0這個(gè)后起的整數(shù)是否屬于自然數(shù)？這在現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)界仍有爭(zhēng)議。從西漢中晚期至東漢早期的簡(jiǎn)牘中可以看到，至少在那個(gè)時(shí)代，中國(guó)人的算術(shù)中還不存在“整數(shù)零”這個(gè)數(shù)學(xué)概念。
眾所周知，相較于其他整數(shù)，“零”出現(xiàn)得相當(dāng)晚?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的整數(shù)符號(hào)“0”是印度人在公元5世紀(jì)發(fā)明的，傳入中國(guó)就更晚了。中國(guó)先秦秦漢的古籍中，找不到任何表示這個(gè)整數(shù)的字眼，“ 毖垢兒沒(méi)有，“零”也只有“零落”一類的意思，尚未表示數(shù)字。
學(xué)者研究指出，古代中國(guó)人是有類似“零”的概念的。比如中國(guó)哲學(xué)很早就有了“無(wú)”的觀念，和“有”相對(duì)。再比如古人利用算籌進(jìn)行計(jì)算時(shí)，會(huì)以空位表示該位“沒(méi)有值”。但是，這些大多都是“空集”、“空位”之類的觀念，而非嚴(yán)格意義的“整數(shù)零”的概念。那么，早期中國(guó)是否確實(shí)不存在作為整數(shù)概念和符號(hào)的“零”呢？如果不存在整數(shù)“零”，古代中國(guó)人又是怎樣處理相關(guān)的數(shù)學(xué)計(jì)算的呢？
學(xué)術(shù)研究“言有易，說(shuō)無(wú)難”——為不存在的事物找到證明它不存在的證據(jù)是很困難的。幸運(yùn)的是，證明中國(guó)古代沒(méi)有“零”的材料，居然在出土的漢代簡(jiǎn)牘中找到了。
1970年代，甘肅居延肩水金關(guān)遺址出土了萬(wàn)余枚簡(jiǎn)牘，2016年由上海中西書(shū)局出版。其中編號(hào)為73EJT23：54的一枚木簡(jiǎn)，簡(jiǎn)首題有“第三”，下面分十二欄記錄了如下一些數(shù)字：“負(fù)十五、負(fù)十三、負(fù)十一、負(fù)九、負(fù)七、負(fù)五、負(fù)三、負(fù)一、得二、得四、得六、得八?！迸c之類似的西北地區(qū)出土漢代簡(jiǎn)牘還有幾枚，可惜均殘損，比如敦煌漢簡(jiǎn)第1063號(hào)：“……第三負(fù)十三、第三負(fù)十一、第三負(fù)九、第三負(fù)七、第三負(fù)五、第三負(fù)三、第三負(fù)一、第三得二、第三得四……”
“負(fù)五、負(fù)三、負(fù)一”之后是“得二、得四、得六……”，肩水金關(guān)漢簡(jiǎn)中的“等差數(shù)列”，證明了當(dāng)時(shí)的中國(guó)人不用“零”。
這些木簡(jiǎn)應(yīng)該是用于考核相關(guān)人員的工作績(jī)效的。漢簡(jiǎn)中這類考評(píng)功績(jī)的材料很多，比如居延漢簡(jiǎn)第206.4號(hào)：“萬(wàn)歲候長(zhǎng)充：受官錢定課四千，負(fù)四算；毋自言堂煌者第一得七算。相除定得三算，第一?！焙?jiǎn)文是說(shuō)有個(gè)叫充的人參加考核，參評(píng)的兩件事體，一件被折算為“負(fù)四算”，另一件被折算為“得七算”，兩件事體相加總成績(jī)?yōu)椤暗萌恪?，評(píng)定等第為“第一”。這類考評(píng)中的“算”，類似現(xiàn)代的“工分”；而考核等第，應(yīng)該是“第一”至“第九”共九等。董仲舒在《春秋繁露·考功名》中描述了一種考評(píng)天下官員的理想體系，“以一為最，五為中，九為殿”，大概就是源自漢簡(jiǎn)反映的這類在社會(huì)中實(shí)際運(yùn)用的考績(jī)方式。前面所舉肩水金關(guān)73EJT23：54這枚木簡(jiǎn)，就來(lái)自一份折算考評(píng)等第的表格。簡(jiǎn)首的“第三”指考核等第為第三等，后面十二欄的數(shù)字，表示每月考評(píng)中第三等對(duì)應(yīng)的“算”數(shù)。例如，假若是一月考評(píng)，負(fù)十五算就是第三等，依次類推。從漢簡(jiǎn)材料看，“算”這種“工分”，扣除起來(lái)是非常殘酷的。居延新簡(jiǎn)EPT50.2記錄了一個(gè)叫“范尚”的戍卒，一次考評(píng)涉及八件事，全是負(fù)分，共扣了三十多算，可考評(píng)等第仍為“第四”，屬中上水平?？梢?jiàn)這類考核，有過(guò)失扣分的多，有功績(jī)加分的少。所以第三等的考績(jī)以負(fù)數(shù)開(kāi)始，就不難理解了。
特別引人注意的是，作為計(jì)算考評(píng)等第的得負(fù)算數(shù)值，本應(yīng)該是等差數(shù)列，但無(wú)論是肩水金關(guān)漢簡(jiǎn)還是敦煌漢簡(jiǎn)，在從負(fù)算過(guò)渡到得算時(shí)，均出現(xiàn)了異常?！柏?fù)五、負(fù)三、負(fù)一”之后，難道不應(yīng)該是“得一、得三、得五……”嗎？怎么會(huì)是“得二、得四、得六……”？其實(shí)，這種看起來(lái)非常奇怪的數(shù)列，仍然是以等差的關(guān)系排列的。這種“等差數(shù)列”，證明了當(dāng)時(shí)的中國(guó)人不用“零”。這里所說(shuō)的不用“零”，不是說(shuō)當(dāng)時(shí)的人知道有“零”這么回事兒但還沒(méi)有發(fā)明專門(mén)的符號(hào)去表示，而是徹徹底底就不存在“整數(shù)零”這個(gè)數(shù)學(xué)概念。上舉簡(jiǎn)牘的年代均屬于西漢中晚期至東漢早期——也就是說(shuō)，直到那個(gè)時(shí)代，中國(guó)人在考核工作量這種常規(guī)的民用算術(shù)中還沒(méi)有“整數(shù)零”的概念。
“負(fù)二、負(fù)一、得一、得二、得三”，用現(xiàn)代數(shù)學(xué)常識(shí)來(lái)看，這種數(shù)數(shù)方法顯得十分別扭。但對(duì)于西漢中晚期的西北邊陲的戍卒而言，這樣計(jì)數(shù)再平常不過(guò)了。他們眼中整數(shù)的序列，就像現(xiàn)代人乘坐電梯一樣——從一樓往下一層，不是零樓，而是負(fù)一樓。當(dāng)時(shí)人的整數(shù)概念，與現(xiàn)代人大不相同。抽象地說(shuō)，在他們看來(lái)，整數(shù)不是現(xiàn)代定義中數(shù)軸上的點(diǎn)，而是數(shù)軸上的線段：正整數(shù)線段缺少左端點(diǎn)，負(fù)整數(shù)線段缺少右端點(diǎn)。通俗地講，他們的整數(shù)計(jì)算就是“囫圇數(shù)字，論個(gè)兒數(shù)”（其實(shí)嚴(yán)格地講，當(dāng)時(shí)也還沒(méi)有現(xiàn)代數(shù)學(xué)意義上的“正負(fù)”概念）。這種原始樸素的數(shù)學(xué)觀念，極大地影響了中國(guó)人的思維方式和風(fēng)俗傳統(tǒng)，直至今日仍有痕跡可循。比如中國(guó)人舉辦傳統(tǒng)典禮，無(wú)論紅白喜事，不管是從第一天的何時(shí)開(kāi)始，只要經(jīng)過(guò)午夜進(jìn)入第二天的凌晨，就算滿兩天了，不必滿48小時(shí)。從數(shù)軸的角度理解中國(guó)式的計(jì)時(shí)方法，所謂“兩天”，只需要起點(diǎn)終點(diǎn)分別為第一天、第二天這兩條線段的任意點(diǎn)，而不必積累滿兩個(gè)整天的長(zhǎng)度。中國(guó)傳統(tǒng)的服喪制度正是如此，按規(guī)定嫡子為父服喪須滿三年，這里的三年是指二十五個(gè)月，而非三十六個(gè)月——因?yàn)闊o(wú)論怎么算，二十五個(gè)月都能經(jīng)過(guò)三個(gè)“年線段”。既然正整數(shù)的概念均為缺少左端點(diǎn)的線段，且沒(méi)有零的概念，自然計(jì)數(shù)的起始點(diǎn)就是一而非零了——計(jì)算歲數(shù)的方式正是如此，出生就算一歲，中國(guó)人的傳統(tǒng)是沒(méi)有零歲的，所以除夕出生的嬰兒，大年初一就已經(jīng)兩歲了。這種計(jì)“虛歲”的古老方法，很多現(xiàn)代中國(guó)人很難理解，其實(shí)正是早期中國(guó)整數(shù)觀念的孑遺。
這種原始樸素的計(jì)數(shù)方法，在“0”被發(fā)明之前的各大文明中應(yīng)該普遍存在。又因?yàn)檫@種計(jì)數(shù)方式本質(zhì)上是“以段代點(diǎn)”，所以在可以“成段數(shù)數(shù)”的時(shí)間計(jì)算的領(lǐng)域常有存古現(xiàn)象。由于羅馬數(shù)字中同樣沒(méi)有零，因此使用這種數(shù)字的東羅馬帝國(guó)僧侶在創(chuàng)制“公元紀(jì)年”時(shí)，規(guī)定“公元1年”的前一年是“公元前1年”，沒(méi)有設(shè)置“公元0年”。
盡管整數(shù)的概念是數(shù)軸上的線段而非點(diǎn)，古代中國(guó)人仍在很早的時(shí)候就發(fā)明了分?jǐn)?shù)。出土的先秦秦漢數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中頻頻見(jiàn)到發(fā)達(dá)的分?jǐn)?shù)計(jì)算。古代中國(guó)發(fā)達(dá)的分?jǐn)?shù)計(jì)算與相對(duì)落后的整數(shù)觀念并存了至少幾百年，遲遲不產(chǎn)生“零”，盡管很難想象，卻偏偏就是事實(shí)。
0這個(gè)后起的整數(shù)是否屬于自然數(shù)？這在現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)界仍有爭(zhēng)議。我國(guó)的小學(xué)數(shù)學(xué)課本曾經(jīng)一直將0從自然數(shù)中排除的。但近些年的修訂版教材，不得不遵循《中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)》，改將0定義為自然數(shù)——據(jù)說(shuō)是因?yàn)閲?guó)際上認(rèn)為0屬自然數(shù)的學(xué)派占了上風(fēng)。數(shù)學(xué)學(xué)界對(duì)0是否屬于自然數(shù)的爭(zhēng)論，當(dāng)然都是從數(shù)學(xué)理論的角度出發(fā)的。不過(guò)，如果改從歷史的角度看問(wèn)題，根據(jù)漢代出土簡(jiǎn)牘所見(jiàn)的情況，“零”的確既不能說(shuō)是“自然產(chǎn)生的數(shù)”，也不能說(shuō)是“數(shù)起來(lái)很自然的數(shù)”，確實(shí)一點(diǎn)也不“自然”。（小文撰寫(xiě)得到羅見(jiàn)今先生、凌文超先生和王強(qiáng)先生的指導(dǎo)和幫助，謹(jǐn)致謝忱）
（作者為復(fù)旦大學(xué)出土文獻(xiàn)與古文字研究中心副研究員）
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