又就分四之得【元○】□
為四段方池以減頭位得□□
□為四段如積寄左然后列四之見(jiàn)積一千三百八十八步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十五步為內(nèi)方靣也方靣加四減于倍通步得圓徑也
依條段求之十二段通步冪內(nèi)減四之田積為實(shí)十二之通步加四為益從一步八分八厘常法
義曰此式元系虛從今以虛隅命之四段圓田減積時(shí)剰下四段方池于從步內(nèi)用訖三個(gè)外猶剰一個(gè)卻于二步八分八厘虛數(shù)內(nèi)補(bǔ)了一歩外虛一步八分八厘故以之為法【從負(fù)隅正或從正隅負(fù)其實(shí)皆同故因此廉從以別之】舊術(shù)曰倍通步自乗三之為頭位四因田積減頭位余為實(shí)又十二通步加四為從法廉常置一步八分八厘減從開(kāi)方【新舊廉從不同開(kāi)時(shí)則同故兩存之】
第十五問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地三十三畝一百七十六步只云內(nèi)方周不及外圓周一百五十二步問(wèn)外圓內(nèi)方各多少
答曰外圓周三百六十步 內(nèi)方周二百八步
法曰立天元一為內(nèi)方靣以四
之為內(nèi)方周加不及一百五十
二步得□□為外圓周以自増
乗得□□□為十二段圓田積
于頭再立天元內(nèi)方靣以自之又就分十二之得【元○】□為十二段方池積以減頭位余□□□為十二段如積寄左然后列見(jiàn)積八千○九十六步又就分十二之得九萬(wàn)七千一百五十二步與左相消得□□□平方開(kāi)得五十二步為內(nèi)池方靣也以四之為內(nèi)方周加不及步為圓周也
依條段求之十二段積步內(nèi)減不及步冪為實(shí)八之不及步為從四步為常法也
義曰十二段圓積該九段圓徑
冪九段圓徑冪便是九個(gè)圓周
冪也據(jù)十二段圓積內(nèi)元少十
二個(gè)方池今于周冪內(nèi)除折筭
外剰四個(gè)池積故以四步為常法也
舊術(shù)曰十二之積步為頭位以不及步自乗減頭位余八而一為實(shí)以不及步為從法廉常置半步開(kāi)平方【新舊二術(shù)不同者舊術(shù)從簡(jiǎn)耳算術(shù)本貴簡(jiǎn)易而猶立新術(shù)者縁舊術(shù)難畫(huà)條段也余仿此】第十六問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地三千五百六十四步只云內(nèi)方周與外圓徑等問(wèn)等數(shù)各若干答曰內(nèi)方周外圓徑各七十二步
法曰立天元一為等數(shù)便以為
方周以自之為十六個(gè)方池于
頭【元○】丨再立天元等數(shù)便以為
圓徑以自之又十二之得【元○】□
為十六段圓田積內(nèi)減頭位余【元○】□為十六段如積寄左然后列真積三千五百六十四步又就分十六之得五萬(wàn)七千○二十四步與左相消得□○□平方開(kāi)得七十二步即等數(shù)也
按法后落條段一條依前例補(bǔ)之
依條段求之十二之真積為實(shí)無(wú)從一十一步常法
義曰十六個(gè)圓積
乃十二段圓徑冪
也其十六個(gè)圓積
內(nèi)有十六個(gè)方池恰是一個(gè)方也此一個(gè)方便是等數(shù)冪也
舊術(shù)曰列田積從十一段平方開(kāi)之得內(nèi)方靣四之即等數(shù)也乂法以十六乗田積如十一而一所得開(kāi)方即等數(shù)
第十七問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外有地一千六百一十一步只云外圓徑不及內(nèi)方周四十二步問(wèn)方圓各若干
答曰外圓徑五十四步 內(nèi)方周九十六步
法曰立天元一為外圓徑加不及四十二步得
為內(nèi)方周以自増乗得下式□
□丨為十六段池積于頭再立
天元外圓徑以自之又十二之
得【元○】□為十六段田積也內(nèi)減
頭位余□□□為十六段如積寄左然后列真積一千六百一十一步就分母十六之得二萬(wàn)五千七百七十六步與左相消得□□□平方開(kāi)得五十四步為外圓徑也加不及步為內(nèi)方周也
依條段求之置十六之積加不及步冪為實(shí)倍不及步為虛從一十一步為常
義曰十二個(gè)圓徑
冪該十六個(gè)圓田
積十六個(gè)圓田積
內(nèi)有十六個(gè)方池其十六個(gè)方池于實(shí)積內(nèi)侵過(guò)所加一角并二段虛從之?dāng)?shù)也
第十八問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地三百四十七步只云外圓周內(nèi)方周共得二百八步問(wèn)內(nèi)外周各多少
答曰外圓周一百八步 內(nèi)方周一百步
法曰立天元一為內(nèi)方靣以四
之為內(nèi)方周減于相和二百八
步得□□為外圓周以自增乗
得□□□為圓周冪便為十二
段圓田積于頭再立天元內(nèi)方靣以自之又就分十二之得【元○】□為十二段方池積也以減頭位余□□□為十二段如積寄左然后列見(jiàn)積三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十五步為內(nèi)方靣也四之為內(nèi)方周減于相和步為圓周也
依條段求之以十二之積步減和步冪為實(shí)八之和步為虛從四常法
義曰十二段圓田內(nèi)有十二個(gè)
方池于方周冪內(nèi)補(bǔ)了十二池
外猶欠四個(gè)故以四為隅法此
式元系虛從今卻為虛隅命之
故以四為虛常法
舊術(shù)曰相和步自乗于頭位以十二之積步減頭位余八而一為實(shí)相和步為從法廉常置半步減從第十九問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地三十三畝一百七十六步只云內(nèi)外周與實(shí)徑共相和得六百二步問(wèn)三事各多少
答曰外圓周三百六十步 內(nèi)方周二百八步
實(shí)徑三十四步
法曰立天元一為內(nèi)方靣以減一百七十二得□丨為外田徑也【倍云數(shù)得一千二百四步別得是六個(gè)圓徑八個(gè)方靣兩個(gè)實(shí)徑今將一個(gè)方靣兩個(gè)實(shí)徑合成一個(gè)圓俓并前數(shù)而計(jì)是七個(gè)方靣七個(gè)圓徑也今置一千二百四步在地以七約之
得一百七十二步為徑靣共也便是一個(gè)方靣一個(gè)圓徑更無(wú)
實(shí)徑也】以自增乘得□□丨為圓
徑冪也以三之得□□□為四
段圓田積于頭再立天元內(nèi)池
靣以自之又就分四之得【元○】□為四池積以減頭位得□□丨為四段如積寄左然后列見(jiàn)積八千九十六步又就分四之得三萬(wàn)二千三百八十四步與左相消得□□丨開(kāi)平方得五十二步為內(nèi)方靣也以七之方靣減于倍和步余以七而一即圓徑也圓徑內(nèi)減方靣余者又半之即實(shí)徑也
依條段求之徑靣共一百七十二也自之為冪又三之于頭位內(nèi)減四之見(jiàn)積余為實(shí)六之徑靣共步為從一常法
義曰四之真積內(nèi)有四個(gè)方池于從法內(nèi)疊周了三個(gè)外剰一個(gè)故以一步為常法
舊術(shù)曰倍相和步自乗三之為頭位以一百九十六步【按此即四與四十九相乗之?dāng)?shù)】之田積減頭位余以十四而一為實(shí)又六之相和步為從法廉常置三步半開(kāi)平方見(jiàn)內(nèi)方靣
第二十問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地二千四百七十五步只云內(nèi)外周與斜徑相和得二百五十九步半問(wèn)三事各多少
答曰外圓周一百八十步 內(nèi)方周六十步 斜
十九步半
法曰立天元一為內(nèi)方靣以三
十三之減于十之云數(shù)二千五
百九十五步得□□為三十五
個(gè)圓田徑【十之云數(shù)內(nèi)有外圓徑三十個(gè)內(nèi)方靣四】
【十個(gè)角斜十個(gè)今將七個(gè)方靣并入十個(gè)角斜為五個(gè)圓徑也總別得十之云數(shù)是方靣三十三個(gè)圓徑三十五個(gè)外更無(wú)斜徑角也】乃以三十五之圓徑自増乗得下式□□□為一千二百二十五段圓徑冪也以三因之得□□□合以四除之今不除便為四千九百段圓田積于頭再立天元內(nèi)池靣以自之又就分以四千九百乗之得○□為四千九百段方池積以減頭位得□□□為四千九百段如積數(shù)寄左然后列真積二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千二百一十二萬(wàn)七千五百步與左相消得□□□平方開(kāi)得一十五步為內(nèi)方靣方【三十三之方靣以減于十之相和二千五百九十五步余三十五而一即圓徑以方靣加四減圓徑余半之即斜徑也】
依條段求之十之相和步自之為冪以三之于頭位以四千九百段見(jiàn)積減頭位為實(shí)一千九百八十之相和步為從一千六百三十三為常法
義曰減數(shù)計(jì)三千六百七十五個(gè)圓徑冪便是四千九百個(gè)圓田積也內(nèi)漏下四千九百個(gè)方池卻于從
內(nèi)疊用了三千二
百六十七個(gè)方池
外猶剰一千六百
三十三個(gè)方靣冪故以之為常法也其從法元有一百九十八個(gè)方靣合用一百九十八之相和步為從今用一千九百八十個(gè)相和步者縁為相和步先進(jìn)了一位也
第二十一問(wèn)
今有方田三段共計(jì)積四千七百七十步只云方方相較等三方靣共并得一百八步問(wèn)三方多少
答曰大方靣五十七步 中方靣三十六步 小
方靣一十五步
法曰立天元一為方差以減中方靣
【置并數(shù)三而一即得中方靣】得□丨為小方靣也
以自之得□□丨為小方積于頭再
立天元方差加入中方靣得□丨為
大方靣以自之得□□丨為大方積于次位又列中方靣□自之得下□為中方積于下位三位相并得□○□為一段如積數(shù)寄左然后列真積四千七百七十步與左相消得□○□開(kāi)平方得二十一步即是方差也【置方差數(shù)加中方即大方靣減中方即小方靣也】
依條段求之列并數(shù)以三約之所得即中方靣也以自之為冪又三之以減積為實(shí)無(wú)從二步常法義曰積步內(nèi)減三個(gè)中方冪外有兩個(gè)方故得二步
常法舊術(shù)又折半止得一個(gè)
方也
第二十二問(wèn)
今有方田一段其西北隅被斜水占之外計(jì)地一千二百一十二步七分半只云從田東南隅至水楞四十五步半問(wèn)田方靣多少
答曰田方靣三十五步
法曰立天元一為水占斜加入
云數(shù)四十五步半得□【元丨】為田
斜以自増乗得□步□丨為田
斜冪于頭再立天元一水占斜
以自之為水占得小方積就分以一步九分六厘乗
之得【元○】□ 【步】為所展得水占積也以減頭位得□□
□ 【步】為如積一段寄左然后列真積一千二百一十二步七分半以一步九分六厘乘之得二千三百七十六步九分九厘與左相消得□□□開(kāi)平方得三步半為水占斜加至步為田斜身外減四即是方靣也
依條段求之展積內(nèi)減至步冪為實(shí)二之至步為從九分六厘虛常法開(kāi)平方得三步半即水占斜也義曰今將水占斜直命為小方池靣也
舊術(shù)曰列田積于頭位又列至步除四則直至步以
自乗減頭位余為實(shí)二之直至
為從以九分六厘為廉從開(kāi)平
方得二步半加直至步三十二
步半得三十五步即田方靣也
此圖即舊術(shù)條段也舊術(shù)減云
步為直至步入法而求得二步
半為直至不及方靣步新術(shù)展
積入法而求得三步半為水占
斜
益古演段卷上
欽定四庫(kù)全書(shū)
益古演段卷中 元 李冶 撰第二十三問(wèn)
今有圓方田各為叚共計(jì)積一千三百七步半只云方面大如圓徑一十步圓依密率問(wèn)面徑各多少答曰方面三十一步 圓徑二十一步
法曰立天元一為圓徑加一十步得□丨為方面以自之得□【○二】丨為方田積以十四之得下式□□□
為十四叚方田積于頭又立天元
圓徑以自乗為冪又以十一之得
【太○】□便為十四叚圓田積【依密率合以徑
自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就為十四分母】
【也】以并入頭位得□□□為十四叚如積寄左然后列真積一千三百七步半就分十四之得一萬(wàn)八千三百五步與左相消得□□□開(kāi)平方除之得二十一步為密率徑也加不及步為方田也
依條叚求之十四之積步于上內(nèi)減十四叚不及步冪為實(shí)二十八之不及步為從二十五步常法
義曰將此十四個(gè)方冪之式
只作一個(gè)方冪求之自見(jiàn)隅
從也
第二十四問(wèn)
今有方圓田合一叚共計(jì)積一千四百六十七步只云方面與圓徑相穿得五十四步問(wèn)面徑各多少答曰方面一十二步 圓徑四十二步
法曰立天元一為圓徑減穿步五十
四步得□丨為方田面以自増乗得
下式□□丨為方田積于頭位再立
天元圓徑以自之又三之四而一得
【元○】□為圓田積也并入頭位得□□□為一叚如積寄左然后列真積一千四百六十七步與左相消得□□□倒積倒從開(kāi)平方得四十二步為圓田徑也以減穿步即方面
按法內(nèi)所言倒積倒從即飜積法也蓋初商積常減原積此獨(dú)以原積減初商積倍防常減従步此獨(dú)以従步減倍防乃平方中之一變也古法多用之今依數(shù)布算于后以存其式
法列積一千四百四十九步為實(shí)以一百零八步為
長(zhǎng)與一濶又七分半之和即從數(shù)求
濶初商四十步以一濶七分半乗之
得七十步以減和數(shù)余三十八步以
初商乗之得一千五百二十步為初
商積大扵原積反減之余實(shí)七十一
步乃二因一濶七分半所乗初商之
數(shù)得一百四十步大扵和數(shù)反減之
余三十二步為次商防次商二步以
一濶七分半乗之得三步半為次商
隅凡和數(shù)防隅相減此反相加得三
十五步半以次商乗之得七十一步為次商積與余積相減恰盡開(kāi)得濶四十二步
依條叚求之穿步冪內(nèi)減田積為實(shí)倍穿步為従一步七分半虛常法
義曰二之従步內(nèi)元減了七分半
又疊了一步計(jì)虛卻一步七分半
也
第二十五問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)積一千三百七步半只云方周大如圓周五十八步問(wèn)方圓各多少【圓依密率】
答曰方周一百二十四步 圓周六十六步
法曰立天元一為圓周加周差五十
八步得□丨為方田周以自増乗得
下式□□丨為方周冪便是十六個(gè)
方田積又就密率分母一十一之得
□□□為一百七十六叚方田積于頭又立天元圓周以自之為冪又就分一十四之得【元○】□為一百七十六叚圓田積【依密率周上求積合以周自乗又以七乗之如八十八而一為一叚田積也今又周宻上更以十四乗之則合用一百七十六而一故就分便為此數(shù)】以添入頭位得□□□共為一百七十六叚如積寄左然后列真積一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三萬(wàn)一百二十步與左相消得□□□開(kāi)平方得六十六步為圓田周也加多步見(jiàn)方周
依條叚求之一百七十六之積內(nèi)減一十一叚多步冪為實(shí)二十二之多步為從二十五步常法
義曰一百七十六之積步內(nèi)
有一十一個(gè)方周方一十四
個(gè)圓周方也今畫(huà)此式其一
十四個(gè)圓周方與一十一個(gè)圓周方大小俱同者止為欲見(jiàn)差步權(quán)作此式其實(shí)合作一十二叚圓式求之其實(shí)自見(jiàn)也【按十一方周冪十四圓周冪共積內(nèi)減去十一不及冪余不及步乗圓周長(zhǎng)方二十二圓周冪二十五故以二十二不及步為従二十五為隅也】
第二十六問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)一千四百五十六步只云方周大如圓周方圓周共相和得二百步問(wèn)二周各多少答曰方周一百二十八步 圓周七十二步
法曰立天元一為圓周減于相和二
百步得□丨為方周以自乗得□□
丨為方周冪【是十六個(gè)方積也】就分三之得
□□□為四十八叚方田積扵頭再
立天元圓周以自之又就分四之得【元○】□亦為四十八叚圓田積并入頭位得□□□為四十八叚如積數(shù)寄左然后列真積一千四百五十六步就分四十八之得六萬(wàn)九千八百八十八步與左相消得□□□開(kāi)平方得七十二步為圓田徑也減共步則方周
依條叚求之三叚和步冪內(nèi)減四十八之田積為實(shí)六之和步為従七益隅
義曰減時(shí)減過(guò)一個(gè)方六之従步內(nèi)又欠六個(gè)方共虛了七步故以為益隅
第二十七問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)積二千二百八十六步只云方面不及圓徑一十二步圓依密率問(wèn)面徑各多少答曰方面三十步 圓徑四十二步
法曰立天元一為方面加不及一十
二步得□丨為圓徑以自之得□□
丨為圓徑冪以一十一之得下式□
□□便為十四個(gè)圓積于頭再立天
元方面以自之又就分一十四之得【元○】□為十四個(gè)方積也并又頭位得□□□為十四叚如積數(shù)寄左然后列真積二千二百八十六步就分一十四之得三萬(wàn)二千四步與左相消得下式□□□平方開(kāi)之得三十步即方面也加不及一十二步即圓徑也依條叚求之十四之真積內(nèi)減一十一叚差步冪為實(shí)二十二之差步為従差步即不及步二十五歩常法
義曰十四之積步內(nèi)有一十
一個(gè)圓徑方與一十四個(gè)方
面方此式與第二十五問(wèn)畧
同其一十一個(gè)圓徑冪有十一個(gè)方正當(dāng)十一叚之其數(shù)自見(jiàn)也
第二十八問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)積二千二百八十六步只云方周不及圓周一十二步問(wèn)周各若干【圓依密率】
答曰方周一百二十步 圓周一百三十二步
法曰立天元一為方周加不及步一十二得【太□】丨為圓周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□
為一百七十六叚密率積扵頭再立
天元方周以自之為方積一十六叚
又就分一十一之得【元○】□便為一百
七十六叚方田積并入頭位得下式
□□□為一百七十六叚如積數(shù)寄左然后列真積二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十萬(wàn)二千三百三十六步與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步為方周加不及步即圓周也依條叚求之一百七十六之真積內(nèi)減十四叚差步冪為方實(shí)二十八之差步為従二十五常法
義曰所減數(shù)乃十四叚不及
步冪也
第二十九問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)積一千四百四十三步只云圓周大如方周方圓周并得一百九十八步問(wèn)二周各多少
答曰方周九十六步 圓周一百二步
法曰立天元一為方周減共步一百
九十八得□丨為圓周以自増乗得
□□丨為十二叚圓田積四之得下
□□□為四十八叚圓田積扵頭再
立天元方周以自之為十六叚方田積又就分三之得【元○】□便為四十八叚方田積并入頭位得□□□為四十八叚如積寄左然后列真積一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六萬(wàn)九千二百六十四與左相消得□□□開(kāi)平方得九十六步為方周也減于并數(shù)見(jiàn)圓周也依條叚求之四叚共步冪內(nèi)減四十八之積為實(shí)八之共步為従七益隅
義曰八之從內(nèi)合虛八個(gè)方今見(jiàn)有一個(gè)方外只虛了七步方也
第三十問(wèn)
今有圓田二叚【一叚依圓三徑一率一叚依密率】共積六百六十一步只云二徑共相和得四十步問(wèn)二徑各數(shù)
答曰密徑一十四步 古徑二十六步
法曰立天元一為密徑以減相和四十步得□丨為古徑以自之得下□□丨為古徑冪以三因之得□
□□合以四約之又就分母七之得
□□□為二十八叚古圓積于頭再
立天元密圓徑以自之又二十二之
得【元○】□為二十八叚密圓積也并入
頭位得□□□為二十八叚如積寄左然后列真積六百六十一步就分二十八乗之得一萬(wàn)八千五百八步與左相消得□□□平方開(kāi)之得一十四步為密圓徑以減和步即古徑也
依條叚求之二十一叚和步冪內(nèi)減二十八之田積為實(shí)四十二之和步為從四十三步虛常法
義曰其二十八之田積內(nèi)有古
積二十一叚密積二十二叚元初
減時(shí)減過(guò)一叚又并從步內(nèi)合
除之?dāng)?shù)計(jì)虛卻四十三個(gè)方也
第三十一問(wèn)
今有直田一叚中心有圓池水占之外計(jì)地三千九百二十四步只云從外田角斜通內(nèi)池徑七十一步外田闊不及長(zhǎng)九十四步問(wèn)三事各多少
答曰圓池徑一十二步 田長(zhǎng)一百二十六步
闊三十二步
法曰立天元一為內(nèi)圓徑以減倍通
步一百四十二步得□丨為直田斜
以自乗得□□丨為兩叚直田并一
叚較冪扵頭再置闊不及長(zhǎng)九十四
步自之得八千八百三十六步以減頭位得□□丨為兩叚直積數(shù)寄左再立天元圓徑以自之為圓徑冪三之二而一得【元○】□為兩個(gè)池積數(shù)加入二之見(jiàn)積七千八百四十八步得□○□亦為二叚真積與寄左相消得□□□平方開(kāi)之得一十二步為圓徑也
依條叚求之倍通步為冪內(nèi)減二之見(jiàn)積一個(gè)較冪為實(shí)四之通步為從半步常法
義曰従步內(nèi)少一個(gè)圓徑冪其
漏下底二個(gè)圓池共一步半今
將一步補(bǔ)了従步合除之?dāng)?shù)外
猶剰半步故以為常法
第三十二問(wèn)
今有圓田一叚中心直池水占之外計(jì)地五千三百二十四步只云并內(nèi)池長(zhǎng)闊與外圓徑等內(nèi)池闊不及長(zhǎng)三十六步問(wèn)三事各多少
答曰外田徑一百步 內(nèi)池長(zhǎng)六十八步 濶三
十二步
法曰立天元一為外圓徑以自乗
三因四而一得【元○】□為圓積內(nèi)減
了見(jiàn)積五千三百二十四步余得
□○□為水池直積也以四之得
□○□為四叚水池直積寄左再立天元圓徑命為直積和步以自之得【元○】丨為四積一較冪內(nèi)減了池較冪一千二百九十六步得□○丨亦為四叚池積與左相消得□○□平方開(kāi)之得一百步為外圓徑也闊不及長(zhǎng)減圓徑余折半見(jiàn)闊卻以不及步加之即長(zhǎng)也
依條叚求之四積內(nèi)減較冪為實(shí)從空二步常法
義曰四之
圓積內(nèi)有
四個(gè)水池
又扵見(jiàn)積內(nèi)減了一個(gè)池較冪相并恰是一個(gè)和冪也今來(lái)池和與圓等共和冪恰是一個(gè)圓徑冪也除外有兩個(gè)方
第三十三問(wèn)
今有圓田一叚中心有直池水占之外計(jì)地七千三百步只云并內(nèi)池長(zhǎng)濶少田徑五十五步闊不及長(zhǎng)三十五步問(wèn)三事各多少
答曰田徑一百步 內(nèi)池長(zhǎng)四十步 闊五步
法曰立天元一為外圓徑自之
得數(shù)又三之四而一得【元○】□為
外圓田積也減見(jiàn)積七千三百
步得□○□為內(nèi)池積也以四
之得□○□為四叚池積寄左再立天元圓徑內(nèi)減少?gòu)讲轿迨宓谩踟瓰槌睾鸵惨宰灾谩酢踟瓰樗某匾惠^冪內(nèi)減池較冪一千二百二十五步得□□丨亦為四池積也與左相消得□□□平方開(kāi)之得一百步為圓徑也內(nèi)減少?gòu)郊此睾筒絻?nèi)加一差即為二長(zhǎng)若減一差即為二闊也
依條叚求之四之積步內(nèi)減池較冪卻加入少?gòu)絻鐬閷?shí)二之少?gòu)綖閺亩匠７?br /> 義曰四池并所減
底個(gè)較冪恰是一
個(gè)和自之
舊術(shù)下積步四之于頭位又以少?gòu)讲阶詠\加頭位內(nèi)卻減闊不及長(zhǎng)冪余折半為實(shí)用少?gòu)綖閺疽徊匠７?br /> 第三十四問(wèn)
今有圓田一叚內(nèi)有直池水占之外計(jì)地六千步只云従內(nèi)池四角斜至田楞各一十七步半其池闊不及長(zhǎng)三十五步問(wèn)三事各若干
答曰圓田徑一百步 池長(zhǎng)六十步 濶二十五
步
法曰立天元一為外徑內(nèi)減倍
至步三十五步得□丨為池斜
以自之得□□丨為二積一較
冪于頭又列闊不及長(zhǎng)三十五
步以自之得□減頭位得○□□為四池積寄左又立天元圓徑以自之又三之便為四叚圓積內(nèi)減四之見(jiàn)積二萬(wàn)四千步得下式□○□亦為四個(gè)池積也與左相消得□□丨平方開(kāi)得一百步為外田圓徑也圓徑自之又三之四而一內(nèi)減見(jiàn)積余為內(nèi)池積也又用差步為従開(kāi)方見(jiàn)池闊也
依條叚求之四之見(jiàn)積內(nèi)加八叚至步冪卻減兩叚闊不及長(zhǎng)冪為實(shí)八之至步為従一步常法
義曰四個(gè)圓積內(nèi)
有四個(gè)虛直池于
積內(nèi)又減了兩叚
闊不及長(zhǎng)冪合成兩個(gè)池斜冪也八個(gè)従步內(nèi)貼入八個(gè)斜至步冪其數(shù)與圓徑正相應(yīng)也外恰有一步方
第三十五問(wèn)
今有圓田一叚中心有直池水占之外計(jì)地五千七百六十步只云從外田東南楞至內(nèi)池西北角通斜一百一十三步其內(nèi)池闊不及長(zhǎng)三十四步問(wèn)三事各多少
答曰外圓田徑一百二十步 池長(zhǎng)九十步 闊
五十六步
法曰立天元一為角斜加通步
得□丨為圓徑以自之得□□
丨為圓徑冪又三之得□□□
為四叚圓田積也內(nèi)減了四之
見(jiàn)積二萬(wàn)三千四十步得□□□為四叚內(nèi)直池寄左再立天元角斜以減通步為池斜以自之得□□丨為池斜冪于頭又列長(zhǎng)平【按平即闊】較三十四步以自之得一千一百五十六步以減頭位余□□丨為二池積也又倍之得□□□亦為四直池與左相消得□□丨開(kāi)平方得七步為角斜也
依條叚求之四之積步內(nèi)減兩叚闊不及長(zhǎng)冪又減一叚通步冪為實(shí)十之通步為従一步隅法
義曰兩個(gè)較冪并
四個(gè)池積該兩個(gè)
斜冪也于四個(gè)圓
積內(nèi)減此兩個(gè)斜冪外更減了一個(gè)通步冪恰是十之從外有一步常法也
第三十六問(wèn)
今有圓田一叚中心有直池水占之外計(jì)地六千步只云従內(nèi)池四角斜至田楞各一十七步半其內(nèi)池長(zhǎng)闊共相和得八十五步問(wèn)三事各多少
答曰外田徑一百步 池長(zhǎng)六十步 闊二十五
步
法曰立天元一為內(nèi)池斜加入
倍至步三十五得□丨為外圓
徑以自之又三之得□□□為
四叚圓積也內(nèi)減四之見(jiàn)積二
萬(wàn)四千步得下□□□為四個(gè)池積寄左乃置內(nèi)池和八十五步以自之得□為四積一較冪于頭再立天元內(nèi)池斜以自之得【元○】丨為二池積一較冪以減于頭位得□○丨為二池積也又倍之得□○□亦為四池積與左相消得□□□平方開(kāi)得六十五步為內(nèi)池斜加倍至步即圓徑也徑自之又三之四而一內(nèi)減去田積余實(shí)以和步為從一虛隅開(kāi)平方見(jiàn)闊也依條叚求之四之積步內(nèi)加兩叚和步冪卻減十二叚至步冪為實(shí)十二之至步為從五步常法
義曰所加兩個(gè)和
冪該八積二較冪
數(shù)內(nèi)元有四虛池
外有四積二較冪其實(shí)只是添了兩個(gè)池斜冪也于四圓積內(nèi)除従步占外元有三個(gè)方今又加入兩個(gè)池斜冪共得五步故五為常法
第三十七問(wèn)
今有圓田一叚中心有直池水占之外計(jì)地九千一百二十步只云従外田楞通內(nèi)池斜一百一十六步半其內(nèi)池長(zhǎng)闊共相和得一百二十七步問(wèn)三事各多少
答曰圓田徑一百二十步池長(zhǎng)一百一十二步
闊一十五步
法曰立天元一為角斜加通步
一百一十六步半□步丨為圓
徑以自之得□□丨為圓徑冪
以三之得□□□為四叚圓田
也內(nèi)減四之見(jiàn)積三萬(wàn)六千四百八十步得□步□□為四叚內(nèi)池積寄左再立天元角斜以減通步得□步丨為內(nèi)池斜以自乗得□步□丨為二積一較冪于頭又列池和步以自乗得□內(nèi)減頭位余得□【元】□丨為二池積也倍之得下□步□□亦為四池積與左相消得□步□□平方開(kāi)之得三步半為角斜也加通步為圓徑
依條叚求之四之積步內(nèi)加兩叚和步冪卻減五個(gè)通步冪余為實(shí)二之通步為從五步為常法
義曰兩個(gè)和冪內(nèi)虛了四池只是兩個(gè)池斜冪今將兩個(gè)池斜冪減于兩個(gè)通步冪止有二甲二乙所占之地今又將二甲二乙及三叚通步冪并以減于四之見(jiàn)積外實(shí)在兩個(gè)通步從五個(gè)方也
第三十八問(wèn)
今有水旱田各一叚共計(jì)積二千六百二十五步只云水田長(zhǎng)闊共一百步其旱地闊不及長(zhǎng)三十五步而不及水地闊十步問(wèn)水旱地長(zhǎng)闊各若干
答曰水地長(zhǎng)七十五步 闊二十五步 旱地長(zhǎng)
五十步 闊一十五步
法曰立天元一為旱地闊加旱
闊不及水闊一十步得□丨為
水地闊以減水田長(zhǎng)闊共一百
步得□丨為水田長(zhǎng)也以水田長(zhǎng)闊相乗得□□丨為水田積扵頭再置天元旱地闊加不及三十五步得□【兀丨】為旱田長(zhǎng)也以天元乗之得【太○】□丨為旱田積也加入頭位得□□為一叚如積寄左然后列真積二千六百二十五步與左相消得□□下法上實(shí)如法得一十五步為旱田闊也加闊不及長(zhǎng)三十五步為旱田長(zhǎng)也又扵旱闊內(nèi)加不及水地闊一十步為水地闊也以水地闊減于水田長(zhǎng)闊一百步余為水田長(zhǎng)也
依條叚求之以水田共步乗二闊差于頭位以二闊差冪減頭位得數(shù)復(fù)以減于田積為實(shí)列水田共步加入旱地長(zhǎng)闊差內(nèi)卻減兩個(gè)二闊差為法
義曰其水田闊二十五步為法內(nèi)元多一個(gè)水旱二闊差數(shù)又積步內(nèi)減了一叚旱闊為長(zhǎng)二闊差為平底直積是又虛了一個(gè)水旱二闊差數(shù)故于法內(nèi)減去兩個(gè)闊差也
按此條圗與義不合蓋?寫(xiě)之誤也今仍存舊式另擬圖義扵后以明之
義曰水田長(zhǎng)闊共步乗二闊差
內(nèi)減差冪即附水田周一磬折
積也以減共積余同旱闊之兩
長(zhǎng)方共積為實(shí)其水田長(zhǎng)闊比原數(shù)各減一闊差扵此長(zhǎng)闊和內(nèi)加旱田長(zhǎng)闊較即兩長(zhǎng)方之共長(zhǎng)故為法即得旱田闊也
第三十九問(wèn)
今有直田一叚內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地三十九畆一分半只云従田兩頭至池各一百五步兩畔至池各九步問(wèn)三事各多少
答曰田長(zhǎng)二百三十四步 闊四十二步 池徑
二十四步
法曰立天元一為內(nèi)池徑加二之邊
至一十八步得□丨為田闊又置天
元池徑加二之頭至二百一十步得
□丨為田長(zhǎng)長(zhǎng)闊相乗得下式□□
丨為直田積于頭再置天元徑以自之又三之四而一得○□為內(nèi)池積以減頭位得□□□為一叚如積數(shù)寄左然后列真積三十九畝一分半以畝法通之得九千三百九十六步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十四步為內(nèi)池徑也加二之邉至步為田闊若加二之頭至步即田長(zhǎng)
依條叚求之倍頭至步與倍邊步相乗以減田積為實(shí)并一頭一邊步又倍之為從二分半常法
義曰此問(wèn)與第一問(wèn)條叚頗同但所減者為四個(gè)小池積【按池當(dāng)作隅】
第四十問(wèn)
今有直田一叚中心有圓池水占之外計(jì)地四畝五十三步只云外田長(zhǎng)平和得七十六步太半步従田四角去池楞各一十八步問(wèn)外田水池徑各多少答曰田長(zhǎng)五十步 闊二十六步太 池徑二十
步太
法曰立天元一為內(nèi)池徑加倍角至步三十六得□丨為直田斜以自之得□□丨為田斜冪【便是二積一較冪也】
又九之得下式□□□為十八積九
較冪也寄左列和步七十六步太【按太
即三分步之二】通分內(nèi)子得□以自之得五
萬(wàn)二千九百步為九叚和冪于頭【為九】
【叚和冪者元帶三分母以自之得九也此九叚和冪該三十六直積九個(gè)較冪也】又置天元圓徑以自之又三之四而一得【元○】□為一叚圓積也加入見(jiàn)積一千一十三步得□○□共為直積一叚又十八之得□○□為十八叚直積以減頭位得□○□亦為九叚田斜冪與左相消得□□□合以平方開(kāi)之今不可開(kāi)【按不可開(kāi)者謂防隅數(shù)多而得數(shù)又不能盡也】先以隅法二十二步半乗實(shí)二萬(wàn)三千單二步得五十一萬(wàn)七千五百四十五步正為實(shí)元従六百四十八負(fù)依舊為従一益隅平方開(kāi)之得四百六十五步以元隅二十二步半約之得二十步三分之二為內(nèi)池徑也加倍至步為田斜以自之為二積一較冪又二之于頭位以和步冪減頭位余以平方開(kāi)之即田較也加入和步折半為長(zhǎng)若減于和步折半為闊也
依條叚求之列相和步自乗為冪內(nèi)減倍積及四叚至步冪為實(shí)四之至步為從二步半常法
義曰和步冪內(nèi)減了二直積只
有一叚斜冪也減二直積時(shí)漏
下兩個(gè)圓池該一步半又正有
一步共計(jì)二步半常法也 求
較者先置池徑二十步太□帶三分母便為三個(gè)徑也加入六之至步一百八步得□便為三個(gè)田斜也以自之得□為九叚斜冪【便是十八個(gè)直積九個(gè)較冪】倍之得□為三十六叚田積一十八叚較冪于頭再置和步七十六步太□亦帶三分母便為三個(gè)和也以自之得□為九叚和冪【便是三十六直積九較冪也】以減頭位余□為九叚較冪也平方開(kāi)之得七十步以三約之得二十三步三分步之一為田較也欲見(jiàn)田長(zhǎng)闊及斜者準(zhǔn)此法求之 又法求圓池徑者立天元一為三個(gè)內(nèi)池徑以自之得【元○】丨為九叚池徑冪便是十二叚圓積也加十二叚見(jiàn)積得□○丨為十二叚直積又身外加五得□○□為十八叚直田積扵頭又列和步七十六步太通分內(nèi)子得二百三十自之得□為和冪九叚【便是直積三十六叚較冪九叚也】?jī)?nèi)減頭位得下式□○□為九叚斜冪數(shù)寄左再置天元圓徑加六之角至步一百八步得□丨為三個(gè)田斜以自之得□□丨亦為九叚斜冪也與左相消得□□□開(kāi)平方得六十二步為三個(gè)圓池徑也以三約之得一個(gè)圓徑二十步三分之二此名之分天元一術(shù)前法乃連枝同體術(shù)也【按分天元一術(shù)即天元一內(nèi)帶分求之得數(shù)而后約之連枝同體術(shù)即通分開(kāi)方得數(shù)而后約之皆兼通分之法也】
第四十一問(wèn)
今有直田一叚中心有圓池水占之外計(jì)地三千九百二十四步只云従外田角斜通池徑七十一步外田長(zhǎng)闊相和得一百五十八步問(wèn)三事各多少
答曰圓徑十二步 田長(zhǎng)一百二十六步 闊三十二步
法曰立天元一為內(nèi)圓徑以減倍通
步一百四十二步得□丨為田斜以
自之得□□丨為二積一較冪于頭
又立和步一百五十八步以自之得
□為四積一較冪以減頭位得□□丨為二直積寄左又立天元池徑以自之又三之二而一得【元○】□為兩個(gè)池積也加入二之見(jiàn)積七千八百四十八步得□○□亦為一叚直積與左相消得□□□平方開(kāi)之得一十二步為內(nèi)池徑也
依條叚求之二之積步內(nèi)加四叚通步冪卻減一叚和步冪為實(shí)四之通步為従二步半虛常法
義曰減一和步冪是減四積一
較冪也四之通步冪內(nèi)減了一
個(gè)斜冪卻又減過(guò)二個(gè)直積故
二之積步加之従內(nèi)欠一個(gè)方
減二積時(shí)漏下二個(gè)圓池又該欠一個(gè)半方共欠二步半虛常法也
第四十二問(wèn)
今有直田一叚中心有圓池水占之外計(jì)地一萬(wàn)八百步只云從外田角至水池楞六十五步其外田闊不及長(zhǎng)七十步問(wèn)二事各多少
答曰田長(zhǎng)一百五十步 闊八十步 圓池徑四
十步
法曰立天元一為內(nèi)池徑加倍至一
百三十步得□丨為田斜以自之得
□□丨為田斜冪于頭又置田較七
十步以自之得□為較冪以減頭位
得□□丨為二田積寄左再立天元池徑以自之身外加五得【元○】□為兩個(gè)池積也加二之見(jiàn)積二萬(wàn)一千六百步□○□亦為二直積與左相消得□□□開(kāi)平方得四十步即池徑也以徑自之三之四而一加入見(jiàn)積為實(shí)以闊不及長(zhǎng)為従開(kāi)方得田闊依條叚求之二之田積內(nèi)加較冪卻減四叚至步冪為實(shí)四之至步為従半步虛常法
義曰二積內(nèi)加一個(gè)較冪恰補(bǔ)
就一個(gè)斜冪也其二積內(nèi)有兩
個(gè)圓池是元虛了一步半方也
扵積內(nèi)卻實(shí)有一步除外止虛了半步也
益古演段卷中
<子部,天文算法類(lèi),算書(shū)之屬,益古演段>
欽定四庫(kù)全書(shū)
益古演叚卷下 元 李冶 撰第四十三問(wèn)
今有圓田三叚【一依古法一依宻率一依徽率】共計(jì)地二十畆五十二步一百七十五分步之二十三只云宻徑多于古徑九步徽徑多于宻徑九步問(wèn)三徑各多少
答曰古徑三十六歩 宻徑四十五步 徽徑五
十四步
法曰立天元一為古徑加多九步得
□丨為宻徑以自之得下□□丨為
宻徑冪又以十一乗之得□□□為
十四叚宻圓積于頭又立天元古徑
加二之多步一十八步得□丨為徽
徑以自之得□□丨為徽徑冪也又
以一百五十七乗之得□□□為二
百叚徽?qǐng)A積于中【按徽率周一百五十七徑五十徑乗】
【周四歸為圓冪今以徑冪乗周當(dāng)以徑五十除之再四歸之為圓冪不除便為五十乗之又四乗之之二百圓冪也】又置天元古徑以自之又三之得【元○】□為四叚古圓積于下乃求三積齊同分母而并之先以分母一萬(wàn)七千五百【按此即十四除二十四萬(wàn)五十之?dāng)?shù)】乗十四叚宻圓積得□□□為二十四萬(wàn)五千叚宻圓積于頭位次以分母一千二百二十五乗二百叚徽積得□□□為二十四萬(wàn)五千叚徽積于中位次以分母六萬(wàn)一千二百五十乗四叚古積得○○□為二十四萬(wàn)五千叚古積于下位三位相并得□□□為二十四萬(wàn)五千叚如積數(shù)寄左然后列見(jiàn)積通分內(nèi)子得八十四萬(wàn)九千一百二十三就分以一千四百乗之得一十一億八千八百七十七萬(wàn)二千二百與左相消得下式□□□平方開(kāi)之得三十六步為方徑也各加多步見(jiàn)徽宻二徑也 義曰所以齊同于二十四萬(wàn)五千叚者以元母一百七十五乗一千四百得此數(shù)依條叚求之以一千四百乗田積于頭位置徽徑多古徑自之為冪又以一千九十九【按置一千四百分以徽?qǐng)A冪率一百五十七乗之方冪率二百除之即得】乗之減頭位續(xù)置宻徑多古徑自之為冪又以一千一百【按置冪十】一【千四百分以宻率圓乗之方冪十四除之即得】乗之復(fù)減頭位余為實(shí)又倍徽徑多古徑以千九十九乗之為徽從又倍宻徑多古徑以一千一百乗之為宻從并二從得五萬(wàn)九千三百六十四為從法亷常置三千二百四十九
義曰以一千四百乗積者取其三率皆可以除之也
齊同分母湏至于二十四萬(wàn)五千
叚者葢以分母一百七十五元乗
積數(shù)一千四百此二數(shù)相乗得二
十四萬(wàn)五千也
此問(wèn)求真積實(shí)數(shù) 古徑三十六得積九百七十二步 宻徑四十五步得積一千五百九十一步一十四分步之一 徽徑五十四步得積二千二百八十九步二百分步之一十二并三積全步四千八百五十二步外【宻零一十四分步之一徽零二百分步之一十二】以上維乗下位【宻子得二百分 徽子得一百六十八分】相并得三百六十八分為子實(shí)又上二位相乗得二千八百分為母法子母俱以十六約之為一百七十五分步之二十三 一千四百乗田積來(lái)厯蓋只就宻率上定之也置一千四百在地以宻率十一之如十四而一為一千一百積 若以古率三之四而一則得一千五十積 若以徽率一百五十七乗之如二百而一得一千九十九積所以用一千四百乗積者縁古法四徽法二百皆可以除之也 求三積齊同分母元分母數(shù)一百七十五元乗積數(shù)一千四百此二數(shù)相乗二十四萬(wàn)五千即大分母也三積總率皆齊同于此既得此齊同分母乃各以先求到叚數(shù)約之徽率得一千二百二十五宻率得一萬(wàn)七千五百古率得六萬(wàn)一千二百五十故反以乗叚數(shù)皆齊同于二十四萬(wàn)五千也
按條叚分母數(shù)簡(jiǎn)于前法者用舊術(shù)也然各分母之?dāng)?shù)猶有可省者蓋眾數(shù)取分母數(shù)必得最小者方爲(wèi)確凖其義見(jiàn)秦九韶?cái)?shù)學(xué)九章大衍術(shù)中今附其法于后以發(fā)明前法所未盡者
法列四數(shù)先以元母一百七十五與
宻方率十四相度得度盡二數(shù)之?dāng)?shù)
為七次以二數(shù)相乗以度盡數(shù)除之
得三百五十為二數(shù)總母又以二數(shù)
總母與徽方率數(shù)相度得度盡二數(shù)
之?dāng)?shù)為五十以二數(shù)相乗度盡數(shù)除
之得一千四百為三數(shù)總母又以三
數(shù)總母與古方率數(shù)相度則古方率
四即為度盡二數(shù)之?dāng)?shù)二數(shù)相乗度
盡數(shù)除之仍得一千四百即為四數(shù)
總母然后以宻方率十四除之得一
百為宻分母以徽方率二百除之得
七為徽分母以古方率四除之得三
百五十為古分母以元分母一百七
十五除之得八為原積分母以此數(shù)
與各叚冪積相乗除較原數(shù)所省多
矣
第四十四問(wèn)
今有梯田一叚長(zhǎng)二百四十步并不知東西兩濶只云從東頭截長(zhǎng)五十步計(jì)地三畆從西頭截長(zhǎng)三十步計(jì)地五畆問(wèn)二濶各多少
答曰東頭元濶一十一步二分 西頭元濶四十
一步九分二厘
法曰此問(wèn)先湏求見(jiàn)兩頭各截之停廣求東截停廣者置東頭所截三畆之積七百二十步以截長(zhǎng)五十步除之得一十四步四分為東截地之停廣也求西截停廣者置西頭所截五畆之積一千二百步以截
長(zhǎng)三十步除之得四十步為西頭所
截停廣也乃立天元一為毎步之差
以東頭截長(zhǎng)五十步乗之折半得□
以減東停廣一十四步四分得□【分】□為東頭元小濶于上再置天元差
步以西頭截長(zhǎng)三十步乗之得□折半得□加入西頭停廣四十步得□□為西頭大濶也內(nèi)減東頭小濶余□步□為二濶總差也寄左再立天元?dú)安讲钜哉L(zhǎng)二百四十步乗之得□亦為二濶總差與左相消得□步□下法上實(shí)如法而一得一分二厘八毫為毎步之差也置毎步之差以西頭截長(zhǎng)三十步乗之得三步八分四厘折半得一步九分二厘加入西頭停廣四十步得四十一步九分二厘為西頭元大濶也又置毎步之差以東頭截長(zhǎng)五十步乗之得六步四分折半得三步二分以減于東頭停廣一十四步四分余一十一步二分為東頭元小濶也此問(wèn)止求毎步之差更不湏以條叚明之
舊術(shù)依法求得東停廣與西停廣數(shù)乃以二停廣相減余以二百而一【謂東截長(zhǎng)五十步其停廣當(dāng)二十五步余去了二十五步也西截長(zhǎng)三十步其停廣當(dāng)一十五步余去了一十五步也兩頭計(jì)去了四十步以減于正長(zhǎng)二百四十步余二百步】所得為毎步之差乃副置半步之差左以東截長(zhǎng)乗之以減東停廣余為東元濶也右以西截長(zhǎng)乗之以加西停廣并為西元濶也又法置一步之差以正長(zhǎng)二百四十乗之所得為都濶差也以都濶差加于小頭濶則為大頭濶也
第四十五問(wèn)
今有方田一叚中心有方田池占之外計(jì)地一畆只云從外田東南隅至內(nèi)池西南隅一十三步問(wèn)內(nèi)外田方各多少
答曰內(nèi)池方七步 外田方一十七步
法曰立天元一為內(nèi)池方以自乗倍之得【元○】□加入見(jiàn)積得□□寄左又列至步自之得一百六十九步
又倍之得三百三十八步與左相消
得□○□開(kāi)平方得七步即內(nèi)池方
也池方自之加入見(jiàn)積再開(kāi)平方即
外田方面也
依條叚求之只據(jù)前式便是更不湏重畫(huà)也只是將見(jiàn)積打作四叚小直田以池面為較以外田方面為和以斜至步為?然此問(wèn)惟是其池正在方田中心可依此法求之若稍有偏側(cè)則不能用也 舊術(shù)列去角步自乗為二位頭位減半田積開(kāi)平方見(jiàn)內(nèi)池面下位加半田積開(kāi)平方見(jiàn)外田面也
第四十六問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)積一百二十七步只云其方面大如圓徑圓徑穿方斜共得二十步問(wèn)面徑各多少
答曰方面一十步 圓徑六步
法曰立天元一為圓徑減穿步得□丨為方斜以自
之得□□丨為方斜冪于頭再
置天元圓徑以自之又以一步
四分七厘乗之得□□步為展
起圓田也并入頭位得□□□
步為展數(shù)如積一叚寄左然后
列見(jiàn)積一百二十七步兩度下加四【兩度下加四止是以一步九分六厘乗之也以一步九分六厘乗之者變方田為斜田也】得二百四十八步九分二厘與左相消得下式□□□開(kāi)平方得六步即圓徑也以徑減穿步即方斜也
依條叚求之穿步冪內(nèi)減去展起見(jiàn)積為實(shí)二之穿步為從二步四分七厘虛隅
義曰下式乃展起之圓
積也亦俱是減數(shù)也此
數(shù)該一步四分七厘之
方又從步內(nèi)疊出一步
虛隅計(jì)得二步四分七厘常法也
舊術(shù)曰以一步九分六厘乗田積為頭位又列穿步自乗內(nèi)減去頭位余為實(shí)倍穿歩為從亷常置二歩四分七厘減從開(kāi)方
第四十七問(wèn)
今有直田一叚中心有小方池結(jié)角占之外計(jì)地二千七十九步只云從田二頭至池角二十一步半兩邉至池角七步半問(wèn)三事各多少
答曰長(zhǎng)六十四步 濶三十六步 池方一十五步
法曰立天元一為內(nèi)方面身外加四
又加二之頭至步四十三得□□為
田長(zhǎng)也又置池方面身外加四又加
入二之邉至步一十五得□□為田
濶也長(zhǎng)濶相乗得下式□□□為直田積于頭又置天元池方面以自之得【元○】丨為內(nèi)方池以減頭位得□□□為如積一叚寄左然后列見(jiàn)積二千七十九步與左相消得□□□開(kāi)平方得一十五步即內(nèi)池方面也方面外加四副二位若加兩頭至池步見(jiàn)長(zhǎng)若加兩邉至池步即見(jiàn)濶也
依條叚求之積步內(nèi)減四叚邉至與頭至步相乗數(shù)為實(shí)并至頭至步倍之又身外加四為從九分六厘常法
義曰水池外有九分六厘常法從
步皆加四者蓋于斜上求方面也
第四十八問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有直池水占之外有地三百四十步只云其池廣不及長(zhǎng)四步又云從田楞通池長(zhǎng)一十五步問(wèn)三事各多少
答曰田方二十步 內(nèi)池長(zhǎng)一十步 廣六步
法曰立天元一為池長(zhǎng)減于倍通步□丨為田方面以自之得□□丨為田方積于頭再置天元池長(zhǎng)內(nèi)減較四步□丨為池濶以天元乗之得□丨為直池
積以減頭位得□□○為如積一叚
寄左然后列直積三百四十步與左
相消得□□下法上實(shí)如法而一得
一十步即池長(zhǎng)也以長(zhǎng)減于倍通步
即方田面也
依條叚求之四叚通步冪內(nèi)減田積為實(shí)四之通步內(nèi)減池較為法如法得池長(zhǎng)
義曰四之通步為法內(nèi)欠一個(gè)池長(zhǎng)冪卻用所漏之
池補(bǔ)之猶差一池較
為法合除之?dāng)?shù)也既
于實(shí)積內(nèi)虛了此數(shù)
故作法時(shí)于四之通步內(nèi)減去一數(shù)也
第四十九問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有小方池結(jié)角占之外計(jì)地一萬(wàn)八百步只云從外田楞至內(nèi)池角各一十八步問(wèn)內(nèi)外方各多少
答曰外田方一百二十步 內(nèi)池方六十步
法曰立天元一為內(nèi)方面身外加
四又加倍至步三十六得□□為
田方面以自乗得□□□為外方
積于頭再置天元內(nèi)方面以自之
得【元○】丨為內(nèi)池積也以減頭位得□□□為如積一叚寄左然后列真積一萬(wàn)八百步與左相消得□□□開(kāi)平方得六十步為內(nèi)池方面也內(nèi)方面身外加四又加倍至步即方面也
依條叚求之見(jiàn)積內(nèi)減四叚至步冪為實(shí)四之至步身外加四為從九分六厘常法
義曰從步內(nèi)加四者是于一個(gè)方
面上求
第五十問(wèn)
今有方田一叚自有小方池結(jié)角占之外計(jì)地九千三百七十五步只云從外方角至內(nèi)池面各五十七步半問(wèn)內(nèi)外方各多少
答曰外田方一百步 內(nèi)池方二十五步
法曰立天元一為內(nèi)方面
加倍至步一百一十五步
得□丨為外田斜以自之
得□□丨為所展方積于
頭再置天元內(nèi)池面以自
之得【元○】丨為內(nèi)池積又就分以一步九分六厘乗之得下【元○】□亦為所展之池積也以減頭位得□□□為一叚所展如積寄左然后列真積九千三百七十五步以一步九分六厘乗之得一萬(wàn)八千三百七十五與左相消得□□□開(kāi)平方得二十五步即內(nèi)方面也
依條叚求之展積內(nèi)減四叚至步冪為實(shí)四之至步為從九分六厘虛常法
義曰展積時(shí)其池亦展得虛了九
分六厘也
第五十一問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有小方池結(jié)角占之外計(jì)地四十五畆只云從外田南邉斜通池北角一百二步問(wèn)內(nèi)外方各多少
答曰外田方一百二十步 內(nèi)池方六十步
法曰立天元一為內(nèi)方面身
外加四為池斜以減于倍通
步二百四步得□□為外方
面以自之得□□□為方田
積于頭又置天元內(nèi)池面以自之得下【元○】丨為內(nèi)方池也以?xún)?nèi)方池減頭位得□□□為如積一叚寄左然后列真積一萬(wàn)八百步與左相消得□□□平方開(kāi)之得六十步為池方面也
依條叚求之四叚通步冪內(nèi)減見(jiàn)積為實(shí)四之通步加四為從九分六厘虛隅法
義曰從步身外加四者蓋是于池
斜上求池面也
舊術(shù)曰倍通步自乗以田積減之余折半為實(shí)倍通步加四為從亷常置四分八厘減從開(kāi)方見(jiàn)內(nèi)方面
第五十二問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有方池結(jié)角占之外計(jì)地三十九畆零一十五步只云從田東南角至內(nèi)池西北面八十二步半問(wèn)內(nèi)外方面各多少
答曰外田方面一百步 內(nèi)池方面二十五步
法曰立天元一為內(nèi)方面減于倍通步一百六十五
步得□丨為外田斜也以自之得
□□丨為所展外田積于頭再置
天元池方面以自之為方池積又
就分以一步九分六厘乗之得【元○】
□為所展方池積也以減頭位得□□□為展起底如積一叚寄左然后列真積三十九畆一十五步通納得九千三百七十五步又就所展分母一步九分六厘乗之得一萬(wàn)八千三百七十五步與左相消得□□□平方開(kāi)之得二十五步即內(nèi)池面也以池面減于倍通步又身外去四即外方面也
依條叚求之四叚通步冪內(nèi)減展積為實(shí)四之通步為從九分六厘常法
義曰元以展積減四叚通步
冪時(shí)漏下一步九分六厘池
積今來(lái)于從步內(nèi)疊用了一
個(gè)方外剰九分六厘
第五十三問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有直池結(jié)角占之外計(jì)地八百五十步只云從田角通水長(zhǎng)三十七步通水濶三十二步問(wèn)三事各數(shù)
答曰池長(zhǎng)二十五步 濶一十五步 外田方三十
五步
法曰立天元一為內(nèi)池長(zhǎng)減于倍通步七十四步得□丨為外田斜也以自之得□□丨為所展外田積
于頭再置倍通長(zhǎng)七十四步內(nèi)
減倍通濶六十四步余一十步
乃池長(zhǎng)濶差也【或直以通長(zhǎng)通濶相減于者倍
之亦為長(zhǎng)濶差也】再置天元池長(zhǎng)內(nèi)減
長(zhǎng)濶差得□丨為濶也以天元長(zhǎng)乗之得□丨為直池積也又就分以一步九分六厘乗之得□□為展起底直池積也以減頭位得下式□□□為所展如積一叚寄左然后列真積八百五十步就分以一步九分六厘乗之得一千六百六十六步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十五步為內(nèi)池長(zhǎng)也【以減倍通長(zhǎng)步又身外去四即外田方面也】
依條叚求之四叚通長(zhǎng)冪內(nèi)減展積為實(shí)四之通長(zhǎng)于頭以一步九分六厘乗長(zhǎng)濶差以減頭位為從九分六厘常法
義曰據(jù)從步合用之積于疊起處少了一方今將減積時(shí)漏下所展水池補(bǔ)了一甲之地若更得一乙之
地則共補(bǔ)成一步九
分六厘之地方也【按原
圖仍用正方今易為直方庶為簡(jiǎn)明】今
不可補(bǔ)故于從步內(nèi)
減去所展差步便是
于從法合用之積內(nèi)借了一乙之地恰補(bǔ)就一步九分六厘之方也除補(bǔ)了疊起的一步方外猶剰九分六厘故以之爲(wèi)常法也
第五十四問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有直池結(jié)角占之外計(jì)地一千一百五十步只云從田角至水兩頭各一十四步至水兩邉各一十九步問(wèn)三事各多少
答曰方四十五步 池長(zhǎng)三十五步 濶二十五
步
法曰立天元一爲(wèi)池濶加二之邉至步三十八得□丨為外田斜以自之得□□丨為所展外田積于頭
二之邉至步內(nèi)減二之頭至步
余一十步為池長(zhǎng)濶差也再置
天元池濶加差一十步得□丨
為池長(zhǎng)也用天元池濶乗之得
□丨為直池積也又就分以一步九分六厘乗之得□□步為所展之池積也以減頭位得□□□為所展如積一叚寄左然后列真積一千一百五十步以一步九分六厘乗之得二千二百五十五十四步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十五步為池濶也【又加二之邉至步又身外去四即外方面也】
依條叚求之展積內(nèi)減四叚邉至步冪為實(shí)四之邉至步于頭以一步九分六厘乗長(zhǎng)濶差減頭位余為從九分六厘虛常法
義曰所展池積內(nèi)將四叚紅【按原
圖應(yīng)減者以紅色別之】積恰補(bǔ)作九分六
厘虛常法其兩個(gè)所占半差于
減從時(shí)又以一步九分六厘乗
之者葢欲合身外加四所乗積也
按展積義多未備此條尤略今具圖説以詳之
義曰外四隅方所減之四至冪
也中十字積為實(shí)則池濶為隅
四之至步為從也附直池外斜
方展池積也平分上下二尖形
附于左右二尖形外成一原池濶乗展池正長(zhǎng)之直方展池正長(zhǎng)為原池長(zhǎng)之一步九分六厘十字積與展池積之較為實(shí)是前從隅內(nèi)應(yīng)少原池長(zhǎng)之一步九分六厘又為少原池長(zhǎng)濶較之一步九分六厘并原池濶之一步九分六厘故展較減前從以為從展隅反減前隅為虛隅也
第五十五問(wèn)
今有圓田一叚內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地二十三畆一分只云內(nèi)外周徑共相和得四百二十四步問(wèn)內(nèi)外周徑各多少【圖依宻率】
答曰外周二百八十六步徑九十一步 內(nèi)周一百一十步徑三十五步 實(shí)徑二十八步
法曰立天元為實(shí)徑以減相和
步四百二十四得□丨為內(nèi)外
周共步用天元實(shí)徑乗之得□
丨為如積兩叚寄左然后列二
之真積一萬(wàn)一千八十八步與左相消得□□丨開(kāi)平方得二十八步為實(shí)徑也以徑步除田積于頭位又二十二乗徑步如七而一得數(shù)若加頭位即外周若減頭位即內(nèi)周也
義曰以徑步除田積所得乃半內(nèi)周半外周共步也又據(jù)古率三個(gè)實(shí)徑即是半個(gè)外內(nèi)周差步也縁此問(wèn)系是宻率故以二十二乗徑以七約之也即得半差以加共步即是外周以減共步即是內(nèi)周也又據(jù)古率三之實(shí)徑以加減共步者縁共步便三空徑三實(shí)徑共數(shù)也于此共數(shù)內(nèi)加三實(shí)徑則恰是三個(gè)大圓徑故為一個(gè)外周也若共數(shù)內(nèi)減去三實(shí)徑則正有三個(gè)小圓徑故為一個(gè)內(nèi)周也今是宻率故先以二十二之七而一所以附就此數(shù)以求內(nèi)外周也依條叚求之倍積步為實(shí)和步為從一益隅
義曰以和步為從
是于內(nèi)外周數(shù)外
又引出一步虛常法也
第五十六問(wèn)
今有圓田一叚內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地二十三畆一分只云從外田通內(nèi)池徑六十三步問(wèn)同前
答同前
法曰立天元為實(shí)徑加通步六
十三得□丨為外田徑以自之
得下□□丨為外圓徑冪又十
一之得下式□□□為十四叚
外圓積于頭再置天元實(shí)徑以減通步得□丨為內(nèi)圓徑以自之得□□丨為內(nèi)圓徑冪又十一之得□□□為十四叚內(nèi)圓積也以減頭位得下式□步為十四叚如積寄左然后列真積二十三畆一分法通得五千五百四十四又就分一十四之得七萬(wàn)七千六百一十六與左相消得□□下法上實(shí)如法而一得二十八步為實(shí)徑也以實(shí)徑加通步即外徑若減通步即內(nèi)池徑也
依條叚求之十四之積為實(shí)四十四之通步為法求得實(shí)徑
此問(wèn)難以為式強(qiáng)立此式以推之毎積之長(zhǎng)乃三個(gè)通步今十四之積合以四十二個(gè)通步除之今用四十四之通步為法者縁宻率之周稍多于古率之周也假令古率七個(gè)積即合用二十一個(gè)通步為法若依宻率七個(gè)積即合用二十二個(gè)通步為法此問(wèn)乃并十四之積為實(shí)是合用四十四個(gè)通步為法也舊術(shù)曰二十二之通步如七而一為法除田積見(jiàn)徑又法倍通步自之又十一之于上以十四之積減上余為實(shí)四十四之通步為法見(jiàn)池徑
按條叚皆于立天元一內(nèi)取出而于方圓變積之義或未暇深思故謂難以為式若以方環(huán)圓環(huán)解之固易易耳今増一圖義于后而舊術(shù)又法先求池徑更可互相發(fā)明因并附焉
義曰圓冪率十一方冪率十四以十四
乗圓環(huán)積便為十一方環(huán)積毎環(huán)為實(shí)
徑乗通步之直方四故以十一方環(huán)積為
實(shí)四十四通步為法即得實(shí)徑也
義曰倍通步即大小徑并其冪內(nèi)有
大小徑冪各一大小徑相乗直方二
內(nèi)減圓環(huán)積所變之方環(huán)積余小徑
冪二大小徑相乗之直方二又為小
徑乗大小徑并之直方二又為小徑乗通步之直方四故以十一倍之積較為實(shí)四十四之通步為法即得小徑也
第五十七問(wèn)
今有圓田一叚內(nèi)有直池水占之外計(jì)地八千七百四十四步只云兩頭至田楞各二十一步兩畔至田楞各四十五步問(wèn)三事各數(shù)
答曰田徑一百二十四步 池長(zhǎng)八十二步 濶
三十四歩
法曰立天元一為池濶加二之畔至
步得□丨為外田徑以自之得□□
丨為田徑冪以三之得□□□爲(wèi)四
叚圓田積于頭二至歩相減余二十
四步又倍之得四十八步為池長(zhǎng)濶差也再立天元池濶加差得□丨爲(wèi)池長(zhǎng)以天元濶乗之得□丨為池積又就分四之得□□為四叚直池積以減頭位得□□丨為如積四叚寄左然后列真積八千七百四十四步就分四之得三萬(wàn)四千九百七十六步減頭位得□□丨平方開(kāi)之得三十四步為池濶也依條叚求之四之見(jiàn)積內(nèi)減十二叚畔至步冪為實(shí)十二之畔至步內(nèi)減四個(gè)長(zhǎng)濶差余為從一步虛常法
義曰八處以紅志之者共是從內(nèi)所減之?dāng)?shù)也舊術(shù)曰四之積步于上又倍一畔步自乗三之減上余為實(shí)又并一頭一畔步六之內(nèi)減了長(zhǎng)濶之差余為從亷常置一步減從開(kāi)方見(jiàn)池濶也
第五十八問(wèn)
今有圓田一叚內(nèi)有直池占之外計(jì)地一千五百八十七步只云從田楞通地長(zhǎng)四十二步通地濶三十七步問(wèn)三事各數(shù)
答曰田徑五十四步 池長(zhǎng)三十步 濶二十步
法曰立天元一為內(nèi)池長(zhǎng)以減
倍通長(zhǎng)八十四步得□丨為田
徑以自之得□□丨為田徑冪
以三之得□□□為四叚圓田于頭再立天元一為池長(zhǎng)內(nèi)減長(zhǎng)濶差得□丨為池濶以天元一乗之得□丨又就分四之得□□為四叚池積【求長(zhǎng)濶差者倍通長(zhǎng)內(nèi)減倍通濶即是也】以減頭位得下式□□丨為四叚如積寄左然后列四之真積六千三百四十八步與左相消得□□丨開(kāi)平方得三十步為內(nèi)池長(zhǎng)也以長(zhǎng)減倍通長(zhǎng)即田徑也依條叚求之十二之通步冪內(nèi)減四之見(jiàn)積為實(shí)十二之通步內(nèi)減四差為從一步常法
義曰十二之從步內(nèi)減去了三個(gè)差又以三個(gè)漏下池積補(bǔ)了疊起底三步虛方外猶剰一池更用一差減從并上所剰之一池恰補(bǔ)成一步常法也
第五十九問(wèn)
今有二方夾一圓失卻圓水占外有田積一十一畆五分五厘其方圓相去重重徑等問(wèn)方圓各多少答曰內(nèi)方面一十二步 圓徑三十六步 外方
面六十步
法曰立天元一為等數(shù)五之得
□為外方面自之得【元○】□為外
方積于頭一次立天元一為等
數(shù)以三之得□為中圓徑以自
之得【元○】□為圓徑冪又三之四而一得【元○】□為池積以減頭位得【元○】□為外田積內(nèi)減了中圓積之?dāng)?shù)于次位一再立天元等數(shù)便為內(nèi)方面以自之得【元○】丨為內(nèi)方積卻加入次位得下□為如積一叚寄左然后列真積一十一畆五分五厘以畆法通得二千七百七十二步與左相消得□□步下法上實(shí)如法而一得一百四十四步再開(kāi)平方得一十二步為等數(shù)也便是內(nèi)方面也三之為中圓徑五之為外方面 此問(wèn)更無(wú)條叚舊法以十九步二分半除積步得內(nèi)方冪只是以一步推之也假令內(nèi)方一步則圓徑三步外方面五步也于外方積二十五步之內(nèi)減了中圓積六步七分半?yún)s加入內(nèi)方積一步計(jì)得十九步二分半也第六十問(wèn)
今有二圓夾一方失卻中方水占外有田積一十四畆一分七厘半其方圓相去重重徑等問(wèn)方圓各幾何答曰內(nèi)圓徑一十八步 方面五十四步 外圓徑九十步
法曰立天元一為等數(shù)以五之為外
圓徑以自之得【元○】□為外徑冪又三
之四而一得□為外田積于頭再立
天元等數(shù)以三之為中方面又自之得【元○】□為中方冪以減頭位得【元○】□為外圓積內(nèi)減了中方冪之?dāng)?shù)于次位又置天元等數(shù)便為內(nèi)圓徑以自之得【元○】丨為內(nèi)徑冪又三之四而一得【元○】□為內(nèi)圓積也卻加入頭位得【元○】□為如積一叚寄左然后列真積一十四畆一分七厘半以畆法通得三千四百二步與左相消得□□下法上實(shí)如法而一得三百二十四步再開(kāi)平方得一十八步為等數(shù)便是內(nèi)圓徑也副置之三因?yàn)橹蟹矫嫖逡驗(yàn)橥鈭A徑也 此問(wèn)與前問(wèn)意同更無(wú)條叚舊法以十步半除積步得內(nèi)徑冪亦只是以一步推之假令內(nèi)圓徑一步則是中方面三步外圓徑五步先置外圓積一十八步七分半內(nèi)減了中方積九步卻加內(nèi)圓積七分半共得一十步半也
第六十一問(wèn)
今有方田一叚靠西北隅有圓池水占之外計(jì)地九百二十五步只云從外田東南隅至池楞二十五步問(wèn)面徑各多少
答曰外田方面三十五步 內(nèi)池徑二十步
法曰立天元一為內(nèi)池徑身外加
二得□為池東南楞至田西北角
也又加斜至步二十五步得□□
為外田斜以自之得□□□為田
斜冪于頭再立天元圓徑以自之為冪又以一步四分七厘乗之得【元○】□為所展圓池積以減頭位得□□□為所展如積一叚寄左【初立天元身外加二者以方求斜合加四今求一半故加二也 按加二系以方求半方半斜和之?dāng)?shù)也】然后列真積九百二十五步就分以一步九分六厘乗之得一千八百一十三步與左相消得□□□平方開(kāi)得二十步為池徑也池徑外加二又添入斜至步卻身外除四即外方面也
依條叚求之展積內(nèi)減斜至冪為實(shí)倍至步身外加二為從三厘虛常法減從開(kāi)平方
義曰于一方外虛了四分七厘
從上帶了四分外虛七厘又于
從上乗起四厘外猶虛三厘故
以三厘為常法此圖內(nèi)二分合
畫(huà)作極細(xì)形狀與四分七厘外圓邉?wù)韵鄳?yīng)今不應(yīng)者但二分差濶耳所以畫(huà)作差濶之狀者正欲易辯二分之?dāng)?shù)也
按原圖式有附斜至冪外磬折形無(wú)附池徑冪外磬折形且二形相離皆?本之誤也故義中所論亦不知其何指今訂補(bǔ)此圖二分不必加濶未嘗不易辨也
第六十二問(wèn)
今有方田二叚靠西北隅有方池結(jié)角占外計(jì)地四畆一十五步只云從田東南隅斜至水方面一十九步問(wèn)內(nèi)外面各多少
答曰外方面四十步 內(nèi)方面二十五步
法曰立天元一為池方面身外加
四八又加入斜至步一十九步得
□□為外田斜也【先將池斜變?yōu)榉焦始铀暮笥帧?br /> 【將池方變?yōu)樾睆?fù)合加四兩度加四于一步上合得一步九分六厘今求一半故身外止加四八也 按方一步求斜身外加四又以斜為方求斜再身外加四是原方求再斜為身外加九六今求半方半再斜之和數(shù)故加四八也】以自之得□□□為外田斜冪于上再立天元一為池方面以自之又以四十九乗之如二十五而一得【元○】□為展起方池積以減上得□□□為所展如積一叚寄左然后列真積四畆一十五步以畆法通內(nèi)得九百七十五步又隨分以一步九分六厘乗之得一千九百一十一步與左相消得□□□平方開(kāi)得二十五步為內(nèi)池方面也于此方面上兩次求斜合得一步九分六厘以除元方一步外有九分六厘半之則得四分八厘故此方面上加四八更加入斜至步為大方斜也
以條叚求之展積內(nèi)減至步冪為實(shí)二之至步以一步四分八厘乗之為從二分三厘四絲為常法
義曰此一問(wèn)其展起積時(shí)
于一池之外虛了九分六
厘卻于一個(gè)從步內(nèi)加四
分八厘二個(gè)從步計(jì)加了
九分六厘恰就了所展虗
數(shù)除外有一叚四分自乗數(shù)該一分六厘于上又有兩叚四分乗八厘數(shù)【按附自乗方外】該六厘四毫于次又有一叚八厘自乗數(shù)【按小方隅】該六毫四絲于下三位并得二分三厘四絲此數(shù)系是于展積內(nèi)實(shí)有之?dāng)?shù)故以常法也
舊術(shù)以四十九乗田積如二十五而一于頭位以至水步自乗減頭位為實(shí)余與條叚同
按原圖式四分八厘方內(nèi)按分厘數(shù)細(xì)分之因其數(shù)甚微又以分?jǐn)?shù)厘數(shù)作等數(shù)分之終不免混淆今以亷隅線(xiàn)易之
第六十三問(wèn)
今有大圓田一叚大小方田二叚其小方田內(nèi)有圓池水占之外共計(jì)積六萬(wàn)一千三百步只云小方田面至池楞三十步大方田面多于小方田面五十步其圓田徑又多于大方田面五十步問(wèn)四事各多少答曰小方田面一百步 池徑四十步 大方田
面一百五十步 圓田徑二百步
法曰立天元一為內(nèi)池徑加二之至
水六十步為小方面于小方面上又
加入大小方面差五十步即大方面
也于大方面上又加入大圓徑大方
面差五十步即大圓徑也具圖于左
一內(nèi)圓徑【太○】丨 一小方面□丨
一大方面□丨 一大圓徑□丨
乃先置天元內(nèi)圓徑以自之義三之
得【元○】□為四叚圓池積于上又置小方面□丨以自之得□□丨為小方積以四之得下式□□□為四叚小方積于次又置大方面以自之得□□丨為大方積四之得□□□為四叚大方積于下又置大圓徑下式□丨以自之得□□丨為大圓徑冪以三之得下式□□□為四叚大圓積于下位之次并下三位得下式□□□于右以四池積【元○】□減于右得□□□為如積四叚寄左然后列真積六萬(wàn)一千三百步就分四之得二十四萬(wàn)五千二百步與左相消得□□□平方開(kāi)之得四十步為內(nèi)池徑也各加差步即各得方面與圓徑也
依條叚求之四之田積于頭位內(nèi)減三叚【按落大圓徑三字】多池徑冪又減四叚大方面多池徑冪又減十六叚至水步冪為實(shí)六之圓田多池徑步又八之大方田面多池徑步又十六之至水步三位并之得二千三百二十步為從法亷常置八步開(kāi)平方
義曰三叚圓徑冪乃四個(gè)圓田積此數(shù)內(nèi)有三個(gè)方也其四叚大方田積內(nèi)有四個(gè)方也其四叚小方積毎個(gè)圓池外余二分半四池計(jì)余一步方也三位上并帶八步方
第六十四問(wèn)
今有方田一叚中心有環(huán)池水占之外計(jì)地四十七畆二百一十七步只云共環(huán)水內(nèi)周不及外周七十二步又從田四角至水各五十步半問(wèn)內(nèi)外周及田方方各多少
答曰外周一百八十步 內(nèi)周一百八步 田方
一百一十五步
法曰立天元一為池內(nèi)徑
先以六除內(nèi)外周差七十
二步得一十二步為水徑
倍之得二十四步加入天
元池內(nèi)徑得□丨為池外徑又加倍至步一百一步得下式□丨為外田斜以自之得□□丨為田斜冪于頭位再立天元池內(nèi)徑加入二之水徑得□丨為池外徑以自之得□□丨為外徑冪又以一步四分七厘乗之得下式□□□步為展起底外圓積于次上再立天元一池內(nèi)徑以自之【元○】丨亦以一步四分七
厘乗之得【元○】□ 【步】為展起底內(nèi)圓積以減次上得□步□○為所展底池積也以此池積減頭位得下式□步□丨為展起如積一叚寄左然后列真積四十七畆二百一十七步以畆法通納之得一萬(wàn)一千四百九十七步又就分以一步九分六厘乗之得二萬(wàn)二千五百三十四步一分二厘與左相消得下式□步□丨開(kāi)平方得三十六步即池內(nèi)徑也三之為內(nèi)周又加差為外周置內(nèi)徑加二之水徑又加倍至步為外方斜也置外方斜身外去四即外田方面也依條叚求之以一步九分六厘乗田積于頭位以水徑加至步以自之為冪又四之以減頭位又倍水徑自乗又以一步四分七厘乗之卻加入頭位為實(shí)又水徑加至步四之于頭位又三之水徑以一步九分六厘乗之減頭位為從一步常法此問(wèn)圖式有三第一式即所畵原様是也以一步九分六厘乗之變?yōu)樾眱缙涫饺绾?br /> 右第二式也黒者為元問(wèn)
防者盡是展數(shù)恐糢糊難
辯再具加減圖式于下更
不見(jiàn)舊式也
右第三式也其圓環(huán)以條
叚命之只是一個(gè)方環(huán)內(nèi)
取四分之三也卻加入三
叚展起底水徑冪外只有
三叚展起底水徑乗內(nèi)圓徑直田積也此系展環(huán)之虛數(shù)也今以至步并水徑共為從故于內(nèi)卻除去水徑之虛步也必湏以一步九分六厘乗水徑而去從者縁二停虛環(huán)并是展起之積故減從時(shí)將水徑亦展起而減之也【按展水徑展內(nèi)圓徑皆于原數(shù)身外加四今以?xún)?nèi)圓徑為不動(dòng)則水徑必兩度加四故以一步九分六厘乗之也】
益古演段卷下
提要
益古演段三卷 天文算法類(lèi)二【算書(shū)之屬臣】等謹(jǐn)案益古演段三卷元李冶撰據(jù)至元壬午硯堅(jiān)序稱(chēng)冶測(cè)圓海鏡既巳刻梓其親舊省掾李師徴復(fù)命其弟師珪請(qǐng)冶是編刋行是書(shū)在測(cè)圓海鏡之后矣其曰益古演段者蓋當(dāng)時(shí)某氏算書(shū)【案冶序但稱(chēng)近世有某是冶已不知作者名氏】以方圓周徑冪積和較相求定為諸法名益古集冶以為其蘊(yùn)猶匿而未發(fā)因?yàn)橹蒲a(bǔ)條目厘定圖式演為六十四題以闡明奧義故踵其原名其中有草有條段有圖有義草即古立天元一法條段即方田少?gòu)V等法圖則繪其加減開(kāi)方之理義則隨圖解之蓋測(cè)圓海鏡以立天元一法為根此書(shū)即設(shè)為問(wèn)答為初學(xué)明是法之意也所列諸法文皆淺顯蓋此法雖為諸法之根然神明變化不可端倪學(xué)者驟欲通之茫無(wú)門(mén)徑之可入惟因方圓冪積以明之其理猶屬易見(jiàn)故冶于方圓相求各題下皆以此法步之為草俾學(xué)者得以易入自序稱(chēng)今之為算者未必有劉李之工而褊心局見(jiàn)不肯曉然示人惟務(wù)隱互錯(cuò)糅故為溟涬黯黮惟恐學(xué)者得窺其彷佛云云可以見(jiàn)其著書(shū)之防矣至其條段圖義觸類(lèi)雜陳則又以必習(xí)于諸法而后可以通此法故取以互相發(fā)也其書(shū)世無(wú)?本顧應(yīng)祥唐順之等見(jiàn)測(cè)圓海鏡而不解立天元一法遂謂秘其機(jī)以為竒則明之中葉業(yè)已散佚今檢永樂(lè)大典尚載有全編特録存之俾復(fù)見(jiàn)于世以為筭家之圭臬永樂(lè)大典所載不分卷數(shù)硯堅(jiān)序稱(chēng)三卷今約畧篇頁(yè)仍厘為三卷其?寫(xiě)訛謬者各以本法推之咸為校正焉乾隆四十六年七月恭校上
總纂官【臣】紀(jì)昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
總 ?！」佟 境肌俊￡憽≠M(fèi) 墀
益古演段序
算數(shù)之學(xué)其來(lái)尚矣率自九章支分派委劉徽李淳風(fēng)又為之注后之學(xué)者咸祖其法敬齋先生天資明敏世間書(shū)凡所經(jīng)見(jiàn)靡不洞究至于薄物細(xì)故亦不遺焉近代有移補(bǔ)方圓自成一家號(hào)益古集者大小七十問(wèn)【按書(shū)中六十四問(wèn)】先生一寓目見(jiàn)其用心之勤惜其秘而未盡剖露繙圖式繹條段可移則移之可補(bǔ)則補(bǔ)之祥【按祥字有脫誤應(yīng)作説之詳】非若溟涬黯黮之不可曉析之明非若淺近觕俗之無(wú)足觀厘為三卷目曰益古演段頗曉十百披而覽之辟如登坦途前無(wú)滯礙旁蹊曲徑自可縱橫而通嘉恵后來(lái)為視隠互雜糅惟恐人窺其彷佛者相去大有逕庭矣先生又盡攄已見(jiàn)輯為測(cè)圓海鏡一編二百問(wèn)【按今本一百七十問(wèn)】同出一原致宻纎悉備而不防叅考互見(jiàn)真學(xué)者之指南也海鏡既命工刻梓省掾李師征其親舊也囑弟師珪請(qǐng)是編刋而行之將與眾共推善及人良可尚也已數(shù)學(xué)在六藝為未求之人最為切要邇來(lái)精其能者殊鮮自非先生學(xué)有余力誠(chéng)能搜剔軒轅隸首之奧有不暇矣雖然是特大烹之一臠耳若夫先生胷中渾涵停蓄測(cè)之愈深挹之不窮時(shí)發(fā)于翰墨昭不可揜者則大全集在當(dāng)嗣此出愿肅袵以觀至元壬午仲秋二十六日鄖城硯堅(jiān)序
自序
術(shù)數(shù)雖居六藝之末而施之人事則最為切務(wù)故古之博雅君子馬鄭之流未有不研精于此者也其撰著成書(shū)者無(wú)慮百家然皆以九章為祖而劉徽李淳風(fēng)又加注釋而此道益明今之為算者未必有劉李之工而褊心局見(jiàn)不肯曉然示人惟務(wù)隠互錯(cuò)糅故為溟涬黯黮惟恐學(xué)者得闚其彷佛也不然則又以淺近觕俗無(wú)足觀者致使軒轅隸首之術(shù)三五錯(cuò)綜之妙盡墮于市井沾沾之兒及夫荒村下里蚩蚩之民殊可憫悼近世有某者以方圓移補(bǔ)成編號(hào)益古集真可與劉李相頡頏予猶恨其閉匿而不盡發(fā)遂再為移補(bǔ)條段細(xì)繙圖式使粗知十百者便得入室啗其文顧不快哉客有訂愚曰子所述果能盡軒隸之秘乎愚應(yīng)之曰吾所述雖不敢追配作者誠(chéng)令后生軰優(yōu)而柔之則安知軒隸之秘不于是乎始客退因書(shū)以為自序時(shí)大元己未夏六月二十有四日欒城李冶序
欽定四庫(kù)全書(shū)
益古演段卷上 元 李冶 撰第一問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一十三畝七分半并不記內(nèi)圓外方只云從外田楞至內(nèi)池楞四邊各二十步問(wèn)內(nèi)圓外方各多少
答曰外田方六十步 內(nèi)池徑二十步
法曰立天元一為內(nèi)池徑加倍至步得□丨【按太即真數(shù)此
即四十步并一池徑】為田方靣【按方靣即每邊】以
自增乗得□□丨【按此即一千六百步八十
池徑一平方并】為方積于頭再立天元
一為內(nèi)池徑以自之又三因四
而一得【太○】○□【按此即百分平方之七十五上二○存步與池之位】為池積以減頭位得□□□【按此即一千六百步八十池徑二分半平方】為一段虛積寄左然后列直積以畝法【按畝法二百四十步】通之得三千三百步與左相消【按相消者兩邊同減一千六百歩后凡言相消者皆?xún)蛇劶訙p一數(shù)也】得□□□【按此即一千七百歩與八十池徑二分半平方等】開(kāi)平方得二十步為圓池徑也倍至步加池徑即外方靣也按今借根方法即立天元一法詳見(jiàn)
御制數(shù)理精蘊(yùn)茲不盡釋
以條段求之真積內(nèi)減四段至步冪為實(shí)四之至步為從二分半常法
義曰真積內(nèi)減四段至步冪者是減去四隅也以二分半為常法者是于一步之內(nèi)占卻七分半外有二
分半也
第二問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一十三畝七分半并不記徑面只云從外田南楞通內(nèi)池北楞四十步問(wèn)內(nèi)圓外方各多少
答曰同前
法曰立天元為池徑減倍通步
得□丨【按此即八十步少一圓徑】為田方靣
以自増乗得□□丨【按此即六千四百步
少一百六十徑多一平方】為方田積于頭又
以天元池徑自之三因四而一得【太 ○○】□【按此即百分平方之七十五】為池積以減頭位得□□□【按此即六千四百步少一百六十徑多二分半平方】為一段虛積寄左然后列真積三千三百步與左相消得□□□【按此即三千一百步與一百六十徑少二分半平方等】開(kāi)平方得二十歩即內(nèi)池徑也倍通步內(nèi)減池徑為方靣也
依條段求之倍通步自乗于頭位以田積減頭位余為實(shí)四之通步為從二分半虛常法
義曰倍通步者是于方靣之外引出一圓也用二分半虛常法者是一個(gè)虛方內(nèi)卻有減余圓池補(bǔ)了七分半外欠二分半故以之為虛隅也
第三問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一萬(wàn)一千三百二十八歩只云從外田角斜至內(nèi)池楞各五十二步問(wèn)靣徑外方各多少
答曰外田方一百二十步 內(nèi)池徑六十四步
法曰立天元一為內(nèi)池徑加倍
至步得□丨為方斜以自増乗
得□□丨為方斜冪于頭【其方斜上
本合身外減四今不及減便是寄一步四分為分母也今此方斜冪乃】
【是變斜為方靣以自乘之?dāng)?shù)又別得是展起之?dāng)?shù)也】又立天元為池徑自之又三因四而一為池積今為方田積既以展起則此池積亦須展起故又用一步九分六厘乗之得一步四分七厘亦為一個(gè)展起底圓池積也【以一步九分六厘乘之者葢為分母十四以自之得一步九分六厘也】以池積減田積余□□□為一段虛積寄左然后列真積一萬(wàn)一千三百二十八步亦用分母冪一步九分六厘乗之【或兩度不加四亦同】得二萬(wàn)二千二百○二步八分八厘與左相消得□□□平方開(kāi)之得六十四步為內(nèi)池徑也倍至步加池徑身外除四見(jiàn)方靣也 一法求所展池積以徑自之了更不湏三因四除及以一步九分六厘乗之只于徑冪上以一步四分七厘【按此即三因四除一步九分六厘之?dāng)?shù)】乗之便為所展之池積也
依條段求之展積內(nèi)減四段至步冪余為實(shí)四之至步為從四分七厘益隅
義曰凡言展積者是于正積上以一步九分六厘乗起之?dāng)?shù)元法本是方靣上寄一步四分分母自乗過(guò)于每步上得一步九分六厘故今命之為展起之?dāng)?shù)
也諸變斜為方者皆?xún)怂?br /> 之池積是于一步圓積上展出
九分六厘若以池徑上取斜為
外圓徑則一步上止生得四分
七厘也故以四分七厘為虛常法又取方冪一步九分六厘四分之三亦得圓積一步四分七厘也按法內(nèi)皆以徑一周三方五斜七為率故各靣積分?jǐn)?shù)與宻率不合葢此書(shū)専為明理而作宻率數(shù)繁礙于講解故用古率以從簡(jiǎn)且其法既明即用宻率亦無(wú)不可
第四問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一萬(wàn)一千三百二十八步只云從外田角斜通池徑得一百一十六步問(wèn)靣徑外方各多少
答曰外田方一百二十步 內(nèi)池徑六十四步
法曰立天元一為圓徑減倍通步得下□丨為方斜
以自之得□□丨便為所展方
田積于上再立天元一為池徑
以自之又以一步四分七厘乗
之得【太 ○○】□ 【步】便為所展圓池
積也以池積減上田積余得□□□為一段如積寄左然后列真積如法展之得二萬(wàn)二千二百○二步八分八厘與左相消得□□□平方開(kāi)之得六十四步為內(nèi)池徑也以池徑減倍通步即是方田斜身外除四為方靣也
以條段求之四段通步冪內(nèi)減展積為實(shí)四之通步為從四分七厘常法
義曰四之通步為從其減
積外實(shí)欠一個(gè)方今即有展
池減時(shí)所剰之積補(bǔ)卻一
個(gè)虛方外猶剰一個(gè)四分
七厘為常法也
第五問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一十三畝二分只云內(nèi)圓周不及外方周一百六十八步問(wèn)方圓各多少
答曰外方周二百四十步 內(nèi)圓周七十二步
法曰立天元一為內(nèi)圓周加一百六十八步得□丨為外方周以自増乗得□□丨為一十六個(gè)方田積又三因之得□□□為四十八段方田積于頭【所以三因
為四十八者就為四十八分母也】再立天元圓
周以自之【元○】丨為十二段圓池
積【圓周冪為九個(gè)圓徑冪每三個(gè)圓徑冪為四個(gè)圓池積今九
個(gè)圓徑冪共為十二個(gè)圓池積也】又就分四之
得【元○】□為四十八個(gè)圓池積以減頭位得□□丨為四十八段如積寄左然后列真積一十三畝二分以畝法通之得三千一百六十八步又就分母四十八之得一十五萬(wàn)二千○六十四步與寄左相消得□□丨平方開(kāi)之得七十二步為內(nèi)圓周也三而一為池徑
依條段求之四十八段田積內(nèi)減三段不及步冪為實(shí)六之不及為從一虛隅
義曰每一個(gè)方周方為十六段方田積今三之為四十八段方田積也內(nèi)除了三個(gè)圓周冪外于見(jiàn)積上虛了一個(gè)圓周冪也今求圓周故以一步為虛隅法舊術(shù)曰以十六乗田積為頭位【以合方周之積】以不及步自乗減頭位余三之為實(shí)六之不及步為從法防常以一步為減從法
第六問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地二千六百七十三步只云內(nèi)圓周與外方靣數(shù)等問(wèn)各多少答曰外方靣內(nèi)圓周各五十四步
法曰立天元一為方靣【便是圓周】以
自之得元丨便為十二段池積
也再立天元方靣以自之又十
二之得【元○】□為十二段方田積
也二數(shù)相減余【元○】□為十二段如積寄左然后列真積就分母十二之得□與左相消得□□平方開(kāi)之得五十四步為方靣亦為圓周徑也
依條段求之十二之真積為實(shí)無(wú)從一十一步常法
義曰一個(gè)方田積便是一
個(gè)圓周積也一個(gè)圓周積
便是十二個(gè)圓池積今將
一十二個(gè)圓池積減于十
二個(gè)方田積通有十一段方田積也
舊術(shù)曰以十二乗田如十一而一所得開(kāi)方除之合前問(wèn)也
又法立天元一為等數(shù)以自之為外田積又就分母九之得【元○】□為九個(gè)方田積于頭又立天元等數(shù)以自之為十二個(gè)圓池積也三之四而一得【元○】□為九個(gè)圓池以減頭位得【元○】□為九段如積寄左然后列真積就分九之得二萬(wàn)四千○五十七步與左相消得□○□平方開(kāi)得五十四步為等數(shù)也
依條段求之九之積為實(shí)無(wú)從八步二分半為常法義曰每一個(gè)方冪為十二個(gè)圓池今將見(jiàn)有底九個(gè)
圓池去了七分半余二分半并
實(shí)有八個(gè)方恰是八個(gè)二分半
也
又法立天元一為徑以三之為
外方靣以自之得【元○】□為外方積于上再立天元圓徑以自之三之四而一得【元○】□為圓池積也以此圓積減方積得【元○】□為一段如積寄左然后列真積與左相消得下式□○□平方開(kāi)得一十八步為圓徑也
以條段求之積為實(shí)八步二分半為常法
義曰中間一方除圓池四分之
三外有四分之一即是一步內(nèi)
得二分半也
舊術(shù)曰列積步以八步二分半
為法除之所得再開(kāi)方見(jiàn)內(nèi)圓徑
第七問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地一千三百五十七步只云外方靣不及內(nèi)池周一十四步問(wèn)方圓各多少
答曰方靣四十步 圓周五十四步
法曰立天元一為外方加不及
一十四步得□丨為內(nèi)周以自
増乗得□□丨為十二個(gè)圓池
積于頭再立天元方靣以自之
又十二之為十二個(gè)方田積內(nèi)減頭位得□□□為十二段如積寄左然后列見(jiàn)積一千三百五十七步就分母十二通之得一萬(wàn)六千二百八十四步與左相消得□□□開(kāi)平方得四十步為外方靣也依條段求之十二之積內(nèi)加入不及步冪為實(shí)二之不及步為虛從十一步常法
義曰其十二段積內(nèi)?起十二個(gè)圓池其十二個(gè)圓池補(bǔ)成一個(gè)圓周方其圓周多于方靣十四步故
自之為冪加入所
欠之一角又二之
為虛從恰得十一
個(gè)方也
第八問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外有地一十三畝七分半只云內(nèi)外方圓周共相和得三百步問(wèn)方圓周各多少
答曰外方周二百四十步 內(nèi)圓周六十步
法曰立天元一為圓徑以三之
為圓周以減共步得□□為方
周以自増乗得□□□為十六
段方田積于頭再立天元圓徑
以自之又十二之得【太○】○□為十六個(gè)圓池積以減頭位得□□□為十六段如積寄左然后列真積一十三畝七分半以畝法通之得三千三百步又就分母一十六通之得五萬(wàn)二千八百步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十步為圓池徑又三之為圓周也依條段求之和步冪內(nèi)減十六之見(jiàn)積為實(shí)六之和步為從三步常法
義曰十六個(gè)圓池該十二個(gè)方內(nèi)從步合除去九個(gè)方外猶剰三個(gè)方故以三步為常法也
舊術(shù)曰列相和步自乗為頭位又以十六之田積減頭位又六而一為實(shí)以相和步為從法廉常置五分
第九問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地三千一百六十八步只云內(nèi)外周與實(shí)徑共相得三百三十步問(wèn)三事各多少
答曰外方周二百四十步 實(shí)徑十八步 圓周七十二步
法曰立天元一為池徑以五之
減倍之相和步得□□為九個(gè)
方靣以自増乗得□□□為八
十一段方田積于頭位【二之相和步別】
【得是八方面六圓徑二實(shí)徑今?二實(shí)徑與一圓徑就成一方靣共前數(shù)計(jì)九方靣五圓徑卻更無(wú)實(shí)徑也】再立天元池徑以自之又以六十步七分半乗之得【元○】□為八十一個(gè)圓池【所以用六十步七分半乘之者欲齊其八十一分母也每個(gè)圓池七分半以八十一通之得六十步七分半也】以此減頭位余□□□為八十一段如積寄左然后列真積三千一百六十八步以八十一通之得二十五萬(wàn)六千六百○八與
左相消得下□□□ 【步】開(kāi)平方得二十四步為池徑也五因池徑減倍相和余九而一得方田靣以池徑減方余折半為實(shí)徑
依條段求之倍共步自乗于頭以八十一之田積減頭位余為實(shí)二十之共步為從三十五步七分半為常法
義曰八十一個(gè)方田內(nèi)?起八
十一個(gè)圓池每個(gè)圓池七分半
此八十一個(gè)計(jì)該六十步七分
半其從步內(nèi)合除去二十五個(gè)
外猶剰三十五個(gè)七分半故以之為常法也
舊術(shù)曰倍相和步自乗為頭位又以八十一乗田積減頭位余退一位為實(shí)倍相和步為從法廉常置三步五分七厘半
第十問(wèn)
今有方田一段內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地三千一百六十八步只云內(nèi)外方圓周與斜徑共相和得三百四十二步問(wèn)三事各多少
答曰外方周二百四十步 內(nèi)圓周七十二步
斜三十步
法曰立天元一為池徑以二十
五之減于十之相和三千四百
二十步得□□為四十七個(gè)外
方靣以自増乗得□□□為二
千二百九段方田積于頭位【十之相和步三千四百二十為方靣四十個(gè)內(nèi)池徑三十個(gè)斜至步一十個(gè)以一十個(gè)斜至步合入五個(gè)池徑共得五斜此五斜卻便是七個(gè)方靣計(jì)總數(shù)該四十七個(gè)方靣二十五個(gè)圓徑外更無(wú)斜至步也】再立天元池徑以自之又以一千六百五十六步七分半乗之得【元○】 □為二千二百○九個(gè)圓池積也【所以用一千六百五十六步七分半乗之者欲齊其二千二百○九分母也每一個(gè)圓池積七分半今有二千二百○九個(gè)圓池積以七分半乘之該一千六百五十六步七分半也】以此減頭位得□□□為二千二百九段如積數(shù)寄左然后列真積三千一百六十八步以分母二千二百九通之得六百九十九萬(wàn)八千一百一十二步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十四步即池徑也以二十五之圓徑減十之和步余四十七而一得為外方靣身加四內(nèi)減了圓池徑余折半為斜徑也
按法內(nèi)所用四十七方靣之?dāng)?shù)亦由立天元一法取出但截去前段恐初學(xué)不能無(wú)疑茲仍依其法補(bǔ)之
法立天元一為池徑五因之以減倍和得□□為八方靣一斜共數(shù)以方五因之得□□為實(shí)又以方五因八方靣得四十以斜七乗一斜得七并之得四十七為法除實(shí)得方靣不除便為四十七個(gè)方靣也
依條段求之相和步進(jìn)一位自乗于頭位以二千二百九之真積減頭位余為實(shí)五百之和步為益從一千三十一步七分五厘為益隅
義曰減數(shù)系是二千二百九段方靣冪內(nèi)卻漏下二千二百九個(gè)圓池此數(shù)該一千六百五十六個(gè)七分
圓徑冪卻于從步上疊用了六
百二十五個(gè)池徑冪外猶剰一
千三十一個(gè)七分五厘故以之
為隅法其從法元有五十個(gè)圓
徑今命為之五百者縁相和步進(jìn)一位也
舊術(shù)曰列相和步進(jìn)一位自相乗為頭位以二千二百九之積減頭位余以三之為實(shí)又以一千五百之相和步為從法廉常置三千九十五步二分半開(kāi)平方見(jiàn)池徑
第十一問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地二十五畝余二百四步只云從外田楞至四邊各三十二步問(wèn)外圓內(nèi)方各多少
答曰外圓徑一百步 內(nèi)方靣三十六步
法曰立天元一為內(nèi)方靣加倍至步為外田徑以自之得下式□□丨又三之得□□□為四段圓田積
于頭再立天元方靣以自之又
就分母四之得【元○】□為四池積
以減頭位得□□丨為四段如
積數(shù)寄左然后列真積又就分
四之得二萬(wàn)四千八百一十六步與左相消得□□丨開(kāi)平方得三十六步為方池靣也加倍至步即圓徑也
依條段求之四之積步于頭位【作三個(gè)外圓徑冪內(nèi)出了四個(gè)方池積也】?jī)?nèi)減十二之至步冪為實(shí)十二之至步為從一虛隅
義曰四個(gè)外圓田內(nèi)減了十二段至步冪復(fù)以十二之至步為從又合去四個(gè)方池今元積內(nèi)有三個(gè)虛池外猶欠一個(gè)虛池故以一步為虛隅常減從以為法
又有圓田一段中有方池水占之外有田五十步只云方池一尖抵圓邊其一尖至圓邊三步問(wèn)圓徑方靣各若干
答曰徑十歩 靣五步
法曰立天元一為方斜加三步
為圓徑以自之又以一步九分
六厘乗之得□ 【步】□□【按此為一平方
九分六厘多十一元七分六厘多十七步六分四厘諸條皆步】
【數(shù)在上此條獨(dú)步數(shù)在下】又三之得□ 【步】□□內(nèi)減四之天元冪得上層□中下云云【按即多三十五元二分八厘多五十二平方九分二厘】寄左然后置五十步兩度加四得□【步】又四之得□【步】與左相消得下層三百三十九步○八厘【按此下當(dāng)加與一平方八分八厘多三十五元二分八厘等十八字方明】負(fù)開(kāi)平方得七步即池斜也副置池斜上位加至步即圓徑下位身外減四即方靣也合問(wèn)
依條段求之四段展起見(jiàn)積內(nèi)減三段展起至步冪為實(shí)六之至步展起為從一步八分八厘為常法也此問(wèn)若求方靣則其法甚易今求方斜故其圖須細(xì)分之
義曰三個(gè)九分六厘共計(jì)二步八分八厘其元初作四段如積時(shí)合有四個(gè)所展之池今來(lái)只見(jiàn)三個(gè)故于二步八分八厘內(nèi)去卻一步有余只有一步八分八厘為常法也【此法于別紙上抄得故録于此】
第十二問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外有地二十五畝零二百四步只云從外田楞通內(nèi)方方靣六十八步問(wèn)各數(shù)若干
答曰外圓徑一百步內(nèi)方靣三十六步
法曰立天元一為內(nèi)方靣減倍通步得□丨為外圓
徑以自之得□□丨為圓徑冪
以三之得□□□為四段圓田
積于頭再立天元內(nèi)方靣以自
之又就分母四之得【元○】□為四
段方池積以減頭位得□□丨為四段如積數(shù)寄左然后以四之見(jiàn)積二萬(wàn)四千八百一十六步與左相消得□□丨平方開(kāi)之得三十六步為內(nèi)方靣也減倍通步即圓徑
依條段求之十二段至步冪內(nèi)減四之見(jiàn)積為實(shí)十二之通步為從一常法
義曰所減數(shù)內(nèi)剰
下四個(gè)方池疊補(bǔ)
了三個(gè)外猶剰一
個(gè)故以之為常法
第十三問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地五千步只云從外田楞至內(nèi)池角四邊各一十五步問(wèn)方圓各多少
答曰外圓徑一百步 內(nèi)方靣五十步
法曰立天元一為內(nèi)方靣身外
加四為內(nèi)方斜又加倍至步得
□□為外圓徑也以自増乗得
□□□為外徑冪以三之得□
□□為四段外圓積于頭再立天元內(nèi)方靣以自之又四之得【元○】□為四段方池積也以減頭位余□□□為四段如積數(shù)寄左然后列四之見(jiàn)積二萬(wàn)步與左相消得□□□開(kāi)平方得五十步為池方靣也身外加四又加入倍至步即為外田徑也
依條段求之四之積步內(nèi)減十二段至步冪為實(shí)十二之至步身外加四為從一步八分八厘為常法義曰三個(gè)九分六厘計(jì)二步八分八厘其四個(gè)圓田內(nèi)有四個(gè)方水池除從步合占三個(gè)外猶剰一個(gè)水
池卻于數(shù)內(nèi)取了一步余一步八分八厘故以之為常法也其從步加四者葢取斜中之方靣也葢不加四不能見(jiàn)方靣而但得方斜也
舊術(shù)曰四因積步為頭位又倍去角步自乗三之減頭位余折半為實(shí)又倍去角步三因加四為從法廉常置九分四厘
第十四問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地三百四十七步只云從田外楞通內(nèi)池斜三十五步半問(wèn)外圓內(nèi)方各多少
答曰外圓徑三十六步 內(nèi)方靣二十五步
法曰立天元一為內(nèi)方靣加四得【元□】為方斜以減倍通步得【太□】□為外圓徑以自増乗得□□□為外田
徑冪也以三之得□□□為四
段圓田積于頭再立天元內(nèi)方
靣以自之又就分四之得【元○】□
為四段方池以減頭位得□□
□為四段如積寄左然后列四之見(jiàn)積一千三百八十八步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十五步為內(nèi)方靣也方靣加四減于倍通步得圓徑也
依條段求之十二段通步冪內(nèi)減四之田積為實(shí)十二之通步加四為益從一步八分八厘常法
義曰此式元系虛從今以虛隅命之四段圓田減積時(shí)剰下四段方池于從步內(nèi)用訖三個(gè)外猶剰一個(gè)卻于二步八分八厘虛數(shù)內(nèi)補(bǔ)了一歩外虛一步八分八厘故以之為法【從負(fù)隅正或從正隅負(fù)其實(shí)皆同故因此廉從以別之】舊術(shù)曰倍通步自乗三之為頭位四因田積減頭位余為實(shí)又十二通步加四為從法廉常置一步八分八厘減從開(kāi)方【新舊廉從不同開(kāi)時(shí)則同故兩存之】
第十五問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地三十三畝一百七十六步只云內(nèi)方周不及外圓周一百五十二步問(wèn)外圓內(nèi)方各多少
答曰外圓周三百六十步 內(nèi)方周二百八步
法曰立天元一為內(nèi)方靣以四
之為內(nèi)方周加不及一百五十
二步得□□為外圓周以自増
乗得□□□為十二段圓田積
于頭再立天元內(nèi)方靣以自之又就分十二之得【元○】□為十二段方池積以減頭位余□□□為十二段如積寄左然后列見(jiàn)積八千○九十六步又就分十二之得九萬(wàn)七千一百五十二步與左相消得□□□平方開(kāi)得五十二步為內(nèi)池方靣也以四之為內(nèi)方周加不及步為圓周也
依條段求之十二段積步內(nèi)減不及步冪為實(shí)八之不及步為從四步為常法也
義曰十二段圓積該九段圓徑
冪九段圓徑冪便是九個(gè)圓周
冪也據(jù)十二段圓積內(nèi)元少十
二個(gè)方池今于周冪內(nèi)除折筭
外剰四個(gè)池積故以四步為常法也
舊術(shù)曰十二之積步為頭位以不及步自乗減頭位余八而一為實(shí)以不及步為從法廉常置半步開(kāi)平方【新舊二術(shù)不同者舊術(shù)從簡(jiǎn)耳算術(shù)本貴簡(jiǎn)易而猶立新術(shù)者縁舊術(shù)難畫(huà)條段也余仿此】第十六問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地三千五百六十四步只云內(nèi)方周與外圓徑等問(wèn)等數(shù)各若干答曰內(nèi)方周外圓徑各七十二步
法曰立天元一為等數(shù)便以為
方周以自之為十六個(gè)方池于
頭【元○】丨再立天元等數(shù)便以為
圓徑以自之又十二之得【元○】□
為十六段圓田積內(nèi)減頭位余【元○】□為十六段如積寄左然后列真積三千五百六十四步又就分十六之得五萬(wàn)七千○二十四步與左相消得□○□平方開(kāi)得七十二步即等數(shù)也
按法后落條段一條依前例補(bǔ)之
依條段求之十二之真積為實(shí)無(wú)從一十一步常法
義曰十六個(gè)圓積
乃十二段圓徑冪
也其十六個(gè)圓積
內(nèi)有十六個(gè)方池恰是一個(gè)方也此一個(gè)方便是等數(shù)冪也
舊術(shù)曰列田積從十一段平方開(kāi)之得內(nèi)方靣四之即等數(shù)也乂法以十六乗田積如十一而一所得開(kāi)方即等數(shù)
第十七問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外有地一千六百一十一步只云外圓徑不及內(nèi)方周四十二步問(wèn)方圓各若干
答曰外圓徑五十四步 內(nèi)方周九十六步
法曰立天元一為外圓徑加不及四十二步得
為內(nèi)方周以自増乗得下式□
□丨為十六段池積于頭再立
天元外圓徑以自之又十二之
得【元○】□為十六段田積也內(nèi)減
頭位余□□□為十六段如積寄左然后列真積一千六百一十一步就分母十六之得二萬(wàn)五千七百七十六步與左相消得□□□平方開(kāi)得五十四步為外圓徑也加不及步為內(nèi)方周也
依條段求之置十六之積加不及步冪為實(shí)倍不及步為虛從一十一步為常
義曰十二個(gè)圓徑
冪該十六個(gè)圓田
積十六個(gè)圓田積
內(nèi)有十六個(gè)方池其十六個(gè)方池于實(shí)積內(nèi)侵過(guò)所加一角并二段虛從之?dāng)?shù)也
第十八問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地三百四十七步只云外圓周內(nèi)方周共得二百八步問(wèn)內(nèi)外周各多少
答曰外圓周一百八步 內(nèi)方周一百步
法曰立天元一為內(nèi)方靣以四
之為內(nèi)方周減于相和二百八
步得□□為外圓周以自增乗
得□□□為圓周冪便為十二
段圓田積于頭再立天元內(nèi)方靣以自之又就分十二之得【元○】□為十二段方池積也以減頭位余□□□為十二段如積寄左然后列見(jiàn)積三百四十七步就分母十二之得四千一百六十四步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十五步為內(nèi)方靣也四之為內(nèi)方周減于相和步為圓周也
依條段求之以十二之積步減和步冪為實(shí)八之和步為虛從四常法
義曰十二段圓田內(nèi)有十二個(gè)
方池于方周冪內(nèi)補(bǔ)了十二池
外猶欠四個(gè)故以四為隅法此
式元系虛從今卻為虛隅命之
故以四為虛常法
舊術(shù)曰相和步自乗于頭位以十二之積步減頭位余八而一為實(shí)相和步為從法廉常置半步減從第十九問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地三十三畝一百七十六步只云內(nèi)外周與實(shí)徑共相和得六百二步問(wèn)三事各多少
答曰外圓周三百六十步 內(nèi)方周二百八步
實(shí)徑三十四步
法曰立天元一為內(nèi)方靣以減一百七十二得□丨為外田徑也【倍云數(shù)得一千二百四步別得是六個(gè)圓徑八個(gè)方靣兩個(gè)實(shí)徑今將一個(gè)方靣兩個(gè)實(shí)徑合成一個(gè)圓俓并前數(shù)而計(jì)是七個(gè)方靣七個(gè)圓徑也今置一千二百四步在地以七約之
得一百七十二步為徑靣共也便是一個(gè)方靣一個(gè)圓徑更無(wú)
實(shí)徑也】以自增乘得□□丨為圓
徑冪也以三之得□□□為四
段圓田積于頭再立天元內(nèi)池
靣以自之又就分四之得【元○】□為四池積以減頭位得□□丨為四段如積寄左然后列見(jiàn)積八千九十六步又就分四之得三萬(wàn)二千三百八十四步與左相消得□□丨開(kāi)平方得五十二步為內(nèi)方靣也以七之方靣減于倍和步余以七而一即圓徑也圓徑內(nèi)減方靣余者又半之即實(shí)徑也
依條段求之徑靣共一百七十二也自之為冪又三之于頭位內(nèi)減四之見(jiàn)積余為實(shí)六之徑靣共步為從一常法
義曰四之真積內(nèi)有四個(gè)方池于從法內(nèi)疊周了三個(gè)外剰一個(gè)故以一步為常法
舊術(shù)曰倍相和步自乗三之為頭位以一百九十六步【按此即四與四十九相乗之?dāng)?shù)】之田積減頭位余以十四而一為實(shí)又六之相和步為從法廉常置三步半開(kāi)平方見(jiàn)內(nèi)方靣
第二十問(wèn)
今有圓田一段內(nèi)有方池水占之外計(jì)地二千四百七十五步只云內(nèi)外周與斜徑相和得二百五十九步半問(wèn)三事各多少
答曰外圓周一百八十步 內(nèi)方周六十步 斜
十九步半
法曰立天元一為內(nèi)方靣以三
十三之減于十之云數(shù)二千五
百九十五步得□□為三十五
個(gè)圓田徑【十之云數(shù)內(nèi)有外圓徑三十個(gè)內(nèi)方靣四】
【十個(gè)角斜十個(gè)今將七個(gè)方靣并入十個(gè)角斜為五個(gè)圓徑也總別得十之云數(shù)是方靣三十三個(gè)圓徑三十五個(gè)外更無(wú)斜徑角也】乃以三十五之圓徑自増乗得下式□□□為一千二百二十五段圓徑冪也以三因之得□□□合以四除之今不除便為四千九百段圓田積于頭再立天元內(nèi)池靣以自之又就分以四千九百乗之得○□為四千九百段方池積以減頭位得□□□為四千九百段如積數(shù)寄左然后列真積二千四百七十五步就分以四千九百乗之得一千二百一十二萬(wàn)七千五百步與左相消得□□□平方開(kāi)得一十五步為內(nèi)方靣方【三十三之方靣以減于十之相和二千五百九十五步余三十五而一即圓徑以方靣加四減圓徑余半之即斜徑也】
依條段求之十之相和步自之為冪以三之于頭位以四千九百段見(jiàn)積減頭位為實(shí)一千九百八十之相和步為從一千六百三十三為常法
義曰減數(shù)計(jì)三千六百七十五個(gè)圓徑冪便是四千九百個(gè)圓田積也內(nèi)漏下四千九百個(gè)方池卻于從
內(nèi)疊用了三千二
百六十七個(gè)方池
外猶剰一千六百
三十三個(gè)方靣冪故以之為常法也其從法元有一百九十八個(gè)方靣合用一百九十八之相和步為從今用一千九百八十個(gè)相和步者縁為相和步先進(jìn)了一位也
第二十一問(wèn)
今有方田三段共計(jì)積四千七百七十步只云方方相較等三方靣共并得一百八步問(wèn)三方多少
答曰大方靣五十七步 中方靣三十六步 小
方靣一十五步
法曰立天元一為方差以減中方靣
【置并數(shù)三而一即得中方靣】得□丨為小方靣也
以自之得□□丨為小方積于頭再
立天元方差加入中方靣得□丨為
大方靣以自之得□□丨為大方積于次位又列中方靣□自之得下□為中方積于下位三位相并得□○□為一段如積數(shù)寄左然后列真積四千七百七十步與左相消得□○□開(kāi)平方得二十一步即是方差也【置方差數(shù)加中方即大方靣減中方即小方靣也】
依條段求之列并數(shù)以三約之所得即中方靣也以自之為冪又三之以減積為實(shí)無(wú)從二步常法義曰積步內(nèi)減三個(gè)中方冪外有兩個(gè)方故得二步
常法舊術(shù)又折半止得一個(gè)
方也
第二十二問(wèn)
今有方田一段其西北隅被斜水占之外計(jì)地一千二百一十二步七分半只云從田東南隅至水楞四十五步半問(wèn)田方靣多少
答曰田方靣三十五步
法曰立天元一為水占斜加入
云數(shù)四十五步半得□【元丨】為田
斜以自増乗得□步□丨為田
斜冪于頭再立天元一水占斜
以自之為水占得小方積就分以一步九分六厘乗
之得【元○】□ 【步】為所展得水占積也以減頭位得□□
□ 【步】為如積一段寄左然后列真積一千二百一十二步七分半以一步九分六厘乘之得二千三百七十六步九分九厘與左相消得□□□開(kāi)平方得三步半為水占斜加至步為田斜身外減四即是方靣也
依條段求之展積內(nèi)減至步冪為實(shí)二之至步為從九分六厘虛常法開(kāi)平方得三步半即水占斜也義曰今將水占斜直命為小方池靣也
舊術(shù)曰列田積于頭位又列至步除四則直至步以
自乗減頭位余為實(shí)二之直至
為從以九分六厘為廉從開(kāi)平
方得二步半加直至步三十二
步半得三十五步即田方靣也
此圖即舊術(shù)條段也舊術(shù)減云
步為直至步入法而求得二步
半為直至不及方靣步新術(shù)展
積入法而求得三步半為水占
斜
益古演段卷上
欽定四庫(kù)全書(shū)
益古演段卷中 元 李冶 撰第二十三問(wèn)
今有圓方田各為叚共計(jì)積一千三百七步半只云方面大如圓徑一十步圓依密率問(wèn)面徑各多少答曰方面三十一步 圓徑二十一步
法曰立天元一為圓徑加一十步得□丨為方面以自之得□【○二】丨為方田積以十四之得下式□□□
為十四叚方田積于頭又立天元
圓徑以自乗為冪又以十一之得
【太○】□便為十四叚圓田積【依密率合以徑
自乗又十一之如十四而一今以十一乗不受除故就為十四分母】
【也】以并入頭位得□□□為十四叚如積寄左然后列真積一千三百七步半就分十四之得一萬(wàn)八千三百五步與左相消得□□□開(kāi)平方除之得二十一步為密率徑也加不及步為方田也
依條叚求之十四之積步于上內(nèi)減十四叚不及步冪為實(shí)二十八之不及步為從二十五步常法
義曰將此十四個(gè)方冪之式
只作一個(gè)方冪求之自見(jiàn)隅
從也
第二十四問(wèn)
今有方圓田合一叚共計(jì)積一千四百六十七步只云方面與圓徑相穿得五十四步問(wèn)面徑各多少答曰方面一十二步 圓徑四十二步
法曰立天元一為圓徑減穿步五十
四步得□丨為方田面以自増乗得
下式□□丨為方田積于頭位再立
天元圓徑以自之又三之四而一得
【元○】□為圓田積也并入頭位得□□□為一叚如積寄左然后列真積一千四百六十七步與左相消得□□□倒積倒從開(kāi)平方得四十二步為圓田徑也以減穿步即方面
按法內(nèi)所言倒積倒從即飜積法也蓋初商積常減原積此獨(dú)以原積減初商積倍防常減従步此獨(dú)以従步減倍防乃平方中之一變也古法多用之今依數(shù)布算于后以存其式
法列積一千四百四十九步為實(shí)以一百零八步為
長(zhǎng)與一濶又七分半之和即從數(shù)求
濶初商四十步以一濶七分半乗之
得七十步以減和數(shù)余三十八步以
初商乗之得一千五百二十步為初
商積大扵原積反減之余實(shí)七十一
步乃二因一濶七分半所乗初商之
數(shù)得一百四十步大扵和數(shù)反減之
余三十二步為次商防次商二步以
一濶七分半乗之得三步半為次商
隅凡和數(shù)防隅相減此反相加得三
十五步半以次商乗之得七十一步為次商積與余積相減恰盡開(kāi)得濶四十二步
依條叚求之穿步冪內(nèi)減田積為實(shí)倍穿步為従一步七分半虛常法
義曰二之従步內(nèi)元減了七分半
又疊了一步計(jì)虛卻一步七分半
也
第二十五問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)積一千三百七步半只云方周大如圓周五十八步問(wèn)方圓各多少【圓依密率】
答曰方周一百二十四步 圓周六十六步
法曰立天元一為圓周加周差五十
八步得□丨為方田周以自増乗得
下式□□丨為方周冪便是十六個(gè)
方田積又就密率分母一十一之得
□□□為一百七十六叚方田積于頭又立天元圓周以自之為冪又就分一十四之得【元○】□為一百七十六叚圓田積【依密率周上求積合以周自乗又以七乗之如八十八而一為一叚田積也今又周宻上更以十四乗之則合用一百七十六而一故就分便為此數(shù)】以添入頭位得□□□共為一百七十六叚如積寄左然后列真積一千三百七步半就分以一百六十七乗之得二十三萬(wàn)一百二十步與左相消得□□□開(kāi)平方得六十六步為圓田周也加多步見(jiàn)方周
依條叚求之一百七十六之積內(nèi)減一十一叚多步冪為實(shí)二十二之多步為從二十五步常法
義曰一百七十六之積步內(nèi)
有一十一個(gè)方周方一十四
個(gè)圓周方也今畫(huà)此式其一
十四個(gè)圓周方與一十一個(gè)圓周方大小俱同者止為欲見(jiàn)差步權(quán)作此式其實(shí)合作一十二叚圓式求之其實(shí)自見(jiàn)也【按十一方周冪十四圓周冪共積內(nèi)減去十一不及冪余不及步乗圓周長(zhǎng)方二十二圓周冪二十五故以二十二不及步為従二十五為隅也】
第二十六問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)一千四百五十六步只云方周大如圓周方圓周共相和得二百步問(wèn)二周各多少答曰方周一百二十八步 圓周七十二步
法曰立天元一為圓周減于相和二
百步得□丨為方周以自乗得□□
丨為方周冪【是十六個(gè)方積也】就分三之得
□□□為四十八叚方田積扵頭再
立天元圓周以自之又就分四之得【元○】□亦為四十八叚圓田積并入頭位得□□□為四十八叚如積數(shù)寄左然后列真積一千四百五十六步就分四十八之得六萬(wàn)九千八百八十八步與左相消得□□□開(kāi)平方得七十二步為圓田徑也減共步則方周
依條叚求之三叚和步冪內(nèi)減四十八之田積為實(shí)六之和步為従七益隅
義曰減時(shí)減過(guò)一個(gè)方六之従步內(nèi)又欠六個(gè)方共虛了七步故以為益隅
第二十七問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)積二千二百八十六步只云方面不及圓徑一十二步圓依密率問(wèn)面徑各多少答曰方面三十步 圓徑四十二步
法曰立天元一為方面加不及一十
二步得□丨為圓徑以自之得□□
丨為圓徑冪以一十一之得下式□
□□便為十四個(gè)圓積于頭再立天
元方面以自之又就分一十四之得【元○】□為十四個(gè)方積也并又頭位得□□□為十四叚如積數(shù)寄左然后列真積二千二百八十六步就分一十四之得三萬(wàn)二千四步與左相消得下式□□□平方開(kāi)之得三十步即方面也加不及一十二步即圓徑也依條叚求之十四之真積內(nèi)減一十一叚差步冪為實(shí)二十二之差步為従差步即不及步二十五歩常法
義曰十四之積步內(nèi)有一十
一個(gè)圓徑方與一十四個(gè)方
面方此式與第二十五問(wèn)畧
同其一十一個(gè)圓徑冪有十一個(gè)方正當(dāng)十一叚之其數(shù)自見(jiàn)也
第二十八問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)積二千二百八十六步只云方周不及圓周一十二步問(wèn)周各若干【圓依密率】
答曰方周一百二十步 圓周一百三十二步
法曰立天元一為方周加不及步一十二得【太□】丨為圓周以自之得□□丨又以一十四乗之得□□□
為一百七十六叚密率積扵頭再立
天元方周以自之為方積一十六叚
又就分一十一之得【元○】□便為一百
七十六叚方田積并入頭位得下式
□□□為一百七十六叚如積數(shù)寄左然后列真積二千二百八十六步就分以一百七十六乗之得四十萬(wàn)二千三百三十六步與左相消得□□□開(kāi)平方得一百二十步為方周加不及步即圓周也依條叚求之一百七十六之真積內(nèi)減十四叚差步冪為方實(shí)二十八之差步為従二十五常法
義曰所減數(shù)乃十四叚不及
步冪也
第二十九問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)積一千四百四十三步只云圓周大如方周方圓周并得一百九十八步問(wèn)二周各多少
答曰方周九十六步 圓周一百二步
法曰立天元一為方周減共步一百
九十八得□丨為圓周以自増乗得
□□丨為十二叚圓田積四之得下
□□□為四十八叚圓田積扵頭再
立天元方周以自之為十六叚方田積又就分三之得【元○】□便為四十八叚方田積并入頭位得□□□為四十八叚如積寄左然后列真積一千四百四十三步就分母以四十八乗之得六萬(wàn)九千二百六十四與左相消得□□□開(kāi)平方得九十六步為方周也減于并數(shù)見(jiàn)圓周也依條叚求之四叚共步冪內(nèi)減四十八之積為實(shí)八之共步為従七益隅
義曰八之從內(nèi)合虛八個(gè)方今見(jiàn)有一個(gè)方外只虛了七步方也
第三十問(wèn)
今有圓田二叚【一叚依圓三徑一率一叚依密率】共積六百六十一步只云二徑共相和得四十步問(wèn)二徑各數(shù)
答曰密徑一十四步 古徑二十六步
法曰立天元一為密徑以減相和四十步得□丨為古徑以自之得下□□丨為古徑冪以三因之得□
□□合以四約之又就分母七之得
□□□為二十八叚古圓積于頭再
立天元密圓徑以自之又二十二之
得【元○】□為二十八叚密圓積也并入
頭位得□□□為二十八叚如積寄左然后列真積六百六十一步就分二十八乗之得一萬(wàn)八千五百八步與左相消得□□□平方開(kāi)之得一十四步為密圓徑以減和步即古徑也
依條叚求之二十一叚和步冪內(nèi)減二十八之田積為實(shí)四十二之和步為從四十三步虛常法
義曰其二十八之田積內(nèi)有古
積二十一叚密積二十二叚元初
減時(shí)減過(guò)一叚又并從步內(nèi)合
除之?dāng)?shù)計(jì)虛卻四十三個(gè)方也
第三十一問(wèn)
今有直田一叚中心有圓池水占之外計(jì)地三千九百二十四步只云從外田角斜通內(nèi)池徑七十一步外田闊不及長(zhǎng)九十四步問(wèn)三事各多少
答曰圓池徑一十二步 田長(zhǎng)一百二十六步
闊三十二步
法曰立天元一為內(nèi)圓徑以減倍通
步一百四十二步得□丨為直田斜
以自乗得□□丨為兩叚直田并一
叚較冪扵頭再置闊不及長(zhǎng)九十四
步自之得八千八百三十六步以減頭位得□□丨為兩叚直積數(shù)寄左再立天元圓徑以自之為圓徑冪三之二而一得【元○】□為兩個(gè)池積數(shù)加入二之見(jiàn)積七千八百四十八步得□○□亦為二叚真積與寄左相消得□□□平方開(kāi)之得一十二步為圓徑也
依條叚求之倍通步為冪內(nèi)減二之見(jiàn)積一個(gè)較冪為實(shí)四之通步為從半步常法
義曰従步內(nèi)少一個(gè)圓徑冪其
漏下底二個(gè)圓池共一步半今
將一步補(bǔ)了従步合除之?dāng)?shù)外
猶剰半步故以為常法
第三十二問(wèn)
今有圓田一叚中心直池水占之外計(jì)地五千三百二十四步只云并內(nèi)池長(zhǎng)闊與外圓徑等內(nèi)池闊不及長(zhǎng)三十六步問(wèn)三事各多少
答曰外田徑一百步 內(nèi)池長(zhǎng)六十八步 濶三
十二步
法曰立天元一為外圓徑以自乗
三因四而一得【元○】□為圓積內(nèi)減
了見(jiàn)積五千三百二十四步余得
□○□為水池直積也以四之得
□○□為四叚水池直積寄左再立天元圓徑命為直積和步以自之得【元○】丨為四積一較冪內(nèi)減了池較冪一千二百九十六步得□○丨亦為四叚池積與左相消得□○□平方開(kāi)之得一百步為外圓徑也闊不及長(zhǎng)減圓徑余折半見(jiàn)闊卻以不及步加之即長(zhǎng)也
依條叚求之四積內(nèi)減較冪為實(shí)從空二步常法
義曰四之
圓積內(nèi)有
四個(gè)水池
又扵見(jiàn)積內(nèi)減了一個(gè)池較冪相并恰是一個(gè)和冪也今來(lái)池和與圓等共和冪恰是一個(gè)圓徑冪也除外有兩個(gè)方
第三十三問(wèn)
今有圓田一叚中心有直池水占之外計(jì)地七千三百步只云并內(nèi)池長(zhǎng)濶少田徑五十五步闊不及長(zhǎng)三十五步問(wèn)三事各多少
答曰田徑一百步 內(nèi)池長(zhǎng)四十步 闊五步
法曰立天元一為外圓徑自之
得數(shù)又三之四而一得【元○】□為
外圓田積也減見(jiàn)積七千三百
步得□○□為內(nèi)池積也以四
之得□○□為四叚池積寄左再立天元圓徑內(nèi)減少?gòu)讲轿迨宓谩踟瓰槌睾鸵惨宰灾谩酢踟瓰樗某匾惠^冪內(nèi)減池較冪一千二百二十五步得□□丨亦為四池積也與左相消得□□□平方開(kāi)之得一百步為圓徑也內(nèi)減少?gòu)郊此睾筒絻?nèi)加一差即為二長(zhǎng)若減一差即為二闊也
依條叚求之四之積步內(nèi)減池較冪卻加入少?gòu)絻鐬閷?shí)二之少?gòu)綖閺亩匠７?br /> 義曰四池并所減
底個(gè)較冪恰是一
個(gè)和自之
舊術(shù)下積步四之于頭位又以少?gòu)讲阶詠\加頭位內(nèi)卻減闊不及長(zhǎng)冪余折半為實(shí)用少?gòu)綖閺疽徊匠７?br /> 第三十四問(wèn)
今有圓田一叚內(nèi)有直池水占之外計(jì)地六千步只云従內(nèi)池四角斜至田楞各一十七步半其池闊不及長(zhǎng)三十五步問(wèn)三事各若干
答曰圓田徑一百步 池長(zhǎng)六十步 濶二十五
步
法曰立天元一為外徑內(nèi)減倍
至步三十五步得□丨為池斜
以自之得□□丨為二積一較
冪于頭又列闊不及長(zhǎng)三十五
步以自之得□減頭位得○□□為四池積寄左又立天元圓徑以自之又三之便為四叚圓積內(nèi)減四之見(jiàn)積二萬(wàn)四千步得下式□○□亦為四個(gè)池積也與左相消得□□丨平方開(kāi)得一百步為外田圓徑也圓徑自之又三之四而一內(nèi)減見(jiàn)積余為內(nèi)池積也又用差步為従開(kāi)方見(jiàn)池闊也
依條叚求之四之見(jiàn)積內(nèi)加八叚至步冪卻減兩叚闊不及長(zhǎng)冪為實(shí)八之至步為従一步常法
義曰四個(gè)圓積內(nèi)
有四個(gè)虛直池于
積內(nèi)又減了兩叚
闊不及長(zhǎng)冪合成兩個(gè)池斜冪也八個(gè)従步內(nèi)貼入八個(gè)斜至步冪其數(shù)與圓徑正相應(yīng)也外恰有一步方
第三十五問(wèn)
今有圓田一叚中心有直池水占之外計(jì)地五千七百六十步只云從外田東南楞至內(nèi)池西北角通斜一百一十三步其內(nèi)池闊不及長(zhǎng)三十四步問(wèn)三事各多少
答曰外圓田徑一百二十步 池長(zhǎng)九十步 闊
五十六步
法曰立天元一為角斜加通步
得□丨為圓徑以自之得□□
丨為圓徑冪又三之得□□□
為四叚圓田積也內(nèi)減了四之
見(jiàn)積二萬(wàn)三千四十步得□□□為四叚內(nèi)直池寄左再立天元角斜以減通步為池斜以自之得□□丨為池斜冪于頭又列長(zhǎng)平【按平即闊】較三十四步以自之得一千一百五十六步以減頭位余□□丨為二池積也又倍之得□□□亦為四直池與左相消得□□丨開(kāi)平方得七步為角斜也
依條叚求之四之積步內(nèi)減兩叚闊不及長(zhǎng)冪又減一叚通步冪為實(shí)十之通步為従一步隅法
義曰兩個(gè)較冪并
四個(gè)池積該兩個(gè)
斜冪也于四個(gè)圓
積內(nèi)減此兩個(gè)斜冪外更減了一個(gè)通步冪恰是十之從外有一步常法也
第三十六問(wèn)
今有圓田一叚中心有直池水占之外計(jì)地六千步只云従內(nèi)池四角斜至田楞各一十七步半其內(nèi)池長(zhǎng)闊共相和得八十五步問(wèn)三事各多少
答曰外田徑一百步 池長(zhǎng)六十步 闊二十五
步
法曰立天元一為內(nèi)池斜加入
倍至步三十五得□丨為外圓
徑以自之又三之得□□□為
四叚圓積也內(nèi)減四之見(jiàn)積二
萬(wàn)四千步得下□□□為四個(gè)池積寄左乃置內(nèi)池和八十五步以自之得□為四積一較冪于頭再立天元內(nèi)池斜以自之得【元○】丨為二池積一較冪以減于頭位得□○丨為二池積也又倍之得□○□亦為四池積與左相消得□□□平方開(kāi)得六十五步為內(nèi)池斜加倍至步即圓徑也徑自之又三之四而一內(nèi)減去田積余實(shí)以和步為從一虛隅開(kāi)平方見(jiàn)闊也依條叚求之四之積步內(nèi)加兩叚和步冪卻減十二叚至步冪為實(shí)十二之至步為從五步常法
義曰所加兩個(gè)和
冪該八積二較冪
數(shù)內(nèi)元有四虛池
外有四積二較冪其實(shí)只是添了兩個(gè)池斜冪也于四圓積內(nèi)除従步占外元有三個(gè)方今又加入兩個(gè)池斜冪共得五步故五為常法
第三十七問(wèn)
今有圓田一叚中心有直池水占之外計(jì)地九千一百二十步只云従外田楞通內(nèi)池斜一百一十六步半其內(nèi)池長(zhǎng)闊共相和得一百二十七步問(wèn)三事各多少
答曰圓田徑一百二十步池長(zhǎng)一百一十二步
闊一十五步
法曰立天元一為角斜加通步
一百一十六步半□步丨為圓
徑以自之得□□丨為圓徑冪
以三之得□□□為四叚圓田
也內(nèi)減四之見(jiàn)積三萬(wàn)六千四百八十步得□步□□為四叚內(nèi)池積寄左再立天元角斜以減通步得□步丨為內(nèi)池斜以自乗得□步□丨為二積一較冪于頭又列池和步以自乗得□內(nèi)減頭位余得□【元】□丨為二池積也倍之得下□步□□亦為四池積與左相消得□步□□平方開(kāi)之得三步半為角斜也加通步為圓徑
依條叚求之四之積步內(nèi)加兩叚和步冪卻減五個(gè)通步冪余為實(shí)二之通步為從五步為常法
義曰兩個(gè)和冪內(nèi)虛了四池只是兩個(gè)池斜冪今將兩個(gè)池斜冪減于兩個(gè)通步冪止有二甲二乙所占之地今又將二甲二乙及三叚通步冪并以減于四之見(jiàn)積外實(shí)在兩個(gè)通步從五個(gè)方也
第三十八問(wèn)
今有水旱田各一叚共計(jì)積二千六百二十五步只云水田長(zhǎng)闊共一百步其旱地闊不及長(zhǎng)三十五步而不及水地闊十步問(wèn)水旱地長(zhǎng)闊各若干
答曰水地長(zhǎng)七十五步 闊二十五步 旱地長(zhǎng)
五十步 闊一十五步
法曰立天元一為旱地闊加旱
闊不及水闊一十步得□丨為
水地闊以減水田長(zhǎng)闊共一百
步得□丨為水田長(zhǎng)也以水田長(zhǎng)闊相乗得□□丨為水田積扵頭再置天元旱地闊加不及三十五步得□【兀丨】為旱田長(zhǎng)也以天元乗之得【太○】□丨為旱田積也加入頭位得□□為一叚如積寄左然后列真積二千六百二十五步與左相消得□□下法上實(shí)如法得一十五步為旱田闊也加闊不及長(zhǎng)三十五步為旱田長(zhǎng)也又扵旱闊內(nèi)加不及水地闊一十步為水地闊也以水地闊減于水田長(zhǎng)闊一百步余為水田長(zhǎng)也
依條叚求之以水田共步乗二闊差于頭位以二闊差冪減頭位得數(shù)復(fù)以減于田積為實(shí)列水田共步加入旱地長(zhǎng)闊差內(nèi)卻減兩個(gè)二闊差為法
義曰其水田闊二十五步為法內(nèi)元多一個(gè)水旱二闊差數(shù)又積步內(nèi)減了一叚旱闊為長(zhǎng)二闊差為平底直積是又虛了一個(gè)水旱二闊差數(shù)故于法內(nèi)減去兩個(gè)闊差也
按此條圗與義不合蓋?寫(xiě)之誤也今仍存舊式另擬圖義扵后以明之
義曰水田長(zhǎng)闊共步乗二闊差
內(nèi)減差冪即附水田周一磬折
積也以減共積余同旱闊之兩
長(zhǎng)方共積為實(shí)其水田長(zhǎng)闊比原數(shù)各減一闊差扵此長(zhǎng)闊和內(nèi)加旱田長(zhǎng)闊較即兩長(zhǎng)方之共長(zhǎng)故為法即得旱田闊也
第三十九問(wèn)
今有直田一叚內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地三十九畆一分半只云従田兩頭至池各一百五步兩畔至池各九步問(wèn)三事各多少
答曰田長(zhǎng)二百三十四步 闊四十二步 池徑
二十四步
法曰立天元一為內(nèi)池徑加二之邊
至一十八步得□丨為田闊又置天
元池徑加二之頭至二百一十步得
□丨為田長(zhǎng)長(zhǎng)闊相乗得下式□□
丨為直田積于頭再置天元徑以自之又三之四而一得○□為內(nèi)池積以減頭位得□□□為一叚如積數(shù)寄左然后列真積三十九畝一分半以畝法通之得九千三百九十六步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十四步為內(nèi)池徑也加二之邉至步為田闊若加二之頭至步即田長(zhǎng)
依條叚求之倍頭至步與倍邊步相乗以減田積為實(shí)并一頭一邊步又倍之為從二分半常法
義曰此問(wèn)與第一問(wèn)條叚頗同但所減者為四個(gè)小池積【按池當(dāng)作隅】
第四十問(wèn)
今有直田一叚中心有圓池水占之外計(jì)地四畝五十三步只云外田長(zhǎng)平和得七十六步太半步従田四角去池楞各一十八步問(wèn)外田水池徑各多少答曰田長(zhǎng)五十步 闊二十六步太 池徑二十
步太
法曰立天元一為內(nèi)池徑加倍角至步三十六得□丨為直田斜以自之得□□丨為田斜冪【便是二積一較冪也】
又九之得下式□□□為十八積九
較冪也寄左列和步七十六步太【按太
即三分步之二】通分內(nèi)子得□以自之得五
萬(wàn)二千九百步為九叚和冪于頭【為九】
【叚和冪者元帶三分母以自之得九也此九叚和冪該三十六直積九個(gè)較冪也】又置天元圓徑以自之又三之四而一得【元○】□為一叚圓積也加入見(jiàn)積一千一十三步得□○□共為直積一叚又十八之得□○□為十八叚直積以減頭位得□○□亦為九叚田斜冪與左相消得□□□合以平方開(kāi)之今不可開(kāi)【按不可開(kāi)者謂防隅數(shù)多而得數(shù)又不能盡也】先以隅法二十二步半乗實(shí)二萬(wàn)三千單二步得五十一萬(wàn)七千五百四十五步正為實(shí)元従六百四十八負(fù)依舊為従一益隅平方開(kāi)之得四百六十五步以元隅二十二步半約之得二十步三分之二為內(nèi)池徑也加倍至步為田斜以自之為二積一較冪又二之于頭位以和步冪減頭位余以平方開(kāi)之即田較也加入和步折半為長(zhǎng)若減于和步折半為闊也
依條叚求之列相和步自乗為冪內(nèi)減倍積及四叚至步冪為實(shí)四之至步為從二步半常法
義曰和步冪內(nèi)減了二直積只
有一叚斜冪也減二直積時(shí)漏
下兩個(gè)圓池該一步半又正有
一步共計(jì)二步半常法也 求
較者先置池徑二十步太□帶三分母便為三個(gè)徑也加入六之至步一百八步得□便為三個(gè)田斜也以自之得□為九叚斜冪【便是十八個(gè)直積九個(gè)較冪】倍之得□為三十六叚田積一十八叚較冪于頭再置和步七十六步太□亦帶三分母便為三個(gè)和也以自之得□為九叚和冪【便是三十六直積九較冪也】以減頭位余□為九叚較冪也平方開(kāi)之得七十步以三約之得二十三步三分步之一為田較也欲見(jiàn)田長(zhǎng)闊及斜者準(zhǔn)此法求之 又法求圓池徑者立天元一為三個(gè)內(nèi)池徑以自之得【元○】丨為九叚池徑冪便是十二叚圓積也加十二叚見(jiàn)積得□○丨為十二叚直積又身外加五得□○□為十八叚直田積扵頭又列和步七十六步太通分內(nèi)子得二百三十自之得□為和冪九叚【便是直積三十六叚較冪九叚也】?jī)?nèi)減頭位得下式□○□為九叚斜冪數(shù)寄左再置天元圓徑加六之角至步一百八步得□丨為三個(gè)田斜以自之得□□丨亦為九叚斜冪也與左相消得□□□開(kāi)平方得六十二步為三個(gè)圓池徑也以三約之得一個(gè)圓徑二十步三分之二此名之分天元一術(shù)前法乃連枝同體術(shù)也【按分天元一術(shù)即天元一內(nèi)帶分求之得數(shù)而后約之連枝同體術(shù)即通分開(kāi)方得數(shù)而后約之皆兼通分之法也】
第四十一問(wèn)
今有直田一叚中心有圓池水占之外計(jì)地三千九百二十四步只云従外田角斜通池徑七十一步外田長(zhǎng)闊相和得一百五十八步問(wèn)三事各多少
答曰圓徑十二步 田長(zhǎng)一百二十六步 闊三十二步
法曰立天元一為內(nèi)圓徑以減倍通
步一百四十二步得□丨為田斜以
自之得□□丨為二積一較冪于頭
又立和步一百五十八步以自之得
□為四積一較冪以減頭位得□□丨為二直積寄左又立天元池徑以自之又三之二而一得【元○】□為兩個(gè)池積也加入二之見(jiàn)積七千八百四十八步得□○□亦為一叚直積與左相消得□□□平方開(kāi)之得一十二步為內(nèi)池徑也
依條叚求之二之積步內(nèi)加四叚通步冪卻減一叚和步冪為實(shí)四之通步為従二步半虛常法
義曰減一和步冪是減四積一
較冪也四之通步冪內(nèi)減了一
個(gè)斜冪卻又減過(guò)二個(gè)直積故
二之積步加之従內(nèi)欠一個(gè)方
減二積時(shí)漏下二個(gè)圓池又該欠一個(gè)半方共欠二步半虛常法也
第四十二問(wèn)
今有直田一叚中心有圓池水占之外計(jì)地一萬(wàn)八百步只云從外田角至水池楞六十五步其外田闊不及長(zhǎng)七十步問(wèn)二事各多少
答曰田長(zhǎng)一百五十步 闊八十步 圓池徑四
十步
法曰立天元一為內(nèi)池徑加倍至一
百三十步得□丨為田斜以自之得
□□丨為田斜冪于頭又置田較七
十步以自之得□為較冪以減頭位
得□□丨為二田積寄左再立天元池徑以自之身外加五得【元○】□為兩個(gè)池積也加二之見(jiàn)積二萬(wàn)一千六百步□○□亦為二直積與左相消得□□□開(kāi)平方得四十步即池徑也以徑自之三之四而一加入見(jiàn)積為實(shí)以闊不及長(zhǎng)為従開(kāi)方得田闊依條叚求之二之田積內(nèi)加較冪卻減四叚至步冪為實(shí)四之至步為従半步虛常法
義曰二積內(nèi)加一個(gè)較冪恰補(bǔ)
就一個(gè)斜冪也其二積內(nèi)有兩
個(gè)圓池是元虛了一步半方也
扵積內(nèi)卻實(shí)有一步除外止虛了半步也
益古演段卷中
<子部,天文算法類(lèi),算書(shū)之屬,益古演段>
欽定四庫(kù)全書(shū)
益古演叚卷下 元 李冶 撰第四十三問(wèn)
今有圓田三叚【一依古法一依宻率一依徽率】共計(jì)地二十畆五十二步一百七十五分步之二十三只云宻徑多于古徑九步徽徑多于宻徑九步問(wèn)三徑各多少
答曰古徑三十六歩 宻徑四十五步 徽徑五
十四步
法曰立天元一為古徑加多九步得
□丨為宻徑以自之得下□□丨為
宻徑冪又以十一乗之得□□□為
十四叚宻圓積于頭又立天元古徑
加二之多步一十八步得□丨為徽
徑以自之得□□丨為徽徑冪也又
以一百五十七乗之得□□□為二
百叚徽?qǐng)A積于中【按徽率周一百五十七徑五十徑乗】
【周四歸為圓冪今以徑冪乗周當(dāng)以徑五十除之再四歸之為圓冪不除便為五十乗之又四乗之之二百圓冪也】又置天元古徑以自之又三之得【元○】□為四叚古圓積于下乃求三積齊同分母而并之先以分母一萬(wàn)七千五百【按此即十四除二十四萬(wàn)五十之?dāng)?shù)】乗十四叚宻圓積得□□□為二十四萬(wàn)五千叚宻圓積于頭位次以分母一千二百二十五乗二百叚徽積得□□□為二十四萬(wàn)五千叚徽積于中位次以分母六萬(wàn)一千二百五十乗四叚古積得○○□為二十四萬(wàn)五千叚古積于下位三位相并得□□□為二十四萬(wàn)五千叚如積數(shù)寄左然后列見(jiàn)積通分內(nèi)子得八十四萬(wàn)九千一百二十三就分以一千四百乗之得一十一億八千八百七十七萬(wàn)二千二百與左相消得下式□□□平方開(kāi)之得三十六步為方徑也各加多步見(jiàn)徽宻二徑也 義曰所以齊同于二十四萬(wàn)五千叚者以元母一百七十五乗一千四百得此數(shù)依條叚求之以一千四百乗田積于頭位置徽徑多古徑自之為冪又以一千九十九【按置一千四百分以徽?qǐng)A冪率一百五十七乗之方冪率二百除之即得】乗之減頭位續(xù)置宻徑多古徑自之為冪又以一千一百【按置冪十】一【千四百分以宻率圓乗之方冪十四除之即得】乗之復(fù)減頭位余為實(shí)又倍徽徑多古徑以千九十九乗之為徽從又倍宻徑多古徑以一千一百乗之為宻從并二從得五萬(wàn)九千三百六十四為從法亷常置三千二百四十九
義曰以一千四百乗積者取其三率皆可以除之也
齊同分母湏至于二十四萬(wàn)五千
叚者葢以分母一百七十五元乗
積數(shù)一千四百此二數(shù)相乗得二
十四萬(wàn)五千也
此問(wèn)求真積實(shí)數(shù) 古徑三十六得積九百七十二步 宻徑四十五步得積一千五百九十一步一十四分步之一 徽徑五十四步得積二千二百八十九步二百分步之一十二并三積全步四千八百五十二步外【宻零一十四分步之一徽零二百分步之一十二】以上維乗下位【宻子得二百分 徽子得一百六十八分】相并得三百六十八分為子實(shí)又上二位相乗得二千八百分為母法子母俱以十六約之為一百七十五分步之二十三 一千四百乗田積來(lái)厯蓋只就宻率上定之也置一千四百在地以宻率十一之如十四而一為一千一百積 若以古率三之四而一則得一千五十積 若以徽率一百五十七乗之如二百而一得一千九十九積所以用一千四百乗積者縁古法四徽法二百皆可以除之也 求三積齊同分母元分母數(shù)一百七十五元乗積數(shù)一千四百此二數(shù)相乗二十四萬(wàn)五千即大分母也三積總率皆齊同于此既得此齊同分母乃各以先求到叚數(shù)約之徽率得一千二百二十五宻率得一萬(wàn)七千五百古率得六萬(wàn)一千二百五十故反以乗叚數(shù)皆齊同于二十四萬(wàn)五千也
按條叚分母數(shù)簡(jiǎn)于前法者用舊術(shù)也然各分母之?dāng)?shù)猶有可省者蓋眾數(shù)取分母數(shù)必得最小者方爲(wèi)確凖其義見(jiàn)秦九韶?cái)?shù)學(xué)九章大衍術(shù)中今附其法于后以發(fā)明前法所未盡者
法列四數(shù)先以元母一百七十五與
宻方率十四相度得度盡二數(shù)之?dāng)?shù)
為七次以二數(shù)相乗以度盡數(shù)除之
得三百五十為二數(shù)總母又以二數(shù)
總母與徽方率數(shù)相度得度盡二數(shù)
之?dāng)?shù)為五十以二數(shù)相乗度盡數(shù)除
之得一千四百為三數(shù)總母又以三
數(shù)總母與古方率數(shù)相度則古方率
四即為度盡二數(shù)之?dāng)?shù)二數(shù)相乗度
盡數(shù)除之仍得一千四百即為四數(shù)
總母然后以宻方率十四除之得一
百為宻分母以徽方率二百除之得
七為徽分母以古方率四除之得三
百五十為古分母以元分母一百七
十五除之得八為原積分母以此數(shù)
與各叚冪積相乗除較原數(shù)所省多
矣
第四十四問(wèn)
今有梯田一叚長(zhǎng)二百四十步并不知東西兩濶只云從東頭截長(zhǎng)五十步計(jì)地三畆從西頭截長(zhǎng)三十步計(jì)地五畆問(wèn)二濶各多少
答曰東頭元濶一十一步二分 西頭元濶四十
一步九分二厘
法曰此問(wèn)先湏求見(jiàn)兩頭各截之停廣求東截停廣者置東頭所截三畆之積七百二十步以截長(zhǎng)五十步除之得一十四步四分為東截地之停廣也求西截停廣者置西頭所截五畆之積一千二百步以截
長(zhǎng)三十步除之得四十步為西頭所
截停廣也乃立天元一為毎步之差
以東頭截長(zhǎng)五十步乗之折半得□
以減東停廣一十四步四分得□【分】□為東頭元小濶于上再置天元差
步以西頭截長(zhǎng)三十步乗之得□折半得□加入西頭停廣四十步得□□為西頭大濶也內(nèi)減東頭小濶余□步□為二濶總差也寄左再立天元?dú)安讲钜哉L(zhǎng)二百四十步乗之得□亦為二濶總差與左相消得□步□下法上實(shí)如法而一得一分二厘八毫為毎步之差也置毎步之差以西頭截長(zhǎng)三十步乗之得三步八分四厘折半得一步九分二厘加入西頭停廣四十步得四十一步九分二厘為西頭元大濶也又置毎步之差以東頭截長(zhǎng)五十步乗之得六步四分折半得三步二分以減于東頭停廣一十四步四分余一十一步二分為東頭元小濶也此問(wèn)止求毎步之差更不湏以條叚明之
舊術(shù)依法求得東停廣與西停廣數(shù)乃以二停廣相減余以二百而一【謂東截長(zhǎng)五十步其停廣當(dāng)二十五步余去了二十五步也西截長(zhǎng)三十步其停廣當(dāng)一十五步余去了一十五步也兩頭計(jì)去了四十步以減于正長(zhǎng)二百四十步余二百步】所得為毎步之差乃副置半步之差左以東截長(zhǎng)乗之以減東停廣余為東元濶也右以西截長(zhǎng)乗之以加西停廣并為西元濶也又法置一步之差以正長(zhǎng)二百四十乗之所得為都濶差也以都濶差加于小頭濶則為大頭濶也
第四十五問(wèn)
今有方田一叚中心有方田池占之外計(jì)地一畆只云從外田東南隅至內(nèi)池西南隅一十三步問(wèn)內(nèi)外田方各多少
答曰內(nèi)池方七步 外田方一十七步
法曰立天元一為內(nèi)池方以自乗倍之得【元○】□加入見(jiàn)積得□□寄左又列至步自之得一百六十九步
又倍之得三百三十八步與左相消
得□○□開(kāi)平方得七步即內(nèi)池方
也池方自之加入見(jiàn)積再開(kāi)平方即
外田方面也
依條叚求之只據(jù)前式便是更不湏重畫(huà)也只是將見(jiàn)積打作四叚小直田以池面為較以外田方面為和以斜至步為?然此問(wèn)惟是其池正在方田中心可依此法求之若稍有偏側(cè)則不能用也 舊術(shù)列去角步自乗為二位頭位減半田積開(kāi)平方見(jiàn)內(nèi)池面下位加半田積開(kāi)平方見(jiàn)外田面也
第四十六問(wèn)
今有方圓田各一叚共計(jì)積一百二十七步只云其方面大如圓徑圓徑穿方斜共得二十步問(wèn)面徑各多少
答曰方面一十步 圓徑六步
法曰立天元一為圓徑減穿步得□丨為方斜以自
之得□□丨為方斜冪于頭再
置天元圓徑以自之又以一步
四分七厘乗之得□□步為展
起圓田也并入頭位得□□□
步為展數(shù)如積一叚寄左然后
列見(jiàn)積一百二十七步兩度下加四【兩度下加四止是以一步九分六厘乗之也以一步九分六厘乗之者變方田為斜田也】得二百四十八步九分二厘與左相消得下式□□□開(kāi)平方得六步即圓徑也以徑減穿步即方斜也
依條叚求之穿步冪內(nèi)減去展起見(jiàn)積為實(shí)二之穿步為從二步四分七厘虛隅
義曰下式乃展起之圓
積也亦俱是減數(shù)也此
數(shù)該一步四分七厘之
方又從步內(nèi)疊出一步
虛隅計(jì)得二步四分七厘常法也
舊術(shù)曰以一步九分六厘乗田積為頭位又列穿步自乗內(nèi)減去頭位余為實(shí)倍穿歩為從亷常置二歩四分七厘減從開(kāi)方
第四十七問(wèn)
今有直田一叚中心有小方池結(jié)角占之外計(jì)地二千七十九步只云從田二頭至池角二十一步半兩邉至池角七步半問(wèn)三事各多少
答曰長(zhǎng)六十四步 濶三十六步 池方一十五步
法曰立天元一為內(nèi)方面身外加四
又加二之頭至步四十三得□□為
田長(zhǎng)也又置池方面身外加四又加
入二之邉至步一十五得□□為田
濶也長(zhǎng)濶相乗得下式□□□為直田積于頭又置天元池方面以自之得【元○】丨為內(nèi)方池以減頭位得□□□為如積一叚寄左然后列見(jiàn)積二千七十九步與左相消得□□□開(kāi)平方得一十五步即內(nèi)池方面也方面外加四副二位若加兩頭至池步見(jiàn)長(zhǎng)若加兩邉至池步即見(jiàn)濶也
依條叚求之積步內(nèi)減四叚邉至與頭至步相乗數(shù)為實(shí)并至頭至步倍之又身外加四為從九分六厘常法
義曰水池外有九分六厘常法從
步皆加四者蓋于斜上求方面也
第四十八問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有直池水占之外有地三百四十步只云其池廣不及長(zhǎng)四步又云從田楞通池長(zhǎng)一十五步問(wèn)三事各多少
答曰田方二十步 內(nèi)池長(zhǎng)一十步 廣六步
法曰立天元一為池長(zhǎng)減于倍通步□丨為田方面以自之得□□丨為田方積于頭再置天元池長(zhǎng)內(nèi)減較四步□丨為池濶以天元乗之得□丨為直池
積以減頭位得□□○為如積一叚
寄左然后列直積三百四十步與左
相消得□□下法上實(shí)如法而一得
一十步即池長(zhǎng)也以長(zhǎng)減于倍通步
即方田面也
依條叚求之四叚通步冪內(nèi)減田積為實(shí)四之通步內(nèi)減池較為法如法得池長(zhǎng)
義曰四之通步為法內(nèi)欠一個(gè)池長(zhǎng)冪卻用所漏之
池補(bǔ)之猶差一池較
為法合除之?dāng)?shù)也既
于實(shí)積內(nèi)虛了此數(shù)
故作法時(shí)于四之通步內(nèi)減去一數(shù)也
第四十九問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有小方池結(jié)角占之外計(jì)地一萬(wàn)八百步只云從外田楞至內(nèi)池角各一十八步問(wèn)內(nèi)外方各多少
答曰外田方一百二十步 內(nèi)池方六十步
法曰立天元一為內(nèi)方面身外加
四又加倍至步三十六得□□為
田方面以自乗得□□□為外方
積于頭再置天元內(nèi)方面以自之
得【元○】丨為內(nèi)池積也以減頭位得□□□為如積一叚寄左然后列真積一萬(wàn)八百步與左相消得□□□開(kāi)平方得六十步為內(nèi)池方面也內(nèi)方面身外加四又加倍至步即方面也
依條叚求之見(jiàn)積內(nèi)減四叚至步冪為實(shí)四之至步身外加四為從九分六厘常法
義曰從步內(nèi)加四者是于一個(gè)方
面上求
第五十問(wèn)
今有方田一叚自有小方池結(jié)角占之外計(jì)地九千三百七十五步只云從外方角至內(nèi)池面各五十七步半問(wèn)內(nèi)外方各多少
答曰外田方一百步 內(nèi)池方二十五步
法曰立天元一為內(nèi)方面
加倍至步一百一十五步
得□丨為外田斜以自之
得□□丨為所展方積于
頭再置天元內(nèi)池面以自
之得【元○】丨為內(nèi)池積又就分以一步九分六厘乗之得下【元○】□亦為所展之池積也以減頭位得□□□為一叚所展如積寄左然后列真積九千三百七十五步以一步九分六厘乗之得一萬(wàn)八千三百七十五與左相消得□□□開(kāi)平方得二十五步即內(nèi)方面也
依條叚求之展積內(nèi)減四叚至步冪為實(shí)四之至步為從九分六厘虛常法
義曰展積時(shí)其池亦展得虛了九
分六厘也
第五十一問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有小方池結(jié)角占之外計(jì)地四十五畆只云從外田南邉斜通池北角一百二步問(wèn)內(nèi)外方各多少
答曰外田方一百二十步 內(nèi)池方六十步
法曰立天元一為內(nèi)方面身
外加四為池斜以減于倍通
步二百四步得□□為外方
面以自之得□□□為方田
積于頭又置天元內(nèi)池面以自之得下【元○】丨為內(nèi)方池也以?xún)?nèi)方池減頭位得□□□為如積一叚寄左然后列真積一萬(wàn)八百步與左相消得□□□平方開(kāi)之得六十步為池方面也
依條叚求之四叚通步冪內(nèi)減見(jiàn)積為實(shí)四之通步加四為從九分六厘虛隅法
義曰從步身外加四者蓋是于池
斜上求池面也
舊術(shù)曰倍通步自乗以田積減之余折半為實(shí)倍通步加四為從亷常置四分八厘減從開(kāi)方見(jiàn)內(nèi)方面
第五十二問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有方池結(jié)角占之外計(jì)地三十九畆零一十五步只云從田東南角至內(nèi)池西北面八十二步半問(wèn)內(nèi)外方面各多少
答曰外田方面一百步 內(nèi)池方面二十五步
法曰立天元一為內(nèi)方面減于倍通步一百六十五
步得□丨為外田斜也以自之得
□□丨為所展外田積于頭再置
天元池方面以自之為方池積又
就分以一步九分六厘乗之得【元○】
□為所展方池積也以減頭位得□□□為展起底如積一叚寄左然后列真積三十九畆一十五步通納得九千三百七十五步又就所展分母一步九分六厘乗之得一萬(wàn)八千三百七十五步與左相消得□□□平方開(kāi)之得二十五步即內(nèi)池面也以池面減于倍通步又身外去四即外方面也
依條叚求之四叚通步冪內(nèi)減展積為實(shí)四之通步為從九分六厘常法
義曰元以展積減四叚通步
冪時(shí)漏下一步九分六厘池
積今來(lái)于從步內(nèi)疊用了一
個(gè)方外剰九分六厘
第五十三問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有直池結(jié)角占之外計(jì)地八百五十步只云從田角通水長(zhǎng)三十七步通水濶三十二步問(wèn)三事各數(shù)
答曰池長(zhǎng)二十五步 濶一十五步 外田方三十
五步
法曰立天元一為內(nèi)池長(zhǎng)減于倍通步七十四步得□丨為外田斜也以自之得□□丨為所展外田積
于頭再置倍通長(zhǎng)七十四步內(nèi)
減倍通濶六十四步余一十步
乃池長(zhǎng)濶差也【或直以通長(zhǎng)通濶相減于者倍
之亦為長(zhǎng)濶差也】再置天元池長(zhǎng)內(nèi)減
長(zhǎng)濶差得□丨為濶也以天元長(zhǎng)乗之得□丨為直池積也又就分以一步九分六厘乗之得□□為展起底直池積也以減頭位得下式□□□為所展如積一叚寄左然后列真積八百五十步就分以一步九分六厘乗之得一千六百六十六步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十五步為內(nèi)池長(zhǎng)也【以減倍通長(zhǎng)步又身外去四即外田方面也】
依條叚求之四叚通長(zhǎng)冪內(nèi)減展積為實(shí)四之通長(zhǎng)于頭以一步九分六厘乗長(zhǎng)濶差以減頭位為從九分六厘常法
義曰據(jù)從步合用之積于疊起處少了一方今將減積時(shí)漏下所展水池補(bǔ)了一甲之地若更得一乙之
地則共補(bǔ)成一步九
分六厘之地方也【按原
圖仍用正方今易為直方庶為簡(jiǎn)明】今
不可補(bǔ)故于從步內(nèi)
減去所展差步便是
于從法合用之積內(nèi)借了一乙之地恰補(bǔ)就一步九分六厘之方也除補(bǔ)了疊起的一步方外猶剰九分六厘故以之爲(wèi)常法也
第五十四問(wèn)
今有方田一叚內(nèi)有直池結(jié)角占之外計(jì)地一千一百五十步只云從田角至水兩頭各一十四步至水兩邉各一十九步問(wèn)三事各多少
答曰方四十五步 池長(zhǎng)三十五步 濶二十五
步
法曰立天元一爲(wèi)池濶加二之邉至步三十八得□丨為外田斜以自之得□□丨為所展外田積于頭
二之邉至步內(nèi)減二之頭至步
余一十步為池長(zhǎng)濶差也再置
天元池濶加差一十步得□丨
為池長(zhǎng)也用天元池濶乗之得
□丨為直池積也又就分以一步九分六厘乗之得□□步為所展之池積也以減頭位得□□□為所展如積一叚寄左然后列真積一千一百五十步以一步九分六厘乗之得二千二百五十五十四步與左相消得□□□開(kāi)平方得二十五步為池濶也【又加二之邉至步又身外去四即外方面也】
依條叚求之展積內(nèi)減四叚邉至步冪為實(shí)四之邉至步于頭以一步九分六厘乗長(zhǎng)濶差減頭位余為從九分六厘虛常法
義曰所展池積內(nèi)將四叚紅【按原
圖應(yīng)減者以紅色別之】積恰補(bǔ)作九分六
厘虛常法其兩個(gè)所占半差于
減從時(shí)又以一步九分六厘乗
之者葢欲合身外加四所乗積也
按展積義多未備此條尤略今具圖説以詳之
義曰外四隅方所減之四至冪
也中十字積為實(shí)則池濶為隅
四之至步為從也附直池外斜
方展池積也平分上下二尖形
附于左右二尖形外成一原池濶乗展池正長(zhǎng)之直方展池正長(zhǎng)為原池長(zhǎng)之一步九分六厘十字積與展池積之較為實(shí)是前從隅內(nèi)應(yīng)少原池長(zhǎng)之一步九分六厘又為少原池長(zhǎng)濶較之一步九分六厘并原池濶之一步九分六厘故展較減前從以為從展隅反減前隅為虛隅也
第五十五問(wèn)
今有圓田一叚內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地二十三畆一分只云內(nèi)外周徑共相和得四百二十四步問(wèn)內(nèi)外周徑各多少【圖依宻率】
答曰外周二百八十六步徑九十一步 內(nèi)周一百一十步徑三十五步 實(shí)徑二十八步
法曰立天元為實(shí)徑以減相和
步四百二十四得□丨為內(nèi)外
周共步用天元實(shí)徑乗之得□
丨為如積兩叚寄左然后列二
之真積一萬(wàn)一千八十八步與左相消得□□丨開(kāi)平方得二十八步為實(shí)徑也以徑步除田積于頭位又二十二乗徑步如七而一得數(shù)若加頭位即外周若減頭位即內(nèi)周也
義曰以徑步除田積所得乃半內(nèi)周半外周共步也又據(jù)古率三個(gè)實(shí)徑即是半個(gè)外內(nèi)周差步也縁此問(wèn)系是宻率故以二十二乗徑以七約之也即得半差以加共步即是外周以減共步即是內(nèi)周也又據(jù)古率三之實(shí)徑以加減共步者縁共步便三空徑三實(shí)徑共數(shù)也于此共數(shù)內(nèi)加三實(shí)徑則恰是三個(gè)大圓徑故為一個(gè)外周也若共數(shù)內(nèi)減去三實(shí)徑則正有三個(gè)小圓徑故為一個(gè)內(nèi)周也今是宻率故先以二十二之七而一所以附就此數(shù)以求內(nèi)外周也依條叚求之倍積步為實(shí)和步為從一益隅
義曰以和步為從
是于內(nèi)外周數(shù)外
又引出一步虛常法也
第五十六問(wèn)
今有圓田一叚內(nèi)有圓池水占之外計(jì)地二十三畆一分只云從外田通內(nèi)池徑六十三步問(wèn)同前
答同前
法曰立天元為實(shí)徑加通步六
十三得□丨為外田徑以自之
得下□□丨為外圓徑冪又十
一之得下式□□□為十四叚
外圓積于頭再置天元實(shí)徑以減通步得□丨為內(nèi)圓徑以自之得□□丨為內(nèi)圓徑冪又十一之得□□□為十四叚內(nèi)圓積也以減頭位得下式□步為十四叚如積寄左然后列真積二十三畆一分法通得五千五百四十四又就分一十四之得七萬(wàn)七千六百一十六與左相消得□□下法上實(shí)如法而一得二十八步為實(shí)徑也以實(shí)徑加通步即外徑若減通步即內(nèi)池徑也
依條叚求之十四之積為實(shí)四十四之通步為法求得實(shí)徑
此問(wèn)難以為式強(qiáng)立此式以推之毎積之長(zhǎng)乃三個(gè)通步今十四之積合以四十二個(gè)通步除之今用四十四之通步為法者縁宻率之周稍多于古率之周也假令古率七個(gè)積即合用二十一個(gè)通步為法若依宻率七個(gè)積即合用二十二個(gè)通步為法此問(wèn)乃并十四之積為實(shí)是合用四十四個(gè)通步為法也舊術(shù)曰二十二之通步如七而一為法除田積見(jiàn)徑又法倍通步自之又十一之于上以十四之積減上余為實(shí)四十四之通步為法見(jiàn)池徑
按條叚皆于立天元一內(nèi)取出而于方圓變積之義或未暇深思故謂難以為式若以方環(huán)圓環(huán)解之固易易耳今増一圖義于后而舊術(shù)又法先求池徑更可互相發(fā)明因并附焉
義曰圓冪率十一方冪率十四以十四
乗圓環(huán)積便為十一方環(huán)積毎環(huán)為實(shí)
徑乗通步之直方四故以十一方環(huán)積為
實(shí)四十四通步為法即得實(shí)徑也
義曰倍通步即大小徑并其冪內(nèi)有
大小徑冪各一大小徑相乗直方二
內(nèi)減圓環(huán)積所變之方環(huán)積余小徑
冪二大小徑相乗之直方二又為小
徑乗大小徑并之直方二又為小徑乗通步之直方四故以十一倍之積較為實(shí)四十四之通步為法即得小徑也
第五十七問(wèn)
今有圓田一叚內(nèi)有直池水占之外計(jì)地八千七百四十四步只云兩頭至田楞各二十一步兩畔至田楞各四十五步問(wèn)三事各數(shù)
答曰田徑一百二十四步 池長(zhǎng)八十二步 濶
三十四歩
法曰立天元一為池濶加二之畔至
步得□丨為外田徑以自之得□□
丨為田徑冪以三之得□□□爲(wèi)四
叚圓田積于頭二至歩相減余二十
四步又倍之得四十八步為池長(zhǎng)濶差也再立天元池濶加差得□丨爲(wèi)池長(zhǎng)以天元濶乗之得□丨為池積又就分四之得□□為四叚直池積以減頭位得□□丨為如積四叚寄左然后列真積八千七百四十四步就分四之得三萬(wàn)四千九百七十六步減頭位得□□丨平方開(kāi)之得三十四步為池濶也依條叚求之四之見(jiàn)積內(nèi)減十二叚畔至步冪為實(shí)十二之畔至步內(nèi)減四個(gè)長(zhǎng)濶差余為從一步虛常法
義曰八處以紅志之者共是從內(nèi)所減之?dāng)?shù)也舊術(shù)曰四之積步于上又倍一畔步自乗三之減上余為實(shí)又并一頭一畔步六之內(nèi)減了長(zhǎng)濶之差余為從亷常置一步減從開(kāi)方見(jiàn)池濶也
第五十八問(wèn)
今有圓田一叚內(nèi)有直池占之外計(jì)地一千五百八十七步只云從田楞通地長(zhǎng)四十二步通地濶三十七步問(wèn)三事各數(shù)
答曰田徑五十四步 池長(zhǎng)三十步 濶二十步
法曰立天元一為內(nèi)池長(zhǎng)以減
倍通長(zhǎng)八十四步得□丨為田
徑以自之得□□丨為田徑冪
以三之得□□□為四叚圓田于頭再立天元一為池長(zhǎng)內(nèi)減長(zhǎng)濶差得□丨為池濶以天元一乗之得□丨又就分四之得□□為四叚池積【求長(zhǎng)濶差者倍通長(zhǎng)內(nèi)減倍通濶即是也】以減頭位得下式□□丨為四叚如積寄左然后列四之真積六千三百四十八步與左相消得□□丨開(kāi)平方得三十步為內(nèi)池長(zhǎng)也以長(zhǎng)減倍通長(zhǎng)即田徑也依條叚求之十二之通步冪內(nèi)減四之見(jiàn)積為實(shí)十二之通步內(nèi)減四差為從一步常法
義曰十二之從步內(nèi)減去了三個(gè)差又以三個(gè)漏下池積補(bǔ)了疊起底三步虛方外猶剰一池更用一差減從并上所剰之一池恰補(bǔ)成一步常法也
第五十九問(wèn)
今有二方夾一圓失卻圓水占外有田積一十一畆五分五厘其方圓相去重重徑等問(wèn)方圓各多少答曰內(nèi)方面一十二步 圓徑三十六步 外方
面六十步
法曰立天元一為等數(shù)五之得
□為外方面自之得【元○】□為外
方積于頭一次立天元一為等
數(shù)以三之得□為中圓徑以自
之得【元○】□為圓徑冪又三之四而一得【元○】□為池積以減頭位得【元○】□為外田積內(nèi)減了中圓積之?dāng)?shù)于次位一再立天元等數(shù)便為內(nèi)方面以自之得【元○】丨為內(nèi)方積卻加入次位得下□為如積一叚寄左然后列真積一十一畆五分五厘以畆法通得二千七百七十二步與左相消得□□步下法上實(shí)如法而一得一百四十四步再開(kāi)平方得一十二步為等數(shù)也便是內(nèi)方面也三之為中圓徑五之為外方面 此問(wèn)更無(wú)條叚舊法以十九步二分半除積步得內(nèi)方冪只是以一步推之也假令內(nèi)方一步則圓徑三步外方面五步也于外方積二十五步之內(nèi)減了中圓積六步七分半?yún)s加入內(nèi)方積一步計(jì)得十九步二分半也第六十問(wèn)
今有二圓夾一方失卻中方水占外有田積一十四畆一分七厘半其方圓相去重重徑等問(wèn)方圓各幾何答曰內(nèi)圓徑一十八步 方面五十四步 外圓徑九十步
法曰立天元一為等數(shù)以五之為外
圓徑以自之得【元○】□為外徑冪又三
之四而一得□為外田積于頭再立
天元等數(shù)以三之為中方面又自之得【元○】□為中方冪以減頭位得【元○】□為外圓積內(nèi)減了中方冪之?dāng)?shù)于次位又置天元等數(shù)便為內(nèi)圓徑以自之得【元○】丨為內(nèi)徑冪又三之四而一得【元○】□為內(nèi)圓積也卻加入頭位得【元○】□為如積一叚寄左然后列真積一十四畆一分七厘半以畆法通得三千四百二步與左相消得□□下法上實(shí)如法而一得三百二十四步再開(kāi)平方得一十八步為等數(shù)便是內(nèi)圓徑也副置之三因?yàn)橹蟹矫嫖逡驗(yàn)橥鈭A徑也 此問(wèn)與前問(wèn)意同更無(wú)條叚舊法以十步半除積步得內(nèi)徑冪亦只是以一步推之假令內(nèi)圓徑一步則是中方面三步外圓徑五步先置外圓積一十八步七分半內(nèi)減了中方積九步卻加內(nèi)圓積七分半共得一十步半也
第六十一問(wèn)
今有方田一叚靠西北隅有圓池水占之外計(jì)地九百二十五步只云從外田東南隅至池楞二十五步問(wèn)面徑各多少
答曰外田方面三十五步 內(nèi)池徑二十步
法曰立天元一為內(nèi)池徑身外加
二得□為池東南楞至田西北角
也又加斜至步二十五步得□□
為外田斜以自之得□□□為田
斜冪于頭再立天元圓徑以自之為冪又以一步四分七厘乗之得【元○】□為所展圓池積以減頭位得□□□為所展如積一叚寄左【初立天元身外加二者以方求斜合加四今求一半故加二也 按加二系以方求半方半斜和之?dāng)?shù)也】然后列真積九百二十五步就分以一步九分六厘乗之得一千八百一十三步與左相消得□□□平方開(kāi)得二十步為池徑也池徑外加二又添入斜至步卻身外除四即外方面也
依條叚求之展積內(nèi)減斜至冪為實(shí)倍至步身外加二為從三厘虛常法減從開(kāi)平方
義曰于一方外虛了四分七厘
從上帶了四分外虛七厘又于
從上乗起四厘外猶虛三厘故
以三厘為常法此圖內(nèi)二分合
畫(huà)作極細(xì)形狀與四分七厘外圓邉?wù)韵鄳?yīng)今不應(yīng)者但二分差濶耳所以畫(huà)作差濶之狀者正欲易辯二分之?dāng)?shù)也
按原圖式有附斜至冪外磬折形無(wú)附池徑冪外磬折形且二形相離皆?本之誤也故義中所論亦不知其何指今訂補(bǔ)此圖二分不必加濶未嘗不易辨也
第六十二問(wèn)
今有方田二叚靠西北隅有方池結(jié)角占外計(jì)地四畆一十五步只云從田東南隅斜至水方面一十九步問(wèn)內(nèi)外面各多少
答曰外方面四十步 內(nèi)方面二十五步
法曰立天元一為池方面身外加
四八又加入斜至步一十九步得
□□為外田斜也【先將池斜變?yōu)榉焦始铀暮笥帧?br /> 【將池方變?yōu)樾睆?fù)合加四兩度加四于一步上合得一步九分六厘今求一半故身外止加四八也 按方一步求斜身外加四又以斜為方求斜再身外加四是原方求再斜為身外加九六今求半方半再斜之和數(shù)故加四八也】以自之得□□□為外田斜冪于上再立天元一為池方面以自之又以四十九乗之如二十五而一得【元○】□為展起方池積以減上得□□□為所展如積一叚寄左然后列真積四畆一十五步以畆法通內(nèi)得九百七十五步又隨分以一步九分六厘乗之得一千九百一十一步與左相消得□□□平方開(kāi)得二十五步為內(nèi)池方面也于此方面上兩次求斜合得一步九分六厘以除元方一步外有九分六厘半之則得四分八厘故此方面上加四八更加入斜至步為大方斜也
以條叚求之展積內(nèi)減至步冪為實(shí)二之至步以一步四分八厘乗之為從二分三厘四絲為常法
義曰此一問(wèn)其展起積時(shí)
于一池之外虛了九分六
厘卻于一個(gè)從步內(nèi)加四
分八厘二個(gè)從步計(jì)加了
九分六厘恰就了所展虗
數(shù)除外有一叚四分自乗數(shù)該一分六厘于上又有兩叚四分乗八厘數(shù)【按附自乗方外】該六厘四毫于次又有一叚八厘自乗數(shù)【按小方隅】該六毫四絲于下三位并得二分三厘四絲此數(shù)系是于展積內(nèi)實(shí)有之?dāng)?shù)故以常法也
舊術(shù)以四十九乗田積如二十五而一于頭位以至水步自乗減頭位為實(shí)余與條叚同
按原圖式四分八厘方內(nèi)按分厘數(shù)細(xì)分之因其數(shù)甚微又以分?jǐn)?shù)厘數(shù)作等數(shù)分之終不免混淆今以亷隅線(xiàn)易之
第六十三問(wèn)
今有大圓田一叚大小方田二叚其小方田內(nèi)有圓池水占之外共計(jì)積六萬(wàn)一千三百步只云小方田面至池楞三十步大方田面多于小方田面五十步其圓田徑又多于大方田面五十步問(wèn)四事各多少答曰小方田面一百步 池徑四十步 大方田
面一百五十步 圓田徑二百步
法曰立天元一為內(nèi)池徑加二之至
水六十步為小方面于小方面上又
加入大小方面差五十步即大方面
也于大方面上又加入大圓徑大方
面差五十步即大圓徑也具圖于左
一內(nèi)圓徑【太○】丨 一小方面□丨
一大方面□丨 一大圓徑□丨
乃先置天元內(nèi)圓徑以自之義三之
得【元○】□為四叚圓池積于上又置小方面□丨以自之得□□丨為小方積以四之得下式□□□為四叚小方積于次又置大方面以自之得□□丨為大方積四之得□□□為四叚大方積于下又置大圓徑下式□丨以自之得□□丨為大圓徑冪以三之得下式□□□為四叚大圓積于下位之次并下三位得下式□□□于右以四池積【元○】□減于右得□□□為如積四叚寄左然后列真積六萬(wàn)一千三百步就分四之得二十四萬(wàn)五千二百步與左相消得□□□平方開(kāi)之得四十步為內(nèi)池徑也各加差步即各得方面與圓徑也
依條叚求之四之田積于頭位內(nèi)減三叚【按落大圓徑三字】多池徑冪又減四叚大方面多池徑冪又減十六叚至水步冪為實(shí)六之圓田多池徑步又八之大方田面多池徑步又十六之至水步三位并之得二千三百二十步為從法亷常置八步開(kāi)平方
義曰三叚圓徑冪乃四個(gè)圓田積此數(shù)內(nèi)有三個(gè)方也其四叚大方田積內(nèi)有四個(gè)方也其四叚小方積毎個(gè)圓池外余二分半四池計(jì)余一步方也三位上并帶八步方
第六十四問(wèn)
今有方田一叚中心有環(huán)池水占之外計(jì)地四十七畆二百一十七步只云共環(huán)水內(nèi)周不及外周七十二步又從田四角至水各五十步半問(wèn)內(nèi)外周及田方方各多少
答曰外周一百八十步 內(nèi)周一百八步 田方
一百一十五步
法曰立天元一為池內(nèi)徑
先以六除內(nèi)外周差七十
二步得一十二步為水徑
倍之得二十四步加入天
元池內(nèi)徑得□丨為池外徑又加倍至步一百一步得下式□丨為外田斜以自之得□□丨為田斜冪于頭位再立天元池內(nèi)徑加入二之水徑得□丨為池外徑以自之得□□丨為外徑冪又以一步四分七厘乗之得下式□□□步為展起底外圓積于次上再立天元一池內(nèi)徑以自之【元○】丨亦以一步四分七
厘乗之得【元○】□ 【步】為展起底內(nèi)圓積以減次上得□步□○為所展底池積也以此池積減頭位得下式□步□丨為展起如積一叚寄左然后列真積四十七畆二百一十七步以畆法通納之得一萬(wàn)一千四百九十七步又就分以一步九分六厘乗之得二萬(wàn)二千五百三十四步一分二厘與左相消得下式□步□丨開(kāi)平方得三十六步即池內(nèi)徑也三之為內(nèi)周又加差為外周置內(nèi)徑加二之水徑又加倍至步為外方斜也置外方斜身外去四即外田方面也依條叚求之以一步九分六厘乗田積于頭位以水徑加至步以自之為冪又四之以減頭位又倍水徑自乗又以一步四分七厘乗之卻加入頭位為實(shí)又水徑加至步四之于頭位又三之水徑以一步九分六厘乗之減頭位為從一步常法此問(wèn)圖式有三第一式即所畵原様是也以一步九分六厘乗之變?yōu)樾眱缙涫饺绾?br /> 右第二式也黒者為元問(wèn)
防者盡是展數(shù)恐糢糊難
辯再具加減圖式于下更
不見(jiàn)舊式也
右第三式也其圓環(huán)以條
叚命之只是一個(gè)方環(huán)內(nèi)
取四分之三也卻加入三
叚展起底水徑冪外只有
三叚展起底水徑乗內(nèi)圓徑直田積也此系展環(huán)之虛數(shù)也今以至步并水徑共為從故于內(nèi)卻除去水徑之虛步也必湏以一步九分六厘乗水徑而去從者縁二停虛環(huán)并是展起之積故減從時(shí)將水徑亦展起而減之也【按展水徑展內(nèi)圓徑皆于原數(shù)身外加四今以?xún)?nèi)圓徑為不動(dòng)則水徑必兩度加四故以一步九分六厘乗之也】
益古演段卷下
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