海亞姆早期的數(shù)學(xué)著作已經(jīng)散失，僅《算術(shù)問(wèn)題》的封面和幾片殘頁(yè)保存在荷蘭的萊頓大學(xué)。幸運(yùn)的是，他最重要的一部著作《代數(shù)學(xué)》流傳下來(lái)了。1851年，此書被F.韋普克從阿拉伯文翻譯成了法文，書名叫《歐瑪爾·海亞姆代數(shù)學(xué)》，雖然沒(méi)趕上12世紀(jì)的翻譯時(shí)代，但比他的詩(shī)集《魯拜集》的英文版還是早了八年。1931年，在海亞姆誕辰八百周年之際，由D.S.卡西爾英譯的校訂本《歐瑪爾·海亞姆代數(shù)學(xué)》也由美國(guó)哥倫比亞大學(xué)出版了。我們今天對(duì)海亞姆數(shù)學(xué)工作的了解，主要是基于這部書的譯本。

在《代數(shù)學(xué)》的開頭，海亞姆首先提到了《算術(shù)問(wèn)題》里的一些結(jié)果：“印度人有他們自己開平方、開立方的方法……我寫過(guò)一本書，證明他們的方法是正確的。我并加以推廣，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根。這些代數(shù)的證明僅僅以《原本》里的代數(shù)部分為依據(jù)。”這里海亞姆提到他寫的書應(yīng)該是指《算術(shù)問(wèn)題》，而《原本》即歐幾里得的《幾何原本》，這部希臘數(shù)學(xué)名著在9世紀(jì)就被譯成阿拉伯文，意大利傳教士利瑪竇和徐光啟合作把它部分譯成中文已經(jīng)是17世紀(jì)的事情了。

海亞姆所了解的“印度算法”主要來(lái)源于兩部早期的阿拉伯著作《印度計(jì)算原理》和《印度計(jì)算必備》，不過(guò)，由于他早年生活在連接中亞和中國(guó)的古絲綢之路上，很可能也受到了中國(guó)數(shù)學(xué)的影響和啟發(fā)。至遲于公元前1世紀(jì)就已問(wèn)世的中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，給出了開平方和開立方的一整套法則。在現(xiàn)存的阿拉伯文獻(xiàn)中，最早系統(tǒng)地給出自然數(shù)開高次方一般法則的是13世紀(jì)納西爾丁編撰的《算板與沙盤算術(shù)方法集成》。書中沒(méi)有說(shuō)明這個(gè)方法的出處，但由于作者熟悉海亞姆的工作，所以數(shù)學(xué)史家推測(cè)，極有可能出自海亞姆?？墒?，由于《算術(shù)問(wèn)題》失傳，這一點(diǎn)已無(wú)法得到證實(shí)。

海亞姆在數(shù)學(xué)上最大的成就是用圓錐曲線解三次方程，這也是中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家最值得稱道的工作。所謂圓錐曲線就是我們中學(xué)里學(xué)到過(guò)的橢圓（包括圓）、雙曲線和拋物線，可以通過(guò)圓錐與平面相交而得。說(shuō)起解三次方程，最早可追溯到古希臘的倍立方體問(wèn)題，即求作一立方體，使其體積等于已知立方體的兩倍，轉(zhuǎn)化成方程就成了x3=2a3。公元前4世紀(jì)，柏拉圖學(xué)派的門內(nèi)赫莫斯發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線，將上述解方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求兩條拋物線的交點(diǎn)，或一條拋物線與一條雙曲線的交點(diǎn)。這類問(wèn)題引起了伊斯蘭數(shù)學(xué)家極大的興趣，海亞姆的功勞在于，他考慮了三次方程的所有形式，并一一予以解答。

具體來(lái)說(shuō)，海亞姆把三次方程分成十四類，其中缺一、二次項(xiàng)的一類，只缺一次項(xiàng)或二次項(xiàng)的各三類，不缺項(xiàng)的七類，然后通過(guò)兩條圓錐曲線的交點(diǎn)來(lái)確定它們的根。以方程x3+ax=b為例，它可以改寫成x3+c2x=c2h，在海亞姆看來(lái)，這個(gè)方程恰好是拋物線x2=cy和半圓周y2=x(h-x)交點(diǎn)C（如下頁(yè)圖）的橫坐標(biāo)x，因?yàn)閺暮髢墒较，就得到了前面的方程。不過(guò)，海亞姆在敘述這個(gè)解法時(shí)全部采用文字，沒(méi)用方程的形式，讓讀者理解起來(lái)非常不易，這也是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)后來(lái)難以進(jìn)一步發(fā)展的原因之一。

海亞姆也嘗試過(guò)三次方程的算術(shù)（代數(shù)）解法，卻沒(méi)有成功。但他在《代數(shù)學(xué)》中預(yù)見：“對(duì)于那些不含常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)或二次項(xiàng)的方程，或許后人能夠給出算術(shù)解法?！蔽鍌€(gè)世紀(jì)以后，三次和四次方程的一般代數(shù)解法才由意大利數(shù)學(xué)家給出。而五次或五次以上方程的一般解法，則在19世紀(jì)被挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾證明是不存在的。值得一提的是，解方程在歐洲的進(jìn)展并不順利。意大利幾位數(shù)學(xué)家因?yàn)閾寠Z三次和四次方程的發(fā)明權(quán)鬧得不可開交，甚至到了反目成仇的地步，而阿貝爾的工作至死都沒(méi)有被同時(shí)代的數(shù)學(xué)家認(rèn)可。

在幾何學(xué)領(lǐng)域，海亞姆也有兩項(xiàng)貢獻(xiàn)，其一是在比和比例問(wèn)題上提出新的見解，其二便是對(duì)平行公理的批判性論述和論證。自從歐幾里得的《幾何原本》傳入伊斯蘭國(guó)家以后，第五公設(shè)就引起數(shù)學(xué)家們的注意。所謂第五公設(shè)是這樣一條公理：“如果一直線和兩直線相交，所構(gòu)成的兩個(gè)內(nèi)角之和小于兩直角，那么，把這兩條直線延長(zhǎng)，它們一定在那兩內(nèi)角的一側(cè)相交。”這條公理無(wú)論在敘述和內(nèi)容方面都比歐氏提出的其他四條公設(shè)復(fù)雜，而且也不是那么顯而易見，人們自然要產(chǎn)生證明它或用其他形式替代的欲望。需要指出的是，18世紀(jì)的蘇格蘭數(shù)學(xué)家普萊菲爾將其簡(jiǎn)化為如今的形式，即過(guò)直線外一點(diǎn)能且只能作一條平行線與此直線平行，但仍然不那么自明。

1077年，海亞姆在伊斯法罕撰寫了一部新書，書名就叫《辯明歐幾里得幾何公理中的難點(diǎn)》，他試圖用前四條公設(shè)推出第五公設(shè)。海亞姆考察了四邊形ABCD，如上圖所示，假設(shè)角A和角B均為直角，線段CA和DB長(zhǎng)度相等，海亞姆意識(shí)到，要推出第五公設(shè)，只需證明角C和角D均為直角。為此，他先后假設(shè)這兩個(gè)角為鈍角、銳角和直角，前兩種情況均導(dǎo)出矛盾。有意思的是，這種處理問(wèn)題的方式與19世紀(jì)才誕生的非歐幾何學(xué)有著密切的聯(lián)系。事實(shí)上，假設(shè)前兩種情況為真，就可以直接導(dǎo)出非歐幾何學(xué)，后者是現(xiàn)代數(shù)學(xué)最重要的發(fā)現(xiàn)之一。

遺憾的是，海亞姆并沒(méi)有意識(shí)到這一點(diǎn)，他的論證注定也是有缺陷的。他所證明的是，平行公設(shè)可以用下述假設(shè)來(lái)替換：如果兩條直線越來(lái)越接近，那么它們必定在這個(gè)方向上相交。值得一提的是，非歐幾何學(xué)發(fā)明人之一的俄國(guó)人羅巴切夫斯基也生活在遠(yuǎn)離西方文明的喀山?？ι绞巧贁?shù)民族聚集的韃靼自治共和國(guó)的首府，與伊斯法罕同處于東經(jīng)50度附近，只不過(guò)喀山在里海的北面，而伊斯法罕在里海的南面。盡管海亞姆沒(méi)有能夠證明平行公設(shè)，但他的方法通過(guò)納西爾丁的著作影響了后來(lái)的西方數(shù)學(xué)家，其中包括17世紀(jì)的英國(guó)人、牛頓的直接前輩——沃利斯。

除了數(shù)學(xué)研究以外，海亞姆在伊斯法罕還領(lǐng)導(dǎo)一批天文學(xué)家編制了天文表，并以庇護(hù)人的名字命名，即《馬利克沙天文表》，現(xiàn)在只有一小部分流傳下來(lái)，其中包括黃道坐標(biāo)表和一百顆最亮的星辰。比制作天文表更重要的是歷法改革。自公元前1世紀(jì)以來(lái)，波斯人便使用瑣羅亞斯德教（創(chuàng)立于公元前7世紀(jì)）的陽(yáng)歷，將1年分成12月365天。阿拉伯人征服以后，波斯人被迫改用回歷，即和中國(guó)的陰歷一樣：大月30天，小月29天，全年354天。不同的是，陰歷有閏月，因而與寒暑保持一致；而回歷主要為宗教服務(wù)，每30年才加11個(gè)閏日，對(duì)農(nóng)業(yè)極為不利，盛夏有時(shí)在6月，有時(shí)在1月。

馬利克沙執(zhí)政時(shí)，波斯人已經(jīng)重新啟用陽(yáng)歷，他在伊斯法罕設(shè)立天文臺(tái)，并要求進(jìn)行歷法改革。海亞姆提出，在平年365天的基礎(chǔ)上，33年閏8日。如此一來(lái)，1年就成了365又8/33天，與實(shí)際的回歸年（地球繞太陽(yáng)自轉(zhuǎn)一圈所用時(shí)間）誤差不到20秒，即每4460天才相差1天，比國(guó)際上現(xiàn)行普遍使用的公歷（又稱格里歷，400年閏97日，1582年由羅馬教皇格里高利頒布，但非天主教國(guó)家如英、美、俄、中等國(guó)遲至18、19甚或20世紀(jì)才開始實(shí)行）還要精確，后者每3333年相差1天。特別值得注意的是，如果把回歸年的小數(shù)部分按數(shù)學(xué)的連分?jǐn)?shù)展開，其漸近分?jǐn)?shù)分別為：

1/4，7/29，8/33，31/128，132/545……

第一個(gè)分?jǐn)?shù)1/4相當(dāng)于4年閏1日，對(duì)應(yīng)于古羅馬獨(dú)裁者愷撒頒布的儒略年，每128年就有1天誤差。海亞姆的歷法對(duì)應(yīng)的是第三個(gè)分?jǐn)?shù)，即8/33。由此可見，海亞姆制訂的歷法包含了最精確的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，如果限定周期少于128年，則33年閏8日是最好可能的選擇。他以1079年3月16日為起點(diǎn)，取名“馬利克紀(jì)年”，可惜隨著庇護(hù)人的去世，歷法工作半途夭折了，而那個(gè)時(shí)候世界各國(guó)使用的陽(yáng)歷誤差已多達(dá)十幾天了。海亞姆感到無(wú)奈，他在一首四行詩(shī)中發(fā)出了這樣的嘆息（《魯拜集》第五十七首）：

啊，人們說(shuō)我的推算高明

糾正了時(shí)間，把年份算準(zhǔn)

可誰(shuí)知道那只是從舊歷中消去

未卜的明天和已逝的昨日