【編者按】
保羅·洛克哈特（Paul Lockhart），一位富有傳奇色彩的數(shù)學(xué)家。大概14歲時(shí)，他對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚興趣（他特別指出，不是由于學(xué)校的數(shù)學(xué)課程）。為專心研究數(shù)學(xué)，他從大學(xué)退學(xué)，靠編程和當(dāng)小學(xué)老師為生。1990年在哥倫比亞大學(xué)獲得博士學(xué)位后，洛克哈特先后在加州大學(xué)伯克利分校的數(shù)學(xué)科學(xué)研究中心（MSRI）和布朗大學(xué)任職。2000年加入紐約的獨(dú)立學(xué)校圣安學(xué)校，教導(dǎo)從幼兒園到12年級(jí)的數(shù)學(xué)課至今。保羅更愿意把數(shù)學(xué)看作一門藝術(shù)而不是科學(xué)，它是最純粹的，能通過(guò)好奇、探索與游戲，打開孩子的心智，培養(yǎng)孩子的思維能力和藝術(shù)美感。在《一個(gè)數(shù)學(xué)家的嘆息：如何讓孩子好奇、想學(xué)習(xí)、走進(jìn)美麗的數(shù)學(xué)世界》一書中，他澄清了數(shù)學(xué)教育的誤區(qū)，展現(xiàn)了數(shù)學(xué)的藝術(shù)之美。本文摘編自該書的《數(shù)學(xué)與文化》一章。
首先我們要了解，數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)。數(shù)學(xué)和其他類型的藝術(shù)（如音樂(lè)和繪畫）的差別只在于，我們的文化不認(rèn)同數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)。每個(gè)人都了解，詩(shī)人、畫家、音樂(lè)家創(chuàng)造出藝術(shù)作品，以文字、圖像及聲音來(lái)表達(dá)自我。事實(shí)上，我們的社會(huì)對(duì)創(chuàng)造性的表達(dá)是相當(dāng)大方的，建筑師、廚師、甚至電視導(dǎo)播都被認(rèn)為是職業(yè)上的藝術(shù)家。那么，為何數(shù)學(xué)家不是呢？這個(gè)問(wèn)題，有一部分原因出在沒(méi)有人知道數(shù)學(xué)家到底在做些什么。社會(huì)上的普遍認(rèn)知似乎是，數(shù)學(xué)家和科學(xué)是有關(guān)聯(lián)的——也許是因?yàn)閿?shù)學(xué)家提供給科學(xué)家一些公式和定理，或者協(xié)助將一大堆數(shù)字輸入計(jì)算機(jī)。如果這個(gè)世界必須要分成“詩(shī)意夢(mèng)想家”和“理性思考家”兩類人，毫無(wú)疑問(wèn)，絕大多數(shù)人會(huì)把數(shù)學(xué)家放在后面那一類。
然而，事實(shí)上，沒(méi)有什么像數(shù)學(xué)那樣夢(mèng)幻及富有詩(shī)意，那樣激進(jìn)、具破壞力和帶有奇幻色彩。我們覺(jué)得天文學(xué)或物理學(xué)很震撼人心，在這一點(diǎn)上，數(shù)學(xué)完全一樣（在天文學(xué)家發(fā)現(xiàn)黑洞之前，數(shù)學(xué)家老早就有黑洞的構(gòu)想了），而且數(shù)學(xué)比詩(shī)、美術(shù)或音樂(lè)容許更多的表現(xiàn)自由，后者高度依賴這個(gè)世界的物理性質(zhì)。數(shù)學(xué)是最純粹的藝術(shù)，同時(shí)也最容易受到誤解。
因此，讓我試著解釋數(shù)學(xué)是什么，以及數(shù)學(xué)家做些什么。我以英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代（G.H.Hardy）絕佳的敘述作為開場(chǎng)：
一位數(shù)學(xué)家，就像一位畫家或詩(shī)人，是模式（pattern）的創(chuàng)造者。如果他的模式比畫家或詩(shī)人的模式能留存得更久，那是因?yàn)檫@些模式是用理念（ideas）創(chuàng)造出來(lái)的。
所以數(shù)學(xué)家的工作是做出理念的模式（making patterns of ideas）。什么樣的模式？什么樣的理念？是關(guān)于犀牛的理念嗎？不是的，那些留給生物學(xué)家吧。是關(guān)于語(yǔ)言和文化的理念嗎？不，通常不是。這些對(duì)大部分?jǐn)?shù)學(xué)家的審美觀而言，都太復(fù)雜了。如果數(shù)學(xué)有一個(gè)統(tǒng)一的美學(xué)原則的話，那將是：簡(jiǎn)單就是美（simple is beautiful）。數(shù)學(xué)家喜歡思考最簡(jiǎn)單的可能性，而這種最簡(jiǎn)單的可能性是想象的，不見得是現(xiàn)實(shí)存在的。
例如，如果現(xiàn)在我在思考形狀——這是我常常做的——我可能會(huì)想象在長(zhǎng)方形中有一個(gè)三角形：
我想知道，這個(gè)三角形占據(jù)了長(zhǎng)方形多少的空間——三分之二嗎？重點(diǎn)是要了解，我現(xiàn)在探討的不是長(zhǎng)方形內(nèi)有三角形的這幅畫；我探討的，也不是組成橋梁上梁柱架構(gòu)的那些金屬三角形。在此，并沒(méi)有那些深謀遠(yuǎn)慮的實(shí)用目的存在，我純粹就是在玩。這就是數(shù)學(xué)——想知道（wondering）、游戲（playing）、用自己的想象力來(lái)娛樂(lè)（amusing）自己。首先，三角形在長(zhǎng)方形中占據(jù)了多少空間，甚至沒(méi)有任何真實(shí)、實(shí)體上的目的。即使是最謹(jǐn)慎小心制造出來(lái)的實(shí)體三角形，仍然是不斷震動(dòng)的原子所組成的，它的形狀每分鐘都在改變。也就是說(shuō)，除非你要探討“近似”（approximate）的度量。好了，這里就會(huì)牽扯到數(shù)學(xué)的“美學(xué)”了。因?yàn)槟菢泳筒粏渭兞耍蔀橐粋€(gè)依賴真實(shí)世界各式各樣細(xì)節(jié)的丑陋問(wèn)題了。那些留給科學(xué)家去解決吧。數(shù)學(xué)提出的問(wèn)題是，在一個(gè)想象的長(zhǎng)方形中有一個(gè)想象的三角形。它們的形狀邊緣很完美，因?yàn)槲乙鼈兒芡昝馈@就是我喜歡思考的問(wèn)題類型。這就是數(shù)學(xué)的一個(gè)主要特征：你想要它是什么樣，它就是什么樣。你有無(wú)限多的選項(xiàng)，沒(méi)有真實(shí)世界來(lái)?yè)趼贰?/p>
另一方面，一旦你做了選擇（例如，我可能選擇我的三角形是對(duì)稱的，或不是對(duì)稱的），然后，你這個(gè)新創(chuàng)造就會(huì)自行發(fā)展下去，不管你是否喜歡它的后續(xù)發(fā)展。這就是制造想象的模式時(shí)有趣的地方：它們會(huì)回應(yīng)！這個(gè)三角形在長(zhǎng)方形中占據(jù)了某個(gè)空間比例，而我完全無(wú)法控制這個(gè)比例為何。這個(gè)數(shù)字就擺在那里，可能是三分之二，可能不是，但可不是我說(shuō)了算。我必須找出這個(gè)數(shù)字。
因此，我們可以玩玩看，想象一下我們要什么，然后做出模式，再對(duì)這套模式提出問(wèn)題。但是我們要如何解答這些問(wèn)題呢？這一點(diǎn)都不像科學(xué)，我沒(méi)辦法用試管、設(shè)備或是任何東西通過(guò)做實(shí)驗(yàn)來(lái)告訴自己，我想象出來(lái)的虛擬物的真相。能得知我們想象物的真相的唯一方法，就是運(yùn)用我們的想象力，然而這是個(gè)艱苦的差事。
在這個(gè)例子中，我的確看到了簡(jiǎn)單又美妙的地方：
如果我把長(zhǎng)方形像上面那樣切成兩個(gè)部分，我可以看到這兩個(gè)部分都被三角形的斜邊斜切成一半，所以三角形里面和外面的空間是相等的。也就是說(shuō)，這個(gè)三角形一定是正好占了長(zhǎng)方形的一半！
這就是數(shù)學(xué)的外貌和感覺(jué)。數(shù)學(xué)家的藝術(shù)就像這樣：對(duì)于我們想象的創(chuàng)造物提出簡(jiǎn)單而直接的問(wèn)題，然后制作出令人滿意又美麗的解釋。沒(méi)有其他事物能達(dá)到如此純粹的概念世界；如此令人著迷、充滿趣味，而且不花半毛錢！
你也許要問(wèn)了，我的這個(gè)想法又是從何而來(lái)的？我怎么知道要畫那條輔助線？那我要問(wèn)你了，畫家又是怎么知道要在哪里畫上一筆？靈感、經(jīng)驗(yàn)、嘗試錯(cuò)誤、運(yùn)氣。這就是藝術(shù)，創(chuàng)造出那些有思想的美麗小詩(shī)，創(chuàng)造出那些純粹理性的詩(shī)篇。這個(gè)藝術(shù)形態(tài)有著某種東西，能做如此神奇的轉(zhuǎn)變。三角形和長(zhǎng)方形之間的關(guān)系原本是個(gè)謎，然而那條小小的輔助線讓謎底浮現(xiàn)了出來(lái)。我本來(lái)看不出來(lái)的，突然間我就看見了。然而，我能夠從“無(wú)”當(dāng)中創(chuàng)造出全然簡(jiǎn)單的美麗，并且在這個(gè)過(guò)程當(dāng)中改變了我自己。這不正是藝術(shù)嗎？
這就是為什么看到現(xiàn)在學(xué)校里的數(shù)學(xué)教育會(huì)讓人如此痛心。這么豐富且迷人的想象力探索過(guò)程，卻一直遭到貶抑，淪落成一套要死記硬背毫無(wú)生氣的“事實(shí)”（facts），以及必須遵循的演算程序。關(guān)于“形狀”的一個(gè)簡(jiǎn)單而自然的問(wèn)題，一個(gè)富有創(chuàng)造性和收獲的發(fā)明與發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，卻被取代為：
“三角形面積等于底乘以高的一半”，學(xué)生被要求死背這個(gè)公式，然后在“習(xí)題”中反復(fù)“應(yīng)用”。興奮之情、樂(lè)趣、甚至創(chuàng)造過(guò)程會(huì)有的痛苦與挫折，全都消磨殆盡了。再也沒(méi)有任何“困難”了。問(wèn)題在提出來(lái)的同時(shí)被解答了——學(xué)生沒(méi)事可做。
現(xiàn)在，讓我說(shuō)清楚我到底在反對(duì)什么。不是公式，也不是背記一些有趣的事實(shí)。在某些情境下，這是可以的，就像學(xué)習(xí)詞匯必須要記憶一樣——這可以幫助我們創(chuàng)造更豐富、更微妙的藝術(shù)作品。但是，三角形面積是長(zhǎng)方形面積的一半，這個(gè)“事實(shí)”并不重要。重要的是，以輔助線來(lái)切割的這個(gè)巧妙構(gòu)思，以及這個(gè)構(gòu)思可能激發(fā)出其他美妙的構(gòu)思，進(jìn)而引導(dǎo)出在其他問(wèn)題上的創(chuàng)造性突破——光是事實(shí)的陳述絕不可能給你這些的。
拿掉了創(chuàng)造性的過(guò)程，只留下過(guò)程的結(jié)果，保證沒(méi)有人能真正全身心投入這個(gè)科目。這就像是“說(shuō)”米開朗基羅創(chuàng)造了美麗的雕塑卻不讓我“看”它。我要如何受到激發(fā)而產(chǎn)生靈感？（當(dāng)然實(shí)際上還更糟——至少我還知道有一個(gè)雕塑藝術(shù)存在，只是不讓我去欣賞它。）
由于將焦點(diǎn)集中在“什么”，排除掉“為什么”，數(shù)學(xué)被降格為一個(gè)空殼子。數(shù)學(xué)不是在“真相”里，而是在說(shuō)明、論證之中。論證的本身賦予真相一個(gè)情境，并確認(rèn)我們到底在談?wù)撌裁?、其意義何在。數(shù)學(xué)是說(shuō)明的藝術(shù)（the art of explanation）。如果你不讓學(xué)生有機(jī)會(huì)參與這項(xiàng)活動(dòng)——提出自己的問(wèn)題、自己猜測(cè)與發(fā)現(xiàn)、試錯(cuò)、經(jīng)歷創(chuàng)造中的挫折、產(chǎn)生靈感、拼湊出他們的解釋和證明——你就是不讓他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。所以，我不是在抱怨我們數(shù)學(xué)課堂上出現(xiàn)的事實(shí)與公式，我抱怨的是我們的數(shù)學(xué)課里沒(méi)有數(shù)學(xué)。
如果你的美術(shù)老師告訴你，繪畫就是在標(biāo)了數(shù)字的區(qū)塊上涂上顏色，你會(huì)知道這是不對(duì)的。我們的文化讓你了解這些——我們有博物館、畫廊，你自己家里也有掛畫。我們的社會(huì)非常了解繪畫是媒介，人類借由繪畫來(lái)表達(dá)、展現(xiàn)自我。同樣地，如果你的科學(xué)老師說(shuō)，天文學(xué)是根據(jù)人們的出生日期來(lái)預(yù)測(cè)人們未來(lái)行為的一門學(xué)科，你會(huì)知道這個(gè)老師有問(wèn)題——科學(xué)深入我們的文化，幾乎每個(gè)人都知道原子、星系以及一些自然定律。但是如果你的數(shù)學(xué)老師給你一個(gè)印象，不管是直接說(shuō)出來(lái)或是大家默認(rèn)的，讓你覺(jué)得數(shù)學(xué)是公式、定義以及背記一堆算法，誰(shuí)來(lái)幫你矯正這個(gè)印象呢？
文化是自我復(fù)制繁衍的怪物：學(xué)生從他們老師那里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而老師又是從他們的老師那里學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，所以對(duì)于數(shù)學(xué)欠缺的了解與欣賞，會(huì)在我們的文化中無(wú)止境地復(fù)制下去。更糟的是，這種“偽數(shù)學(xué)”以及這種強(qiáng)調(diào)精準(zhǔn)卻無(wú)靈魂地操弄符號(hào)的延續(xù)，創(chuàng)造了自己的文化和自己的一套價(jià)值觀。那些已經(jīng)精熟這一套的人，從他們的成功當(dāng)中衍生出了極大的自負(fù)。他們最聽不進(jìn)去的就是，數(shù)學(xué)其實(shí)是原始的創(chuàng)造力和美學(xué)的感受力。許多數(shù)學(xué)研究生在被人說(shuō)“數(shù)學(xué)很強(qiáng)”說(shuō)了十年之后，才發(fā)現(xiàn)自己其實(shí)沒(méi)有真正的數(shù)學(xué)天分，只是很會(huì)遵循指示而已，他們感到傷心、失敗。數(shù)學(xué)不是遵循指示，而是要?jiǎng)?chuàng)造出新的方向。
《一個(gè)數(shù)學(xué)家的嘆息：如何讓孩子好奇、想學(xué)習(xí)、走進(jìn)美麗的數(shù)學(xué)世界》，[美]保羅·洛克哈特著，高翠霜譯，上海社會(huì)科學(xué)院出版社|青豆書坊2019年8月。
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