伊藤清：概率論的歷史

【編者按】

伊藤清（Kiyoshi Ito，1915-2008）是日本數(shù)學家，京都大學教授，他是隨機分析的創(chuàng)始人之一，也是日本概率論研究的奠基者。2006年，他獲得了國際數(shù)學家大會（ICM）的首屆高斯獎。近日推出中文版的《世界是概率的：伊藤清的數(shù)學思想與方法》一書，是伊藤清的數(shù)學思想文集，記錄了他的求學之路，收錄了他對于“數(shù)學與科學”等方面的思考。本文摘自該書，是根據(jù)他在1989年的一次演講內容整理而成。

伊藤清

首先，我想先講一講數(shù)學究竟是一門怎樣的學問。關于數(shù)學與物理學的區(qū)別，著名數(shù)學家赫爾曼·外爾曾說：“物理是一門研究存在的學問，而數(shù)學則是一門研究萬物存在形式的學問。”我認為這句話中的物理，也可以指代化學、生物學、經濟學等數(shù)學以外的學科。

我以淺顯的方式解釋一下外爾先生所講的這句話吧。我們經常接受問卷調查，調查問卷上會設有姓名、住址、出生日期、職業(yè)、興趣等項目。我們稱它為調查問卷的格式。我們可以把這個格式看作數(shù)學，把被調查者在問卷上填寫的內容看作物理學。這里或許將物理學換作實驗物理學更為合適。數(shù)學物理、數(shù)理生物學、保險數(shù)學、數(shù)理經濟學等，廣義上都可以算進數(shù)學的范疇。

前面我也說過，數(shù)學是一種形式，或許也可以說是一種模式。要說具體是哪種模式，我認為是邏輯模式。更確切地說，是集合論。關于這一點，我將在后面說明。

但是，如果將數(shù)學從邏輯的角度看作集合論，那我們只能觸及數(shù)學的皮與骨，無法將數(shù)學的血肉一并概括進去。事實上，數(shù)學是伴隨著人類的進步不斷發(fā)展的“生物”，數(shù)學的實體便潛藏在這發(fā)展之中。因此，我們先來總覽一下數(shù)學的發(fā)展歷史吧。

根據(jù)歷史年表，日本從舊石器時代起，經歷了繩文、彌生、古墳、奈良、平安等時代，直至現(xiàn)在的平成。中國則經歷了夏、商、周、秦、漢、隋、唐、宋等朝代。印度從達羅毗茶文明發(fā)展到印度文明，西方則從古埃及文明、美索不達米亞文明、古希臘文明、古羅馬文明、阿拉伯文明等發(fā)展至現(xiàn)代的歐美諸國。

人類歷史上初次誕生的數(shù)學概念是自然數(shù)[1]1、2、3……這些數(shù)字的英文是one、two、three、four、five、six、seven等，其中two和three都以字母t開頭，four和five以字母f開頭，six和seven以字母s開頭。即使在這些原始的數(shù)學概念中，我們也能找到這種不知該說是規(guī)則還是邏輯的規(guī)律。日語的數(shù)詞中也蘊藏著與此全然不同的有趣規(guī)則。1（hi）和2（hu）均以h[2]開頭，3（mi）和6（mu）均以m開頭，4（yo）和8（ya）均以y開頭。能夠看出，每一組首字母相同的數(shù)字的比值都是1比2。使用這種數(shù)詞的民族極為罕見。據(jù)我所知，僅太平洋的某島有相似的情形。但是，給所有的數(shù)字逐一命名委實太過煩瑣，因此有了十進制。在十進制誕生之前，美索不達米亞文明還存在著二十進制、十二進制、六十進制等現(xiàn)在被歸為計時法、度量衡等的計數(shù)方法。十進制雖然在中國已有悠久的歷史，但它是由阿拉伯人傳入歐洲的。

阿拉伯人發(fā)明了進位計數(shù)制。古代中國雖然使用了十進制，但在書寫的時候并沒有進位，在表示151103這樣的數(shù)字時，會將其寫成十五萬一千一百零三。也就是說，除一到九的基數(shù)外，還必須使用十、百、千、萬等。若想表示更大的數(shù)字，還需要用到億、兆、京等表示更大數(shù)目的詞，可謂無窮無盡。若使用進位計數(shù)制，只需用阿拉伯數(shù)字的151103表示即可，簡明易懂。這時需要在1，2，3，…，9中加入0作為基數(shù)，這個數(shù)字0可以說是一大發(fā)明。雖然0最先出現(xiàn)在印度，但將其應用在進位計數(shù)制中使十進制家喻戶曉的是阿拉伯人。

在阿拉伯的計數(shù)制出現(xiàn)很久之前的古埃及文明與美索不達米亞文明中，由于日常生活的需要，誕生了實用數(shù)學，用來解決初等算術問題、代數(shù)問題和幾何問題。從采集經濟的時代發(fā)展到游牧、農耕時代后，這類實用數(shù)學不斷發(fā)展，可以用來解決天體觀測、土地測量、糧食保存計劃等問題。在中國，數(shù)學也是以同樣的方式產生的。

進入古希臘時代后，數(shù)學才作為一個超越了實用意義的學科體系建立起來，人們開始嘗試以論證的精神構筑數(shù)學這門學科。其中典型的成果便是歐幾里得的《幾何原本》。在歐幾里得生活的時代（公元前300年左右），人們已經了解了勾股定理、相似圖形、比例理論和其他幾何學知識，應該也在一定程度上思考了這些知識之間的聯(lián)系。歐幾里得就構成平面圖形的基本元素，也就是點和直線進行了思考，并嘗試從“過兩點有且只有一條直線”“兩條直線要么平行要么相交”這種無須證明的性質出發(fā)推導出圖形所有的性質。這是最初被體系化的數(shù)學，也標志著數(shù)學成為一門學科。現(xiàn)代數(shù)學依然沿襲著歐幾里得的精神。

至于這門偉大的學科為何誕生在古希臘，我一直覺得不可思議，至今也沒有找到答案。在歐幾里得的時代，古希臘的哲學興盛異常，注重理性思考，對任何事都講究追根溯源，試圖從本源出發(fā)解釋其他事物。另外，智者十分活躍，經常相互爭論，因此形成了從邏輯角度出發(fā)去思考事物的習慣。

同一時期的中國正處于以孔子為代表的春秋時代。當時百家爭鳴，成為之后中國學問的本源。盡管重視智慧的思想在東西方形成了統(tǒng)一，但以論證為基礎的數(shù)學最終沒能在中國形成。

在這之后的古羅馬時代，羅馬人擬定了法律，鑄造了貨幣，在政治和經濟方面飛速發(fā)展，但在數(shù)學上幾乎沒有什么成就。阿拉伯人通過經商發(fā)展出十進制，為東西方的文化交流做出巨大貢獻。但是，他們將歐幾里得的以論證為基礎的數(shù)學精神拋諸腦后，數(shù)學淪為了貴族子弟接受教育的必修科目。

除了幾何學，古希臘人還就數(shù)論中的質數(shù)和無理數(shù)進行了深入思考，但令人不解的是，他們沒能想到對實際生活有巨大幫助的十進制。其中緣由恐怕在于數(shù)學只有學者才去研究，而他們并沒有著眼于實際生活中出現(xiàn)的新的數(shù)學事實。即使有關注的想法，在沒有工業(yè)的農耕社會，我認為也找不到可以給數(shù)學家靈感的素材。

之后經過黑暗的中世紀，文藝復興運動展開，工商業(yè)再度興盛，人們生機勃勃，新的數(shù)學在歐洲相繼誕生。以文藝復興為契機，“從根源出發(fā)，以邏輯的方式推導出復雜的結論”這一歐幾里得幾何的精神復活，也對代數(shù)產生了影響。韋達（16世紀）以加減乘除的基本運算法則——交換律、結合律、分配律為起點將代數(shù)學體系化，他也因此被稱為代數(shù)學之父。而后，笛卡兒（17世紀）將平面上的點用兩個數(shù)字（坐標）來表示，創(chuàng)造出利用代數(shù)來研究幾何學的新方法。

笛卡兒

韋達和笛卡兒所處的時代可以算是歐洲數(shù)學的搖籃期，在那之后，以無窮、極限、連續(xù)和運動為研究對象，數(shù)學開始急速發(fā)展，直至微積分學的確立這一偉大成就誕生。這一成就萌芽于古希臘時代阿基米德（公元前3世紀）思考的如何避免無窮這一問題，而這引發(fā)了離散對象與連續(xù)對象之間的矛盾。歐洲數(shù)學斬斷了這一思想上的束縛，踏入了一個更加廣闊的世界。契機正是伽利略（16世紀~17世紀）對天體的研究。

詳細的情形暫且不談，我們繼續(xù)微積分學的話題。當時產生了一些精彩絕倫的觀點，比如將曲線看作由“小曲線段（?。嫵桑慷位木€段（弦）幾乎（按現(xiàn)在的說法，除去高階無窮?。┛梢哉J為是相等的，求出這些小線段長度的和，也就求出了曲線的長度”，還有“運動可以看作無限接近的兩個時間點之間的直線運動，將這些直線運動相加，就可以求出有限時間內物體的位移”等。通過微分求出曲線或運動的微小變化，然后將之求和就是積分。在這里非常重要的是，把微分看作直線這一點，現(xiàn)在被稱為線性化（linearization）。

這一嶄新的數(shù)學領域叫作微分學（differential calculus），與此相對，在此之前的代數(shù)方法被稱為有限元分析。與代數(shù)方程相對應，微分方程誕生了，它非常適合用來表示物理學新領域中的諸多法則。質點系的牛頓方程、流體力學中的歐拉方程和拉格朗日方程等，都是微分方程。如此一來，數(shù)學的內容就變得豐富多樣。這就是17世紀和18世紀的分析學。在那個時代，復數(shù)也在形式上被引入，并被有效利用起來。

古希臘數(shù)學的論證精神，在這個時代的數(shù)學發(fā)展中也扮演著重要的角色，但分析學沒能像歐幾里得幾何那樣形成一個嚴密的體系。當時的數(shù)學家們懷有不安，但還是將直觀的、形式上的推論混進理論中，一味地前進著。進入19世紀后，高斯用平面上的點表示復數(shù)，建立了有關復數(shù)的嚴密理論，柯西根據(jù)ε-δ定義確立了連續(xù)函數(shù)的定義等，逐漸鞏固了分析學的基礎。就這樣，數(shù)學成果不斷涌現(xiàn)，我們甚至可以稱19世紀為數(shù)學的黃金時代。對數(shù)學的邏輯上的探討也日益熱烈，非歐幾里得幾何也應運而生。進入19世紀末，基于魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾等人的研究，實數(shù)的嚴密定義才終于誕生。

進入20世紀后，像歐幾里得幾何這樣嚴密的體系才在數(shù)學的全部分支中實現(xiàn)。這里需要預先強調的是，如果以現(xiàn)代的眼光審視，歐幾里得幾何絕對稱不上完整。但是，從基本要素（點、直線）和與其相關的基本性質（公理）出發(fā)去構筑幾何學的思想是非常重要的。

17世紀到19世紀誕生了無數(shù)全新的數(shù)學理論。這些理論間具有復雜的關系。對這些理論加以整理，并全部通過基本要素和基本性質推導出來，會讓人覺得其難度是建立歐幾里得幾何所無法比擬的，但其實很簡單。整個數(shù)學的基本要素是集合，基本性質是集合論的公理這一事實在20世紀已經被闡明。換句話說，數(shù)學從邏輯上來看就是集合的理論。引入集合論的康托爾最初也許并沒有想這么多，但從結果來看確是如此。

邏輯學中有內包和外延的概念。內包是一種性質，外延則是具有這種性質的事物的集合。將性質A和性質B的外延記為A'、B'的話，從A可以推出B，這表示A'包含于B'（A'?B'），“A和B”這個性質的外延是A'和B'這兩個集合的并集（A'∪B'）。關于性質的所有命題都可以用與外延（集合）相關的命題表示。從這一層面去考察數(shù)學的性質，其實可以歸為對集合的考察。

好了，集合論（其實是數(shù)學整體）的基本要素就是集合。如果有兩個集合，那么A要么是B集合中的元素（A∈B），要么不是。這就是集合的基本性質。光靠這一點還不能構成數(shù)學，我們還需要假設其他幾條基本性質（公理）。這些公理之間存在矛盾會比較麻煩，所以人們對此展開了種種探討，由于專業(yè)性太強，我在這里就不介紹相關內容了。大家只需知道，現(xiàn)在這些公理不存在矛盾就可以了。

我們將沒有元素的集合稱為空集（?），也可以記作0。將0作為元素的集合{0}記作1，將0和1作為元素的集合{0，1}記作2，以此類推，那么3={0，1，2}，4={0，1，2，3}。這樣的集合可以通過事先給定的公理得到。這樣一來，我們就可以定義自然數(shù)（包括0）了。從這里出發(fā)，我們也可以定義負整數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復數(shù)，通過坐標定義二維空間、三維空間和n維空間等。代數(shù)系（群、環(huán)、域）或拓撲空間、可微分集合域、概率空間等現(xiàn)代數(shù)學中的基礎體系都在集合中加入了結構（structure），這個結構通過映射定義，映射結合圖像以集合的形式表現(xiàn)出來。因此，所有數(shù)學領域的定義或定理都能在集合論的框架中表現(xiàn)出來，定理的證明也能利用集合論的語言來表述。從這一層面上講，數(shù)學在邏輯上可以說就是集合論了。

但是一般的數(shù)學書中并不會這樣介紹。不過，在對某些推論產生疑問時，只要思路回到集合上，就可以得到答案，能做到這一點的才算得上是數(shù)學理論。

如果說能回歸到集合的內容作為數(shù)學理論有存在的價值，那么為了記述科學中的諸多現(xiàn)象而被引入的數(shù)學理論，以及引申出來的數(shù)學理論也是有價值的，這些理論還能帶來從純粹數(shù)學的角度看也很有趣的結論。數(shù)學就這樣與科學緊密相連。

以上便是歐洲數(shù)學的發(fā)展狀況。雖然在中國、印度和阿拉伯，埃及、美索不達米亞的實用風格數(shù)學也在蓬勃發(fā)展，但基于論證的希臘風格的體系化數(shù)學并沒能成為主流，與物理學、工學息息相關的微積分學、分析學也沒能誕生。

我們來就日本的數(shù)學歷史思索一番吧。古希臘歐幾里得時代正值日本的繩文時代末期，人們通過采集獲得食材，還沒有進入農耕時代。由此可見，日本文明和古希臘之間的巨大差距。那時，歐洲也處于與日本相似的狀態(tài)，無論是日耳曼人、斯堪的納維亞人還是斯拉夫人，都還過著在森林中狩獵的生活。

在即將進入奈良時代時，律令制由中國傳入日本。在整頓了國家制度后，又吸納了中國的數(shù)學（算術），與明經道、歷道、陰陽道一同，建立了研究算道[3]的算寮、算博士、算生制度。日本學習中國文化并將其本土化，并在音樂、美術、詩歌文學等領域創(chuàng)立了獨特的文化這一點大家都非常熟悉了。但那時在數(shù)學上，我們還毫無建樹。當時，中國已經出現(xiàn)了應用數(shù)學（以算術為主）的教科書，由此，算寮中應該已經開展了數(shù)學教育。假名被發(fā)明出來之后，日本人寫下了無數(shù)優(yōu)秀的小說、日志、隨筆，但沒能留下一本用日語編寫的數(shù)學啟蒙教材，這實在是令人匪夷所思。此類教材直到數(shù)百年后的江戶時代才出現(xiàn)。

那時，阿拉伯和歐洲的數(shù)學專著已經傳入中國，并被翻譯成中文。中文譯本傳到日本后，對江戶時代的日本數(shù)學造成了巨大影響。關孝和、建部賢弘等人創(chuàng)立了被稱為“和算”的獨特數(shù)學。其留下的成果中不乏有一些早于歐洲的數(shù)學發(fā)現(xiàn)，不禁讓人們佩服他們的智慧。然而，這些成果并沒有基于論證精神被串成一個體系，并且缺乏與其他學科的關聯(lián)，僅停留在技術層面，沒能成為一門學問。

就這樣，古埃及、美索不達米亞、古印度、中國、古希臘、阿拉伯等各文明中孕育出了不同的數(shù)學，可最終只有從古希臘連接到歐洲的數(shù)學傳統(tǒng)被保留了下來，其他的要么被吸收，要么枯萎消失了。

日本的明治新政府吸收了歐洲文明，在引入制度和學問的時候，也保留了日本自古以來的傳統(tǒng)，其中最重要的當屬日語。數(shù)學也算作一種語言，雖然江戶時代的和算傳統(tǒng)保留了下來，但明治新政府對于義務教育階段的數(shù)學應該教使用算盤的日本數(shù)學，還是教使用筆算的西方數(shù)學進行了激烈的討論，最終決定教西方數(shù)學。這一選擇的正確性可以說不言自明。不過，因為沒有能教筆算的教師，所以只能讓當初反對教西方數(shù)學的和算家們緊急學習，然后給學生上課。這樣的方法之所以能夠成功，是因為江戶時代便有了和算，全國有數(shù)萬家寺子屋[4]教授算盤課程。

日本學校的算術課

這里，我想簡單談一談與數(shù)學的信息交流相關的內容。日本的和算家們，其本職也都是武士、醫(yī)生等，屬于知識分子，當時還并不存在數(shù)學家這樣的職業(yè)。歐洲也是同樣的情形。在日本，人們傾向于不公開自己的成果，將之視為秘傳，向其他研究者提出自己已經解出的問題并相互挑戰(zhàn)。在京都的八坂神社中，至今還能看到寫著這類問題的算額[5]。據(jù)說，歐洲也有類似傾向。隨著歐洲外語學習的興盛，所有的講義和論文都使用拉丁文來寫。在那之后，雖然也漸漸開始用本國語言進行學術研究，但牛頓（17世紀）、歐拉（18世紀）、高斯（18世紀~19世紀）的著作全集中依然有很大一部分使用了拉丁文。在18世紀，大學中已經設立了數(shù)學專業(yè)（其中包含理論物理學和天文學），講義摘錄和論文也被大量出版，還出現(xiàn)了定期出版的數(shù)學雜志，數(shù)學協(xié)會也應運而生。日本也在明治初期出現(xiàn)了數(shù)學協(xié)會，它就是現(xiàn)在日本數(shù)學會的前身。通過圖書、雜志、論文的交換，信息交流得以迅速流暢地進行。即便如此，在第二次世界大戰(zhàn)之前，這樣的交流也需要一個月以上的時間，而現(xiàn)在，得益于傳真、噴氣式飛機等，信息交流只需一周便可完成。

就這樣，數(shù)學世界實現(xiàn)了全球一體化，將全球數(shù)學家聚集在一起討論數(shù)學問題的國際數(shù)學家大會也開始舉行。第一屆大會于1897年在瑞士的蘇黎世召開，全球共有204位數(shù)學家參加，但其中并沒有來自日本的數(shù)學家。之后，大會每四年召開一次，持續(xù)（除去因第一次世界大戰(zhàn)、第二次世界大戰(zhàn)中斷的情況）了差不多一百年。日本人（1位）初次參加大會是在第二屆（巴黎）。

明年（1990年），第二十一屆國際數(shù)學家大會將在京都（國際會館）召開。歷年來大會都在歐美國家舉辦，不過最近日本在數(shù)學上的顯著進步獲得了國際上的認可，加之日本舉辦大會的愿望非常強烈，所以上一屆大會（美國伯克利）通過了本屆大會在日本召開的決定。據(jù)估計，與會者能達到3500名（另有同行者上千名）。大會上除演講外，還會為有卓越研究成果的年輕數(shù)學家（40歲以下）頒發(fā)菲爾茲獎、奈望林納獎等獎項。日本的小平邦彥博士（1954）和廣中平祐博士（1970）都獲得過菲爾茲獎。

在國際數(shù)學家大會召開期間，用于推進數(shù)學研究和教育而設立的國際數(shù)學聯(lián)合會在神戶國際會場召開大會，屆時各國代表都將出席。出席會議的代表人數(shù)同各自國家的數(shù)學實力相對應，最多可有5位出席，日本同美國、英國、法國、西德和蘇聯(lián)一樣，擁有5名代表出席權。

這個國際會議雖是由日本數(shù)學會和日本學術會議，以及與數(shù)學領域淵源頗深的日本數(shù)學教育學會、日本運籌學會、日本科學史學會、日本軟件科學協(xié)會、日本統(tǒng)計學會、日本精算師協(xié)會與國際數(shù)學聯(lián)合會共同舉辦的，但承擔事務的主要是日本數(shù)學會。日本數(shù)學會為了籌備會議組建了運營委員會和組織委員會，準備工作不斷向前推進。當時最令人頭痛的是籌措經費的問題。所幸財界的朋友不遺余力慷慨解囊，現(xiàn)在前景十分樂觀，數(shù)學會的會員們也都安下心來，全身心投入到籌備工作中。保險業(yè)、金融業(yè)等行業(yè)的人也給予了大會大額贊助，借此機會，我也想向與這些行業(yè)有緊密聯(lián)系的精算師協(xié)會的各位表示誠摯的謝意。

雖然分配給我的演講時間所剩不多，但就像方才所說，接下來我會向大家介紹概率論的歷史，以及我對微積分方程的一些研究工作。

數(shù)學和天文學可以說是歷史最悠久的學科，現(xiàn)代數(shù)學的很多分支發(fā)源于美索不達米亞和古希臘的古代數(shù)學。古代人應該也有概率的概念，但第一位將其用數(shù)值表示的，還是以三次方程的解法而聞名于世的卡爾達諾（Cardano）（16世紀）。在這之后，帕斯卡和費馬建立了更加體系化的概率論的雛形。他們處理的問題大多與賭博相關。18世紀后半葉，伯努利證明了“在實驗條件不變的情況下，重復試驗多次，隨機事件的頻率接近于它的概率p”這一大數(shù)定律，由此，概率與統(tǒng)計的關系也清晰起來。概率論并不是只與賭博相關的數(shù)學，它是可以應用在人口問題、保險問題

中的頗為實用的數(shù)學。之后，微積分學和分析學的方法也被引入概率論中，涌現(xiàn)出了拉普拉斯的《概率的分析理論》、高斯的《繞日天體運動的理論》等著作。19世紀，數(shù)學的各個領域都在蓬勃發(fā)展，與此相比，概率的數(shù)學理論卻沒有什么像樣的成果。不過，伴隨著經濟統(tǒng)計學和經濟物理學的發(fā)展，概率論不斷出現(xiàn)新的素材。其中最重要的，是描述隨時間變化的偶然現(xiàn)象的隨機過程，這其實是描述運動的函數(shù)這一概念的概率版本，它在牛頓的時代確立。

進入20世紀后，集合論為數(shù)學的各個理論打下基礎，這一影響也波及概率論。從19世紀到20世紀初，人們明白了概率的數(shù)學本質是測度。這是因為波萊爾（Borel）和勒貝格（Lebesgue）所研究的新測度論及積分論的誕生使面積和體積被嚴密定義。這一思想雖然最初只在單個問題上體現(xiàn)，但隨著柯爾莫哥洛夫在概率空間的基礎上建立起概率論，概率論整體終于實現(xiàn)了體系化。19世紀末，與各科學領域中的統(tǒng)計現(xiàn)象相關聯(lián)的隨機過程也完全能以數(shù)學的方式進行研究。

這樣一來，幾個基本的隨機過程，比如維納的布朗運動（現(xiàn)在被稱為維納過程）、萊維的獨立增量過程，還有辛欽的平穩(wěn)過程等都被詳細地研究了。在隨機過程論創(chuàng)立的初期，雖針對某些時點的值進行過聯(lián)合分布的研究，但很快研究重點就轉移到隨機過程的樣本路徑的性質上了。樣本路徑可以說是隨機過程的本質。

微分方程的數(shù)學證明

柯爾莫哥洛夫開始考慮與普通動力系統(tǒng)相對的概率上的動力系統(tǒng)，最終推導出確定其轉移概率的柯爾莫哥洛夫微分方程。我深入挖掘潛藏在柯爾莫哥洛夫思路中的線索，開始考慮可以直接表示支配概率動力系統(tǒng)的樣本路徑的微分方程，并為了求解方程定義了隨機積分和隨機微分。對結果取平均值后，就得到了柯爾莫哥洛夫的微分方程。這一理論在日本、法國、蘇聯(lián)和美國的眾多研究者的努力下實現(xiàn)了一般化，現(xiàn)在已經發(fā)展成一個名為隨機分析的領域，控制、推測由隨機微分方程確定的現(xiàn)象的理論也已經被建立起來。

在隨機分析中，需要把在一般微積分學中慣用的

這一基本等式寫成下面的形式。

這個公式通常被稱為伊藤公式?，F(xiàn)在，這個公式有了更為一般的形式。

最近，隨機分析在日益發(fā)展，法國的馬里亞萬引入概率變分法，創(chuàng)立了極其深奧的理論。這一理論被稱為馬里亞萬隨機分析。不只法國的研究者，日本、美國、英國的眾多研究者也為理論的發(fā)展添磚加瓦。就這樣，我引入的隨機微分、隨機積分因眾多數(shù)學家的貢獻而茁壯成長，這完全超出了我的預期，對我而言實數(shù)僥幸。我把自己微不足道的研究放在內容宏大的演講中，雖難以為顏，但還是依照事先安排為大家做了介紹。

謝謝大家。

（寫于1989年3月）

注釋

1.本書中的“自然數(shù)”不含0?！幷咦?/p>

2.這里的h指的是這些數(shù)詞的日語羅馬音中的h，后文中的m和y指的也是日語羅馬音?！g者注

3.日本律令制下的大學寮中研究算術的學科?！幷咦?/p>

4.日本江戶時代寺院所設的私塾?！幷咦?/p>

5.算額是日本江戶時期出現(xiàn)在神社和寺廟里的幾何題?！g者注

《世界是概率的：伊藤清的數(shù)學思想與方法》，【日】伊藤清/著 劉婷婷/譯，人民郵電出版社·圖靈新知，2023年3月版