2.2 三維MT的伽遼金有限元公式

里茲變分原理和廣義變分原理數(shù)理基礎(chǔ)牢固, 公式也有明確的物理解釋, 能夠?yàn)橛邢拊獢?shù)值計(jì)算提供穩(wěn)定性和準(zhǔn)確性的保證。在三維諧變電磁場(chǎng)研究工作中, 由于控制方程的算子的非正定性和非自伴性, 在希爾伯特(Hilbert)空間中不存在等價(jià)的里茲變分問(wèn)題。對(duì)于三維大地電磁, 應(yīng)用廣義變分原理求取相應(yīng)邊值問(wèn)題的泛函過(guò)程比較復(fù)雜。因此, 本書(shū)中應(yīng)用直接從微分方程出發(fā)的伽遼金(Galerkin)法來(lái)求解三維大地電磁場(chǎng)的泛函。伽遼金(Galerkin)法的最大的優(yōu)點(diǎn)就是求解過(guò)程較為簡(jiǎn)單, 因此在有限元求解中廣泛的應(yīng)用。

2.2.1 伽遼金(Galerkin)法

伽遼金法是一種有效的加權(quán)余量法。如果邊值問(wèn)題存在著相應(yīng)的泛函, 伽遼金(Galerkin)法與變分法將得出同樣的結(jié)果?？紤]到本書(shū)研究的是矢量有限元, 因此以矢量Φ為研究對(duì)象來(lái)推導(dǎo)伽遼金(Galerkin)法相關(guān)公式。

若Φ準(zhǔn)確滿足邊值問(wèn)題

作為近似解, 其中αi是待定系數(shù)。近似解應(yīng)在整個(gè)區(qū)域上有定義, 而且滿足邊界條件。但由于Φ不滿足微分方程, 將Φ代入式(2.17)中的第一式后, 將有誤差, 或者稱(chēng)為余量

R=￡(Φ)-p    (2.19)

可以選擇系數(shù)αi, 使得在某種平均意義上, 余量R為零。為此, 引入一組權(quán)函數(shù)ωi, 使余量的加權(quán)積分為零

∫ΩωiRdΩ=0    (i=1, 2, …, n)    (2.20)

由n個(gè)不同的權(quán)系數(shù), 從上式得到n個(gè)方程, 由此可以求解式(2.17)中n個(gè)系數(shù)αi。采用不同的權(quán)系數(shù), 就得到不同的計(jì)算方法, 如配點(diǎn)法、 最小二乘法和伽遼金法等, 下列介紹伽遼金法權(quán)系數(shù)的計(jì)算。