【編者按】
來(lái)自不同文化的人們發(fā)明了不同的計(jì)數(shù)系統(tǒng)，印度的十進(jìn)制經(jīng)過(guò)歷史的沉淀，脫穎而出，成為當(dāng)今普遍使用的計(jì)數(shù)系統(tǒng)。人們還開發(fā)出各種各樣的數(shù)學(xué)工具、建立各自模型描述自然世界中的規(guī)律，甚至用編織來(lái)解決計(jì)算機(jī)都無(wú)可奈何的雙曲面模型。在現(xiàn)實(shí)生活中，數(shù)學(xué)在很多領(lǐng)域也都起著意想不到的作用。我們通常認(rèn)為體育比賽中的勝負(fù)靠的是賽場(chǎng)內(nèi)的主客觀因素，但其實(shí)隨機(jī)性也發(fā)揮了不小的作用……《數(shù)學(xué)王國(guó)的冒險(xiǎn)之旅》一書試圖展示數(shù)學(xué)詼諧迷人又出乎意料的一面。本文摘編自該書第9章《如何打敗概率》。
曾經(jīng)有一種說(shuō)法是，去拉斯維加斯結(jié)婚，去里諾離婚。而現(xiàn)在，你可以前往這兩座城市玩一把角子機(jī)。里諾的佩珀米爾賭場(chǎng)有1900臺(tái)角子機(jī)，但它還不是城中最大的賭場(chǎng)。穿過(guò)賭場(chǎng)的大廳，輪盤賭桌和21點(diǎn)的賭桌在一排排閃爍、旋轉(zhuǎn)、嘟嘟作響的角子機(jī)的襯托下，顯得黯然失色?？萍嫉倪M(jìn)步讓這些“獨(dú)臂土匪”失去了搖桿，也沒(méi)有了機(jī)械的內(nèi)核。玩家現(xiàn)在可以通過(guò)按下發(fā)光的按鈕或點(diǎn)擊觸摸屏來(lái)下注。偶爾能聽到硬幣嘩啦啦的聲音，但這來(lái)自預(yù)錄的樣本，因?yàn)橛矌乓呀?jīng)被電子信用卡取代。
賭場(chǎng)角子機(jī)
角子機(jī)是賭場(chǎng)產(chǎn)業(yè)的前沿，是博彩的前線，也是底線。這些機(jī)器在美國(guó)每年能掙250億美元（除去它們兌付的所有獎(jiǎng)金后），大約是美國(guó)每年電影總票房的2.5倍。在全球賭場(chǎng)文化中心內(nèi)華達(dá)州，角子機(jī)的收入如今占博彩收入的近70%，而且這個(gè)數(shù)字每年還在上升。
概率是對(duì)可能性的研究。當(dāng)我們擲硬幣或玩角子機(jī)時(shí)，我們不知道硬幣會(huì)如何落下，也不知道旋轉(zhuǎn)的滾筒會(huì)停在哪里。概率為我們提供了一種語(yǔ)言，來(lái)描述硬幣正面朝上，或者我們中頭彩的可能性。通過(guò)數(shù)學(xué)方法，不可預(yù)測(cè)性變得非?？深A(yù)測(cè)。概率似乎是我們?nèi)粘Ｉ钪欣硭?dāng)然的一部分，比如在查看天氣預(yù)報(bào)時(shí)，我們默認(rèn)預(yù)報(bào)結(jié)果會(huì)以一個(gè)概率出現(xiàn)。但在人類思想史上，意識(shí)到數(shù)學(xué)可以告訴我們未來(lái)的這個(gè)想法是近幾百年才出現(xiàn)的，且影響深遠(yuǎn)。
我來(lái)里諾是為了見一位數(shù)學(xué)家，世界上超過(guò)一半的角子機(jī)的賠率是由他設(shè)定的。他的工作有悠久的歷史淵源，概率論最早是16世紀(jì)由賭徒吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾提出的，我們?cè)谟懻撊畏匠虝r(shí)曾提到過(guò)這位意大利朋友。這種會(huì)導(dǎo)致自我厭惡的嗜好給數(shù)學(xué)帶來(lái)了突破，這是很罕見的?！拔疫^(guò)分沉迷于棋盤和賭桌，我知道我必須受到最嚴(yán)厲的譴責(zé)?！彼麑懙?。他的壞習(xí)慣讓他寫出了一部短小的專著，名叫《論賭博游戲》，這是第一部科學(xué)分析概率的作品。然而，這本書太超前了，直到他死后一個(gè)世紀(jì)才出版。
卡爾達(dá)諾的觀點(diǎn)是，如果一個(gè)隨機(jī)事件有幾個(gè)具有相同可能性的結(jié)果，那么任何一個(gè)結(jié)果發(fā)生的概率等于該結(jié)果數(shù)目與所有可能結(jié)果數(shù)目之比。也就是說(shuō)，如果某件事占了6個(gè)可能結(jié)果中的一個(gè)，它發(fā)生的概率就是六分之一。所以，當(dāng)你擲色子時(shí)，得到6的概率是1/6。擲出偶數(shù)的機(jī)會(huì)是3/6，也就是1/2。概率可以被定義為某種事情發(fā)生的可能性，用分?jǐn)?shù)表示。不可能發(fā)生的概率為0，而確定會(huì)發(fā)生的概率為1，其余的均介于兩者之間。
這看起來(lái)很直觀，但事實(shí)并非如此。古希臘人、古羅馬人和古印度人都是狂熱的賭徒，然而，似乎沒(méi)有人試圖理解隨機(jī)性是如何被數(shù)學(xué)定律支配的。例如，在羅馬，擲硬幣是解決爭(zhēng)端的一種方式。
如果擲到了愷撒大帝的頭像這一面，那就意味著同意這個(gè)決定。隨機(jī)性并沒(méi)有被認(rèn)為是隨意的，而是一種神圣意志的表達(dá)。縱觀歷史，人類在尋找解釋隨機(jī)事件的方法上具有非凡的想象力。例如，“書本占卜術(shù)”就是通過(guò)在文學(xué)作品中隨機(jī)選擇一段文字來(lái)給出指導(dǎo)。同樣，根據(jù)《圣經(jīng)》，揀選短麥稈是一種公平的選擇方式，但得出的結(jié)果被解釋為上帝的意志：“簽放在懷里，定事由耶和華?！保ā扼鹧浴?6:33）
迷信給概率的科學(xué)研究帶來(lái)了極大的阻礙，但在擲了幾千年色子之后，神秘主義被一種更強(qiáng)烈的人類欲望所克服，那就是對(duì)經(jīng)濟(jì)利益的渴望。吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾是第一個(gè)把命運(yùn)握在手里的人。事實(shí)上可以這么說(shuō)：概率的發(fā)明是近幾個(gè)世紀(jì)迷信和宗教衰落的根源。
如果不可預(yù)測(cè)的事件遵從數(shù)學(xué)規(guī)律，就不需要神明來(lái)解釋它們了。世界的世俗化通常被認(rèn)為是查爾斯·達(dá)爾文和弗里德里?！つ岵傻人枷爰业墓?，但很可能其實(shí)是吉羅拉莫·卡爾達(dá)諾開了先河。運(yùn)氣游戲最常使用色子。古代經(jīng)常使用距骨，也就是綿羊或山羊的腳踝骨，它有四個(gè)平坦的面。印度人喜歡棒狀和三角巧克力形狀的色子，他們用小點(diǎn)標(biāo)記不同的面，很有可能色子早于所有正式的數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)出現(xiàn)，并沿用了下來(lái)。最公平的色子每一面都相同，如果進(jìn)一步要求每面都必須是一個(gè)正多邊形，則只有5種形狀符合，也就是5種柏拉圖多面體。所有柏拉圖多面體都被用作色子。烏爾（Ur）可能是世界上已知的最古老的游戲，這個(gè)至少可以追溯到前3世紀(jì)的游戲用到了正四面體，然而，這卻是5種選擇中最糟糕的一個(gè)，因?yàn)樗拿骟w只有4個(gè)面，且?guī)缀鯚o(wú)法滾動(dòng)。古埃及人使用正八面體（有8個(gè)面），而正十二面體（12個(gè)面）和正二十面體（20個(gè)面）如今則存在于占卜師的手提包里。
烏爾皇室游戲棋盤
目前最流行的色子形狀是立方體。它最容易制造，數(shù)字的跨度既不大也不小，滾動(dòng)起來(lái)很流暢，但又沒(méi)那么容易滾動(dòng)，會(huì)明確地落在某個(gè)數(shù)字上。帶有點(diǎn)的立方體色子在不同文化中都是運(yùn)氣和機(jī)遇的象征，無(wú)論是在中國(guó)的麻將室里，還是在英國(guó)汽車的后視鏡上，都能看到一樣的色子。之前說(shuō)過(guò)，擲一個(gè)色子，擲出6的概率是1/6。再擲一個(gè)色子，出現(xiàn)6的概率還是1/6。那么擲一對(duì)色子，得到一對(duì)6的概率是多少？概率論最基本的規(guī)則是，兩個(gè)獨(dú)立事件發(fā)生的概率等于第一個(gè)事件發(fā)生的概率乘以第二個(gè)事件發(fā)生的概率。當(dāng)你擲一對(duì)色子時(shí)，第一個(gè)色子得到的結(jié)果與第二個(gè)色子的結(jié)果無(wú)關(guān)，反之亦然。所以，擲出兩個(gè)6的概率是1/6×1/6，等于1/36。你可以通過(guò)計(jì)算兩個(gè)色子的所有可能組合，直觀地看到這一點(diǎn)：一共有36個(gè)具有相同可能性的結(jié)果，其中只有一個(gè)結(jié)果是一對(duì)6。相反，在36個(gè)可能的結(jié)果中，有35個(gè)不是一對(duì)6。所以，沒(méi)有擲出一對(duì)6的概率是35/36。你也可以不列舉出35個(gè)例子，而是從完整的集合中減去擲出一對(duì)6的情況。在這個(gè)例子中就是，1 – 1/36 =35/36。因此，某件事沒(méi)有發(fā)生的概率是1 減去這件事情發(fā)生的概率。
色子賭桌相當(dāng)于早期的角子機(jī)，賭徒們把賭注押在擲色子的結(jié)果上。一種經(jīng)典的賭博游戲是擲出4個(gè)色子，押注至少有一個(gè)6出現(xiàn)的可能性。對(duì)于任何愿意在這件事上押錢的人來(lái)說(shuō)，這可以讓你獲得一些額外的收入，而且我們也有足夠的數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)理解為什么會(huì)這樣：
第一步：用4個(gè)色子擲出至少一個(gè)6的概率等于1減去4個(gè)色子中沒(méi)有一個(gè)色子出現(xiàn)6的概率。
第二步：一個(gè)色子沒(méi)有擲出6的概率是5/6，因此如果有4個(gè)色子，都沒(méi)有擲出6的概率就是5/6×5/6×5/6×5/6 = 625/1296，也就是0.482。
第三步：所以，擲出至少一個(gè)6的概率是1 – 0.482 = 0.518。
概率為0.518意味著，如果你連續(xù)1000次每次擲4個(gè)色子，得到至少一個(gè)6的情況大約會(huì)發(fā)生518次，而沒(méi)有6的情況大約有482次。
如果你押注至少會(huì)出現(xiàn)一個(gè)6，平均而言你贏的次數(shù)會(huì)比輸?shù)拇螖?shù)要多，所以你最終能從中獲利。
17世紀(jì)作家舍瓦利耶·德梅雷（Chevalier de Méré）坐在賭桌前的頻率，和他身處巴黎最時(shí)髦的沙龍里的頻率一樣。德梅雷對(duì)擲色子的數(shù)學(xué)原理和贏錢都很感興趣。雖然他提出了一些關(guān)于賭博的問(wèn)題，但是他憑自己的能力無(wú)法回答。因此，1654年，他找到了著名數(shù)學(xué)家布萊茲·帕斯卡。帕斯卡對(duì)概率的調(diào)查成為一個(gè)引發(fā)了對(duì)隨機(jī)性的研究的隨機(jī)事件。
布萊茲·帕斯卡在遇到德梅雷的問(wèn)題時(shí)才31歲，但他在學(xué)術(shù)界的名聲已經(jīng)流傳了近20年。帕斯卡幼年時(shí)就表現(xiàn)出了驚人的天賦，13歲時(shí)，他的父親讓他參加了素?cái)?shù)愛(ài)好者馬蘭·梅森修士組織的科學(xué)沙龍，梅森的沙龍聚集了許多著名數(shù)學(xué)家，包括勒內(nèi)·笛卡兒和皮埃爾·德·費(fèi)馬。帕斯卡在十幾歲時(shí)就證明了幾何學(xué)中的重要定理，并發(fā)明了一種早期的機(jī)械計(jì)算器，也叫“加法器”（Pascaline）。
德梅雷問(wèn)帕斯卡的第一個(gè)問(wèn)題與“兩個(gè)6”有關(guān)。我們?cè)谇懊婵吹剑?dāng)你擲兩個(gè)色子的時(shí)候，有1/36的機(jī)會(huì)能得到兩個(gè)6。擲色子的次數(shù)越多，獲得兩個(gè)6的機(jī)會(huì)就越大。德梅雷想知道他需要把一對(duì)色子擲多少次，才更有可能出現(xiàn)兩個(gè)6。
德梅雷的第二個(gè)問(wèn)題更復(fù)雜。假設(shè)讓和雅克正在玩一個(gè)色子游戲，游戲包括幾個(gè)回合，每個(gè)回合兩人都擲出色子，看誰(shuí)得到的數(shù)字最大，率先贏得三個(gè)回合的人獲勝。在三個(gè)回合之后，游戲因意外需要終止。最直接的贏家是擲出了三次最大的數(shù)字的人。每個(gè)人的賭注是32法郎，所以賭注總額是64法郎。但如果讓擲了兩次最大的數(shù)，而雅克擲了一次，應(yīng)該如何分配賭注？
帕斯卡思索著答案，他覺(jué)得有必要找一位天才的同行來(lái)討論這些問(wèn)題，于是他寫信給梅森沙龍的老朋友皮埃爾·德·費(fèi)馬。費(fèi)馬住在遠(yuǎn)離巴黎的圖盧茲，這座城市的名字似乎很適合一位分析賭博問(wèn)題的研究者居住。費(fèi)馬比帕斯卡年長(zhǎng)22歲，他在當(dāng)?shù)匦淌路ㄔ寒?dāng)法官，把數(shù)學(xué)作為一種智力娛樂(lè)。然而，他的業(yè)余思考使他成為17世紀(jì)上半葉最受尊敬的數(shù)學(xué)家之一。
帕斯卡和費(fèi)馬關(guān)于概率（他們稱之為“偶然性”）的短暫通信成為科學(xué)史上的一座里程碑。他們解決了那些享樂(lè)主義者的問(wèn)題，也為現(xiàn)代概率論奠定了基礎(chǔ)。
《數(shù)學(xué)王國(guó)的冒險(xiǎn)之旅》，[英]亞歷克斯·貝洛斯著，劉曉鷗、呂同舟譯，鸚鵡螺·中信出版集團(tuán)2022年6月。
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