一對(duì)數(shù)學(xué)精靈
一八二六年秋天,二十四歲的挪威青年尼爾斯·亨利克·阿貝爾(Niels Henrik Abel)來(lái)到巴黎,此時(shí)的他已經(jīng)取得非凡的數(shù)學(xué)成就,包括證明五次和五次以上方程沒(méi)有一般根式解,正在等待法蘭西科學(xué)院大咖們的賞識(shí)和肯定。在離阿貝爾住處幾公里遠(yuǎn)的路易學(xué)校,十五歲的法國(guó)少年埃瓦里斯特·伽羅瓦(évariste Galois)卻遇到麻煩,在進(jìn)入該校的第四個(gè)年頭,他的修辭課大大退步(可能沒(méi)過(guò)及格線),他留級(jí)了。
在此期間,伽羅瓦的一位同學(xué)為他畫了一幅素描,那是我們今天見到的伽羅瓦像。在任何一部數(shù)學(xué)史中,我們都會(huì)看見,十五歲的迷惘少年與那些睿智老成的數(shù)學(xué)家(如笛卡爾、牛頓、萊布尼茨、歐拉等)并列在一起。有趣的是,也是在巴黎,阿貝爾遇見一位同胞畫家,他為阿貝爾畫了唯一的肖像畫。阿貝爾和伽羅瓦都有著微卷的頭發(fā)、清澈而略帶憂郁的眼睛,真是一對(duì)神奇的精靈。
阿貝爾和伽羅瓦
因?yàn)榱艏?jí),伽羅瓦遇到了見習(xí)數(shù)學(xué)老師維納。維納向同學(xué)們推薦了勒讓德的《幾何原理》,比起赫赫有名的歐幾里得《幾何原本》,這本一七九四年版的數(shù)學(xué)著作更容易讀懂。據(jù)說(shuō)如饑似渴的伽羅瓦只用兩天就讀完此書,而它原本是足足兩年課程的教材。值得一提的是,德意志數(shù)學(xué)天才黎曼恰好在那年出生,他在中學(xué)期間也只用六天時(shí)間讀完了勒讓德的另一部巨著《數(shù)論》。
伽羅瓦被數(shù)學(xué)迷住了,他貪婪地閱讀原始著作和文獻(xiàn),就像如今的小朋友癡迷于哈利·波特系列故事,伽羅瓦完全沉浸于不久以前逝去的數(shù)學(xué)家拉格朗日的著作。面對(duì)此情此景,修辭老師無(wú)奈地說(shuō),“在伽羅瓦的作業(yè)里除了奇怪的幻想和粗心大意以外一無(wú)是處”,“他已經(jīng)沉迷于數(shù)學(xué)的激動(dòng)中……對(duì)其他事物視若無(wú)睹……如果他的父母只允許他研究數(shù)學(xué),我認(rèn)為那對(duì)他來(lái)說(shuō)是最好的”。
兩年以后,伽羅瓦參加了巴黎綜合理工學(xué)校入學(xué)考試,結(jié)果名落孫山,自然是因?yàn)椤霸谀硞€(gè)領(lǐng)域知識(shí)太多,而其他領(lǐng)域知識(shí)太少”。他只好在路易學(xué)校再讀一年,幸運(yùn)的是,他進(jìn)了理查德的數(shù)學(xué)專門班。理查德發(fā)現(xiàn)這位學(xué)生的數(shù)學(xué)天賦遠(yuǎn)超其他同學(xué),就給了他一等獎(jiǎng)學(xué)金。老師保留了他所有課堂筆記本,正如母親和姐姐保留了他少年時(shí)代所有畫作,他們都認(rèn)定伽羅瓦是天才。
無(wú)獨(dú)有偶。當(dāng)阿貝爾十三歲那年離開故鄉(xiāng),進(jìn)入挪威首都奧斯陸(當(dāng)時(shí)叫克里斯蒂安尼亞)一所教會(huì)學(xué)校時(shí),也曾遭遇一些挫折??墒遣痪?,他遇到一位叫霍爾姆伯的數(shù)學(xué)老師?;魻柲凡浅P蕾p阿貝爾,成了阿貝爾的啟蒙老師和第一個(gè)伯樂(lè)?;魻柲凡倘琊囁瓶实陌⒇悹枌W(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué),鼓勵(lì)他閱讀瑞士數(shù)學(xué)家歐拉、德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯、法國(guó)數(shù)學(xué)家拉格朗日和泊松的著作。
一八二一年,十九歲的阿貝爾幸運(yùn)地進(jìn)入新成立的挪威第一所大學(xué)—皇家弗雷德里克大學(xué)(后易名奧斯陸大學(xué))。更幸運(yùn)的是,有三位教授愿意為聰明好學(xué)、家境貧困的阿貝爾解囊相助,其中一位教授允許阿貝爾隨意出入自己的家。另一位教授則資助他第一次離開挪威,去哥本哈根旅行。五年以后,阿貝爾又獲得挪威政府的旅行獎(jiǎng)學(xué)金,經(jīng)過(guò)柏林來(lái)到了巴黎。
三次和四次方程
說(shuō)到五次方程求解的意義,我們要從古希臘說(shuō)起。在古希臘,幾何學(xué)曾是數(shù)學(xué)的代名詞。柏拉圖學(xué)園的入口處寫著,“不懂幾何學(xué)的請(qǐng)勿入內(nèi)”。而數(shù)學(xué)就像畢達(dá)哥拉斯定義的單詞詞根,指一切可以學(xué)到的知識(shí),那更多的是一種哲學(xué)含義。究其原因,幾何學(xué)可以通過(guò)圖像,而不怎么需要文字和符號(hào)來(lái)推理表達(dá),因此更容易自由發(fā)展,這也是歐幾里得幾何學(xué)得以率先誕生的原因。
對(duì)于一次和二次方程,因?yàn)楸容^簡(jiǎn)單,在沒(méi)有方便的符號(hào)體系下,包括“四大文明”在內(nèi)的古老文明都能自己找到解答,甚至知道利用根式給出的表達(dá)方法。只不過(guò),有的民族只取正值解,有的民族(二次方程)只取一個(gè)解或?qū)崝?shù)解。而要說(shuō)到一般的代數(shù)方程和它的求解,首先要提到丟番圖,他是古希臘最后一位數(shù)學(xué)大家,生活在公元三世紀(jì)的亞歷山大。
丟番圖最重要的著作是《算術(shù)》,這是一部劃時(shí)代的數(shù)學(xué)名著。共有十三卷,但很長(zhǎng)時(shí)間人們只見到其中的六卷希臘文本。直到一九七三年,才在伊朗馬什哈德發(fā)現(xiàn)四卷阿拉伯文譯本。這十卷書中共有二百九十個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,大多數(shù)是數(shù)論問(wèn)題,其中希臘文本中的第二卷第八題是有關(guān)畢達(dá)哥拉斯數(shù)組。十七世紀(jì)《算術(shù)》拉丁文譯本出版以后,引起了法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬的興趣,演變成赫赫有名的費(fèi)馬大定理。除數(shù)論問(wèn)題以外,《算術(shù)》還涉及一些代數(shù)問(wèn)題和思想。但它不像之前的代數(shù)問(wèn)題那樣披著幾何的外衣,而是還原代數(shù)本身的模樣。對(duì)于一次方程,丟番圖采用“移項(xiàng)”和“合并同類項(xiàng)”等技巧,這與我們現(xiàn)在的解題思路是一致的。對(duì)于二次方程,雖說(shuō)丟番圖已懂得負(fù)數(shù)的運(yùn)算法則,但只滿足于尋找正有理數(shù)解,且如果有兩個(gè)正根時(shí),他只取較大的那個(gè)。
更有價(jià)值的是,丟番圖比較系統(tǒng)地提出了代數(shù)符號(hào)概念。例如,他用希臘字母的前幾個(gè)α、β、γ表示數(shù)字1、2、3,而用其他字母表示未知數(shù)不同的冪次。他采用速記的形式來(lái)表達(dá)高次方程,這樣的表達(dá)可以稱之為速記代數(shù)。十六世紀(jì)以前的歐洲,用一套符號(hào)使得書寫更為方便、簡(jiǎn)潔的只有丟番圖一人??梢哉f(shuō),丟番圖使得代數(shù)從幾何形式中解脫出來(lái),成為數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支。
值得一提的是,古代中國(guó)尤其是宋元時(shí)期的數(shù)學(xué)取得了輝煌的成就。南宋秦九韶發(fā)明了用迭代法求高次方程近似解(正根)的“正負(fù)開方術(shù)”,被現(xiàn)代人稱為秦九韶算法。元代李冶發(fā)明“天元術(shù)”,用特定漢字表示未知數(shù),打破了以《九章算術(shù)》為代表的“文辭代數(shù)”。稍后朱世杰發(fā)明“四元術(shù)”,將其推廣到四個(gè)未知數(shù)的情形。他們的工作堪稱“半符號(hào)代數(shù)”。
在印度,七世紀(jì)的數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多首先得到了0的運(yùn)算法則,他給出了二次方程的求根公式,允許系數(shù)可正可負(fù),他還用數(shù)上方加點(diǎn)的方式來(lái)表示負(fù)數(shù),用不同的顏色首字母表示不同的未知數(shù),效果與字母表達(dá)的方程十分接近。到了十二世紀(jì),婆什伽羅給出的二次方程求根公式與現(xiàn)代的如出一轍,他還討論了個(gè)別的三次方程和雙二次方程。
阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子密生活在九世紀(jì),他對(duì)二次方程做了全面系統(tǒng)的討論。更重要的是,他的著作《代數(shù)學(xué)》在一一四〇年被譯成拉丁文出版后,在歐洲被用作標(biāo)準(zhǔn)的教科書長(zhǎng)達(dá)數(shù)個(gè)世紀(jì),代數(shù)學(xué)(Algebra)因此書而得名,他本人的名字則成為“算法”(Algorithm)。與丟番圖一樣,花拉子密也享有“代數(shù)學(xué)之父”的美名。
時(shí)光到了十六世紀(jì),在亞平寧半島,三次方程和四次方程的求解即將取得里程碑式的進(jìn)展。在此之前,在哥倫布到達(dá)美洲兩年之后的一四九四年,他的意大利同胞數(shù)學(xué)家帕喬利在一部百科全書式的數(shù)學(xué)巨著最后以悲觀的語(yǔ)調(diào)寫道,“對(duì)于三次和四次方程,直到現(xiàn)在還不可能形成一般規(guī)則”。他還認(rèn)定,那無(wú)疑與古希臘遺留下來(lái)的化圓為方問(wèn)題一樣困難。
或許,正是為了挑戰(zhàn)帕喬利的悲觀論調(diào),他的同胞數(shù)學(xué)家們接連取得了突破性的進(jìn)展。先是歐洲最古老的博洛尼亞大學(xué)數(shù)學(xué)教授費(fèi)羅解出了缺項(xiàng)的三次方程x3+mx=n(系數(shù)為正),接著,自學(xué)成才的塔爾塔利亞(意思是口吃者,起因于入侵法國(guó)士兵的砍刀)不僅也能解上述三次方程,同時(shí)他還會(huì)解方程x3+mx2=n(要求系數(shù)為正)。
一五三五年,在費(fèi)羅去世九年后,他的徒弟菲爾奧與塔爾塔利亞有過(guò)一場(chǎng)公開的數(shù)學(xué)競(jìng)賽。這是那個(gè)時(shí)代數(shù)學(xué)家的傳統(tǒng),他們相互出同樣數(shù)量的題目(方程),然后在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)交卷,結(jié)果當(dāng)然塔爾塔利亞大獲全勝。借這個(gè)東風(fēng),塔爾塔利亞后來(lái)完全解決了三次方程的求解問(wèn)題,即與二次方程的求解一樣,通過(guò)根式來(lái)表達(dá)。
這場(chǎng)競(jìng)賽引起了米蘭醫(yī)生卡爾達(dá)諾的注意,他本是醫(yī)術(shù)高超的名醫(yī),卻嗜賭成性,家庭也遭遇不幸,妻子早逝,長(zhǎng)子殺妻被處絞刑,幼子偷竊進(jìn)了牢房。數(shù)學(xué)是卡爾達(dá)諾最大的安慰,他寫過(guò)一本研究概率的書,后來(lái)被解方程問(wèn)題給迷住了??栠_(dá)諾邀請(qǐng)塔爾塔利亞去米蘭,好酒好肉招待三天之后,在保證不外傳情況下,后者以詩(shī)歌的形式向他透露解三次方程的秘籍。
古希臘的畢達(dá)哥拉斯定理也是以詩(shī)歌的語(yǔ)言敘述的。塔爾塔利亞告知的解法是費(fèi)羅已掌握的那類三次方程??栠_(dá)諾經(jīng)過(guò)鉆研,把其他形式的三次方程也解了出來(lái)。協(xié)助卡爾達(dá)諾的是他的助理費(fèi)拉里。費(fèi)拉里十分聰明,緊接著他把四次方程的解也求出來(lái)了,即對(duì)一般的四次方程,他都可以通過(guò)轉(zhuǎn)化變?yōu)槿畏匠?,從而給出根式的一般解答。
一五四五年,卡爾達(dá)諾到博洛尼亞造訪了費(fèi)羅的學(xué)生兼女婿納夫,看到費(fèi)羅手稿上早就有塔爾塔利亞透露給他的解法之后,便在當(dāng)年出版了《大術(shù)》一書,將三次方程和四次方程的解法公之于眾,其中提到了費(fèi)羅、塔爾塔利亞和費(fèi)拉里等人的工作。這部書轟動(dòng)了歐洲數(shù)學(xué)界,卡爾達(dá)諾也成為響當(dāng)當(dāng)?shù)娜宋铩km然書中提及塔爾塔利亞的貢獻(xiàn),但后者對(duì)于卡爾達(dá)諾的背信棄義仍十分惱火。
塔爾塔利亞不僅公開指責(zé)卡爾達(dá)諾,而且要求與他直接競(jìng)賽較量,仿佛為名譽(yù)或愛情而戰(zhàn)的一場(chǎng)決斗。對(duì)此正處于喪妻之痛的卡爾達(dá)諾保持了沉默,起身迎戰(zhàn)的是年輕的費(fèi)拉里。結(jié)果在米蘭客場(chǎng)作戰(zhàn)的塔爾塔利亞因不太會(huì)解四次方程,未等裁決結(jié)果出來(lái)便離開了,后來(lái)郁郁寡歡抱恨而終。名聲大振并出任博洛尼亞大學(xué)教授的費(fèi)拉里也樂(lè)極生悲,據(jù)說(shuō)他最后是被貪財(cái)?shù)慕憬阌门舅赖摹?/p>
阿貝爾定理
三次和四次方程求解問(wèn)題解決以后,五次方程自然擺在所有數(shù)學(xué)家面前。而自從一五四五年卡爾達(dá)諾出版《大術(shù)》,到阿貝爾上大學(xué),時(shí)光已流逝了近三個(gè)世紀(jì),這個(gè)棘手的問(wèn)題依然存在。這期間,法國(guó)人韋達(dá)早已在一五九一年研究出二次方程根與系數(shù)關(guān)系的韋達(dá)定理,這個(gè)定理后來(lái)被荷蘭數(shù)學(xué)家吉拉德推廣到一般n次方程的情形。
不僅如此,韋達(dá)還把代數(shù)問(wèn)題符號(hào)化,他用輔音字母表示已知數(shù),元音字母表示未知數(shù)。遺憾的是,這種方法不容易區(qū)分已知數(shù)和未知數(shù)。后來(lái),韋達(dá)的同胞笛卡兒建議,用最前面的字母a、b、c等表示已知數(shù),用最后面的字母x、y、z等表示未知數(shù)。這樣的表示法一目了然,逐漸地被推廣到全世界并沿用至今。
代數(shù)方程的理論問(wèn)題則要等到十八世紀(jì)末,由德國(guó)數(shù)學(xué)王子高斯來(lái)完成。一七九九年,二十二歲的高斯在其博士論文中首次嚴(yán)格證明了:任何實(shí)系數(shù)的n次方程至少有一個(gè)復(fù)根。由此人們不難推出,n次方程有n個(gè)復(fù)根。一八四九年,在慶祝取得博士學(xué)位五十周年之際,高斯給出了上述定理的第四個(gè)證明,他證明了:任何復(fù)系數(shù)的n次方程都至少有一個(gè)復(fù)根。這個(gè)定理被稱為代數(shù)基本定理。
現(xiàn)在,我們要說(shuō)說(shuō)阿貝爾的工作了。在中學(xué)最后一年,他雄心勃勃地試圖解決一般五次方程的根式求解問(wèn)題。不久他找到了求解公式,他的老師霍爾姆伯看不出證明的破綻。于是,這篇文章便寄給了一位丹麥數(shù)學(xué)家,那位數(shù)學(xué)家也沒(méi)看出毛病,卻謹(jǐn)慎地建議他再舉例說(shuō)明。斟酌之下,阿貝爾終于發(fā)現(xiàn)論證本身存在漏洞。
其實(shí),拉格朗日在五次方程求解問(wèn)題上也栽過(guò)跟頭。他后來(lái)認(rèn)識(shí)到,用類似三次和四次方程求解的方法去導(dǎo)出五次方程的解是不可能的。比拉格朗日晚一輩的意大利數(shù)學(xué)家魯菲尼對(duì)這個(gè)問(wèn)題也進(jìn)行了一番努力,他寫成了一篇五百多頁(yè)的論文,證明一般五次方程不能通過(guò)一個(gè)公式求解。然而,他的證明既冗長(zhǎng)又有漏洞,并未被人們接受,同時(shí)也鮮為人知。
上大學(xué)以后,阿貝爾也開始往相反方向使力。終于在一八二四年,他成功地證明了五次或五次以上的方程不存在一般根式解??墒牵廊粵](méi)有人可以驗(yàn)證他的證明。翌年,在教授們的幫助下,他獲得挪威政府的旅行獎(jiǎng)學(xué)金,準(zhǔn)備去拜訪西歐國(guó)家一些知名數(shù)學(xué)家??墒牵⒇悹栔皇窃诎亓钟龅揭晃粯I(yè)余數(shù)學(xué)愛好者兼出版家克萊爾,他是繼霍爾姆伯之后第二個(gè)對(duì)他的事業(yè)有較大幫助的人。
克萊爾與霍爾姆伯都相信,阿貝爾是了不起的數(shù)學(xué)家??巳R爾在一八二六年創(chuàng)辦了一本叫《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》的期刊,首卷即發(fā)表了阿貝爾的七篇論文,其中包括《四次以上方程的不可解證明》。在前三卷里,居然連續(xù)發(fā)表了阿貝爾的二十二篇論文,內(nèi)容涉及面很廣,包含方程論、無(wú)窮級(jí)數(shù)、橢圓函數(shù)論等??墒牵@本如今德國(guó)最重要的數(shù)學(xué)雜志在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有什么影響力。
在巴黎,那時(shí)和現(xiàn)在一樣,每到夏天大多數(shù)人都到海濱避暑去了。阿貝爾潛心于數(shù)學(xué)問(wèn)題,完成了一篇關(guān)于超越函數(shù)的論文,遞交給法國(guó)數(shù)學(xué)界的元老勒讓德和權(quán)威柯西審閱,卻被忽視了。橢圓函數(shù)是復(fù)分析理論中非常重要的一種雙周期亞純函數(shù),由阿貝爾首先定義,他把它看作橢圓積分的反函數(shù)。如今橢圓函數(shù)在數(shù)論和物理學(xué)中都有著廣泛的應(yīng)用,與橢圓曲線和模形式也有著深刻的聯(lián)系。
后來(lái),比阿貝爾小兩歲的德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比稱贊阿貝爾的這篇論文“也許是這個(gè)世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)”。多年以后,年輕一代的法國(guó)數(shù)學(xué)家埃爾米特仍然贊嘆,這篇論文里“留下來(lái)的東西足夠讓數(shù)學(xué)家們忙碌五百年”。一八三〇年,為了彌補(bǔ)以往的過(guò)失,法國(guó)科學(xué)院同時(shí)授予阿貝爾和雅可比數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)。遺憾的是,前一年阿貝爾已經(jīng)病逝。
再來(lái)說(shuō)說(shuō)讓阿貝爾獲得信心和旅行獎(jiǎng)學(xué)金的那篇有關(guān)高于四次的方程不可解性的論文,在他出發(fā)旅行之前,便在奧斯陸印刷了好多份??墒牵瑸榱斯?jié)省費(fèi)用,阿貝爾把論文壓縮成只有六頁(yè)的篇幅。這樣一來(lái),對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō),即便是數(shù)學(xué)同行,也幾乎像密碼一樣晦澀難讀了。其結(jié)果是,原先阿貝爾希望作為“名片”或敲門磚的論文沒(méi)有起到任何效果。
《數(shù)學(xué)傳奇:那些難以企及的人物》
高斯在哥廷根自然也收到一份,但他恐怕不會(huì)相信,這么一個(gè)世界性難題被一個(gè)名不見經(jīng)傳的來(lái)自偏遠(yuǎn)地區(qū)的年輕人用這么幾頁(yè)紙給解決了。高斯并沒(méi)有把它扔進(jìn)廢紙簍,而是夾在一疊紙或某兩本書之間。高斯去世以后,有人在整理他的遺物時(shí)發(fā)現(xiàn),內(nèi)置阿貝爾論文的信封并沒(méi)有被裁開。在這一不幸事件中,蒙受損失的不僅是阿貝爾,也包括整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科。
阿貝爾證明了高于四次的方程沒(méi)有一般的根式解的關(guān)鍵在于,他修正了魯菲尼證明中的一個(gè)缺陷,盡管他并不知曉后者的工作。阿貝爾證明的是如今被稱為阿貝爾定理的命題:如果一個(gè)方程能用根式求解,那么出現(xiàn)在根的表達(dá)式中的每個(gè)根式,一定可以表示成該方程的根和某些單位根的有理函數(shù)。正是利用這個(gè)定理,阿貝爾證明了五次或五次以上的方程沒(méi)有一般的根式解。
另一方面,阿貝爾并未否定對(duì)某些特殊的高次方程來(lái)說(shuō)存在根式解的可能性。事實(shí)上,早在一八〇一年出版的《算術(shù)研究》里,高斯已經(jīng)證明,分圓方程xp-1=0(p為素?cái)?shù))可以根式求解。阿貝爾也考慮了一類能用根式求解的特殊方程,現(xiàn)在這類方程被稱為阿貝爾方程。尤其是,他引進(jìn)了兩個(gè)十分重要的概念—“域”和“不可約多項(xiàng)式”。遺憾的是,因?yàn)樵缡?,他沒(méi)有完全解決方程的求解問(wèn)題,這項(xiàng)工作要留待伽羅瓦來(lái)完成。
一八二七年,阿貝爾萬(wàn)分無(wú)奈地返回祖國(guó)。之后他的生活變得更為艱難,沒(méi)有固定的工作和收入,只能以私人授課維持生計(jì)。翌年,他在一所大學(xué)找到代課教師職位,可是不久,他的身體卻垮了,他得了肺結(jié)核(一說(shuō)他在巴黎時(shí)已患上),這在那個(gè)年代是不治之癥(黎曼患的也是同一種疾?。R话硕拍晁脑铝?,不滿二十七周歲的阿貝爾走完了他短暫的一生。
令人欣慰的是,阿貝爾生前體驗(yàn)過(guò)愛的滋味。一八二三年,即阿貝爾證明高于四次的方程不可解的頭一個(gè)夏天,他在一位教授的資助下,去哥本哈根過(guò)暑假,在那里見到了幾位著名數(shù)學(xué)家。在哥本哈根,他遇見了同胞克里斯汀,那是在她叔叔家的舞會(huì)上。當(dāng)樂(lè)隊(duì)演奏起華爾茲時(shí),兩人尷尬地站在那里,他們對(duì)這一新舞曲不甚了解,于是一起悄悄地離開。
第二年圣誕節(jié)過(guò)后,阿貝爾向他的同學(xué)和老師們宣布他訂婚了。但阿貝爾尚且不能養(yǎng)活自己,更無(wú)力迎娶克里斯汀。一八二八年圣誕節(jié),他乘雪橇回去看望未婚妻,途中病情加重;雖然暫時(shí)的好轉(zhuǎn)讓他們一起享受了假期,但他最終沒(méi)有熬過(guò)那年春天。
克里斯汀
就在阿貝爾去世后的第三天,克萊爾的一封信到達(dá)挪威。原來(lái)克萊爾一直在柏林為阿貝爾找工作,最終成功地讓他獲得柏林大學(xué)的教授職位。但是,這個(gè)好消息來(lái)得太晚了。此外,四位法國(guó)科學(xué)院院士也曾聯(lián)袂給瑞典-挪威國(guó)王寫信,希望他重視阿貝爾這位天才。除了證明高于四次的方程不存在根式解以外,阿貝爾還是橢圓函數(shù)論的奠基人之一,他為無(wú)窮級(jí)數(shù)理論奠定了嚴(yán)密的基礎(chǔ),同時(shí)求解出了第一個(gè)積分方程。
伽羅瓦理論
一八二七年春天,就在阿貝爾去世前五天,還是中學(xué)生的伽羅瓦發(fā)表了第一篇論文,那是一篇有關(guān)連分?jǐn)?shù)的論文,但他并不滿足于此。與阿貝爾一樣,伽羅瓦起初也把目標(biāo)對(duì)準(zhǔn)五次和五次以上方程的可解性問(wèn)題,他著力于尋找這類方程的一般根式解,以求一鳴驚人。可是后來(lái),他也轉(zhuǎn)移了目標(biāo)。
為了研究方程的可解性問(wèn)題,伽羅瓦發(fā)明了“群”的概念,進(jìn)而他建立起一門新的數(shù)學(xué)分支,現(xiàn)在人們稱這套方法為伽羅瓦理論。所謂群,是由一些元素組成的,記為G(group)。這些元素之間存在一種運(yùn)算×,它滿足四條性質(zhì):封閉性,a和b屬于G,則a×b也屬于G;結(jié)合律,a、b、c屬于G,則(a×b)×c=a×(b×c);存在單位元1屬于G,即對(duì)任意a屬于G,滿足1×a=a×1=a;對(duì)任何a屬于G,存在逆元素b,a×b=b×a=1。
如同高斯所證明的,每個(gè)n次復(fù)系數(shù)方程有n個(gè)復(fù)根。依照排列組合原理,n個(gè)根有n階乘(n!)個(gè)置換,它們?cè)诔朔ㄒ饬x上構(gòu)成置換群Sn。例如,三次方程的三個(gè)根x1、x2、x3組成的置換群S3共有6個(gè)元素,如果用下標(biāo)表示的話便是(1),(12),(13),(23),(123)和(132),其中(1)表示恒等置換,(12)表示x1和x2互換,而(123)表示x1、x2、x3輪換。
按照拉格朗日定理,對(duì)有限群來(lái)說(shuō),子群的階數(shù)(元素個(gè)數(shù))必整除群的階數(shù),兩者相除所得的整數(shù)叫指數(shù)。伽羅瓦定義了正規(guī)子群,它是一種性質(zhì)較好的子群。例如,(1)(123)(132)組成的子群H是正規(guī)子群,階數(shù)最高的正規(guī)子群稱為最大正規(guī)子群。對(duì)于方程的可解性判斷來(lái)說(shuō),伽羅瓦理論的精妙之處在于:n次方程根式可解當(dāng)且僅當(dāng)它的置換群Sn的最大正規(guī)子群系列之間的指數(shù)均為素?cái)?shù)。
例如,S3的最大正規(guī)子群系列為S3、H、單位元群,其指數(shù)6/3=2,3/1=3,均為素?cái)?shù),故根式可解。而對(duì)于S4來(lái)說(shuō),它有24個(gè)元素,其最大正規(guī)子群G4有12個(gè)元素,G4的最大正規(guī)子群G3有4個(gè)元素,G3的最大正規(guī)子群G2有2個(gè)元素,最大正規(guī)子群系列的指數(shù)分別為24/12=2,12/4=3,4/2=2,2/1=2,均為素?cái)?shù),故也根式可解。
當(dāng)n>4時(shí),Sn的最大正規(guī)子群An共有n!/2個(gè)元素,而An的正規(guī)子群只有單位元群,因此其最大正規(guī)子群系列的指數(shù)為2和n!/2,后者當(dāng)n>4是必不為素?cái)?shù)。依據(jù)伽羅瓦理論,方程沒(méi)有一般根式解。多么美妙簡(jiǎn)潔的判斷和證明!這是十八歲的伽羅瓦的獨(dú)立發(fā)現(xiàn)。它先是由理查德帶給柯西,爾后又以《一個(gè)方程可以通過(guò)開方解出的條件》為題,遞交給法蘭西科學(xué)院,參與那年的數(shù)學(xué)大獎(jiǎng)賽。
遺憾的是,法國(guó)數(shù)學(xué)的執(zhí)牛耳者柯西忽視了伽羅瓦的論文(此時(shí)勒讓德已老態(tài)龍鐘),科學(xué)院秘書傅里葉又突然逝去,遺失了伽羅瓦的論文。如前所說(shuō),最后大獎(jiǎng)?lì)C給了德國(guó)數(shù)學(xué)家雅可比和已經(jīng)去世的阿貝爾。說(shuō)到柯西,他是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一,以他名字命名的定理遍布高等數(shù)學(xué)教程,而傅里葉發(fā)明的三角級(jí)數(shù)理論是應(yīng)用數(shù)學(xué)最強(qiáng)有力的工具之一。
說(shuō)到伽羅瓦理論,那是一種更一般的理論形式,這要依賴阿貝爾首先提出的“域”的概念。域是至少有兩個(gè)元素的數(shù)集,它對(duì)應(yīng)加減乘除(除數(shù)不為0)運(yùn)算是封閉的,記為F(field)。正如群有子群,數(shù)域也有子域,若K是F的子域,則F是K的擴(kuò)域。顯而易見,有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)都是域。有理數(shù)域是最小的域,實(shí)數(shù)域和復(fù)數(shù)域都是它的擴(kuò)域。此外,形如a+b(a和b是有理數(shù))的全體也是域。
伽羅瓦定義了“方程的群”(伽羅瓦群),它是由一部分置換組成的子群,這些置換保持根的代數(shù)關(guān)系不變,即具有對(duì)稱性。伽羅瓦證明了,對(duì)任意n,總能找到一些方程,其伽羅瓦群為整個(gè)Sn。而伽羅瓦擴(kuò)域基本定理是說(shuō),方程的系數(shù)域與根域之間的所有域與伽羅瓦群的所有子群之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。這是伽羅瓦理論的核心,它幫助我們通過(guò)研究較為簡(jiǎn)單的置換群來(lái)解決復(fù)雜的域的問(wèn)題。
報(bào)考綜合理工學(xué)校失利和成果兩次錯(cuò)失被承認(rèn)的機(jī)會(huì),遠(yuǎn)不是伽羅瓦最背運(yùn)的遭遇。十八歲那年,他又一次報(bào)考綜合理工學(xué)校,其結(jié)果是“一個(gè)較高智商的考生在一個(gè)較低智商的考官面前失敗了”。從此,這所大學(xué)對(duì)他永遠(yuǎn)關(guān)閉了大門,因?yàn)橹辉试S每個(gè)考生報(bào)考兩次。據(jù)說(shuō),一道口試題他明明答對(duì)卻被判錯(cuò)。離開考場(chǎng)前,憤怒的伽羅瓦把黑板擦擲到考官臉上。
最沉重的打擊是父親的慘死,那件事發(fā)生在他第二次報(bào)考綜合理工學(xué)校前夕。作為鎮(zhèn)長(zhǎng)的老伽羅瓦支持市民反對(duì)神父,成為教士們惡意攻擊的對(duì)象,一個(gè)詭計(jì)多端的年輕神父利用鎮(zhèn)長(zhǎng)喜歡寫詩(shī)的癖好,模仿他的語(yǔ)氣寫了一首下流骯臟的詩(shī),并簽上鎮(zhèn)長(zhǎng)大名在市民中間散發(fā)。這讓極其正派的鎮(zhèn)長(zhǎng)無(wú)地自容,他獨(dú)自去了巴黎,在離兒子學(xué)校不遠(yuǎn)處某個(gè)地方打開煤氣窒息而亡。
伽羅瓦就讀的巴黎路易學(xué)校
進(jìn)不了綜合理工學(xué)校,伽羅瓦只得去投考師范預(yù)科學(xué)校,即如今赫赫有名的巴黎高等師范學(xué)校,當(dāng)時(shí)它的聲望并不高。盡管遇到麻煩,偏科嚴(yán)重的伽羅瓦還是被錄取了。一八三〇年,伽羅瓦發(fā)表了兩篇方程論文和一篇數(shù)論論文,后者首次提出了有限域的概念。然而,革命的槍聲響起,義無(wú)反顧參與其中的伽羅瓦不久被學(xué)校開除。第二年,他又兩次作為政治犯被捕,最后一次判了六個(gè)月徒刑,關(guān)押在巴黎的圣佩拉杰監(jiān)獄。
一八三二年春天,巴黎霍亂流行,每天有上百人死亡。伽羅瓦得以被假釋,從監(jiān)獄轉(zhuǎn)移到“康復(fù)之家”。在那里,他經(jīng)歷了一生唯一的戀愛??墒牵@次戀愛既短暫又不幸。不滿十七歲的少女斯蒂芬妮是“康復(fù)之家”主人的女兒,她在激起伽羅瓦對(duì)其產(chǎn)生興趣后又冷淡了他。他隨后寫信給一位朋友,“我對(duì)一切的幻想已破滅,甚至對(duì)愛情和名聲的幻想也已破滅”。
遲來(lái)的榮譽(yù)
二〇〇二年八月五日是阿貝爾二百周年誕辰,這一天挪威政府宣布設(shè)立阿貝爾數(shù)學(xué)獎(jiǎng),以彌補(bǔ)鄰國(guó)瑞典的諾貝爾所設(shè)獎(jiǎng)項(xiàng)的缺陷。按照挪威國(guó)王的提議,阿貝爾獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金接近諾貝爾獎(jiǎng),每屆獲獎(jiǎng)人數(shù)最多兩名,少于諾貝爾科學(xué)獎(jiǎng)的獲獎(jiǎng)人數(shù)。第一屆阿貝爾獎(jiǎng)于二〇〇三年頒發(fā),得主是伽羅瓦同胞塞爾。至今,此獎(jiǎng)設(shè)立還不到二十年,卻已取代歷史悠久的沃爾夫獎(jiǎng),成為數(shù)學(xué)領(lǐng)域最重要的終身成就獎(jiǎng)。
阿貝爾數(shù)學(xué)獎(jiǎng)每年在奧斯陸大學(xué)法學(xué)院頒發(fā)
在阿貝爾之前,挪威從未產(chǎn)生過(guò)一位世界級(jí)的科學(xué)或文化巨人,但在阿貝爾之后,卻在不同領(lǐng)域接連出現(xiàn)彪炳史冊(cè)的人物:戲劇家易卜生、作曲家格里格、藝術(shù)家蒙克、探險(xiǎn)家阿蒙森。這其中,寫作了《玩偶之家》和《皮爾·金特》的易卜生是在阿貝爾去世前一年出生的,而蒙克頻頻在憂郁、驚恐的精神控制下,以扭曲的線條表現(xiàn)暗淡的人生,又常讓人想起阿貝爾的悲慘命運(yùn)。
在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,挪威也是人才輩出。例如索菲斯·李(Sophus Lie,1842-1899),二十一世紀(jì)兩個(gè)十分重要的數(shù)學(xué)分支——李群和李代數(shù)均得名于他。一八七二年,德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因發(fā)表了《埃爾蘭根綱領(lǐng)》,試圖用群論的觀點(diǎn)統(tǒng)一幾何學(xué)乃至整個(gè)數(shù)學(xué),他所依賴的正是李的工作。二〇〇七年過(guò)世的美國(guó)數(shù)學(xué)家賽爾伯格也是挪威人,曾因給出素?cái)?shù)定理的初等證明榮獲菲爾茨獎(jiǎng)。
在阿貝爾去世三年以后,伽羅瓦面臨一場(chǎng)決斗,地點(diǎn)在巴黎郊區(qū)一個(gè)小湖附近。至于決斗的對(duì)手,在相隔近兩個(gè)世紀(jì)后仍然撲朔迷離。政敵、學(xué)弟,抑或女孩的父親?反正最后的結(jié)局是,伽羅瓦被對(duì)手射中了腹部,并不是他的槍法不準(zhǔn),而是兩把手槍里只有一把有子彈。后來(lái),他被一個(gè)農(nóng)夫送到醫(yī)院,于次日去世。只有弟弟被通知趕到醫(yī)院,伽羅瓦安慰他說(shuō),“不要哭,我需要我的全部勇氣在二十歲時(shí)死去”。
在決斗前夜,伽羅瓦預(yù)感到自己的結(jié)局不妙,他寫下了三封絕筆信。兩封是給他的政黨同道,希望他們不要責(zé)怪殺死他的人,另一封是科學(xué)遺囑,幾乎完整地表述了深?yuàn)W的伽羅瓦理論。伽羅瓦去世兩天后,他的遺體被安葬在蒙巴納斯公墓,具體地點(diǎn)無(wú)人知曉。而在他故鄉(xiāng)小鎮(zhèn)拉賴因堡的公墓里,在他的親人們安葬的墓旁邊,后來(lái)豎立起一座伽羅瓦紀(jì)念碑。
伽羅瓦的工作開啟了近世代數(shù)的研究,不僅解決了方程可解性這一難題,更重要的是,群概念的引進(jìn)導(dǎo)致代數(shù)學(xué)在對(duì)象、內(nèi)容和方法上的深刻變革。實(shí)際上,環(huán)、域和向量空間等代數(shù)結(jié)構(gòu)也可看作是具有附加運(yùn)算和公理的群。群作為“數(shù)學(xué)抽象的最高藝術(shù)”,有著越來(lái)越廣泛的應(yīng)用,從晶體結(jié)構(gòu)到基本粒子,從量子力學(xué)到材料科學(xué),群論也是公鑰密碼術(shù)的核心。正是由于阿貝爾和伽羅瓦的工作,數(shù)學(xué)家們得以把更多精力投入到數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展和革新。
一九二九年,在阿貝爾逝世一百周年之際,挪威發(fā)行了一套四枚不同面值和顏色的紀(jì)念郵票。半個(gè)世紀(jì)以后,他的肖像印在挪威面值最高的五百克朗紙幣上。在阿貝爾的故鄉(xiāng)弗羅蘭和首都奧斯陸,都立有他的塑像。相比之下,法國(guó)杰出的人才實(shí)在太多了,包括偉大的數(shù)學(xué)家。不過(guò),巴黎第二十區(qū)有條街道以伽羅瓦的名字命名。
伽羅瓦紀(jì)念碑
無(wú)論如何,阿貝爾和伽羅瓦這對(duì)數(shù)學(xué)精靈生活在同一個(gè)時(shí)代,世所罕見。盡管他們成長(zhǎng)的環(huán)境截然不同,一個(gè)在貧窮落后的挪威荒島,一個(gè)在科學(xué)發(fā)達(dá)的法國(guó)首都,命運(yùn)卻十分相似。雖說(shuō)他們念中學(xué)時(shí)都遇到一位好老師,但他們的偉大成就生前都被忽視了。最后的結(jié)局是,一個(gè)死于疾病,一個(gè)死于決斗。而在他們身后,都被公認(rèn)為是十九世紀(jì)乃至是人類歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。
盡管生前阿貝爾寫作和發(fā)表的論文比伽羅瓦要多許多,最終的成就卻旗鼓相當(dāng)。代數(shù)里有所謂的阿貝爾群和伽羅瓦域。群是伽羅瓦的發(fā)現(xiàn),阿貝爾群指任意兩個(gè)元素的運(yùn)算交換秩序之后保持不變的群,即交換群;域是阿貝爾的創(chuàng)造,伽羅瓦域指域中的元素只有限多個(gè),即有限域??梢哉f(shuō),群和域這對(duì)名詞意味著阿貝爾與伽羅瓦這兩位數(shù)學(xué)天才的珠聯(lián)璧合。
本文首發(fā)于《書城》(2021年4月號(hào))。