理解自然律，數(shù)學(xué)為何能發(fā)揮作用

【編者按】

宇宙的運行由自然法則和基本的物理常數(shù)統(tǒng)治著，它們決定了宇宙的起源、形狀、規(guī)模和命運。這些自然法則和常數(shù)從何而來?為什么宇宙的奇妙與復(fù)雜可以使用如此簡練、優(yōu)雅的數(shù)學(xué)語言來表達?

英國著名化學(xué)家和科普作家、《伽利略的手指》作者彼得·阿特金斯在《變個宇宙出來：自然法則的起源》（蘇湛 譯，商務(wù)印書館2023年3月版）一書中，通俗幽默地解釋了在一無所有（nothing）中，在無為(indolence)的驅(qū)使和無規(guī)則(anarchy)的支配下，宇宙漫無目的地演化出了今天我們所知道的全部復(fù)雜精巧的自然律。本文摘自第九章“來自深層的吶喊：數(shù)學(xué)為何能發(fā)揮作用”。

《變個宇宙出來：自然法則的起源》書封

很多自然律都可以用數(shù)學(xué)形式表達，包括那些內(nèi)容原本和數(shù)學(xué)沒什么關(guān)系的定律（例如被總結(jié)出來描述自然選擇造成的演化的定律，不管這些定律最后會長成什么樣），在用數(shù)學(xué)重新詮釋后，都會獲得更大的威力。

最早考慮這個問題的科學(xué)家之一是頗具影響力的匈牙利數(shù)學(xué)家尤金·維格納（Eugene Wigner或匈牙利語Wigner Jen? Pál，1902—1995），他在1959年的一場題為“數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中不可理喻的有效性”的講座中提出了這個問題。他以一種也許非常明智的謹小慎微的態(tài)度給出了如下結(jié)論：數(shù)學(xué)不可理喻的有效性是一個謎，這個謎過于深奧，是不可能通過人類的反思獲得解決的。其他一些人進一步增強了這種普遍的絕望感，他們認為在目前的各種未解之謎中，這一個很可能會一直持續(xù)下去。

而另一種觀點，相對于維格納謹慎的悲觀主義，另一種更加積極的看法認為，數(shù)學(xué)的有效性并非不可理喻，它不是在制造困惑，而是為探索宇宙的深層結(jié)構(gòu)提供了一扇重要的窗戶。數(shù)學(xué)可能是宇宙在努力使用我們共同的語言對我們說話。在本章的論述中，我會試著消除這種說法看似可能會——我但愿不會——染上的神秘主義色彩。自然律存在數(shù)學(xué)版本，這一事實也許指向一個關(guān)于組成現(xiàn)實世界的深層結(jié)構(gòu)可能是什么的嚴肅問題，并讓我們期待獲得一個能帶來豐厚回報的答案。也許它指向的是那個最深刻的問題，也是古往今來所有問題中最令人困惑和最引人入勝的問題：存在著的東西是怎樣開始存在的。

可定量的世界

不可否認，數(shù)學(xué)是一種格外有效和成功的與宇宙對話的語言。從最實用主義的層面說，我們可以用概括物理定律的方程預(yù)言出物理過程的數(shù)值結(jié)果，就像從擺長預(yù)言出單擺的周期那樣?？纯刺煳膶W(xué)家預(yù)言行星軌道、日食發(fā)生率，以及超級月亮——也就是在月球接近近地點的時候出現(xiàn)滿月的現(xiàn)象——出現(xiàn)的驚人能力吧。然后，從表述為數(shù)學(xué)形式的定律中還會突現(xiàn)出意想不到的推論，并被觀測驗證。這些例子中最著名的莫過于有人聽完愛因斯坦廣義相對論——他的引力理論——的內(nèi)容，就預(yù)言了黑洞。還有一種說法，當然是諷刺性的，說的是如果一個實驗觀測無法被一個寫成數(shù)學(xué)形式的理論所支持，它就不能被接受。世界經(jīng)濟在追求把自然律寫成數(shù)學(xué)形式的風(fēng)氣影響下潮起潮落。各國工業(yè)產(chǎn)出中比例非常大的一部分現(xiàn)已歸功于對量子力學(xué)及其數(shù)學(xué)形式的執(zhí)行。

當然，在我們對宇宙的理解以及對它的物理化詮釋中，有一些方面尚未被表示為數(shù)學(xué)形式。就在本書開始的部分以及剛剛順帶提到的幾句話中，我把注意力投向了宇宙中影響最深遠的理論之一，即用來解釋演化現(xiàn)象的自然選擇理論。從它并沒有被表示成公式形式的意義上說，這一理論就其內(nèi)在本質(zhì)而言并不是數(shù)學(xué)性的，但它卻仍然擁有巨大的效力，也許在宇宙中的不管什么地方，只要那里存在可以被認為是“生命”的東西，這項理論就能夠適用。甚至不僅僅是新物種的突現(xiàn)，它還可以適用于整個新宇宙的突現(xiàn)。我們可以把這一理論表述為一種自然律，比如，赫伯特·斯賓塞的“適者生存”就是一種粗糙但不失犀利的近似。不過，一旦我們對這種理論做一點兒數(shù)學(xué)上的演繹，比如構(gòu)建生物數(shù)量的動力學(xué)模型，就像我很快會再次提到的，這項理論的定性版本就會立刻獲得深不可測的、定量化的豐富內(nèi)涵——我這樣說的意思是，它將能夠做出定量化的預(yù)言。

數(shù)學(xué)

生物學(xué)，就其整體而言，也許是數(shù)學(xué)博覽會中一個不那么顯眼的區(qū)域。直到1953年以前，這一人類知識分支在很大程度上還不過就是在大自然中走走看看而已，而就在1953年，沃森和克里克確定了DNA的結(jié)構(gòu)，從而幾乎一下把生物學(xué)變成了化學(xué)的一部分，也因此使它成為了物理科學(xué)的一員，并賦予了它這一身份所蘊含的全部威力。話雖如此，除了（回到DNA）包括編碼定律在內(nèi)的各種遺傳定律以外，很難指出有什么具體的數(shù)學(xué)生物學(xué)定律。不過，要說明數(shù)學(xué)在生物學(xué)中的直接作用，倒是有好幾個不同方面的候選案例。這些案例包括對有機會捕到獵物的捕食者數(shù)量的分析，以及在某種意義上與之相類似的設(shè)計捕魚策略和采收策略的工作。還有各種各樣的周期性現(xiàn)象，這也是生物體所典型具有的，回過頭來審視一下我們自己，呼吸、心跳以及更慢一些的24小時生理周期，都會證實這一點，此類周期性振蕩都可以用數(shù)學(xué)描述。同樣地，各種數(shù)值差波動，比如一場流行病中感染者與未感染者人數(shù)差的波動，各種電位差波動——就像我們思考和行動時信號沿神經(jīng)傳遞過程中出現(xiàn)的那種，還有魚在橫向襲來的波浪中為推動自己在水中前進而自動（甚至在頭被砍掉以后）彎曲身體時產(chǎn)生的肌肉活動的波動，也是一種廣泛存在于生物學(xué)各個方面，可以用數(shù)學(xué)來處理的研究對象。

超逸絕倫然而卻悲劇性地倒在流言蜚語中的天才艾倫·圖 靈（Alan Turing，1911—1954）， 也許是第一個給據(jù)傳丑得難以置信的伊索（可能生活于公元前629—公元前565年，如果他真的存在過的話）講述的美麗寓言拆臺的人，他展示了如何用數(shù)學(xué)方法處理化學(xué)物質(zhì)在各種形狀——例如像豹子那樣的形狀——容器中擴散的擴散波，這一工作解釋了動物毛皮上的圖樣是如何形成的，包括豹子的斑點、斑馬的斑紋、長頸鹿的斑塊以及蝴蝶翅膀上錯綜復(fù)雜的美麗紋理。就連大象的長鼻子也是通過化學(xué)物質(zhì)按照各種方程及其解所表示的數(shù)學(xué)定律在整個大象早期胚胎中產(chǎn)生的擴散波而形成的。

社會學(xué)出現(xiàn)于18世紀晚期，是一種適用于人類群體研究的生物學(xué)的細化分支，盡管其時常用老鼠來建模。埃馬紐埃爾-約瑟夫· 西哀士（Emmanuel-Joseph Sieyès，1748—1836）于1780年首創(chuàng)了這個詞，不過直到19世紀晚期，這門學(xué)科才取得一些成果，并且直到20世紀，人們可以在計算機上用數(shù)值法來研究結(jié)構(gòu)復(fù)雜的統(tǒng)計模型以后，才獲得了其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。盡管推動學(xué)科發(fā)展的早期動力是識別關(guān)于人類行為的定律，但這門學(xué)科所取得的最主要成就卻是發(fā)展了用來分析——有時也用來預(yù)測——大量個體組成的群體的最可能行為或平均行為的統(tǒng)計方法。這種統(tǒng)計建模工作對于有效地運行和管理社會至關(guān)重要，但是除了統(tǒng)計學(xué)本身內(nèi)在具有的定律（例如隨機變量的鐘形分布）以外，并沒有任何基本定律從這些模型中突現(xiàn)出來，盡管人們非?？释业剿鼈儭?/p>

神學(xué)——研究在本性上就難以捉摸、不可理解的神靈的學(xué)問，搜尋柴郡貓神秘笑容工作的學(xué)術(shù)版本——倒是不需要數(shù)學(xué)。當然那些由高速運轉(zhuǎn)的大腦創(chuàng)造的其他積極得多的東西，比如詩歌、藝術(shù)和文學(xué)，也不需要——盡管這些杰作引人入勝，有時是駭人聽聞的幻想，為凡塵俗世增添了很多色彩。不過統(tǒng)計學(xué)是個例外，因為它能夠幫助我們把馬洛的作品從莎士比亞作品中區(qū)分出來。而音樂也許正好騎在邊界線上，以它為切入點，我們或許可以進入一種美學(xué)科學(xué)，通過對和弦以及音符序列進行檢驗——有些觀點認為它們與腦中可能存在的共振回路有關(guān)——或許能夠證明，數(shù)學(xué)洞見在這種科學(xué)中的價值是不可估量的。

我現(xiàn)在得收縮一下這個解釋的范圍。盡管上面列舉了這么多數(shù)學(xué)的各種不同應(yīng)用，但就其本身而言，它們并不是定律。除了統(tǒng)計學(xué)追求的對數(shù)據(jù)的數(shù)值分析以外，以上每個案例（我想）的數(shù)學(xué)部分都包含有對某種模型的分析。這并不是自然界基本定律的內(nèi)容，而是由一些隱藏在背后的基本物理定律以非常復(fù)雜的方式組合而成的表達式。它們甚至都算不上外在定律(outlaws)，而只是利用一大堆組織起來的外在定律去執(zhí)行一項具體的工作。

理解混沌與自由意志

從最簡單和最明顯的層面來看，數(shù)學(xué)之所以管用，是因為它提供了一種冷冰冰的、高度理性化的方法，來把一個方程的推論一一呈現(xiàn)出來，而這個方程實際上代表了一則用符號形式表達的定律。實際上，想從一個非數(shù)學(xué)陳述，如“適者生存”中，做出可信賴的預(yù)言，是不可能的，我們更不可能預(yù)言出若干元素最初的組合會導(dǎo)致在適當?shù)臅r候演化出大象。相比之下，我們卻可以從一個數(shù)學(xué)陳述中得到可信賴的預(yù)言，例如從如胡克定律“回復(fù)力正比于位移”中：我們可以根據(jù)擺長準確預(yù)言出單擺的周期。

我聽見你喊“混沌”。確實如此，某些系統(tǒng)的演化過程從表面上看是不可預(yù)測的，但在詮釋這種不可預(yù)測性的時候卻必須要謹慎。關(guān)于表現(xiàn)出混沌運動的系統(tǒng)，一個比較簡單的例子是“雙擺”，即在一個單擺的底部掛上另一個單擺，兩個擺都按照胡克定律擺動。在這個例子中，這兩個擺的運動方程都可以被解出來，并且只要確切知道兩個擺被回拉時的初始角度，那么它們在未來任何時間的角度也就都能得到確切預(yù)言了。這里關(guān)鍵的一句話是“只要確切知道兩個擺被回拉時的初始角度”，因為即使起始角度只存在一丁點兒無窮小的不精確，在后續(xù)運行中也會造成非常不一樣的結(jié)果?；煦缦到y(tǒng)并不是一個在運行上無規(guī)則的系統(tǒng)：它是一個對起始條件高度敏感的系統(tǒng)，由此使得，對一切實踐上的目的而言，它的后續(xù)運行狀況是不可預(yù)測的。如果我們對初始位置有完全的了解（在不存在外部干擾作用，如摩擦和空氣阻力的情況下），我們就能夠得到完全可預(yù)測的運行方式。

這種固有的預(yù)言與觀測無法在實踐上匹配的特性，所造成的后果之一就是使科學(xué)中所謂實驗可驗證性的意義發(fā)生了轉(zhuǎn)變。長期以來，人們一直認為，將預(yù)言與觀測進行比較，并以失敗為啟發(fā)修正理論，這一程序是科學(xué)方法的柱石之一。但是現(xiàn)在我們看到，可靠的預(yù)言并不總是可能的，那么這塊柱石是否已被侵蝕了呢？一點兒都沒有。用模型模擬混沌現(xiàn)象的“全局”預(yù)測可以通過在不同起始條件下對系統(tǒng)進行測試而得到驗證，而且說真的，“混沌”本身就具有某些可預(yù)測的特性，這些特性也都可以進行驗證。我們不需要預(yù)言和驗證雙擺的精確軌跡就可以宣稱，我們已經(jīng)理解了這個系統(tǒng)，并驗證了它的運行方式。自然律，就這個案例而言是一系列外部定律，即便在這個不可定量預(yù)測的系統(tǒng)中，也將得到驗證。

人腦是由一系列比雙擺這種力學(xué)上的瑣碎問題復(fù)雜得多的過程串聯(lián)起來的，因此幾乎并不令人驚訝地，它的輸出——一個動作或一個觀點，甚至是一件藝術(shù)作品——無法并且很可能永遠不會變成可以根據(jù)一個給定的輸入——比如看一眼什么東西，或者聽見一個從耳邊飄過的短語——預(yù)測的。神學(xué)家將這種不可預(yù)測性稱為“自由意志”。正如對雙擺一樣，只不過是在一個復(fù)雜得多的規(guī)模上，我們可以，就大腦中運行的各種過程的網(wǎng)絡(luò)而言，宣稱我們理解大腦是如何工作的——無論這個大腦是人工的還是天然的，即便我們從未能預(yù)言出它可能表達過的觀點、寫過的詩，或者發(fā)起過的大屠殺。因此從某種意義上說，“自由意志”的存在其實證實了我們理解大腦如何工作，正如混沌的存在證實了我們理解雙擺如何工作。雖然這樣希望可能有點兒過于貪心，但是就像對于簡單系統(tǒng)而言，其混沌模式是可預(yù)測的一樣，也許有一天，自由意志的模式也會被發(fā)現(xiàn)。也許，通過精神病學(xué)，它們已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)了，只是還沒有以規(guī)范的形式被精確表述出來而已。