迷人的對(duì)稱(chēng)：為什么宇宙看起來(lái)這么具有數(shù)學(xué)性？

【編者按】

數(shù)學(xué)史的劇場(chǎng)里絕對(duì)不是只有數(shù)字、符號(hào)和天才，這里上演的是最聰明的頭腦的探索，同時(shí)還有他們?cè)谑篱g的悲歡離合、辛酸與榮耀。數(shù)學(xué)家伊恩·斯圖爾特在《迷人的對(duì)稱(chēng)》一書(shū)中圍繞“對(duì)稱(chēng)”這一在數(shù)學(xué)乃至人類(lèi)對(duì)自然的探索中居于核心地位的概念巧妙地穿針引線(xiàn)，為我們娓娓道來(lái)3000多年來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展史。本文為該書(shū)前言。

1832年5月30日。晨霧中，兩個(gè)法國(guó)青年面對(duì)面拔出手槍指著對(duì)方，為一個(gè)年輕女人而決斗。一聲槍響，其中一人倒在地上，受了致命傷。第二天他就死于腹膜炎，年僅21歲，被葬在一條普通的道溝里——一座無(wú)名冢。數(shù)學(xué)和科學(xué)史上最重要的理論之一差點(diǎn)兒隨著他的死一并消失。

那位活下來(lái)的決斗者至今仍姓名不詳，而死去的那一位，則是埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois），一個(gè)著迷于數(shù)學(xué)的政治革命者，把他全部的數(shù)學(xué)工作整理到一起也僅僅能寫(xiě)滿(mǎn)60頁(yè)紙而已。但伽羅瓦留下的遺產(chǎn)卻引發(fā)了一場(chǎng)數(shù)學(xué)革命。他發(fā)明了一種語(yǔ)言，用來(lái)描述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的對(duì)稱(chēng)性，并推導(dǎo)出對(duì)稱(chēng)性帶來(lái)的結(jié)果。

今天，這種被稱(chēng)為“群論”的語(yǔ)言已經(jīng)被應(yīng)用于純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的方方面面，由此支配著自然界種種模式的形成。在物理學(xué)前沿研究中，對(duì)稱(chēng)性不論是在極小尺度的量子世界還是在極大尺度的相對(duì)論世界都居于核心地位。它甚至有可能指出一條通向“萬(wàn)有理論”的道路，人們對(duì)這一理論探求已久，希望能從數(shù)學(xué)上統(tǒng)一量子理論和相對(duì)論這兩個(gè)近代物理學(xué)中最重要的分支。而這一切的開(kāi)始僅僅是一個(gè)簡(jiǎn)單的代數(shù)問(wèn)題，與數(shù)學(xué)方程的解有關(guān)——求解數(shù)學(xué)方程，就是根據(jù)一些數(shù)學(xué)線(xiàn)索來(lái)尋找一個(gè)未知數(shù)的值。

對(duì)稱(chēng)性不是一個(gè)單一的數(shù)或形狀，而是一種特殊的變換——一種移動(dòng)物體的方式。如果一個(gè)物體經(jīng)過(guò)某種變換后看起來(lái)與之前相同，這一變換就關(guān)聯(lián)著某種對(duì)稱(chēng)性。例如，一個(gè)正方形旋轉(zhuǎn)90度前后看起來(lái)是相同的，說(shuō)明正方形具有某種關(guān)于旋轉(zhuǎn)的對(duì)稱(chēng)性。

如此簡(jiǎn)單直觀的理論經(jīng)過(guò)大量擴(kuò)充和加工之后，成了當(dāng)今科學(xué)解釋宇宙及其起源的基礎(chǔ)。愛(ài)因斯坦相對(duì)論的核心原理即為物理定律在時(shí)空中的不變性，也就是說(shuō)，物理定律對(duì)于空間中的運(yùn)動(dòng)以及時(shí)間上的演化是對(duì)稱(chēng)的。而量子理論告訴我們，宇宙中的一切都是由一群微小的“基本”粒子構(gòu)造而成。這些粒子的行為遵從數(shù)學(xué)公式，也就是“自然法則”，而這些法則同樣具有對(duì)稱(chēng)性。粒子可以通過(guò)數(shù)學(xué)變換，轉(zhuǎn)變?yōu)橥耆煌牧硪环N粒子，而物理定律在這些變換下同樣保持不變。

如果對(duì)對(duì)稱(chēng)性沒(méi)有深入的數(shù)學(xué)理解，上述的這些理論就不會(huì)發(fā)展出來(lái)，而當(dāng)今物理學(xué)前沿那些更加新近的理論也不會(huì)形成。對(duì)于對(duì)稱(chēng)性的數(shù)學(xué)理解源自純數(shù)學(xué)，它在物理學(xué)中的作用隨后才逐漸凸顯了出來(lái)。極其有用的想法能夠從純粹抽象的思考中產(chǎn)生，這被物理學(xué)家尤金·維格納（Eugene Wigner）稱(chēng)為“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不合理的有效性”。對(duì)于數(shù)學(xué)，有時(shí)我們從中得到的似乎比投入其中的更多。

從古巴比倫的書(shū)吏到21世紀(jì)的物理學(xué)家，本書(shū)通過(guò)一連串的故事講述了數(shù)學(xué)家們?nèi)绾卧跓o(wú)意中發(fā)現(xiàn)了對(duì)稱(chēng)性的概念，以及對(duì)后來(lái)被證明不可能存在的公式看似無(wú)意義的尋找是如何打開(kāi)通向宇宙的一扇窗，并徹底顛覆了科學(xué)與數(shù)學(xué)的。更廣泛而言，對(duì)稱(chēng)性的故事說(shuō)明了偉大的思想所帶來(lái)的文化影響與其歷史脈絡(luò)如何在偶然的政治與科學(xué)巨變中得以鮮明地凸顯出來(lái)。

本書(shū)的前半部分可能一眼看上去與對(duì)稱(chēng)性毫無(wú)關(guān)系，也幾乎沒(méi)有涉及自然世界。這是因?yàn)?，?duì)稱(chēng)性理論并不是像人們想象的那樣，從幾何學(xué)發(fā)展成為一種主流理論的。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家現(xiàn)在所使用的那些極其優(yōu)美又不可或缺的對(duì)稱(chēng)性概念反而是來(lái)源于代數(shù)學(xué)。因此，本書(shū)的大部分內(nèi)容描述的都是代數(shù)方程的求解問(wèn)題。這可能聽(tīng)上去太專(zhuān)業(yè)了，但這場(chǎng)探尋之旅扣人心弦，其中的很多關(guān)鍵人物度過(guò)了不同尋常而又戲劇化的人生。數(shù)學(xué)家也是人，盡管他們經(jīng)常陷入抽象的沉思之中。他們中有些人在一生中可能過(guò)于依賴(lài)邏輯行事，但我們會(huì)一再發(fā)現(xiàn)，主角們身上其實(shí)擁有太多人之為人的天性。我們會(huì)看到他們?nèi)绾位钪c死去，讀到他們的愛(ài)情與決斗、關(guān)于成果優(yōu)先權(quán)的激烈爭(zhēng)奪、性丑聞、酗酒與疾病，而在其間，我們將會(huì)看到他們的數(shù)學(xué)思想如何展開(kāi)，并如何改變了這個(gè)世界。

本書(shū)講述的故事發(fā)端于公元前10世紀(jì)，至19世紀(jì)早期由伽羅瓦推向高潮，追溯了人們對(duì)方程一步步的征服過(guò)程。當(dāng)數(shù)學(xué)家遭遇了所謂的“五次”方程，也就是包含未知數(shù)的五次冪的方程時(shí)，征服的腳步終于停了下來(lái)。是因?yàn)槲宕畏匠逃惺裁锤旧系膮^(qū)別導(dǎo)致原有的方法不再適用，還是說(shuō)存在其他類(lèi)似但更強(qiáng)有力的方法可以得出五次方程求解的公式？數(shù)學(xué)家們是遇到了真正的障礙，還是只是太遲鈍了？

要強(qiáng)調(diào)的是，五次方程的解是已知存在的。問(wèn)題是，這些解是否一定能用代數(shù)式表示？1821 年，年輕的挪威人尼爾斯·亨里克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）證明五次方程無(wú)法用代數(shù)方法求解，但是他的證明晦澀而迂回。他證明了不存在一般的解法，卻并沒(méi)有真正解釋為什么。

伽羅瓦發(fā)現(xiàn)，五次方程不可解，是源于方程本身所具有的對(duì)稱(chēng)性?？梢赃@么說(shuō)，如果方程的這些對(duì)稱(chēng)性通過(guò)了伽羅瓦檢驗(yàn)——這意味著它們能以一種非常特殊的方式組合在一起，對(duì)此我現(xiàn)在先不做解釋——那么這個(gè)方程就可以用代數(shù)式求解。如果對(duì)稱(chēng)性沒(méi)有通過(guò)伽羅瓦檢驗(yàn)，那么就不存在這樣的代數(shù)式。

一般的五次方程都無(wú)法用代數(shù)式求解，因?yàn)樗鼈兯哂械膶?duì)稱(chēng)性不屬于可求解的類(lèi)別。

這一史詩(shī)級(jí)的發(fā)現(xiàn)引出了本書(shū)的第二個(gè)主題：群——一種數(shù)學(xué)上“關(guān)于對(duì)稱(chēng)性的微積分”。伽羅瓦繼承了代數(shù)學(xué)這一古老的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，并把它發(fā)揚(yáng)光大，改造成研究對(duì)稱(chēng)性的工具。

到目前為止，“群”這樣的詞還是未經(jīng)解釋的專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)。當(dāng)這些詞的含義在敘述中變得重要的時(shí)候，我會(huì)解釋它們，但有時(shí)我們只需要一個(gè)方便的名稱(chēng)來(lái)代指各種各樣的概念。如果你遇到了看上去像是專(zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)的詞，但書(shū)中對(duì)此一帶而過(guò)，沒(méi)有立即展開(kāi)討論，那么它的作用就只是一個(gè)實(shí)用的標(biāo)簽，背后的實(shí)際含義并不重要。有時(shí)只要你繼續(xù)往下讀，這些含義總歸會(huì)逐漸呈現(xiàn)出來(lái)?！叭骸本褪且粋€(gè)恰當(dāng)?shù)睦?，作為?zhuān)業(yè)術(shù)語(yǔ)它已經(jīng)出現(xiàn)了，但我們直到本書(shū)的中間部分才能明白它具體的含義。

本書(shū)還會(huì)涉及數(shù)學(xué)中一些特殊的數(shù)所具有的奇妙意義。我指的并不是物理學(xué)中的基本常數(shù)，而是π這樣的數(shù)學(xué)常數(shù)。物理學(xué)基本常數(shù)，比如光速，原則上可能是任意值，只是在我們的宇宙中碰巧等于每秒186000英里（約300000千米）。但是π永遠(yuǎn)等于比3.14159稍大的一個(gè)值，這個(gè)值無(wú)法被這個(gè)世界里的任何事物改變。

五次方程的不可解告訴我們，5這個(gè)數(shù)就像π一樣，是非常特殊的。它是使與之相關(guān)聯(lián)的對(duì)稱(chēng)群無(wú)法通過(guò)伽羅瓦檢驗(yàn)的最小的數(shù)。另一個(gè)奇妙的例子與下面這一列數(shù)有關(guān)：1，2，4，8。數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)可以對(duì)通常的實(shí)數(shù)概念進(jìn)行一系列的擴(kuò)張，首先得到復(fù)數(shù)，隨后則是被稱(chēng)為四元數(shù)和八元數(shù)的東西。它們分別由2套、4套和8套實(shí)數(shù)構(gòu)造而成。接下來(lái)呢？你可能很自然地會(huì)想到16，但實(shí)際上這列數(shù)已經(jīng)沒(méi)有更進(jìn)一步的合理擴(kuò)張了。這是一個(gè)非凡而深刻的事實(shí)。它告訴我們，8這個(gè)數(shù)有其特殊性。這種特殊性不是表面意義上的，而在于數(shù)學(xué)本身的潛在結(jié)構(gòu)。

除了5和8之外，本書(shū)還著重介紹了其他幾個(gè)數(shù)，尤其是14，52，78，133和248。這些奇怪的數(shù)是五個(gè)“例外李群”的維數(shù)，它們的影響遍及整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域以及大部分的數(shù)學(xué)物理學(xué)領(lǐng)域。它們是數(shù)學(xué)舞臺(tái)上的主角，而其他看起來(lái)與它們相差無(wú)幾的數(shù)卻只不過(guò)是些小角色。

數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這些數(shù)有多特殊的時(shí)候，正是19世紀(jì)末抽象代數(shù)建立起來(lái)的時(shí)候。重要的不是這些數(shù)本身，而是它們?cè)诖鷶?shù)基礎(chǔ)中起到的作用。它們中的每一個(gè)數(shù)都關(guān)聯(lián)著一個(gè)叫作李群的數(shù)學(xué)對(duì)象，具有獨(dú)特而顯著的特性。這些李群在近代物理學(xué)中起著基礎(chǔ)性的作用，而且看起來(lái)與空間、時(shí)間和物質(zhì)的深層結(jié)構(gòu)都有關(guān)聯(lián)。

這就引出了本書(shū)的最后一個(gè)主題：基礎(chǔ)物理學(xué)。長(zhǎng)久以來(lái)物理學(xué)家一直想知道，為什么空間有三個(gè)維度，而時(shí)間有一個(gè)維度——為什么我們生活在四維時(shí)空之中。超弦理論是將整個(gè)物理學(xué)統(tǒng)一在同一套互相一致的法則中的最新嘗試，物理學(xué)家由此開(kāi)始思考時(shí)空是否可能存在額外的“隱藏”維度。這種想法聽(tīng)起來(lái)好像很荒唐，但歷史上有很多這樣的先例。隱藏維度的存在可能是超弦理論中爭(zhēng)議最小的一點(diǎn)了。遠(yuǎn)比隱藏維度更有爭(zhēng)議的是，超弦理論相信構(gòu)建一套新的時(shí)空理論主要需要依靠相對(duì)論和量子理論——近代物理學(xué)的兩大支柱——背后的數(shù)學(xué)。人們認(rèn)為，統(tǒng)一這兩個(gè)相互矛盾的理論所需要的完全是數(shù)學(xué)上的推演，而不是新的革命性實(shí)驗(yàn)。數(shù)學(xué)美感被看作物理學(xué)真理的前提，這可能是個(gè)危險(xiǎn)的假設(shè)。很重要的一點(diǎn)是，我們不能忽略實(shí)際的物理世界，任何從當(dāng)下的深思熟慮中最終產(chǎn)生的理論，無(wú)論它具有多深的數(shù)學(xué)淵源，都必須與實(shí)驗(yàn)和觀察結(jié)果進(jìn)行比對(duì)。

不過(guò)眼下我們有充分的理由進(jìn)行數(shù)學(xué)上的探索。原因之一是，在一個(gè)真正有說(shuō)服力的統(tǒng)一理論建立起來(lái)之前，沒(méi)有人知道應(yīng)該做什么樣的實(shí)驗(yàn)。另一個(gè)原因是，數(shù)學(xué)上的對(duì)稱(chēng)性在相對(duì)論和量子理論中都至關(guān)重要，而這兩種理論又缺乏共同的基礎(chǔ)，所以哪怕是再微不足道的共同點(diǎn)，也應(yīng)該得到足夠的重視?？臻g、時(shí)間和物質(zhì)的可能結(jié)構(gòu)是由它們所具有的對(duì)稱(chēng)性決定的，而其中一些最重要的可能結(jié)構(gòu)似乎都關(guān)聯(lián)著特殊的代數(shù)結(jié)構(gòu)。時(shí)空之所以具備它的這些性質(zhì)，也許正是因?yàn)閿?shù)學(xué)只允許少數(shù)特殊的形式存在。如果是這樣，著眼于數(shù)學(xué)就很有意義了。

為什么宇宙看起來(lái)這么具有數(shù)學(xué)性呢？人們提出了很多答案，但我覺(jué)得它們都不太令人信服。數(shù)學(xué)思想與物理世界之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，就像我們眼中的美與最重要的數(shù)學(xué)形式之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系一樣，是一個(gè)深?yuàn)W而可能無(wú)解的謎。沒(méi)有人能說(shuō)清為什么美即是真，真即是美。我們能做的，只有思考其間蘊(yùn)含的無(wú)限復(fù)雜性而已。

《迷人的對(duì)稱(chēng)》，[英]伊恩·斯圖爾特著，李思?jí)m、張秉宇譯，鸚鵡螺｜中信出版集團(tuán)2022年9月。