微積分的力量：世界被一個神秘的數(shù)學(xué)分支徹底改變了

【編者按】

微積分是人類歷史上的偉大思想成就之一，也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域不可或缺的一個重要分支。而我們應(yīng)該知道的事實(shí)是：如果沒有微積分，人類就不可能發(fā)明電視、微波爐、移動電話、GPS、激光視力矯正手術(shù)、孕婦超聲檢查，也不可能發(fā)現(xiàn)冥王星、破解人類基因組、治療艾滋病，以及弄明白如何把5000首歌曲裝進(jìn)口袋里。

在人類文明進(jìn)程中的這些具有里程碑意義的發(fā)明和發(fā)現(xiàn)背后，微積分究竟扮演了什么樣的角色？圍繞曲線之謎、運(yùn)動之謎和變化之謎，畢達(dá)哥拉斯、阿基米德、伽利略、開普勒、牛頓、萊布尼茨、愛因斯坦、薛定諤等如何用微積分的“鑰匙”打開了宇宙奧秘之“鎖”？這些謎題的解決方案又對人類文明的進(jìn)程和我們的日常生活產(chǎn)生了什么樣的深遠(yuǎn)影響？

在《微積分的力量》一書中，應(yīng)用數(shù)學(xué)家斯托加茨用一種“講故事”和“看展覽”的方式講述微積分，“我們不必為了理解微積分的重要性而學(xué)習(xí)如何做運(yùn)算，就像我們不必為了享用美食而學(xué)習(xí)如何做佳肴一樣。”本文摘編自該書引言，由澎湃新聞經(jīng)中信出版集團(tuán)授權(quán)發(fā)布。

沒有微積分，我們就不會擁有手機(jī)、計算機(jī)和微波爐，也不會擁有收音機(jī)、電視、為孕婦做的超聲檢查，以及為迷路的旅行者導(dǎo)航的GPS（全球定位系統(tǒng)）。我們更無法分裂原子、破解人類基因組或者將宇航員送上月球，甚至有可能無緣于《獨(dú)立宣言》。

有一種罕見而有趣的歷史觀點(diǎn)認(rèn)為，世界被一個神秘的數(shù)學(xué)分支徹底改變了。一個最初與形狀相關(guān)的理論，最終又如何重塑了文明？

我們可以從物理學(xué)家理查德·費(fèi)曼的一句妙語中洞見這個問題的答案，這句話是他在與小說家赫爾曼·沃克討論曼哈頓計劃時說的。當(dāng)時沃克正在為他計劃寫作的一部關(guān)于“二戰(zhàn)”的長篇小說做調(diào)研，他去加州理工學(xué)院采訪了參與過原子彈研發(fā)的物理學(xué)家，費(fèi)曼就是其中之一。采訪結(jié)束臨別之際，費(fèi)曼問沃克是否了解微積分。沃克坦承他并不了解，于是費(fèi)曼說道：“你最好學(xué)學(xué)微積分，它是上帝的語言?！?/p>

宇宙是高度數(shù)學(xué)化的，但原因尚無人知曉。這或許是包含我們在內(nèi)的宇宙的唯一可行的存在方式，因?yàn)榉菙?shù)學(xué)化的宇宙無法庇護(hù)能夠提出這個問題的智慧生命。無論如何，一個神秘且不可思議的事實(shí)是，我們的宇宙遵循的自然律最終總能用微積分的語言和微分方程的形式表達(dá)出來。這類方程能描述某個事物在這一刻和在下一刻之間的差異，或者某個事物在這一點(diǎn)和在與該點(diǎn)無限接近的下一個點(diǎn)之間的差異。盡管細(xì)節(jié)會隨著我們探討的具體內(nèi)容而有所不同，但自然律的結(jié)構(gòu)總是相同的。這個令人驚嘆的說法也可以表述為，似乎存在著某種類似宇宙密碼的東西，即一個能讓萬物時時處處不斷變化的操作系統(tǒng)。微積分利用了這種規(guī)則，并將其表述出來。

艾薩克·牛頓是最早瞥見這一宇宙奧秘的人。他發(fā)現(xiàn)行星的軌道、潮汐的韻律和炮彈的彈道都可以用一組微分方程來描述、解釋和預(yù)測。如今，我們把這些方程稱為牛頓運(yùn)動定律和萬有引力定律。自牛頓以來，每當(dāng)有新的宇宙奧秘被揭開，我們就會發(fā)現(xiàn)同樣的模式一直有效。從古老的土、空氣、火和水元素到新近的電子、夸克、黑洞和超弦，宇宙中所有無生命的東西都遵從微分方程的規(guī)則。我敢打賭，這就是費(fèi)曼說“微積分是上帝的語言”時想要表達(dá)的意思。如果有什么東西稱得上宇宙的奧秘，那么非微積分莫屬。

人類在不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)了這種奇怪的語言（先是在幾何學(xué)的隱秘角落里，后來是在宇宙密碼中），然后學(xué)會熟練地運(yùn)用它，并破譯了它的習(xí)語和微妙之處，最終利用它的預(yù)測能力去重構(gòu)世界。

這是本書的中心論點(diǎn)。

如果這個論點(diǎn)是正確的，那么它意味著關(guān)于生命、宇宙和萬物的終極問題的答案并不是42，為此我要向道格拉斯·亞當(dāng)斯和《銀河系漫游指南》的粉絲致歉。但“深思”（《銀河系漫游指南》中的一臺超級計算機(jī)）的解題思路是正確的，因?yàn)橛钪娴膴W秘確實(shí)是一系列數(shù)學(xué)問題。

寫給每個人的微積分讀物

費(fèi)曼的那句妙語“微積分是上帝的語言”，引出了許多深奧的問題。什么是微積分？人類如何斷定它是上帝的語言（或者說，宇宙基于這種語言在運(yùn)轉(zhuǎn)）？什么是微分方程？在牛頓的時代和我們的時代，微分方程為世界帶來了什么？最后，這些故事和觀點(diǎn)如何能被有趣且清楚易懂地傳達(dá)給像赫爾曼·沃克那樣的友善讀者呢，他們勤于思考、充滿好奇心、知識淵博但幾乎沒有學(xué)過高等數(shù)學(xué)？

沃克在他與費(fèi)曼邂逅故事的結(jié)尾部分寫道，他在14年里始終沒有抽出時間學(xué)習(xí)微積分。他的關(guān)于“二戰(zhàn)”的長篇小說從原計劃的一部變成了兩部——《戰(zhàn)爭風(fēng)云》和《戰(zhàn)爭與回憶》，每部都長達(dá)1000頁左右。在完成這兩部小說后，他試圖通過閱讀像《微積分一點(diǎn)通》這樣的書自學(xué)微積分，但效果并不好。他翻閱了幾本教科書，用他自己的話說，就是希望“遇到一本合適的書，它可以幫助像我這樣對數(shù)學(xué)幾乎一竅不通的人。我在青少年時期產(chǎn)生了探尋存在之意義的渴求，大學(xué)期間就只學(xué)習(xí)了文學(xué)與哲學(xué)等人文學(xué)科，所以我并不知道別人口中艱澀、無趣、毫無用處的微積分竟然是上帝的語言”。在發(fā)現(xiàn)自己看不懂教科書之后，他聘請了一位以色列的數(shù)學(xué)家教，希望能跟著他學(xué)點(diǎn)兒微積分，順便提升一下希伯來語口語水平，但這兩個愿望都落空了。最后，絕望的他旁聽了高中的微積分課程，但因?yàn)檫M(jìn)度落后太多，幾個月后他不得不放棄。在他走出教室時，孩子們一起為他鼓掌，他說這就像對一場可憐的表演報以同情的掌聲。

我之所以寫作本書，就是為了讓每個人都能了解關(guān)于微積分的最精彩的思想和故事。我們沒必要采用赫爾曼·沃克的方法去學(xué)習(xí)人類歷史上這個具有里程碑意義的學(xué)科，盡管微積分是人類最具啟迪性的集體成就之一。我們不必為了理解微積分的重要性而學(xué)習(xí)如何做運(yùn)算，就像我們不必為了享用美食而學(xué)習(xí)如何做佳肴一樣。我將借助圖片、隱喻和趣聞逸事等，嘗試解釋我們需要了解的一切。我也會給你們介紹有史以來最精致的一些方程和證明，就像我們在參觀畫廊的時候不會錯過其中的代表作一樣。至于赫爾曼·沃克，在我寫作本書的時候，他已經(jīng)103 歲了。我不知道他有沒有學(xué)會微積分，如果還沒有，這本書就很適合沃克先生。

由微積分主宰的世界

現(xiàn)在你應(yīng)該很清楚，我將從應(yīng)用數(shù)學(xué)家的角度講述微積分的故事和重要性。而數(shù)學(xué)史家則會選擇不同的角度，純粹數(shù)學(xué)家亦然。作為一名應(yīng)用數(shù)學(xué)家，真正吸引我的是我們周圍的現(xiàn)實(shí)世界和我們頭腦中的理想世界之間的相互作用。外界的現(xiàn)象引導(dǎo)著我們提出數(shù)學(xué)問題；反過來，我們的數(shù)學(xué)想象有時也會預(yù)言現(xiàn)實(shí)世界中的事情。當(dāng)這一切真正發(fā)生時，將會產(chǎn)生不可思議的效果。

要想成為一位應(yīng)用數(shù)學(xué)家，既要有外向型思維，又要有廣博的知識。對我們這個領(lǐng)域的人來說，數(shù)學(xué)并不是一個由自我附和的定理和證明構(gòu)成的原始、封閉的世界。我們會欣然接受各種各樣的學(xué)科：哲學(xué)，政治學(xué)，科學(xué)，歷史，醫(yī)學(xué)，等等。所以，我想給大家講述的故事是：由微積分主宰的世界。

這是一種比以往更寬泛的微積分觀，包含了數(shù)學(xué)和相鄰學(xué)科中的許多分支，它們要么是微積分的“表兄弟”，要么是微積分的“副產(chǎn)品”。因?yàn)檫@種“大帳篷”觀是非常規(guī)的，所以我要確保它不會造成任何混淆。比如，我在前文中說過，如果沒有微積分，我們就不會擁有電腦和手機(jī)等，我的意思當(dāng)然不是說微積分本身創(chuàng)造了所有這些奇跡。事實(shí)遠(yuǎn)非如此，科學(xué)和技術(shù)是必不可少的搭檔，或者可以說是這出大戲的主角。我只想說，盡管微積分往往扮演的是配角，但也為塑造我們今天的世界做出了重要貢獻(xiàn)。

以無線通信的發(fā)展史為例。它開始于邁克爾·法拉第和安德烈·瑪麗·安培等科學(xué)家發(fā)現(xiàn)的電磁定律，如果沒有他們的觀察和反復(fù)修正，那些關(guān)于磁體、電流及其不可見力場的重要事實(shí)將仍不為人所知，無線通信的可能性也永遠(yuǎn)無法實(shí)現(xiàn)。所以，實(shí)驗(yàn)物理學(xué)在這里顯然起到了不可或缺的作用。

但是，微積分同樣很重要。19世紀(jì)60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麥克斯韋的蘇格蘭數(shù)學(xué)物理學(xué)家，將電磁場的基本實(shí)驗(yàn)定律改寫為一種可進(jìn)行微積分運(yùn)算的符號形式。經(jīng)過一番變換，他得到了一個毫無意義的方程，顯然有某種東西缺失了。麥克斯韋懷疑安培定律是罪魁禍?zhǔn)?，并嘗試修正它，于是他在自己的方程中加入了一個新項——可以化解矛盾的假想電流，然后又利用微積分做了一番運(yùn)算。這次他得到了一個合理的結(jié)果——一個簡潔的波動方程，它與描述池塘中漣漪擴(kuò)散的方程很像。只不過麥克斯韋方程還預(yù)言了一種新波的存在，這種波是由相互作用的電場和磁場產(chǎn)生的。一個變化的電場會產(chǎn)生一個變化的磁場，一個變化的磁場又會產(chǎn)生一個變化的電場，以此類推，每個場都會引導(dǎo)另一個場向前運(yùn)動，一起以行波的形式向外傳遞能量。當(dāng)麥克斯韋計算這種波的速度時，他發(fā)現(xiàn)它是以光速運(yùn)動的，這絕對是歷史上最令人驚喜的時刻之一。因此，他不僅利用微積分預(yù)測出電磁波的存在，還解開了一個古老的謎題：光的性質(zhì)是什么？他意識到，光就是一種電磁波。

麥克斯韋的電磁波預(yù)測促使海因里希·赫茲在1887年做了一項實(shí)驗(yàn)，從而證明了電磁波的存在。10年后，尼古拉·特斯拉建造了第一個無線電通信系統(tǒng)；又過了5年，伽利爾摩·馬可尼發(fā)送了第一份跨越大西洋的無線電報。接下來，電視、手機(jī)和其他設(shè)備也陸續(xù)出現(xiàn)了。

顯然，微積分不可能獨(dú)立做到這一切。但同樣顯而易見的是，如果沒有微積分，這一切就不會發(fā)生。或者更準(zhǔn)確地說，即時有可能，也要很久之后才會實(shí)現(xiàn)。

微積分不只是一種語言

麥克斯韋的故事展現(xiàn)了一個我們將會反復(fù)看到的主題。人們常說數(shù)學(xué)是科學(xué)的語言，這是非常有道理的。在電磁波的例子中，對麥克斯韋而言，將他在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)的定律轉(zhuǎn)化為用微積分語言表述的方程，這是至關(guān)重要的第一步。

但是，用語言來類比微積分的做法并不全面。微積分和其他數(shù)學(xué)形式一樣，不僅是一種語言，還是一個非常強(qiáng)大的推理系統(tǒng)。依據(jù)某些規(guī)則進(jìn)行各種符號運(yùn)算，微積分可以幫助我們實(shí)現(xiàn)方程之間的轉(zhuǎn)換。這些規(guī)則有扎實(shí)的邏輯根基，盡管看上去我們只是在隨機(jī)變換符號的位置， 但實(shí)際上我們是在構(gòu)建邏輯推理的長鏈。隨機(jī)變換符號的位置是有效的簡化手段，也是構(gòu)建人腦無法處理的復(fù)雜論證過程的簡便方式。

如果我們足夠幸運(yùn)和嫻熟，能以正確的方式進(jìn)行方程變換，就可以揭示這些方程的隱藏含義。對數(shù)學(xué)家來說，這個過程幾乎是易于察覺的，就好像我們在操控著方程，給它們做按摩，竭力讓它們放松下來，最后洞悉它們的秘密。我們希望它們能敞開心扉，跟我們交談。

這個過程離不開創(chuàng)造力，因?yàn)槲覀兺ǔ２磺宄?yīng)該進(jìn)行哪些操作。在麥克斯韋的例子中，他可以選擇的方程變換方式有無數(shù)種，盡管所有方式都合乎邏輯，但其中只有一部分能揭示出科學(xué)真相。因?yàn)辂溈怂鬼f根本不知道自己要尋找什么，除了毫無邏輯的語言（或者符號）之外，他從方程中很可能什么結(jié)果也得不到。但幸運(yùn)的是，這些方程的確含有待揭示的秘密。在適當(dāng)?shù)拇碳は拢鼈儭巴侣冻觥辈▌臃匠獭?/p>

此時，微積分的語言功能再次掌控了主導(dǎo)權(quán)。當(dāng)麥克斯韋將他的抽象符號轉(zhuǎn)換回現(xiàn)實(shí)時，它們做出了預(yù)測：作為一種不可見的行波，電和磁能一起以光速傳播。在接下來的幾十年里，這一發(fā)現(xiàn)改變了世界。

不合理的有效性

微積分竟然能如此出色地模擬大自然，這實(shí)在是太奇怪了，畢竟它們屬于兩個不同的領(lǐng)域。微積分是一個由符號和邏輯構(gòu)成的想象領(lǐng)域， 大自然則是一個由力和現(xiàn)象構(gòu)成的現(xiàn)實(shí)領(lǐng)域。但不知為何，如果從現(xiàn)實(shí)到符號的轉(zhuǎn)換足夠巧妙，微積分的邏輯就可以利用現(xiàn)實(shí)世界的一個真理生成另一個真理，即輸入一個真理，然后輸出另一個真理。我們先要有一個被經(jīng)驗(yàn)證明為真和用符號表述（就像麥克斯韋對電磁定律的改寫一樣）的真理，然后進(jìn)行正確的邏輯操作，最后得出另一個經(jīng)驗(yàn)真理，這個真理有可能是新的，是從沒有人知道的關(guān)于宇宙的事實(shí)（比如電磁波的存在）。就這樣，微積分讓我們放眼未來，預(yù)測未知。正因?yàn)槿绱?，它成了?qiáng)大的科技工具。

但是，為什么宇宙要遵循各種邏輯，甚至包括渺小的人類也能發(fā)現(xiàn)的那種邏輯呢？當(dāng)愛因斯坦寫下“世界的永恒之謎在于它的可理解性”時，讓他驚嘆不已的正是這個問題；當(dāng)尤金·維格納在論文《論數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中的不合理的有效性》中寫下“數(shù)學(xué)語言在表述物理定律方面的適當(dāng)性是一個奇跡，是一份我們既不理解也不配擁有的奇妙禮物”時，他想要表達(dá)的也是這個意思。

這種敬畏感可追溯至數(shù)學(xué)形成時期。相傳公元前550年左右，當(dāng)畢達(dá)哥拉斯及其信徒發(fā)現(xiàn)音樂由整數(shù)比支配時，他就產(chǎn)生了這種感覺。想象一下，你在彈撥一根吉他弦，當(dāng)弦振動時，它會發(fā)出某個音調(diào)?，F(xiàn)在，把你的手指放在恰好位于弦中間的品格上，再撥一次弦。這時弦的振動部分只有最初長度的一半，即1/2，而它發(fā)出的音調(diào)恰好比最初的音調(diào)高八度（指在 do-re-mi-fa-sol-la-ti-do的音階中，從一個do到下一個do的音程）。如果弦的振動部分是最初長度的2/3，那么它發(fā)出的音調(diào)會比最初的音調(diào)高五度（從do到sol的音程，比如《星球大戰(zhàn)》主題曲的前兩個音調(diào)）。如果弦的振動部分是最初長度的3/4，那么它發(fā)出的音調(diào)會比最初的音調(diào)高四度（《婚禮進(jìn)行曲》的前兩個音調(diào)之間的音程）。古希臘音樂家了解八度、四度和五度的旋律概念，并且認(rèn)為它們很美妙。音樂（現(xiàn)實(shí)世界的和諧）與數(shù)字（想象世界的和諧）之間的這種出人意料的聯(lián)系，引領(lǐng)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派形成了“萬物皆數(shù)”的神秘信念。據(jù)說他們始終認(rèn)為，即使是在軌道上運(yùn)行的行星也會演奏音樂——天體之音。

此后，歷史上許多偉大的數(shù)學(xué)家和科學(xué)家都染上了“畢達(dá)哥拉斯熱”。天文學(xué)家約翰尼斯·開普勒尤為嚴(yán)重，物理學(xué)家保羅·狄拉克亦然。我們將會看到，“萬物皆數(shù)”的信念驅(qū)使他們?nèi)ヌ綄?、想象和追求宇宙的和諧，并最終推動他們?nèi)〉昧烁淖兪澜绲陌l(fā)現(xiàn)。

無窮原則

為了幫助你理解我們討論的方向，我先說一下什么是微積分，它想要什么，以及它與其他數(shù)學(xué)學(xué)科的區(qū)別。幸運(yùn)的是，有一個宏大而美麗的理念將貫穿這個話題的始終。一旦我們了解了這個理念，微積分的結(jié)構(gòu)就可以被看作統(tǒng)一主題之下的變體。

遺憾的是，大多數(shù)微積分課程都將這個主題埋藏在大量的公式、步驟和計算技巧之中。仔細(xì)想來，盡管它是微積分文化的一部分，而且?guī)缀趺课粚＜叶贾浪?，但我從未見過它在哪里被闡明。我們不妨把它叫作“無窮原則”，無論是在概念上還是歷史上，它都會像引導(dǎo)微積分本身的發(fā)展那樣指引我們的討論過程。雖然此時此刻它聽起來好像胡言亂語，但通過我們一步步地探索微積分想要什么及其如何實(shí)現(xiàn)所想，理解無窮原則將變得越來越容易。

簡言之，微積分就是想讓復(fù)雜的難題簡單化，它十分癡迷于簡單性。這可能會讓你感到驚訝，因?yàn)槲⒎e分向來以復(fù)雜性著稱。而且，不可否認(rèn)的是，一些權(quán)威的微積分教科書的篇幅都超過1000頁，重得像磚頭一樣。但是，我們不要急著做判斷或下結(jié)論。微積分無法改變自己的樣子，它的龐大笨重是不可避免的。它看起來復(fù)雜，是因?yàn)樗O(shè)法解決復(fù)雜的問題。事實(shí)上，它已經(jīng)處理和解決了人類有史以來面臨的一些最困難和最重要的問題。

微積分成功的方法是，把復(fù)雜的問題分解成多個更簡單的部分。當(dāng)然，這種策略并不是微積分獨(dú)有的。所有善于解決問題的人都知道，當(dāng)難題被分解后，就會變得更容易解決。微積分真正不同凡響和標(biāo)新立異的做法在于，它把這種分而治之的策略發(fā)揮到了極致，也就是無窮的程度。它不是把一個大問題切分成有限的幾小塊，而是無休無止地切分下去，直到這個問題被切分成無窮多個最微小并且可以想象的部分。之后，它會逐一解決所有微小的問題，這些問題通常要比那個龐大的原始問題更容易解決。此時剩下的挑戰(zhàn)就是把所有微小問題的答案重新組合起來，這一步的難度往往會大一些，但至少不會像原始問題那么難。

因此，微積分可分為兩個步驟：切分和重組。用數(shù)學(xué)術(shù)語來說，切分過程總是涉及無限精細(xì)的減法運(yùn)算，用于量化各部分之間的差異，這個部分叫作微分學(xué)。重組過程則總是涉及無限的加法運(yùn)算，將各個部分整合成原來的整體，這個部分叫作積分學(xué)。

這種策略可用于我們能夠想象的做無盡切分的所有事物，這類事物被稱作連續(xù)體，據(jù)說它們是連續(xù)的。比如，正圓的邊緣，懸索橋上的鋼梁，餐桌上逐漸冷卻的一碗湯，飛行中標(biāo)槍的拋物線軌跡，或者你活著的時光。形狀、物體、液體、運(yùn)動和時間間隔等都是微積分的應(yīng)用對象，它們?nèi)炕蛘邘缀醵际沁B續(xù)的。

請注意這個創(chuàng)造性假設(shè)背后的真相。湯和鋼鐵實(shí)際上并不連續(xù)，盡管在日常生活的尺度上它們看起來是連續(xù)的，但在原子或超弦尺度上并非如此。微積分忽略了原子和其他不可切分實(shí)體造成的不便，這不是因?yàn)樗鼈儾淮嬖?，而是因?yàn)榧傺b它們不存在會大有幫助。正如我們將在后文中看到的那樣，微積分偏好有用的虛構(gòu)。

更廣泛地說，被微積分建模為連續(xù)體的實(shí)體類型，包含了我們能想到的幾乎所有東西。微積分可以描述球如何不間斷地滾下斜坡，光束如何在水中連續(xù)地傳播，蜂鳥的翅膀或飛機(jī)機(jī)翼周圍的連續(xù)氣流如何使它們在空中飛行，以及患者開始采取藥物聯(lián)合療法后，他血液中的HIV（人體免疫缺陷病毒）顆粒濃度在接下來的日子里如何持續(xù)下降。在每種情況下，微積分采取的策略都一樣：先把一個復(fù)雜而連續(xù)的問題切分成無窮多個簡單的部分，然后分別求解，最后把結(jié)果組合在一起。

現(xiàn)在，我們終于可以闡明這個偉大的理念了。

無窮原則

為了探究任意一個連續(xù)的形狀、物體、運(yùn)動、過程或現(xiàn)象（不管它看起來有多么狂野和復(fù)雜），把它重新想象成由無窮多個簡單部分組成的事物，分析這些部分，然后把結(jié)果加在一起， 就能理解最初的那個整體。

石巨人與無窮

這一切的難點(diǎn)就在于，我們需要和無窮打交道，這件事說起來容易做起來難。雖然謹(jǐn)慎而有限制地利用無窮是微積分的秘訣和它強(qiáng)大的預(yù)測能力的來源，但無窮也是微積分中最令人頭疼的問題。就像《科學(xué)怪人》中的怪物或者猶太民間傳說中的石巨人一樣，無窮往往會掙脫主人的控制。就像所有表現(xiàn)人類狂妄自大的故事一樣，怪物不可避免地會攻擊創(chuàng)造出它們的人。

微積分的創(chuàng)造者意識到了這種危險，但仍然發(fā)現(xiàn)無窮的魅力不可抗拒。當(dāng)然，它偶爾也會發(fā)狂，帶來悖論、困惑和哲學(xué)災(zāi)難。不過，數(shù)學(xué)家每次都能成功地征服無窮怪物，理順?biāo)男袨椋屗鼗卣?。最終，一切總會變好；微積分給出了正確答案，有時候就連它的創(chuàng)造者也無法解釋其中的原因。駕馭無窮并利用它的力量，這種欲望是一條貫穿微積分的2500年歷史的敘事線索。

由于人們常常把數(shù)學(xué)刻畫成精確和絕對理性的學(xué)科，所以這些關(guān)于欲望和困惑的討論似乎不太恰當(dāng)。數(shù)學(xué)是理性的，但它一開始并非如此。創(chuàng)造力是直覺的產(chǎn)物，而理性則姍姍來遲。相比其他數(shù)學(xué)學(xué)科，在微積分的故事中，邏輯落后于直覺的情況更多。這讓微積分顯得尤其平易近人，那些研究微積分的天才看起來也和常人差不多。

曲線、運(yùn)動和變化

無窮原則圍繞著方法論主題構(gòu)建了微積分的故事。但微積分既與方法論有關(guān)，也與謎題有關(guān)。最重要的是，有三個謎題促進(jìn)了微積分的發(fā)展，它們分別是曲線之謎、運(yùn)動之謎和變化之謎。

圍繞這些謎題的豐碩研究成果，證明了純粹好奇心的價值。關(guān)于曲線、運(yùn)動和變化的謎題乍看上去可能并不重要，甚至還深奧到令人絕望；但因?yàn)樗鼈兩婕柏S富多彩的概念性問題，再加上數(shù)學(xué)與宇宙的結(jié)構(gòu)有著密不可分的聯(lián)系，所以這些謎題的解決方案對文明的進(jìn)程和我們的日常生活產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。我們將在接下來的章節(jié)中看到，無論是在手機(jī)上聽音樂，在超市激光掃描儀的幫助下輕松結(jié)賬走人，還是利用GPS設(shè)備找到回家的路，我們都是在收獲這些研究帶來的好處。

一切都始于曲線之謎。在這里，曲線的含義非常寬泛，指任何形式的曲線、曲面或曲面體，比如橡皮筋、結(jié)婚戒指、漂浮的氣泡、花瓶的輪廓或者一根意大利香腸。為了讓物體盡可能地簡單，早期的幾何學(xué)家通常只專注于探究它們的抽象、理想的曲線形狀，而忽略它們的厚度、粗糙度和織構(gòu)。比如，數(shù)學(xué)中的球面被想象成一張無限薄且光滑的正圓形膜，而不是像椰子殼那樣有厚度、凹凸不平和毛茸茸的形狀。即使在這些理想化的假設(shè)條件下，曲線形狀也會帶來令人困惑的概念性難題，因?yàn)樗鼈儾⒎怯善街钡牟考?gòu)成。三角形和正方形很容易理解，立方體也一樣，它們都是由直線、平面和幾個角連接在一起構(gòu)成的。計算它們的周長、表面積或體積，也不是一件難事。不管是在古巴比倫、古埃及、古代中國和古印度，還是在古希臘和古代日本，全世界的幾何學(xué)家都知道如何解決這些問題。但是，圓形物體則很棘手。沒有人能算出一個球體的表面積或體積有多大，即使是求圓的周長和面積，在古代也是一個難題。人們既不知道該從何處著手，也找不到便于理解的平直部件。總之，所有彎曲的東西都難以捉摸。

微積分就是在這樣的背景下誕生的，它萌生于幾何學(xué)家對圓度的好奇心和挫敗感。圓、球體和其他曲線形狀是他們那個時代的“喜馬拉雅山脈”，這并不是說它們造成了什么重大的實(shí)際問題（至少一開始不是），而是說它們激發(fā)了人類的冒險精神。就像攀登珠穆朗瑪峰的探險家一樣，幾何學(xué)家之所以想解決曲線問題，是因?yàn)樗鼈兙驮谀抢铩?/p>

有些幾何學(xué)家堅持認(rèn)為“曲線事實(shí)上是由平直部件構(gòu)成的”，這種觀點(diǎn)帶來了突破性進(jìn)展。盡管這不是事實(shí)，但我們可以假裝它是真的。那么，唯一的問題就在于，這些部件必須無窮小，而且數(shù)量無窮多。通過這個巧妙的構(gòu)思，積分學(xué)誕生了，這是人們對無窮原則的最早應(yīng)用。我們會用幾個章節(jié)的篇幅來介紹無窮原則的發(fā)展歷程，不過它的本質(zhì)早在萌芽期就簡單直觀地展現(xiàn)出來了：如果我們讓顯微鏡的鏡頭不斷接近圓（或其他任何彎曲且光滑的物體），可觀測到的那部分曲線看上去就會變得平直。所以，通過加總所有平直的小部件來計算我們想要的曲線形狀的相關(guān)信息，至少在原則上是可行的。多個世紀(jì)以來，世界上最偉大的數(shù)學(xué)家都在努力探究這個難題的解決辦法。不過，通過共同的努力（有時還伴有激烈的競爭），他們終于在破解曲線之謎上取得了進(jìn)展。我們將會在第2章中看到，今天與其相關(guān)的副產(chǎn)品包括：電腦動畫電影中用來繪制逼真的人物頭發(fā)、服裝和面部的數(shù)學(xué)工具，以及醫(yī)生在給真正的患者做面部手術(shù)之前，先給虛擬患者做手術(shù)時用到的計算工具。

當(dāng)人們清楚地認(rèn)識到曲線不只是幾何變換的結(jié)果時，對曲線之謎的探索達(dá)到了狂熱的程度。曲線是破解大自然奧秘的鑰匙，它們自然而然地出現(xiàn)在飛行球的拋物線軌跡中，也出現(xiàn)在火星圍繞太陽旋轉(zhuǎn)的橢圓軌道中。此外，在歐洲文藝復(fù)興后期顯微鏡和望遠(yuǎn)鏡蓬勃發(fā)展之時，曲線還出現(xiàn)在可根據(jù)需要彎曲和聚焦光線的凸透鏡中。

于是，人們開始解決第二大謎題，也就是地球上和太陽系中的運(yùn)動之謎。通過觀察和巧妙的實(shí)驗(yàn)，科學(xué)家在最簡單的運(yùn)動物體中發(fā)現(xiàn)了迷人的數(shù)值模式。他們測量了鐘擺的擺動，記錄了球滾下斜坡的加速下降過程，還繪制了行星在天空中的運(yùn)行軌跡。這些模式之所以讓發(fā)現(xiàn)者欣喜若狂（這是真的，當(dāng)約翰尼斯·開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運(yùn)動定律時，他自稱陷入了“神明附體的狂熱”狀態(tài)），是因?yàn)樗鼈兯坪醣砻饕磺卸汲鲎陨系壑?。從更世俗的角度看，這些模式強(qiáng)化了大自然具有深厚的數(shù)學(xué)根基的主張，就像畢達(dá)哥拉斯學(xué)派一直堅稱的那樣。唯一的問題是，沒有人能解釋這些不可思議的新模式，或者至少無法用已有的數(shù)學(xué)知識來解釋它們，即使是當(dāng)時最偉大的數(shù)學(xué)家也無法用算術(shù)和幾何來完成這項任務(wù)。問題在于，運(yùn)動是不穩(wěn)定的。在滾下斜坡的過程中，球的運(yùn)動速度一直在變；在圍繞太陽旋轉(zhuǎn)的過程中，行星的運(yùn)動方向也一直在變。更糟糕的是，當(dāng)靠近太陽時行星的運(yùn)動速度更快，而當(dāng)遠(yuǎn)離太陽時它們的運(yùn)動速度減慢。那時，人們并不知道該如何處理這種以不斷變化的方式不停改變的運(yùn)動。早期的數(shù)學(xué)家已經(jīng)得出了描述最簡單運(yùn)動——勻速運(yùn)動——的數(shù)學(xué)公式，即距離等于速度乘以時間。但是，當(dāng)速度改變而且是持續(xù)不斷地改變時，一切都變得不確定了。事實(shí)證明，運(yùn)動跟曲線一樣，也是一座概念上的珠穆朗瑪峰。

我們將在本書的中間章節(jié)里看到，微積分的下一次重大進(jìn)步源于對運(yùn)動之謎的探索。就像在破解曲線之謎時一樣，無窮原則再次挺身而出。這一次，我們的創(chuàng)造性假設(shè)是，速度不停變化的運(yùn)動是由無窮多個無限短暫的勻速運(yùn)動組成的。為了直觀地說明這句話的意思，想象一下你正坐在一輛由新手司機(jī)駕駛的汽車?yán)?，車速忽快忽慢。你緊張地盯著車速里程表，它的指針隨著汽車的每一次顛簸而上下移動。但在1毫秒（0.001 秒）內(nèi)，即便是駕車技術(shù)最差的人也無法讓車速里程表的指針大幅移動。那么，在比1毫秒短得多的時間間隔（無窮小的時間間隔）內(nèi)， 指針根本不會移動，因?yàn)闆]人能那么快地踩油門。

這些想法共同構(gòu)成了微積分的前半部分——微分學(xué)。它不僅是在研究不斷變化的運(yùn)動時處理無窮小的時間和距離變化所需的理論，也是在解析幾何（主要研究由代數(shù)方程定義的曲線，在17世紀(jì)上半葉風(fēng)靡一時）中處理無窮小的曲線平直部件所需的理論。的確，代數(shù)曾一度令人瘋狂。它的普及對包括幾何學(xué)在內(nèi)的所有數(shù)學(xué)領(lǐng)域來說都是一大福祉，但它也創(chuàng)造出諸多難以駕馭的新曲線，有待人們?nèi)ヌ剿鳌?7世紀(jì)中期，位于微積分舞臺中央的曲線之謎和運(yùn)動之謎相互撞擊，在數(shù)學(xué)界引發(fā)了混亂和困惑。走出喧囂之后，微分學(xué)漸趨成熟，但仍有爭議。有些數(shù)學(xué)家因?yàn)椴萋实乩脽o窮而受到批評，有些數(shù)學(xué)家則嘲笑代數(shù)就是一堆符號的拼接。在這樣的爭吵聲中，微積分的發(fā)展時斷時續(xù)，非常緩慢。

之后，有一個孩子在圣誕節(jié)那天出生了。這個微積分的拯救者年幼時看起來完全不像一個英雄：他是一名早產(chǎn)兒，沒有父親，3歲時又被母親遺棄了。想法消沉的孤寂男孩就這樣長成了沉默寡言、猜疑心重的年輕人，不過，名叫艾薩克·牛頓的他日后會在世界上留下空前絕后的印記。

他先是解決了微積分的“圣杯”問題，發(fā)現(xiàn)了將曲線的各個部件重新組合起來的方法，而且是簡單、快速和系統(tǒng)性的方法。通過把代數(shù)的符號與無窮的力量結(jié)合起來，他找到了一種方法，可以把任何曲線都表示成無窮多條簡單曲線的和。

之后，他破解了宇宙密碼。牛頓發(fā)現(xiàn)，任何類型的運(yùn)動都可以分解為每次移動一個無窮小步，而且每個時刻的變化都遵循用微積分語言表述的數(shù)學(xué)定律。他僅用幾個微分方程（他的運(yùn)動和萬有引力定律），就能解釋包括炮彈的飛行軌跡和行星的運(yùn)行軌道在內(nèi)的所有現(xiàn)象。牛頓的驚人的“世界體系”統(tǒng)一了天和地，掀起了啟蒙運(yùn)動，改變了西方文化，對歐洲的哲學(xué)家和詩人產(chǎn)生了巨大的影響。他甚至影響了托馬斯·杰斐遜和《獨(dú)立宣言》的起草。在我們的時代，當(dāng)NASA（美國國家航空航天局）的非裔美國數(shù)學(xué)家凱瑟琳·約翰遜及其同事（小說和熱門電影《隱藏人物》中的女主人公）設(shè)計宇宙飛船的飛行軌道時，牛頓的思想為她們提供了必要的數(shù)學(xué)計算方法，從而鞏固了太空計劃的基礎(chǔ)。

在破解了曲線之謎和運(yùn)動之謎后，微積分轉(zhuǎn)向了它的第三個由來已久的謎題——變化之謎。永恒不變的唯有改變，盡管這句話是老生常談，但它依然是真理。比如，今天是雨天，明天是晴天；今天股票市場上漲，明天股票市場下跌。受到牛頓范式的鼓勵，后來的微積分研究者提出了一些問題：是否存在類似于牛頓運(yùn)動定律的變化規(guī)律？有沒有適用于人口增長、流行病傳播和動脈中血液流動的定律？微積分可用于描述電信號沿神經(jīng)纖維傳導(dǎo)的方式，或者預(yù)測公路上的交通流量嗎？

在執(zhí)行這項宏大計劃的過程中，微積分一直在與其他科技領(lǐng)域合作，為實(shí)現(xiàn)世界的現(xiàn)代化做出了貢獻(xiàn)。通過觀察和實(shí)驗(yàn)，科學(xué)家得出了變化定律，然后利用微積分求解并做出預(yù)測。比如，1917年，阿爾伯特·愛因斯坦將微積分應(yīng)用于一個簡單的原子躍遷模型，從而預(yù)測出一種被稱為受激發(fā)射的神奇效應(yīng)。他對這種效應(yīng)進(jìn)行了理論闡述：在某些情況下，穿過物質(zhì)的光能激發(fā)出更多波長相同和傳播方向相同的光，并通過一種連鎖反應(yīng)產(chǎn)生大量的光，形成強(qiáng)烈的相干光束。幾十年后，這個預(yù)測被證明是正確的。第一臺可運(yùn)行的激光器在20世紀(jì)60年代初建成，從那時起，光盤播放機(jī)、激光制導(dǎo)武器、超市的條形碼掃描儀和醫(yī)用激光器等設(shè)備都離不開激光。

變化定律在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域并不像在物理學(xué)領(lǐng)域那樣為人熟知。然而，即便被應(yīng)用于基本模型，微積分也能對挽救生命做出貢獻(xiàn)。比如，我們在第8章會看到一個由免疫學(xué)家和艾滋病研究者建立的微分方程模型，在針對HIV感染者的現(xiàn)代三聯(lián)療法的形成過程中起到了什么作用。這個模型提供的見解推翻了“病毒在人體內(nèi)處于休眠狀態(tài)”的主流觀點(diǎn)；事實(shí)上，病毒每時每刻都在與人體免疫系統(tǒng)進(jìn)行著激烈的戰(zhàn)斗。在微積分提供的這種新認(rèn)識的幫助下，至少對那些有機(jī)會采取聯(lián)合療法的人來說，HIV感染已經(jīng)從幾乎被判了死刑的疾病轉(zhuǎn)變?yōu)榭煽刂频穆约膊　?/p>

不可否認(rèn)的是，我們身處一個不斷變化的世界之中，它的某些方面超出了無窮原則固有的近似性和出自主觀愿望的想法。比如，在亞原子領(lǐng)域，物理學(xué)家不能再把電子想象成像行星或炮彈那樣沿光滑路徑運(yùn)動的經(jīng)典粒子。根據(jù)量子力學(xué)，在微觀尺度上，電子的運(yùn)動軌跡會發(fā)生抖動，變得模糊不清和難以確定，所以我們需要將電子的行為描述成概率波，它不再遵循牛頓運(yùn)動定律。然而，在我們做了這樣的處理后，微積分又一次勝利歸來，它通過薛定諤方程描述了概率波的演化過程。

盡管這令人難以置信，但它卻是事實(shí)：即使在牛頓的物理學(xué)行不通的亞原子領(lǐng)域，他的微積分也依然有效。事實(shí)上，它的表現(xiàn)相當(dāng)出色。我們將在后文中看到，微積分與量子力學(xué)共同預(yù)測出醫(yī)學(xué)成像的顯著效果，為MRI（磁共振成像）、CT（計算機(jī)斷層成像）掃描和更加神奇的PET（正電子發(fā)射斷層成像）奠定了基礎(chǔ)。

現(xiàn)在是時候去更深入地了解宇宙的語言了，當(dāng)然，我們這趟旅程的起點(diǎn)是“無窮”站。

《微積分的力量》，[美]史蒂夫·斯托加茨著，任燁譯，鸚鵡螺·中信出版集團(tuán)2021年1月。