數(shù)學(xué)不可思議，甚至能為你贏得免費(fèi)飲料

觀察一下你身邊的飲料杯，比如品脫杯或者馬克杯，雖然它們形態(tài)各異，但幾乎可以肯定，它們杯口的周長(zhǎng)總是大于它們的高度。像品脫杯這樣的器皿，看上去好像高度大于周長(zhǎng)，但事實(shí)上，標(biāo)準(zhǔn)的英式品脫杯的周長(zhǎng)是高度的1.8倍；而隨處可見(jiàn)的連鎖咖啡店星巴克里的中杯外帶杯，其周長(zhǎng)其實(shí)是自身高度的2.3倍（不過(guò)，他們拒絕了我將其更名為“矮杯”的請(qǐng)求）。

知道這個(gè)常識(shí)對(duì)你非常有好處。要是下次再去酒吧、咖啡館或其他提供飲料的地方，你可以和朋友打賭，賭定他們手里的杯子杯口的周長(zhǎng)都大于高度，贏的話就讓他們免費(fèi)給你飲料。如果現(xiàn)場(chǎng)有帶柄的啤酒杯或者大得離譜的馬克杯，你要清楚，它們的周長(zhǎng)通常是高度的3倍以上。你甚至可以把三個(gè)這樣的杯子夸張地疊在一起，并打賭這時(shí)的周長(zhǎng)仍大于總高。這時(shí)候拿出卷尺或許會(huì)讓你的對(duì)手懷疑你在作弊，你可以就近找根吸管，或者用吸管紙?zhí)着R時(shí)充當(dāng)量尺。

這個(gè)結(jié)論適用于除了最瘦長(zhǎng)的香檳杯以外的所有杯子。如果你想偷偷驗(yàn)證一下，又不想引起對(duì)手懷疑，可以用手握住杯子，你會(huì)發(fā)現(xiàn)你的大拇指無(wú)法在另一面碰到另外四指。現(xiàn)在，用大拇指和食指去夠杯子的兩端，卻基本上都會(huì)夠到。這就巧妙地證明了普通杯子的高度比周長(zhǎng)小很多了。

這正是我想讓更多人了解的數(shù)學(xué)：數(shù)學(xué)不可思議，出乎意料，甚至能為你贏得免費(fèi)飲料。我寫本書的目的就是向讀者展示數(shù)學(xué)中的有趣之處。但不幸的是，多數(shù)人覺(jué)得數(shù)學(xué)只是中學(xué)要求的課程。事實(shí)上，數(shù)學(xué)遠(yuǎn)不止如此。

在一些不恰當(dāng)?shù)那闆r下，數(shù)學(xué)確實(shí)會(huì)讓人感覺(jué)乏味。隨便走進(jìn)一間數(shù)學(xué)課堂，你極有可能會(huì)看到教室里絕大部分學(xué)生都不怎么開心，更壞一點(diǎn)，他們可能會(huì)立刻要求你離開教室，甚至報(bào)警，那么你的名字可能就會(huì)被列入黑名單。這些學(xué)生們對(duì)數(shù)學(xué)的壞印象，是從之前的學(xué)生那里代代相傳而來(lái)的。當(dāng)然，這其中不乏例外，有些學(xué)生一直熱愛(ài)數(shù)學(xué)，成為數(shù)學(xué)家，把余生奉獻(xiàn)給數(shù)學(xué)。究竟是什么讓這些學(xué)生享受數(shù)學(xué)，而其他同學(xué)卻都不喜歡呢？

我曾經(jīng)也是這少數(shù)學(xué)生中的一員：我能在乏味的練習(xí)題之外探尋到數(shù)學(xué)的精髓，也就是背后的邏輯。但我能體諒我周圍的同學(xué)們，尤其是那些偏愛(ài)運(yùn)動(dòng)的同學(xué)。因?yàn)樵趯W(xué)校里，我也曾像他們懼怕數(shù)學(xué)課一樣懼怕足球訓(xùn)練。但是我很清楚花費(fèi)大量時(shí)間在錐形筒之間練習(xí)帶球的意義：他們?cè)诮⒃鷮?shí)的基本功，以便在真正的足球比賽中揮灑自如。因此，我也清楚為什么偏愛(ài)體育的那些同學(xué)討厭數(shù)學(xué)：與足球相反，學(xué)生們練習(xí)數(shù)學(xué)，卻沒(méi)有“數(shù)學(xué)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)”能讓他們好好地運(yùn)用學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)。

這就是這些學(xué)生眼中的數(shù)學(xué)，也正是人們不會(huì)選擇成為數(shù)學(xué)家的原因。數(shù)學(xué)工作者并不像人們想象的那樣，只是做更難的加法或更長(zhǎng)的除法，這就好比專業(yè)的足球運(yùn)動(dòng)員在比賽中也不僅僅是帶球跑得更快而已。專業(yè)的數(shù)學(xué)家會(huì)利用他們學(xué)到的理論和技巧去探索數(shù)學(xué)領(lǐng)域，尋找新的發(fā)現(xiàn)。他們會(huì)在高維空間中尋找新的圖形，尋找新的數(shù)的類別，或在無(wú)窮之外探索新世界，而不僅僅是進(jìn)行運(yùn)算而已。

告訴你一個(gè)秘密：對(duì)數(shù)學(xué)家而言，數(shù)學(xué)是一場(chǎng)規(guī)模宏大的超級(jí)聯(lián)賽，而告訴你更多數(shù)學(xué)的秘密也正是本書的目的。為你打開通往這個(gè)世界的門，讓你學(xué)會(huì)和數(shù)學(xué)打交道的方法。這樣，你就可以像數(shù)學(xué)家一樣參與到這場(chǎng)超級(jí)聯(lián)賽中。即使你本就是熱愛(ài)數(shù)學(xué)的孩子，也仍然可以發(fā)現(xiàn)很多新鮮事物。本書的所有內(nèi)容都源于你能實(shí)際運(yùn)用的數(shù)學(xué)。你可以學(xué)會(huì)做一個(gè)四維物體，也可以深入理解那些違反直覺(jué)的圖形，還可以編出不可思議的繩結(jié)。當(dāng)然，書籍本身也是一項(xiàng)令人驚嘆的技術(shù)，擁有最先進(jìn)的暫停功能。當(dāng)你想停留片刻去玩一些數(shù)學(xué)小把戲時(shí)，盡管去，本書將靜靜地停留在原地，不變一字，等著你歸來(lái)。

當(dāng)然，從現(xiàn)代醫(yī)學(xué)背后的數(shù)據(jù)分析到手機(jī)間信息傳輸背后的公式，幾乎所有令人欣喜的前沿科技的核心都是數(shù)學(xué)。但即使是那些基于相應(yīng)數(shù)學(xué)原理的技術(shù)，最初也是因?yàn)閿?shù)學(xué)家覺(jué)得解決一道謎題很有趣才發(fā)展起來(lái)的。

這就是數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)學(xué)是對(duì)規(guī)律與邏輯的純粹追求，一直在滿足我們對(duì)未知事物的好奇心。新的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)可能會(huì)有數(shù)不清的實(shí)際應(yīng)用，甚至成為我們生活中不可或缺的一部分，但這并不是這些原理被發(fā)現(xiàn)的原因。正如諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者理查德·費(fèi)曼（Richard Feynman）所說(shuō)，“物理學(xué)就像性愛(ài)，它確實(shí)有實(shí)際的用處，但那絕不是我們研究它的原因”。

我也希望大家能更關(guān)注學(xué)校里學(xué)的數(shù)學(xué)，因?yàn)闆](méi)有這些基礎(chǔ)，我們無(wú)法發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的有趣之處。每位學(xué)生應(yīng)該都依稀記得數(shù)學(xué)常數(shù)π（大約等于3.14），有些人會(huì)記得它是圓的周長(zhǎng)與其直徑的比值。正因?yàn)棣?，我們才知道玻璃杯口的周長(zhǎng)是其直徑的3倍多。而杯子直徑往往是我們判斷杯子大小的根據(jù)，但我們總忘記乘以π。π不應(yīng)該只是一個(gè)存在于我們記憶中的數(shù)值，而應(yīng)該在現(xiàn)實(shí)生活中為我們所用。但遺憾的是，很少有學(xué)校會(huì)教你怎樣在酒吧贏取免費(fèi)飲料。

但我們不能全盤忽視學(xué)校教授的數(shù)學(xué)，因?yàn)閿?shù)學(xué)的趣味總是伴隨著它的乏味。這也是一些人覺(jué)得數(shù)學(xué)很難的部分原因：在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，他們錯(cuò)失了一些關(guān)鍵步驟，所以更高的層次便顯得遙不可及。如果他們可以一步一個(gè)腳印，以正確的順序走好每一步，那么數(shù)學(xué)其實(shí)不會(huì)太難。

數(shù)學(xué)中沒(méi)有什么是難以掌握的，但是有時(shí)候以正確的順序?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)非常重要。當(dāng)然，攀登一個(gè)高高的階梯，或許自始至終需要付出很多努力，但攀爬每一級(jí)臺(tái)階耗費(fèi)的力氣是一樣的。數(shù)學(xué)也是如此，一步一步攀登，其樂(lè)無(wú)窮。如果你理解素?cái)?shù)，那么探索素繩結(jié)就會(huì)容易很多；如果你先掌握了三維圖形，那么四維圖形就不會(huì)那么難以想象。你可以將本書的每個(gè)章節(jié)想象成一個(gè)結(jié)構(gòu)體，每個(gè)章節(jié)都基于前面的一些章節(jié)。

你也可以跳過(guò)一些章節(jié)選擇自己的探索路徑，只要你在探索后面某個(gè)章節(jié)之前已經(jīng)掌握了它所依賴的所有章節(jié)。隨著內(nèi)容的推進(jìn)，后面的章節(jié)會(huì)涵蓋越來(lái)越多的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，這些內(nèi)容你可能從來(lái)沒(méi)有在數(shù)學(xué)課堂中聽(tīng)到過(guò)。它們初看起來(lái)嚇人，但別擔(dān)心，只要你以正確的順序?qū)W習(xí)這些知識(shí)，當(dāng)你到達(dá)數(shù)學(xué)世界中遙遠(yuǎn)的角落時(shí)，你就已經(jīng)積累了足夠的知識(shí)來(lái)享受它們給予的所有樂(lè)趣和驚喜。

最后我要再?gòu)?qiáng)調(diào)一點(diǎn)，攀登本書階梯的動(dòng)力應(yīng)該是欣賞沿途的風(fēng)景。長(zhǎng)久以來(lái)，數(shù)學(xué)被看成是教育的同義詞，它本應(yīng)該是趣味和探索的代名詞。當(dāng)我們將謎題逐個(gè)解決，將數(shù)學(xué)游戲?qū)嵺`，我們很快就能到達(dá)階梯的頂端，欣賞到大多數(shù)人從未見(jiàn)聞的數(shù)學(xué)之美。我們將能夠?qū)嵺`那些超越一般人直覺(jué)的事物。在旅途中，數(shù)學(xué)會(huì)把我們帶入虛數(shù)的世界，向我們展示只有在196,883維空間才存在的圖形，向我們展示無(wú)窮之外的物體。從第四維到超越數(shù)，我們將逐漸領(lǐng)會(huì)。

本文為《我們?cè)谒木S空間可以做什么：不用計(jì)算的18堂數(shù)學(xué)課》一書引言。

《我們?cè)谒木S空間可以做什么：不用計(jì)算的18堂數(shù)學(xué)課》，【澳】馬特·帕克/著 李軒/譯，北京聯(lián)合出版公司·后浪2020年7月版。