讀《素?cái)?shù)的陰謀》：數(shù)學(xué)家群星閃耀時(shí)

《素?cái)?shù)的陰謀》，[美] 托馬斯·林編著，張旭成譯，中信出版社，2020年3月出版，361頁，59.00元

素?cái)?shù)又稱質(zhì)數(shù)，是除1和自己以外沒有其他因數(shù)的自然數(shù)。上了一定年紀(jì)的國人對“素?cái)?shù)”這個(gè)概念肯定不陌生，徐遲1978年發(fā)表在《人民文學(xué)》上那篇轟動一時(shí)的報(bào)告文學(xué)《哥德巴赫猜想》在當(dāng)時(shí)的流行程度不亞于現(xiàn)在的頂流明星。陳景潤因?yàn)閷Ω绲掳秃詹孪氲呢暙I(xiàn)成為那個(gè)時(shí)代的網(wǎng)紅。哥德巴赫猜想的表述出奇地簡單，簡單到小學(xué)生都能明白：證明任何一個(gè)偶數(shù)都可以寫成兩個(gè)素?cái)?shù)的和。然而這個(gè)問題又是如此復(fù)雜和深刻，到現(xiàn)在還是個(gè)懸而未決的世界難題。素?cái)?shù)基本而神秘，既有序又無序。它們被納入神秘主義和宗教儀式，并啟發(fā)了音樂作品。數(shù)學(xué)家認(rèn)為素?cái)?shù)是宇宙的基礎(chǔ)之一，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)和量子力學(xué)之間的深層聯(lián)系，而這些聯(lián)系至今仍然無法完全解釋。

《素?cái)?shù)的陰謀》結(jié)集了托馬斯·林（Thomas Lin）創(chuàng)辦并主編的《量子雜志》（Quanta，報(bào)道科學(xué)和數(shù)學(xué)最新發(fā)展的獨(dú)立網(wǎng)刊）中關(guān)于數(shù)學(xué)的系列文章。不懂?dāng)?shù)學(xué)的人可能認(rèn)為數(shù)學(xué)家每天都在和各種各樣的數(shù)字打交道，但華萊士（David Foster Wallace）曾寫過：“只有在幾何、拓?fù)洹⒎治?、?shù)論和數(shù)理邏輯的頂尖層次，有趣和深刻才真正開始，那時(shí)計(jì)算器和無上下文的公式都消失了，只剩下紙、筆和所謂的天才，即理性和狂熱創(chuàng)造力的特殊結(jié)合，它體現(xiàn)了人類心智最好的地方?！睍屑扔性诿绹胁宛^刷盤子送外賣、近六十歲“高齡”解決世紀(jì)難題的張益唐，也有很小就獲得國際奧數(shù)金牌的早慧型天才陶哲軒（Terrence Tao）、彼得·舒爾茨（Peter Scholze），既有曾經(jīng)想當(dāng)詩人和科學(xué)記者卻被伯樂數(shù)學(xué)大師相中半路出家取得巨大成就的許俊珥（June Huh），也有第一位獲得菲爾茲獎(jiǎng)的華人丘成桐，既有會演奏印度傳統(tǒng)樂器的音樂家曼紐爾·巴爾加瓦（Manjul Bhargava），也有巾幗不讓須眉的瑪麗亞姆·米爾扎哈尼（Maryam Mirzakhani）和瑪麗娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska）。

提起數(shù)學(xué)家，不得不提菲爾茲獎(jiǎng)。菲爾茲獎(jiǎng)是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的國際最高獎(jiǎng)項(xiàng)，因諾貝爾獎(jiǎng)未設(shè)數(shù)學(xué)獎(jiǎng)，故該獎(jiǎng)被譽(yù)為“數(shù)學(xué)界的諾貝爾獎(jiǎng)”。菲爾茲獎(jiǎng)每四年頒發(fā)一次，每次授予兩至四名有卓越貢獻(xiàn)的年輕數(shù)學(xué)家。獲獎(jiǎng)?wù)弑仨氃谠撃暝┣拔礉M四十歲（數(shù)學(xué)行當(dāng)?shù)目贪逵∠笳J(rèn)為數(shù)學(xué)是年輕人的游戲，超過四十歲的數(shù)學(xué)家很難有重大成果），每人能獲得一萬五千加幣的獎(jiǎng)金和金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)乱幻?。?936年開始到2022年，全世界獲菲爾茲獎(jiǎng)的數(shù)學(xué)家一共才六十四人，足見含金量之高。菲爾茲獎(jiǎng)分布最多的三個(gè)國家分別是美國、俄羅斯和法國?！端?cái)?shù)的陰謀》中介紹了多位菲爾茲獎(jiǎng)得主。

因《紐約客》長篇特寫而出圈的華人數(shù)學(xué)家張益唐大器晚成，沒有拿過菲爾茲獎(jiǎng)，也因此突破玻璃天花板，成就了一段數(shù)學(xué)英雄不問年紀(jì)的佳話。在數(shù)論里，有一個(gè)和哥德巴赫猜想一樣說起來很容易但至今無解的問題“孿生素?cái)?shù)猜想”：證明有無數(shù)個(gè)相差2的素?cái)?shù)對。張益唐通過多年默默無聞的努力，在這個(gè)問題上取得了突破性進(jìn)展。喬治·奇切里（George Csicsery）的紀(jì)錄片《大海撈針》（Counting From Infinity）是難得一見的讓數(shù)學(xué)家當(dāng)主角的紀(jì)錄片，片中張益唐略顯羞澀，用中國口音的英語說到自己在普渡大學(xué)博士畢業(yè)的時(shí)候，博導(dǎo)不喜歡中國學(xué)生，不愿意給他寫推薦信。在最初求職期間，他有時(shí)會住在朋友的車?yán)铮滋烊ベ惏傥犊觳偷甏蛄愎?。大約有七年時(shí)間，他在各種朋友那兒打零工。后來朋友幫他在州立大學(xué)找到一份講師的工作，他也頗受學(xué)生歡迎。張益唐始終沒有放棄對數(shù)學(xué)的追求，幸運(yùn)總是給有準(zhǔn)備的人，但靈感的閃現(xiàn)充滿了偶然。2012年7月，張益唐去指揮家好友齊光家做客，齊光院子里經(jīng)常有梅花鹿出沒，張益唐想去看看有沒有梅花鹿，鹿一直沒有出現(xiàn)，但就在某一個(gè)瞬間，靈感出現(xiàn)了。張益唐找到了一個(gè)解答弱孿生素?cái)?shù)猜想的關(guān)鍵點(diǎn)，之后很快寫成文章發(fā)表在頂級數(shù)學(xué)期刊上，震驚了整個(gè)數(shù)學(xué)界。對于數(shù)學(xué)家的靈感何時(shí)以及如何出現(xiàn)，《素?cái)?shù)的陰謀》說：“靈感的出現(xiàn)無章可循?！鳖愃频乃查g還包括：一位數(shù)學(xué)家在公交車站想到了量子混沌系統(tǒng)；一位默默無聞的大學(xué)講師在朋友的后院突然想到了一條證明數(shù)論定理的途徑；一位統(tǒng)計(jì)學(xué)家在浴室水槽前產(chǎn)生頓悟，發(fā)現(xiàn)了解決不等式的關(guān)鍵。

張益唐

張益唐其實(shí)并沒有徹底證明孿生素?cái)?shù)猜想，而是證明了一個(gè)弱化版本：無論你在龐大的素?cái)?shù)沙漠里走多遠(yuǎn)，你總會不停地發(fā)現(xiàn)相差小于七千萬的素?cái)?shù)對。重要的是他的方法和思路啟迪了很多其他數(shù)學(xué)家。著名的華裔數(shù)學(xué)家陶哲軒在張益唐的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了博學(xué)者計(jì)劃（Polymath Project）在線項(xiàng)目，通過聯(lián)合全世界的數(shù)學(xué)家一起來改進(jìn)這個(gè)結(jié)果，有點(diǎn)類似“腦力眾籌”。

出生于澳大利亞的陶哲軒出名很早。家鄉(xiāng)報(bào)紙的標(biāo)題寫道：“七歲的陶哲軒是個(gè)神童?！迸淞艘粡埳聿陌〉奶照苘幧蠑?shù)學(xué)課的照片。三年后，十歲的陶哲軒成為歷史上國際數(shù)學(xué)奧林匹克獎(jiǎng)牌的最年輕獲得者。此后，他獲得無數(shù)殊榮，包括麥克阿瑟獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng)。

陶哲軒

陶哲軒多年后接受采訪時(shí)承認(rèn)，年輕時(shí)候的自己只是接觸到了數(shù)學(xué)的皮毛，有點(diǎn)類似小朋友對音樂的唯一體驗(yàn)就是練習(xí)音階或?qū)W習(xí)樂理。后來他逐漸發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家必須像頂尖的爵士音樂家那樣，既要能即興創(chuàng)作，又要能與其他數(shù)學(xué)家緊密合作。

數(shù)學(xué)家的真正工作要到研究生階段的后期才能體驗(yàn)到。普林斯頓大學(xué)的查爾斯·費(fèi)弗曼（Charles Fefferman）本人曾是數(shù)學(xué)天才，后來成為菲爾茲獎(jiǎng)得主，他將數(shù)學(xué)研究過程比喻為“與魔鬼下棋”。魔鬼的游戲規(guī)則很特別：魔鬼在國際象棋上的表現(xiàn)非常出色，但是，費(fèi)弗曼解釋說，你可以隨心所欲地收回任何動作，而魔鬼可能不會。你玩了第一局，當(dāng)然，他把你壓垮了，所以你退后一步，嘗試一些不同的東西，他以同樣的方式又把你壓垮。如果你足夠狡猾，你最終會發(fā)現(xiàn)一個(gè)迫使魔鬼改變策略的舉動；你還是輸了，但是——啊哈！你有了第一個(gè)線索。

數(shù)學(xué)家和科學(xué)家總會給人一種刻板冷漠不近人情的印象。自古以來最偉大的數(shù)學(xué)家可能是十八世紀(jì)的德國人高斯（Carl Friedrich Gauss），他與自己的孩子相處不好，活著的時(shí)候也沒有發(fā)表所有的研究成果；電影《美麗心靈》的主角約翰·納什（John Nash）被偏執(zhí)妄想折磨，一生活在幻象中；獨(dú)自攻克了龐加萊猜想?yún)s拒絕菲爾茲獎(jiǎng)的俄羅斯人格里戈里·佩雷爾曼（Grigori Perelman）三十多歲還住在媽媽家里啃老。相比之下，陶哲軒有一個(gè)美好的家庭，通常面帶微笑。他的合作者評價(jià)道，陶哲軒讓人想起《黑客帝國》中的尼奧。把武術(shù)下載到他的大腦中，他睜開眼睛就會功夫了。陶哲軒和他在研究生院一起玩桌上足球的朋友完成了一個(gè)著名猜想。對陶哲軒來說，這是一個(gè)新的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，與他擅長的領(lǐng)域相去甚遠(yuǎn)。

現(xiàn)在陶哲軒成了數(shù)學(xué)界最著名的橋梁建設(shè)者和網(wǎng)紅。在獲得菲爾茲獎(jiǎng)時(shí)，他已經(jīng)與三十多位不同的合作者發(fā)表過文章。此后他還成為一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)博主，具有明顯的非高斯熱情：他慶祝他人的工作，分享技巧，記錄進(jìn)步，并對評論中的任何更正感到高興。

德國人彼得·舒爾茨也是一個(gè)不折不扣的數(shù)學(xué)天才，但與陶哲軒風(fēng)格迥異。他中學(xué)時(shí)參加國際數(shù)學(xué)競賽連續(xù)四年獲得三金一銀，三十歲成為史上最年輕的菲爾茲獎(jiǎng)得主。他用一年半讀完了本科，一年讀完了研究生，二十五歲成為波恩大學(xué)史上最年輕的數(shù)學(xué)教授。舒爾茨的關(guān)鍵創(chuàng)新雖然只有幾年的歷史，但已經(jīng)在數(shù)論和幾何結(jié)合的算術(shù)幾何領(lǐng)域產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。許多數(shù)學(xué)家對舒爾茨的反應(yīng)是“敬畏、恐懼和興奮的混合體”。舒爾茨通常不是從想解決的特定問題開始，而是從一些難以理解的概念開始。他創(chuàng)建的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)在始料未及的數(shù)學(xué)領(lǐng)域有了巨大應(yīng)用，這恰恰是偉大數(shù)學(xué)家的標(biāo)志。打個(gè)比方，就好像古代為了解決兩個(gè)城市之間的交通問題，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)家可能都在挖空心思研究怎樣可以把道路修得更好，讓馬跑得更快，而舒爾茨是直接發(fā)明了飛機(jī)，還造了個(gè)飛機(jī)場。

《素?cái)?shù)的陰謀》也關(guān)注音樂和科學(xué)之間不可言說的聯(lián)系。很多人說，愛因斯坦如果沒有成為科學(xué)家，可能會當(dāng)樂手。這位業(yè)余小提琴手曾和洛杉磯愛樂樂團(tuán)指揮阿圖爾·羅金斯基湊過小樂隊(duì)。2014年菲爾茲獎(jiǎng)得主曼紐爾·巴爾加瓦是位多才多藝的音樂家，他將數(shù)學(xué)視為藝術(shù)，而非科學(xué)。他出生于加拿大，畢業(yè)于哈佛大學(xué)，喜愛演奏印度打擊樂器塔布拉。他覺得如果成為一名專業(yè)音樂家，就沒有時(shí)間做數(shù)學(xué)，但如果成為一名專業(yè)數(shù)學(xué)家，仍然可以騰出時(shí)間做音樂。于是巴爾加瓦當(dāng)了數(shù)學(xué)家。

曼紐爾·巴爾加瓦

其實(shí)很多純粹的數(shù)學(xué)家在思考時(shí)，不是在思考各種應(yīng)用，而是在追求美。當(dāng)數(shù)學(xué)家開始研究素?cái)?shù)時(shí)，從未想過素?cái)?shù)可以在現(xiàn)實(shí)世界中有任何應(yīng)用，但它們現(xiàn)在已經(jīng)變得至關(guān)重要，尤其是在密碼學(xué)——加密科學(xué)中。我們每次通過互聯(lián)網(wǎng)提供信用卡號和密碼時(shí)，都希望是安全的，確保這一切的加密方案都會使用到素?cái)?shù)。

費(fèi)曼說過：對于那些不懂?dāng)?shù)學(xué)的人來說，要理解自然的美、最深層次的美是很困難的。如果你想了解自然，欣賞自然，就必須理解她的語言。

丘成桐

1982年菲爾茲獎(jiǎng)得主丘成桐自幼便對中國古典文學(xué)和歷史有濃厚興趣，造詣?lì)H深，他在一次講座中描述了數(shù)學(xué)與中國古典文學(xué)之關(guān)系，非常精彩：

數(shù)學(xué)家研究大自然所提供的一切素材，尋找它們共同的規(guī)律，并用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)出來。這里所說的大自然比一般人所了解的來得廣泛。我們認(rèn)為數(shù)字、幾何圖形和各種有意義的規(guī)律都是自然界的一部分。我們希望用簡潔的數(shù)學(xué)語言將這些自然現(xiàn)象的本質(zhì)表現(xiàn)出來。

……數(shù)學(xué)家以其對大自然感受的深刻程度，來決定研究的方向。這種感受既有其客觀性，也有其主觀性，后者則取決于個(gè)人的氣質(zhì)。氣質(zhì)與文化修養(yǎng)有關(guān)，無論是選擇懸而未決的難題，或者創(chuàng)造新的方向，文化修養(yǎng)皆起著關(guān)鍵性的作用。文化修養(yǎng)是以數(shù)學(xué)的功夫?yàn)榛A(chǔ)，自然科學(xué)為輔，但是深厚的人文知識也極為要緊。因?yàn)槿宋闹R也致力于描述心靈對大自然的感受，所以司馬遷寫史記除了“通古今之變”外，也要“究天人之際”。

劉勰在《文心雕龍·原道篇》說文章之道在于：

寫天地之輝光，曉生民之耳目。

劉勰以為文章之可貴，在尚自然，在貴文采。他又說：

人與天地相參，乃性靈所集聚，是以謂之三才，為五行之秀氣，實(shí)天地之靈氣。靈心既生，于是語言以立。語言既立，于是文章著明，此亦原于自然之道也。

……廣義相對論提出了場方程，它的幾何結(jié)構(gòu)成為幾何學(xué)家夢寐以求的對象，因?yàn)樗苜x予空間一個(gè)調(diào)和而完美的結(jié)構(gòu)。我研究這種幾何結(jié)構(gòu)垂三十年，時(shí)而迷惘，時(shí)而興奮，自覺同《詩經(jīng)》《楚辭》的作者，或晉朝的陶淵明一樣，與大自然渾為一體，自得其趣。

捕捉大自然的真和美，實(shí)遠(yuǎn)勝于一切人為的造作，正如《文心雕龍》說的：

云霞雕色，有踰畫工之妙。草木菁華，無待錦匠之奇，夫豈外飾，蓋自然耳。

在空間上是否存在滿足引力場方程的幾何結(jié)構(gòu)是一個(gè)極為重要的物理問題，它也逐漸地變成幾何中偉大的問題。盡管其他幾何學(xué)家都不相信它存在，我卻鍥而不舍，不分晝夜地去研究它，就如屈原所說：

亦余心之所善兮，雖九死其猶未悔。

我花了五年工夫，終于找到了具有超對稱的引力場結(jié)構(gòu)，并將它創(chuàng)造成數(shù)學(xué)上的重要工具。當(dāng)時(shí)的心境，可以用以下兩句來描述：

落花人獨(dú)立，微雨燕雙飛。

數(shù)學(xué)家追求美，但數(shù)學(xué)行當(dāng)對女性有相當(dāng)嚴(yán)重的歧視，其程度甚至超過年齡歧視。據(jù)說康德曾經(jīng)說過，女性“動用她們漂亮的腦袋思考幾何問題時(shí)”會長出胡須。女性經(jīng)常被告知研究數(shù)學(xué)將有損其社交魅力，還被迫聽種種蠢話：比如想得太多的女性的血液會從生殖器官流向大腦，造成“非常可怕的后果”。《素?cái)?shù)的陰謀》也沒有忽略女性，雖然私底下總有人認(rèn)為這是在發(fā)鼓勵(lì)獎(jiǎng)。歷史上首位獲得菲爾茲獎(jiǎng)的女?dāng)?shù)學(xué)家是伊朗人瑪麗亞姆·米爾扎哈尼，她自稱是“慢”數(shù)學(xué)家，傾向于走更艱難的少有人走的道路。她說：“你必須忽略容易實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)，我不確定這是否是最好的做事方式，實(shí)際上——你一直在折磨自己?！泵谞栐?977年出生于德黑蘭，兒時(shí)如饑似渴地閱讀并想成為一名作家。兩伊戰(zhàn)爭在她中學(xué)時(shí)結(jié)束，高中時(shí)她連續(xù)兩年獲得國際奧數(shù)金牌。2004 年她在哈佛大學(xué)完成博士學(xué)位，后來成為普林斯頓大學(xué)和斯坦福大學(xué)的教授。米爾扎哈尼經(jīng)常把大紙鋪在地板上涂鴉，寫各種方程式，她的女兒說像是在“畫畫”?！斑@就像迷失在叢林中”，米爾扎哈尼說，“并試圖利用你能收集到的所有知識來想出一些新的把戲——如果運(yùn)氣好的話，你可能會找到出路”?？上於视⒉?，米爾扎哈尼四十歲時(shí)不幸患癌癥去世。

瑪麗亞姆·米爾扎哈尼

今年菲爾茲獎(jiǎng)有了第二位女性得主——烏克蘭的瑪麗娜·維亞佐夫斯卡（Maryna Viazovska），她部分解決了高維空間中球堆積的問題。在三維空間中，怎樣堆積球體最有效？其實(shí)就是我們常見的類似雜貨店的托盤上堆積橙子的金字塔方式，但在四維或更高維度上答案并不可知。維亞佐夫斯卡將來自數(shù)論和八維對稱理論的新技術(shù)引入到這個(gè)問題中，同時(shí)也將結(jié)果擴(kuò)展到二十四維空間。她發(fā)明了新奇且出人意料的工具來解決難題。維亞佐夫斯卡最近專門為紀(jì)念在俄烏戰(zhàn)爭中不幸喪生、來自哈爾科夫的得過國際奧數(shù)銀牌的年輕烏克蘭女計(jì)算機(jī)科學(xué)家尤利婭·茲丹諾夫克薩（Yulia Zdanovksa）做了一場講座?！爱?dāng)像她這樣的人死去時(shí)，就像未來死去一樣”，維亞佐夫斯卡說，“現(xiàn)在，烏克蘭人正在為我們的信仰和我們的自由付出最高的代價(jià)”。

數(shù)學(xué)奧賽能否培養(yǎng)未來的數(shù)學(xué)家是國內(nèi)一直以來爭議不斷的話題。正方認(rèn)為數(shù)學(xué)競賽是從小培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣的最好途徑，反方認(rèn)為數(shù)學(xué)競賽過度關(guān)注解題技巧，并沒有真正提高數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)。如果研究一下國際奧數(shù)獲獎(jiǎng)名單和菲爾茲獎(jiǎng)的關(guān)系，2010到2022年獲得菲爾茲獎(jiǎng)的十六位數(shù)學(xué)家中有七位在國際奧數(shù)得過獎(jiǎng)。至少從數(shù)據(jù)來看，兩者是有較高相關(guān)性的。國內(nèi)數(shù)學(xué)界最出名的北大數(shù)學(xué)“黃金一代”——?jiǎng)⑷舸?、惲之瑋、袁新意、宋詩暢、肖梁和許晨陽都是當(dāng)年數(shù)學(xué)奧賽的佼佼者，他們包攬了2018年、2019年、2020年的科學(xué)突破獎(jiǎng)、新視野數(shù)學(xué)獎(jiǎng)、拉馬努金獎(jiǎng)、斯隆研究獎(jiǎng)、美國國家數(shù)學(xué)學(xué)會百年紀(jì)念獎(jiǎng)等一系列國際數(shù)學(xué)界重量級獎(jiǎng)項(xiàng)。目前他們在世界各大頂級名校擔(dān)任教職，是中國未來數(shù)學(xué)家的中堅(jiān)力量。

《素?cái)?shù)的陰謀》讓我們凡夫俗子也有機(jī)會一窺群星閃耀的數(shù)學(xué)家們插上想象的翅膀探索宇宙奧妙的英姿，讓我們看到了數(shù)學(xué)大師和天才如何把優(yōu)美瘋狂的想法變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)。