"算經(jīng)之首"

　　我國(guó)數(shù)學(xué)史上有一部堪與歐幾里得《幾何原本》媲美的書，這就是歷來(lái)被尊為算經(jīng)之首的《九章算術(shù)》。它是我國(guó)現(xiàn)存最早的數(shù)學(xué)專著，其傳本包括《九章算術(shù)》本文、曹魏劉徽注、唐初李淳風(fēng)等注釋三部分內(nèi)容。

　　《九章算術(shù)》集先秦至西漢我國(guó)數(shù)學(xué)知識(shí)之大成，其編纂也是集體勞動(dòng)的成果。根據(jù)劉徽的記載，《九章算術(shù)》是從先秦"九數(shù)"發(fā)展來(lái)的。暴秦焚書，經(jīng)術(shù)散壞。西漢張蒼（？-前152年）、耿壽昌（前1世紀(jì)）收集遺文殘稿，加以刪補(bǔ)整理，編成《九章算術(shù)》。

　　《九章算術(shù)》包括了近百條一般性的抽象公式、解法，246個(gè)應(yīng)用問(wèn)題，分屬方田、粟米、衰分、少?gòu)V、商功、均輸、盈不足、方程、勾股九章。

　　方田章提出了各種多邊形、圓、弓形等的面積公式；分?jǐn)?shù)的通分、約分和加減乘除四則運(yùn)算的完整法則。后者比歐洲早1400多年。

　　粟米章提出比例算法，稱為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，稱為衰分術(shù)；商功章除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；均輸章用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問(wèn)題。今有術(shù)、衰分術(shù)及其應(yīng)用方法，構(gòu)成了包括今天正、反比例、比例分配、復(fù)比例、連鎖比例在內(nèi)的整套比例理論。西方直到15世紀(jì)末以后才形成類似的全套方法。

　　少?gòu)V章介紹了開平方、開立方的方法，其程序與現(xiàn)今程序基本一致。這是世界上最早的多位數(shù)和分?jǐn)?shù)開方法則。它奠定了我國(guó)在高次方程數(shù)值解法方面長(zhǎng)期領(lǐng)先世界的基礎(chǔ)。

　　盈不足章提出了盈不足、盈適足和不足適足、兩盈和兩不足三種類型的盈虧問(wèn)題，以及若干可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問(wèn)題的一般問(wèn)題的解法。這也是處于世界領(lǐng)先地位的成果，傳到西方后，影響極大。

　　方程章采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。這是世界上最早的完整的線性方程組的解法。在西方，直到17世紀(jì)才由萊布尼茲提出完整的線性方程的解法法則。這一章還引進(jìn)和使用了負(fù)數(shù)，并提出了正負(fù)術(shù)——正負(fù)數(shù)的加減法則，與現(xiàn)今代數(shù)中法則完全相同；解線性方程組時(shí)實(shí)際還施行了正負(fù)數(shù)的乘除法。這是世界數(shù)學(xué)史上一項(xiàng)重大的成就，第一次突破了正數(shù)的范圍，擴(kuò)展了數(shù)系。外國(guó)則到7世紀(jì)印度的婆羅摩及多才認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。

　　勾股章提出了勾股數(shù)問(wèn)題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，m>n。在西方，畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個(gè)公式的幾種特殊情況，直到3世紀(jì)的丟番圖才取得相近的結(jié)果，這已比《九章算術(shù)》晚約3個(gè)世紀(jì)了。勾股章還有些內(nèi)容，在西方卻還是近代的事。例如勾股章最后一題給出了這樣一組公式：

　　這在國(guó)外到19世紀(jì)末才由美國(guó)的數(shù)論學(xué)家迪克森得出。

　　《九章算術(shù)》確定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的框架，以計(jì)算為中心的特點(diǎn)，密切聯(lián)系實(shí)際，以解決人們生產(chǎn)、生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題為目的的風(fēng)格。其影響之深，以致以后我國(guó)數(shù)學(xué)著作大體采取兩種形式：或?yàn)橹髯?，或仿其體例著書；甚至西算傳入中國(guó)之后，人們著書立說(shuō)時(shí)還常常把包括西算在內(nèi)的數(shù)學(xué)知識(shí)納入"九章"的框架。

　　然而，《九章算術(shù)》亦有其不容忽視的缺點(diǎn)：沒有任何數(shù)學(xué)概念的定義，也沒有給出任何推導(dǎo)和證明。魏景元四年（263年），劉徽給《九章算術(shù)》作注，才大大彌補(bǔ)了這個(gè)缺陷。

　　劉徽是我國(guó)也是世界歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一。遺憾的是，他的生平我們現(xiàn)在知之甚少。據(jù)考證，他是山東鄒平人。劉徽定義了若干數(shù)學(xué)概念，全面論證了《九章算術(shù)》的公式解法，提出了許多重要的思想、方法和命題，他在數(shù)學(xué)理論方面成績(jī)斐然。

　　劉徽對(duì)數(shù)學(xué)概念的定義抽象而嚴(yán)謹(jǐn)。他揭示了概念的本質(zhì)，基本符合現(xiàn)代邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)對(duì)概念定義的要求。而且他使用概念時(shí)亦保持了其同一性。如他提出"凡數(shù)相與者謂之率"，把"率"定義為數(shù)量的相互關(guān)系。又如他把正負(fù)數(shù)定義為"今兩算得失相反，要令正負(fù)以名之"，擺脫了正為余，負(fù)為欠的原始觀念，從本質(zhì)上揭示了正負(fù)數(shù)得失相反的相對(duì)關(guān)系。

　　《九章算術(shù)》的算法盡管抽象，但相互關(guān)系不明顯，顯得零亂。劉徽大大發(fā)展深化了中算中久已使用的率概念和齊同原理，把它們看作運(yùn)算的綱紀(jì)。許多問(wèn)題，只要找出其中的各種率關(guān)系，通過(guò)"乘以散之，約以聚之，齊同以通之"，都可以歸結(jié)為今有術(shù)求解。

　　一平面（或立體）圖形經(jīng)過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)，其面積（或體積）不變。把一個(gè)平面（或立體）圖形分解成若干部分，各部分面積（或體積）之和與原圖形面積（或體積）相等?；谶@兩條不言自明的前提的出入相補(bǔ)原理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)進(jìn)行幾何推演和證明時(shí)最常用的原理。劉徽發(fā)展了出入相補(bǔ)原理，成功地證明了許多面積、體積以及可以化為面積、體積問(wèn)題的勾股、開方的公式和算法的正確性。

　　在數(shù)學(xué)證明中成功地運(yùn)用無(wú)窮小分割和極限思想，是劉徽最杰出的貢獻(xiàn)?！毒耪滤阈g(shù)》提出圓面積公式S＝l/2。r（S為圓面積，l為圓周長(zhǎng)，r為半徑）。為證明這個(gè)公式，劉徽從圓內(nèi)接正六邊形S6（稱為六觚）開始割圓，依次得圓內(nèi)接正十二邊形S12，圓內(nèi)接正二十四邊形S24，……S6。2的n次方……所有S6。2的n次方<S，但"割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣。"這相當(dāng)于：

　　然后他證明

　　而

　　。于是劉徽就把圓化為與之合體的內(nèi)接正多邊形來(lái)求面積，再把這個(gè)正多邊形分割成以每邊為底以圓心為頂點(diǎn)的無(wú)窮多個(gè)小三角形之和，所謂"觚而裁之，每輒自倍。

　　故以半周乘半徑而為圓冪"。從明證明了S＝l/2。r。劉批評(píng)了以往"圓徑一而周三"的錯(cuò)誤，指出此公式中周徑是"至然之?dāng)?shù)"，即圓周率π。他以此公式為基礎(chǔ)，求出了π的兩個(gè)近似值157/20和3927/1250，在中國(guó)首次創(chuàng)立了求圓周率的科學(xué)方法，奠定了我國(guó)圓周率研究在世界長(zhǎng)期領(lǐng)先的基礎(chǔ)。

　　劉徽注關(guān)于體積問(wèn)題的論述已經(jīng)接觸到現(xiàn)代體積理論的核心問(wèn)題，指出四面體體積的解決是多面體體積理論的關(guān)鍵，而用有限分割和棋驗(yàn)法無(wú)法解決其體積。為了解決這個(gè)問(wèn)題，他提出了一個(gè)重要原理"邪解壍堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑。

　　陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也"，今稱為劉徽原理。劉徽平分壍堵的長(zhǎng)、寬、高，通過(guò)出入相補(bǔ)，可以證明在壍堵的3/4中上述原理成立；而剩余的1/4與原壍堵的結(jié)構(gòu)相同，可以重復(fù)上述分割，又可以證明其3/4中這個(gè)原理成立。這個(gè)過(guò)程可以無(wú)限繼續(xù)下去，"半之彌少，其余彌細(xì)。至細(xì)曰微，微則無(wú)形。由是言之，安取余哉？"完成了該原理的證明。由壍堵的體積公式v＝1/2abh，便證明《九章算術(shù)》提出的陽(yáng)馬體積公式v＝1/3abh，鱉臑的體積公式v＝1/6abh。近代數(shù)學(xué)大師高斯、希爾伯特才討論這個(gè)問(wèn)題，已是近100多年以來(lái)的事。

　　劉徽注多方面表述了今天稱之為祖暅之原理的命題，并由此證明了《九章算術(shù)》中球體積公式的錯(cuò)誤。他設(shè)計(jì)了牟合方蓋，指出球與牟合方蓋的體積之比是π∶4，只要求出后者的體積就可以求出球體積了。他盡管沒能求出牟合方蓋的體積，但誠(chéng)懇地表示"以俟能言者"，表現(xiàn)出一位偉大學(xué)者的坦蕩胸懷。這個(gè)問(wèn)題后來(lái)由祖沖之父子徹底解決，李淳風(fēng)注釋《九章算術(shù)》時(shí)詳細(xì)記述了祖氏的方法。

　　劉徽注中還有不少有價(jià)值的成就。如對(duì)開方不盡，提出繼續(xù)開方，求其"微數(shù)"，以十進(jìn)分?jǐn)?shù)逼近無(wú)理根，開十進(jìn)小數(shù)之先河；他還認(rèn)識(shí)到不定方程有無(wú)窮多組解，等等。劉徽注形成了一套數(shù)學(xué)體系，他說(shuō)"事類相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發(fā)其一端而已。"把數(shù)學(xué)看作一株枝條雖然分開但本干相同的大樹。他認(rèn)為數(shù)學(xué)是"規(guī)矩"與"度量"亦即空間形式與數(shù)量關(guān)系的統(tǒng)一?；谶@些深刻的認(rèn)識(shí)，他的證明除個(gè)別失誤外，都論點(diǎn)明確，論據(jù)充分，條理清晰，推理嚴(yán)謹(jǐn)；而且大都使用演繹推理，沒有循環(huán)論證。是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。有了劉徽的證明?！毒耪滤阈g(shù)》的公式解法，才建立在真實(shí)可靠的基礎(chǔ)上。

　　《九章算術(shù)》及其劉徽注，以杰出的數(shù)學(xué)成就，獨(dú)特的數(shù)學(xué)體系。不僅對(duì)東方數(shù)學(xué)，而且對(duì)整個(gè)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，在科學(xué)史上占有極為重要的地位。它的出現(xiàn)，標(biāo)志著從公元前1世紀(jì)開始，中國(guó)取代古希臘成為世界數(shù)學(xué)的中心，為此后中國(guó)數(shù)學(xué)領(lǐng)先世界1500多年奠定了基礎(chǔ)。今天，隨著計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)和發(fā)展，它所蘊(yùn)含的算法和程序化思想，仍給數(shù)學(xué)家以啟迪。吳文俊先生指出"《九章》所蘊(yùn)含的思想影響，必將日益顯著，在下一世紀(jì)中凌駕于《原本》思想體系之上，不僅不無(wú)可能，甚至說(shuō)是殆成定局，本人認(rèn)為也絕非過(guò)甚妄測(cè)之辭。"