評(píng)《幾何學(xué)的力量》：化圓為方，人生幾何

《幾何學(xué)的力量》，[美]喬丹·艾倫伯格著，胡小銳、鐘毅譯，中信出版集團(tuán)，2023年3月出版，389 頁(yè)，79.00元

人生幾何

回想起學(xué)生時(shí)代學(xué)數(shù)學(xué)尤其是幾何的時(shí)候總是心情復(fù)雜。幾何好像是遙遠(yuǎn)的古代祖先傳下來(lái)的技巧，在校園之外的現(xiàn)代生活中百無(wú)一用。幾何在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的地位堪比榴蓮，愛(ài)的愛(ài)死，討厭的避之唯恐不及。有些人覺(jué)得學(xué)幾何比登天還難，而另一些人則認(rèn)為幾何是數(shù)學(xué)中唯一有趣的部分，當(dāng)然，前者可能占多數(shù)。

英文“Geometry”來(lái)源于希臘語(yǔ)，其中“Geo”意為地球，“Metry”對(duì)應(yīng)希臘語(yǔ)中的測(cè)量，因此，幾何的本意是大地測(cè)量。作為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，幾何主要研究形狀、尺寸、空間和位置等。關(guān)于為何Geometry在中文中翻譯為“幾何”，有很多說(shuō)法。最有趣的一種說(shuō)法（尚未得到證實(shí)）是徐光啟在翻譯歐幾里得的《幾何原本》時(shí)，受曹操“短歌行”中的“對(duì)酒當(dāng)歌，人生幾何”的啟發(fā)；加之徐光啟是上海人，“Geometry”的前幾個(gè)字母發(fā)音和上海話的“幾何”相似，因此得名。

喬丹·艾倫伯格（Jordan Ellenberg）是美國(guó)威斯康星大學(xué)的數(shù)學(xué)教授，他的著作《幾何學(xué)的力量》進(jìn)過(guò)紐約時(shí)報(bào)暢銷書榜。本書生動(dòng)形象、全面地描述了幾何在生活中各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，包括理論物理、金融、人工智能、政治和詩(shī)歌等，可以說(shuō)幾何幾乎無(wú)處不在。雖然要完全理解這本書需要一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（高中或以上），但無(wú)論你的數(shù)學(xué)知識(shí)深淺，都可以通過(guò)本書了解到一些關(guān)于數(shù)學(xué)和幾何的有趣八卦，拓展知識(shí)視野。

幾何與人工智能：滅蚊建模、布朗運(yùn)動(dòng)、馬爾科夫、搜索算法和ChatGPT

幾何與人工智能的關(guān)系要追溯到二十世紀(jì)初圣路易斯世博會(huì)上科學(xué)家羅納德·羅斯（Ronald Ross）做的一個(gè)題為“滅蚊衛(wèi)生政策的邏輯基礎(chǔ)”的有趣演講。羅斯的模型很簡(jiǎn)單，假設(shè)一只蚊子出生在給定的點(diǎn)，并且在它的生命中每一天可以選擇向東南西北，各百分之二十五的概率，最后它死的距離會(huì)離出生點(diǎn)多遠(yuǎn)？只要計(jì)算出這個(gè)圓圈的大小，排干的水池的圓圈足夠大，蚊子就會(huì)被消滅。羅斯的數(shù)學(xué)功底并沒(méi)有辦法解決這個(gè)二維模型，而是解決了簡(jiǎn)化版的一維模型。1905 年7月皮爾遜在《自然》雜志中提出并解決了羅斯的二維滅蚊問(wèn)題。

羅斯的演講其實(shí)并不成功，因?yàn)樗难葜v對(duì)象是數(shù)百名醫(yī)生，他們完全聽(tīng)不懂羅斯想要把數(shù)學(xué)建模引入醫(yī)學(xué)討論的想法。但誰(shuí)能想到，這篇關(guān)于滅蚊政策的演講，開(kāi)啟了隨機(jī)游走理論，而這個(gè)理論在二十世紀(jì)啟發(fā)了理論物理、金融衍生品定價(jià)模型、搜索算法, 甚至如今最火爆的ChatGPT都與之有密切關(guān)系。

同年愛(ài)因斯坦在《物理學(xué)年鑒》發(fā)表了關(guān)于布朗運(yùn)動(dòng)的論文，一舉成名。布朗運(yùn)動(dòng)是用來(lái)刻畫漂浮在液體中的小顆粒的運(yùn)動(dòng)，是1827年羅伯特·布朗在顯微鏡下研究花粉顆粒首先注意到這個(gè)現(xiàn)象。開(kāi)始他以為這是生命體的特有現(xiàn)象，但在進(jìn)一步試驗(yàn)后，他發(fā)現(xiàn)窗戶上的玻璃屑、粉末錳、鉍和砷、石棉纖維也都存在類似現(xiàn)象。愛(ài)因斯坦根據(jù)擴(kuò)散方程建立了布朗運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)理論。布朗運(yùn)動(dòng)的發(fā)現(xiàn)、實(shí)驗(yàn)研究和理論分析對(duì)于理論物理具有劃時(shí)代意義，而其數(shù)學(xué)建模和之前提到的滅蚊模型有著非常大的關(guān)聯(lián)。

在二十世紀(jì)隨機(jī)過(guò)程理論轟轟烈烈的發(fā)展中，最有名的莫過(guò)于安德烈·馬爾科夫（Andrey Markov）。馬爾科夫是一位俄羅斯數(shù)學(xué)家，他在概率論和隨機(jī)過(guò)程領(lǐng)域做出了重要貢獻(xiàn)。他也是個(gè)怪異的數(shù)學(xué)家，只關(guān)心概率純理論，對(duì)實(shí)際運(yùn)用漠不關(guān)心。得知其他數(shù)學(xué)家把隨機(jī)游走方面的理論運(yùn)用到股票市場(chǎng)，馬爾科夫不以為然，認(rèn)為此類工作在數(shù)學(xué)領(lǐng)域并無(wú)太多價(jià)值。這種純數(shù)學(xué)家對(duì)于運(yùn)用數(shù)學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家的鄙視鏈條，在今日的數(shù)學(xué)界仍可找到蹤影。

馬爾科夫?qū)?shù)學(xué)最大的貢獻(xiàn)莫過(guò)于以他名字命名的馬爾科夫鏈（Markov Chain）。二十世紀(jì)初，馬爾科夫采用該鏈來(lái)分析俄羅斯詩(shī)人普希金的著名詩(shī)作《葉甫蓋尼·奧涅金》中的字母。他將俄語(yǔ)字母的排列視為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，并計(jì)算了一個(gè)馬爾科夫鏈模型。通過(guò)這個(gè)模型，馬爾科夫成功地揭示了《葉甫蓋尼·奧涅金》中字母出現(xiàn)的概率規(guī)律。在前兩萬(wàn)個(gè)字母中，他發(fā)現(xiàn)如果當(dāng)前字母是輔音，下一個(gè)是元音的概率是百分之六十六點(diǎn)三，而如果當(dāng)前的字母是元音，下一個(gè)是輔音的概率是百分之八十七點(diǎn)二；他還對(duì)謝爾蓋·阿克薩科夫（Sergey Aksakov）的小說(shuō)做了同樣的研究，發(fā)現(xiàn)如果當(dāng)前字母是輔音，下一個(gè)是元音的概率是百分之三十六點(diǎn)五，而如果當(dāng)前字母是元音，下一個(gè)是輔音的概率是百分之四十四點(diǎn)八。也就是說(shuō)通過(guò)統(tǒng)計(jì)這個(gè)數(shù)據(jù)，可以大致辨別出一篇文字的出處更有可能是普希金還是阿克薩科夫。這個(gè)有趣的運(yùn)用蘊(yùn)含了未來(lái)谷歌搜索算法和ChatGPT的關(guān)鍵思想。

谷歌搜索算法的本質(zhì)是通過(guò)馬爾科夫鏈，根據(jù)之前的狀態(tài)，預(yù)測(cè)下一個(gè)可能的狀態(tài)。馬爾科夫鏈和谷歌搜索的關(guān)系體現(xiàn)在谷歌搜索算法中的一個(gè)重要組成部分——PageRank算法。PageRank算法運(yùn)用馬爾科夫鏈的思想來(lái)模擬網(wǎng)頁(yè)之間的鏈接關(guān)系。在PageRank模型中，每個(gè)網(wǎng)頁(yè)被視為一個(gè)狀態(tài)，而網(wǎng)頁(yè)之間的鏈接被視為狀態(tài)轉(zhuǎn)移的可能性。因此，當(dāng)用戶在瀏覽網(wǎng)頁(yè)時(shí)，他們從一個(gè)網(wǎng)頁(yè)跳轉(zhuǎn)到另一個(gè)網(wǎng)頁(yè)的行為可以看作是一個(gè)馬爾科夫鏈過(guò)程。PageRank算法計(jì)算每個(gè)網(wǎng)頁(yè)的概率分布，這個(gè)概率分布可以理解為網(wǎng)頁(yè)的重要性得分。最終，搜索引擎會(huì)根據(jù)這個(gè)得分對(duì)搜索結(jié)果進(jìn)行排序。

而ChatGPT是一個(gè)基于GPT架構(gòu)的大型語(yǔ)言模型，它可以進(jìn)行自然語(yǔ)言生成、理解和對(duì)話等任務(wù)。ChatGPT利用了類似馬爾科夫鏈的方法，即根據(jù)之前的文本，預(yù)測(cè)下一個(gè)可能的文本，并不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，從而生成連貫的對(duì)話或文章。具體來(lái)說(shuō)，ChatGPT使用的是“自回歸模型”（Autoregressive Model），它將文本序列看作一個(gè)時(shí)間序列，當(dāng)前的文本生成依賴之前的文本，每個(gè)文本片段的生成都是基于之前所有文本的概率分布。這種模型可以看作是一種馬爾科夫鏈模型，基于當(dāng)前狀態(tài)的概率分布預(yù)測(cè)下一個(gè)狀態(tài)的概率分布。馬爾科夫鏈在深度學(xué)習(xí)和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中起到了非常關(guān)鍵的作用。

幾何與政治家：林肯化圓為方

幾何與歷史上一些知名的政治家也頗有淵源。林肯可能是歷任美國(guó)總統(tǒng)里對(duì)幾何最感興趣的一位。他將幾何學(xué)的概念和原理應(yīng)用到政治和法律問(wèn)題中，從而獲得更深刻的理解和更好的解決方案。林肯的幾何學(xué)思維方式不僅在律師生涯中得到了體現(xiàn)，也對(duì)他的整個(gè)政治生涯產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。

林肯在人生艱難時(shí)期把歐幾里得的《幾何原本》當(dāng)作慰藉的源泉，是個(gè)十足的幾何控，他的幾何學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是在早年測(cè)量員工作中學(xué)到的。1850年代，林肯在眾議院任職一屆后卸任，眼看政治生涯似乎就要到頭了，他接下來(lái)的計(jì)劃是當(dāng)一名普通律師。他的律所合伙人威廉·赫恩登（William Herndon）以前是他的室友，赫恩登回憶往事說(shuō)自己早已呼呼大睡，而林肯沉浸在歐幾里得的《幾何原本》中，點(diǎn)著蠟燭廢寢忘食。某日清晨，熬了一個(gè)晚上的林肯告訴赫恩登他一直在努力解決一個(gè)著名的化圓為方問(wèn)題。他試圖構(gòu)建一個(gè)與給定圓具有相同面積的正方形，但限制條件是只能使用直尺和圓規(guī)這兩種工具。在古希臘，當(dāng)某人使任務(wù)變得比必要的更難時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)的憤怒評(píng)論是說(shuō)：“我不是要你把圓圈弄方?！庇⒄Z(yǔ)中的square the circle, 中文的化圓為方，表達(dá)的都是類似的意思。這個(gè)難題在古代一直沒(méi)有被解決，且直到十九世紀(jì)才被證明不可能通過(guò)尺規(guī)完成（尺規(guī)畫不出根號(hào)π）。

林肯在其政治生涯中多次使用了化圓為方的比喻來(lái)解釋政治難題。他認(rèn)為，有些人提出了一些看似美好的政治理念，但實(shí)際上是不可能實(shí)現(xiàn)的，就像化圓為方一樣。例如，林肯在一次著名演講中談到了廢除奴隸制的問(wèn)題。他說(shuō)：“廢除奴隸制并不是化圓為方，廢除奴隸制是我們必須完成的任務(wù)?！彼€在一封信中用化圓為方的比喻來(lái)討論解決聯(lián)邦政府和州政府之間的權(quán)力分配問(wèn)題：“我們不能期望找到一個(gè)完美的解決方案，因?yàn)檫@是化圓為方，但我們可以努力找到一個(gè)更好的方案，一個(gè)更符合我們的國(guó)家利益和憲法原則的方案。”

林肯通過(guò)幾何學(xué)的思維方式，不斷挑戰(zhàn)法律和政治問(wèn)題，并用幾何學(xué)的邏輯和推理來(lái)解決這些問(wèn)題。他曾說(shuō)：“我們正在進(jìn)行一場(chǎng)測(cè)試，測(cè)試我們是否能夠建立一個(gè)基于自由的政府，一個(gè)可以對(duì)抗各種挑戰(zhàn)和威脅的政府。我們必須保持信念和原則，就像在幾何學(xué)中，要根據(jù)公正的原則去推導(dǎo)正確的結(jié)論一樣?！绷挚线€經(jīng)常使用幾何學(xué)的概念來(lái)解釋法律問(wèn)題。在一份辯護(hù)詞中，他使用了幾何學(xué)中的“反證法”：先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過(guò)推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立。

林肯使用幾何學(xué)計(jì)算他家和最近的郵局之間的距離。在那個(gè)時(shí)代，測(cè)量距離的方法非常有限，而林肯熟悉幾何學(xué)的原理和技術(shù)，使用了幾何學(xué)中的三角函數(shù)和三角比例來(lái)計(jì)算這個(gè)距離。林肯還使用幾何學(xué)設(shè)計(jì)了一種更有效的種植作物的方式。他觀察到傳統(tǒng)的種植方法會(huì)導(dǎo)致農(nóng)田的土壤逐漸喪失肥力，于是他將農(nóng)田分成了一系列大小相等的正方形，每個(gè)正方形都種植不同的作物，這種方式使得每種作物都能夠得到充分的陽(yáng)光和土壤營(yíng)養(yǎng)。此外，林肯還在正方形田地之間留下了一些小的三角形田地，這些小田地可以用來(lái)種植牧草和其他一些需要更少的土地的作物。這種方法被稱為“林肯田地”或“林肯花園”，主要依賴于作物輪作和多樣化種植，以提高作物產(chǎn)量和保持土壤肥力，實(shí)現(xiàn)種植效益的最大化。通過(guò)輪作可以有效減少土壤中病原體和害蟲(chóng)的數(shù)量，從而降低病蟲(chóng)害的發(fā)生率。通過(guò)種植不同類型的作物，可以使土壤中的營(yíng)養(yǎng)成分得到更好的循環(huán)利用。

在林肯最著名的《葛底斯堡演說(shuō)》里最為人熟悉的“主張”（proposition）是歐幾里得使用的術(shù)語(yǔ)——其含義是通過(guò)一系列公理和邏輯推導(dǎo)得出的事實(shí)和無(wú)法否認(rèn)的論斷。

林肯的《葛底斯堡演說(shuō)》不僅在美國(guó)家喻戶曉，在全世界都很受歡迎。據(jù)說(shuō)這篇演講江澤民主席可以用英文倒背如流。工程師出身的江澤民主席對(duì)數(shù)學(xué)尤其是幾何也十分熱愛(ài)，他曾在訪問(wèn)濠江中學(xué)時(shí)當(dāng)場(chǎng)給學(xué)生出了一道五點(diǎn)共圓的幾何題：“假設(shè)：任意一個(gè)五角星形的五個(gè)三角形外接圓交于五點(diǎn)。求證：這五點(diǎn)共圓?！边@是一個(gè)經(jīng)典的歐幾里得幾何問(wèn)題，證明需要不錯(cuò)的平面幾何基本功。

幾何與詩(shī)歌：華茲華斯的《序曲》

幾何與詩(shī)歌之間存在著深刻而復(fù)雜的關(guān)系。首先，幾何學(xué)和詩(shī)歌都需要?jiǎng)?chuàng)造性的思維和想象力。幾何學(xué)家需要從空間中找到規(guī)律、規(guī)則和對(duì)稱性，同樣，詩(shī)人需要從語(yǔ)言中找到節(jié)奏、韻律和隱喻等。此外，幾何學(xué)和詩(shī)歌也在某種程度上有著相似的結(jié)構(gòu)和形式。幾何學(xué)的構(gòu)成要素通常是線、面和體，這些要素之間的關(guān)系可以用數(shù)學(xué)符號(hào)和公式來(lái)描述。而詩(shī)歌的構(gòu)成要素通常是節(jié)奏、韻律和意象等，這些要素之間的關(guān)系可以通過(guò)語(yǔ)言和形式來(lái)描述。最后，幾何學(xué)和詩(shī)歌都涉及一種探索和表達(dá)世界的方式。幾何學(xué)家通過(guò)研究形狀和空間，試圖了解自然界的規(guī)律和結(jié)構(gòu)。而詩(shī)人則通過(guò)語(yǔ)言和形式，試圖表達(dá)人類對(duì)世界的情感和思考。

幾何與詩(shī)人有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。威廉·華茲華斯在長(zhǎng)篇自傳體詩(shī)歌《序曲》（The Prelude）中講述了一個(gè)令人難以置信的故事：一名海難受害者被拋到一個(gè)無(wú)人居住的島嶼上，身邊除了一本歐幾里得的《幾何原本》一無(wú)所有。盡管他又餓又沮喪，仍用一根棍子在沙上畫出圖表，最后通過(guò)《幾何原本》里一個(gè)接一個(gè)證明來(lái)排遣寂寞安慰自己。這故事并不是空穴來(lái)風(fēng)，據(jù)說(shuō)有原型?！缎蚯愤€有個(gè)故事。華茲華斯在一個(gè)寒冷的冬天來(lái)到意大利，看到一塊石板上刻有一些字母和幾何圖形。他突然感覺(jué)自己的思想被解放，可以超越時(shí)間和空間的限制，進(jìn)入更高層次的思考。華茲華斯對(duì)于數(shù)學(xué)的喜愛(ài)據(jù)說(shuō)部分來(lái)自好友、愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家威廉·漢密爾頓（William Hamilton）。漢密爾頓在 1827 年遇到華茲華斯時(shí)才二十二歲，已被任命為都柏林大學(xué)教授和愛(ài)爾蘭皇家天文學(xué)家，華茲華斯五十七歲。漢密爾頓開(kāi)始將自己的詩(shī)寄給華茲華斯，然而華茲華斯委婉地勸說(shuō)漢密爾頓不要浪費(fèi)太多精力在詩(shī)歌上。

神書《幾何原本》

另一個(gè)著名例子是波斯詩(shī)人奧馬開(kāi)陽(yáng)（Omar Khayyam），他還是一位數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家。他的傳世名作《魯拜集》探討了生命的意義、愛(ài)情和時(shí)間的流逝等主題。奧馬開(kāi)陽(yáng)的許多詩(shī)歌也包含了對(duì)數(shù)學(xué)的引用，包括無(wú)限、幾何和代數(shù)等概念。其中一首寫道：天地為球，人心多欲，球之中心無(wú)所不在，而其周圍則無(wú)所依托。（The world is a sphere, the desires of men are various and different, and the center of the sphere is everywhere, but its circumference is nowhere.）

不過(guò)詩(shī)人也有吐槽數(shù)學(xué)幾何的例子。比如濟(jì)慈曾經(jīng)吐槽牛頓，說(shuō)他通過(guò)展示棱鏡表現(xiàn)出的光學(xué)效果，剝奪了彩虹的所有浪漫色彩。美國(guó)現(xiàn)代派詩(shī)人E. E. 卡明斯在一首詩(shī)中寫過(guò)：“幾何解釋不了為什么一個(gè)人不可能同時(shí)在兩個(gè)不同的地方?！?/p>

在某種程度上，幾何學(xué)被認(rèn)為是宇宙秩序、和諧和美的表現(xiàn)，而這些特性通常與神性或上帝聯(lián)系在一起。在柏拉圖哲學(xué)中，幾何學(xué)被認(rèn)為是理性思考的基礎(chǔ)，揭示了宇宙的永恒真理。柏拉圖的理念論主張，理念（如圓形、三角形等）存在于一種永恒、不變的超越現(xiàn)實(shí)之中，這種現(xiàn)實(shí)通常與神性相關(guān)聯(lián)。因此，在柏拉圖哲學(xué)中，幾何學(xué)是對(duì)神圣秩序的研究?；浇躺駥W(xué)中的某些觀點(diǎn)也將幾何學(xué)與神性聯(lián)系起來(lái)。例如，在《圣經(jīng)》的創(chuàng)世紀(jì)中，上帝被描繪成通過(guò)有序的創(chuàng)造行為創(chuàng)造了宇宙。幾何學(xué)的規(guī)律和原則通常被認(rèn)為反映了上帝的智慧和創(chuàng)造力。因此，研究幾何學(xué)被認(rèn)為是了解上帝思維方式的一種途徑。另一方面，在伊斯蘭哲學(xué)和藝術(shù)中，幾何圖案被認(rèn)為是表達(dá)神圣無(wú)限性的一種方式。因?yàn)橐了固m教禁止刻畫具象的真主，所以幾何圖案成為了裝飾清真寺和其他宗教建筑的重要元素。這些復(fù)雜的幾何圖案被認(rèn)為代表了宇宙的無(wú)限復(fù)雜性，而這種復(fù)雜性歸功于真主安拉的無(wú)限智慧和創(chuàng)造力。

本書還討論了一系列有趣的問(wèn)題：一根吸管到底有幾個(gè)洞？數(shù)字貨幣交易中的公鑰和私鑰是怎么生成的？新冠病毒的傳播如何建模？自然界中隨處可見(jiàn)的黃金分割給我們?cè)鯓拥膯⑹?？統(tǒng)計(jì)學(xué)何時(shí)會(huì)騙人？選舉中的“黑魔法”是什么？人工智能是如何戰(zhàn)勝國(guó)際象棋冠軍的？這些有趣的問(wèn)題背后都蘊(yùn)含著深刻的幾何原理，讓人不得不驚嘆大自然的神奇和幾何的美妙。