二二九六一五一八四五六四　以借用本數(shù)之對數(shù)
四三四二九四二六四七五六二　除之得
五二八七八五九二一二　　　　　　　借用率數(shù)
　　假如有對數(shù)一三六一七二七八三六一七五九二八七八四求其真數(shù)
法依前求得借用率數(shù)五二八七八五九二一二乃以借用本數(shù)首位單一下加十九空位得一為第一數(shù)正　次以借用本數(shù)減去單一得一為乘法以乘法乘第一數(shù)又以率數(shù)乘之得五二八七八五九二一二為第二數(shù)正　乘法乘第二數(shù)又以率數(shù)反減一得四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九為第三數(shù)負　乘法乘第三數(shù)又以率數(shù)反減二得一四七截用三位乘之三除之得一為第四數(shù)正　乃諸正數(shù)得一五二八七八五九二一二一內減第三負數(shù)得一五二八七八四六五六一九二乃以前求借用率數(shù)時遞減各對數(shù)之真數(shù)一三與一四與一二與一五與一四與一一與二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八棄零進一得二三又以前求率數(shù)時曾減首位之一應升一位得二十三即所求之真數(shù)也
本數(shù)　　一一
乘法　　一一
第一數(shù)　一　降六位率數(shù)乘之得
　二　　　　　　　　　五二八七八五九二一二　降六位率數(shù)減一乘之二除之得
　三　　　　　　　　　　　　　　　一二四五九二九　降六位率數(shù)減二乘之三除之得
　四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一
本數(shù)　一五二八七八五九二一二一
減得　　一五二八七八四六五六一九二　以一三乘之得
　　　　一三五二八七一五一七四四六　以一四乘之得
　　　　一四三五二八八五一二一四六七　以一二乘之得
　　　　一二四三五三七五五六九七三八六七　以一五乘之得
　　　　一五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一四乘之得
　　　　一四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得
　　　　一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得
　　　　二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　棄零進一升一位
　　　二三
按此即用求倍大各率第二術也其第三數(shù)變?yōu)樨撜叻舱时卮笥趩我黄錅p一減二皆為正減至率數(shù)減盡而止而無所為反減故逐數(shù)皆正今所用之率數(shù)小于單一其減一減二皆為反減反減則為負以為乘法故能變逐數(shù)皆正者為正負相間也又凡對數(shù)遞減得三空位已可遞求惟逐數(shù)用率數(shù)之乘法多位畸零不免繁重故須減至七空位然亦為求十八位對數(shù)之真數(shù)而設耳若求十一二位則一一即可借為本數(shù)而對數(shù)遞減至四空位即可求借用率數(shù)矣
　　割圜連比例術圖解序　　　
董佑誠
元郭守敬授時草用天元術求弧矢徑一圍三猶仍舊率西人以六宗三要二簡術求八綿理密數(shù)繁凡遇布算皆資于表梅文穆公赤水遺珍載西士杜德美圜徑求周諸術語焉不詳罕通其故嘗欲更創(chuàng)通法使弦矢與弧可以徑求覃精累年迄無所得己卯春秀水朱先生鴻以杜氏九術全本相示蓋海甯張先生豸冠所寫者九術以外別無圖說聞陳氏際新嘗為之注為某氏所秘書已不傳乃反覆尋繹究其立法之原蓋即圜容十八觚之術引伸類長求其絫積實兼差分之列衰商功之堆垛而會通以盡句股之變周髀經曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一遞加遞減遞乘遞除之差也方圓者天地之大體奇耦相生出于自然今得此術而方圜之率通矣爰分圖著解冠以九術原文并立弦矢亙求四術都為三卷辭取易明有傷蕪冗其所未寤俟有道正焉
　　割圜連比例后序　　　
董佑誠
割圜解既成之二年朱先生復得割圜密率捷法四卷于鐘祥李氏蓋干隆初欽天監(jiān)監(jiān)正明圖所解而門人陳際新所續(xù)成者其書釋連比例諸率分弦矢為二術皆先設百分千分萬分諸弧如本法乘除之棄其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八諸數(shù)遂為遞加一數(shù)以為除法者特取其易知而便于記憶則其于立法之原似未盡也然反覆推衍使弧矢奇耦率可互通釣隱探賾雜而不越蓋師弟相承積三十余年之久推其用心可謂勤且深矣陳氏序言圜徑求周及弧求弦矢三術為杜德美氏所作余六術則明圖氏補之與張先生所傳互異又借弧借弦二術并見陳氏書中范氏所作其闇合歟余以垛積釋比例而三角及方錐堆三乘以下舊無其術近讀元朱世杰四元玉監(jiān)菱草形段果垛疊藏諸問乃知遞乘遞除之術近古所有而遠西之士尚能守其遺法有足珍者爰記之
　　少廣縋鑿　　　
夏鸞翔
　開平方捷術一
小初商為一借根　以一借根除本積得二借根　一二借根半之為三借根　以三借根除本積得四借根　三四借根半之得五借根　以五借根除本積得六借根　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與方根密合而止
　此術一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根
　算例
　假如平積一百二十一求方根
　小初商一□?○為一借根　一借根除本積得一□?二一為二借根　一二借根半之得一□?一五為三借根　三借根除本積得一□?○九五零多則棄之以便算凡借根借積皆然為四借根　三四借根半之得一□?一為五借根因前借根棄零故五借根適合方根即方根
　　開平方捷術二
大初商為一借根　以一借根除本積得二借根　一二借根半之得三借根　以三借根除本積得四借根　三四借根半之得五借根　以五借根除本積得六借根　下皆如是求至借根大者漸小小者漸大與方根密合而止
　此術奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根
　算例
　假如平積九十九求方根
　大初商一□?○為一借根　一借根除本積得□?九九為二借根　一二借根半之得□?九九五為三借根　三借根除本積得□?九九四九七四為四借根　三四借根半之得□?九九四九八七此已消盡六位故六位下棄之也為五借根即方根
　　開諸乘方捷術一
小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積減本積余以除法除之得數(shù)加一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數(shù)加二借根為三借根　下皆如是求至借根漸大與方根密合而止或置外根降一乘積本乘乘數(shù)加一乘之為遞次除法更捷
　算例
　假如平積五十求方根
　以□?七一之平積五□?○四一為外積□?七一為外根求得一□?四二為遞次除法　小初商□?七為一借根　一借積四□?九減本積余以除法除之得□?○七四以加一借根得□?七七四為二借根　二借積四□?九九九五五六減本積余以除法除之得□?○六六五以加二借根得□?七七一六五為三借根截去末二位得□?七七一即方根
　　開諸乘方捷術二
大初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積內減本積余以除法除之得數(shù)減一借根為二借根　二借積內減本積余以除法除之得數(shù)減二借根為三借根　下皆如是求至借根漸小與方根密合而止
　算例
　假如平積八八求方根
　以□?三之平積□?九為外積□?三為外根求得□?六為遞次除法　大初商□?三為一借根　一借積□?九內減本積余以除法除之得□?○三三三三三以減一借根余□?二九六六六為二借根　二借積□?八八七一五五內減本積余以除法除之得□?○一一九以減二借根余□?二九六六四八一為三借根截去末二位得□?二九六六四即方根
　　開諸乘方捷術三
小初商為一借根　以略小于本積之積為內積其根為內根以內積與內根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積減本積余以除法除之得數(shù)加一借根為二借根　二借積內減本積余以除法除之得數(shù)減二借根以下逐數(shù)皆一加一減相間為三借根　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與方根密合而止
　算例
　假如平積五十求方根
　以□?七之平積四□?九為內積□?七為內根求得一□?四為遞次除法　小初商□?七為一借根　一借積四九減本積余以除法除之得□?○七一四以加一借根得□?七七一四為二借根　二借積五□?○四六九七內減本積余以除法除之得□?○三三五以減二借根得□?七七一六為三借根截去末一位得□?七七一即方根
　　開諸乘方捷術四
大初商為一借根　以略小于本積之積為內積其根為內根以內積與內根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積內減本積余以除法除之得數(shù)減一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數(shù)加二借根為三借根以下逐數(shù)皆一減一加相間　下皆如是求至借根大者漸小小者漸大與方根密合而止
　算例
　假如平積八八求方根
　以□?二九之平積□?八四一為內積□?二九為內根求得□?五八為除法　大初商□?三為一借根　一借積□?九內減本積余以除法除之得□?○三四四八二七以減一借根余□?二九六五五為二借根　二借積□?八七九四一九減本積余以除法除之得□?○一一七二以加二借根得□?二九六六五為三借根　三借積□?八八一二二二內減本積余以除法除之得□?○二一以減三借根得□?二九六六四七為四借根截去末一位得□?二九六六四即方根
　　天元開諸乘方捷術一較數(shù)余積用此術
小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積凡天元借根求借積法以借根乘隅加減長廉以借根乘之加減平廉又以借根乘之加減立廉又以借根乘之至加減方后又以借根乘之即借積也外根之于外積亦然減本積余以除法除之得數(shù)加一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數(shù)加二借根為三借根　下皆如是求至借根漸大與元數(shù)密合而止
　算例
　假如平方負積十六正方二正隅一求元數(shù)
　以□?三二之積一□?六六四為外積□?三二為外根求得□?八四為遞次除法　小初商□?三為一借根　一借積一五□?五減本積余以除法除之得□?○一一九以加一借根得□?三一一九為二借根　二借積一□?五九六六一六一減本積余以除法除之得□?○四二八以加二借根得□?三一二三為三借根　三借積一□?五九九九一二九減本積余以除法除之得□?○一三以加三借根得□?三一二三一三為四借根截去末三位得□?三一二三即元數(shù)
　　天元開諸乘方捷術二和數(shù)余積用此術
小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又加一為遞次除法　一借積減本積余以除法除之得數(shù)加一借根為二借根　二借積內減本積余以除法除之得數(shù)減二借根為三借根以后逐數(shù)皆一加一減相間　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與元數(shù)密合而止
　算例
　假如平方負積二九正方四負隅一求小元數(shù)
　以□?一之積□?三為外積□?一為外根求得□?二為遞次除法　小初商□?○九為一借根　一借積□?二七九減本積余以除法除之得□?○五五以加一借根得□?○九五五為二借根　二借積□?二九七九七五內減本積余以除法除之得□?○三九八七以減二借根余□?○九五一一為三借根　三借積□?二八九九六一九九減本積余以除法除之得□?○一九五以加三借根得□?○九五一二為四借根　四借積□?二九一八五六內減本積余以除法除之得□?○九二八以減四借根得□?○九五一一九為五借根截去末一位得□?○九五一一九即小元數(shù)
　　天元開諸乘方捷術三益積用此術
大初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積內減本積余以除法除之得數(shù)減一借根為二借根　二借積內減本積余以除法除之得數(shù)減二借根為三借根　下皆如是求至借根漸小與元數(shù)密合而止
　算例
　假如平方負積一百六十八負方二十二正隅一求元數(shù)
　以三□?○之積二四□?○為外積三□?○為外根求得三□?八為遞次除法　大初商三□?○為一借根　一借積二四□?○內減本積余以除法除之得□?一八九四七三以減一借根余二□?八一五為二借根　二借積一七□?一五八一內減本積余以除法除之得□?○九四二三以減二借根余二□?八一為三借根　三借積一六□?八三四內減本積余以除法除　之得□?○八九四以減三借根余二□?八一為四借根　四借積一六□?八三內減本積余以除法除之得□?○七八九以減四借根余二□?八一為五借根棄零得二□?八即元數(shù)
　　天元開諸乘方捷術四翻積用此術
小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根減一之積相減又加一為遞次除法　一借積內減本積余以除法除之得數(shù)加一借根為二借根　二借積減本積余以除法除之得數(shù)減二借根為三借根　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與元數(shù)密合而止
　算例
　假如平方負積二九正方四負隅一求大元數(shù)
　以□?三之積□?三為外積□?三為外根求得□?二為遞次除法　小初商□?三為一借根　一借積□?三內減本積余以除法除之得□?○五以加一借根得□?三五為二借根　二借積□?二八九七五減本積余以除法除之得□?○一二五以減二借根得□?三四八七五為三借根　三借積□?二九一二三四三內減本積余以除法除之得□?○六一七一以加三借根得□?三四八八一一七一為四借根截去末三位得□?三四八八一為大元數(shù)
　　天元開諸乘方捷術五
如前四術求得元數(shù)數(shù)位后再欲增求其位則即以求得數(shù)位為外根又求得除法　乃以前得數(shù)位演為借積與本積相減余以今得除法除之又與前得數(shù)位相加減為元數(shù)可降數(shù)位如欲再求多位則又另求除法依此累求雖求至數(shù)十位亦非難事
　算例
　假如平方負積十六正方二正隅一已求得元數(shù)三一二三欲增求之
　先用前除法□?八四增求一位得□?三一二三一仍為借根以借根演得借積一□?五九九九九五三六一減本積得余積□?○四六三九　乃用前得元數(shù)□?三一二三一又為外根如前求得除法□?八二四六二于末位加一數(shù)因前得元數(shù)微歉于元數(shù)尚非外根故必末位加一方是外根除法也得□?八二四六三為除法　除法除余積得□?○五六二五五五截去末二位以加前得元數(shù)得□?三一二三一五六二五為元數(shù)　如再欲增求則以現(xiàn)得十位元數(shù)又為外根又求其除法以除余積此余積是現(xiàn)得十位元數(shù)之積減本積之余也得數(shù)又可消得九位矣
　按正諸乘方亦可用右術
　　天元開諸乘方捷術六
方廉隅相減以除本積得一借根　一借根步至方法步法以借根乘隅加減長廉又以借根乘之加減平廉又以借根乘之至加減方止以除積得二借根　二借根步至方法以除積得三借根下皆如是求至借根與元數(shù)密合而止
　算例
　假如平方負積十八正方二十□?○九負隅一求小元數(shù)方隅相減得一□?九九以除本積得□?○九四五二為一借根　一借根步至方法得一□?九九九五四八以除本積得□?○九二為二借根　二借根步至方法得一□?九九九九八以除本積得□?○九九棄零得□?○九即小元數(shù)
　凡天元開方其方太大猝不能得初商者必元數(shù)甚小于奇數(shù)有懸絕之勢也以右術求之降位頗易且無所用其初商若方不甚大者不可用此術用之則難于降位矣
　若元數(shù)與隅數(shù)同者一除而盡無畸零例如后
　又算例
　假如立負方積一億正方一億十萬一千負廉十萬一千一正隅一求元數(shù)
　方廉隅正負減得一億以除本積得□?一即元數(shù)也
　右題見汪氏衡齋算學謂一與十萬相去遠矣茫無進退之限初商何以下算而知其翻為同名與否據(jù)此則于本法亦未了然也今以此術求之其易如此
　　天元開諸乘方捷術七
以方為遞次除法　除法除本積得一借根　一借根諸數(shù)加減本積以借根平積乘第三層以借根立積乘第四層以借根三乘積乘第五層如是乘至隅而止逐數(shù)皆與本積同名相加異名相減以除法除之得二借根　二借根諸數(shù)加減本積以除法除之得三借根　下皆如是求至借根與元數(shù)密合而止
　右術亦方大者用之為便
　算例
　假如平方負積一百六十正方八十二負隅一求小元數(shù)
　以方除本積得□?一九五一二為一借根　一借根??廾乘隅得□?三八七一八加本積以方除之得□?一九九七六為二借根　二借根??廾乘隅得□?三九九四加本積以方除之得□?一九九九八八為三借根收零進一得□?二為小元數(shù)
　又算例
　假如立方負積一千兆正方三百億廉空負隅一求元數(shù)
　以方除本積得三三三三□?三為一借根　一借根立積乘隅得三十兆七三五九二五九加本積以方除之得三四五六□?七為二借根　二借根立積乘隅得四十兆一三三三三一加本積以方除之得三四七一□?○為三借根　三借根立積乘隅得四十兆一八一八五六一加本積以方除之得三四七二□?七為四借根　四借根立積乘隅得四十兆一八七九五三一加本積以方除之得三四七二□?九為五借根即元數(shù)
　又算例
　假如立方負積一千兆正方二百億正廉十萬負隅一求元數(shù)
　以方除本積得五萬為一借根　一借根平積乘廉得二百兆五以減本積一借根立積乘隅得一百兆二五以加本積減余數(shù)以方除之得四三七五□?○為二借根　二借根平積乘廉得一百兆九一四六二五以減本積二借根立積乘隅得八十兆三七四二三以加本積減余數(shù)以方除之得四四六一□?六為三借根　三借根平積乘廉得一百兆九九五八七四以減本積三借根立積乘隅得八十兆八八一二四以加本積減余數(shù)以方除之得四四四八□?七為四借根　四借根平積乘廉得一百兆九七九九三一以減本積四借根立積乘隅得八十兆八四三九一以加本積減余數(shù)以方除之得四四五□?六為五借根　五借根平積乘廉得一百兆九八七八四以減本積五借根立積乘隅得八十兆八一五六七七以加本積減余數(shù)以方除之得四四五□?三為六借根　六借根平積乘廉得一百兆九八五一七以減本積六借根立積乘隅得八十兆八一三八九四以加本積減余數(shù)以方除之得四四五□?四為七借根即元數(shù)
　右二題舊用益實減實歸除得數(shù)甚難此術似較易也
　　天元開諸乘方捷術八
如前諸術先求得元數(shù)數(shù)位為一借根　前得元數(shù)數(shù)位又為外根又求得遞次除法　一借積減本積余再為積變方廉隅一次以除法除之得次小根以加減一借根為二借根　次小根之積減變積余再為積又變方廉隅一次以除法除之得三小根以加減二借根為三借根　三小根之積減次變積余再為積又變方廉隅一次以除法除之得四小根以加減三借根為四借根　下皆如是求至借根與元數(shù)密合而止
　按正諸乘方亦可用右術
　天元開方至第五術捷矣然依次累求位數(shù)愈多乘法亦愈繁求至十余位得借積已難再求不更難乎今用此術截段求之每次得四五位即易一式乘法不致過繁降位亦復甚易也
　算例
　假如平方負積一百億正方十萬正隅一已求得元數(shù)六一八□三?欲增求之
　以六一八□?三為外根如前又求得二二三六□?六為遞次除法　六一八□?三為一借根　一借積九九九九九一八□?九減本積余八九一九□?一此術不可割零為初變積負倍前得五位加前方得二二三六□?六為初變方正一為正隅　置初變積以除法除之得□?○三九八八七有奇截用四位得□?○三九八八為次小根以加前得五位得六一八□?三三九八八為二借根　次小根借積八九一七□?四二三一八四一四四減初變積余一□?六七六八一五八五六為次變積負倍前得九位加原方得二二三六□?六七九七六為次變方正一為正隅置次變積以除法除之得□?○七四九八九有奇截用四位得□?○七四九八為三小根以加前得九位得六一八□?三三九八八七四九八為三借根　三小根借積一□?六七六六三七六八九六七四減次變積余□?○二一二八七三二九九九九六為三變積負倍前得十三位加原方得二二三六□?六七九七七四九九六為三變方正一為正隅　置三變積以除法除之得□?○九四八四八有奇截用四位得□?○九四八四為四小根以加前得十三位得六一八□?三三九八八七五七四八四為四借根即元數(shù)
　按右例所得十六位元數(shù)即理分中末之大分數(shù)也
　　截球解義　　　
徐有壬
　幾何原本謂球與同徑同高之圓囷其外面皮積等截球與截圓囷同高則其外面皮積亦等而不直抉其所以然檢梅氏諸書亦未能明釋之也蓄疑于心久矣近讀李風九章注乃得其解因釋之以告同志雖然以戴東原之善讀古書而猶謂風此注當有脫誤甚矣索解人之難也今釋幾何原本而風之注因是以明蓋風用方今用圓其理則無二也述截球解義
設如徑與高等之圓囷內容同徑之圓球此球必居圓囷三之二何以明之試將圓囷橫切為二則為扁圓囷內容半圓球又將扁圓囷十字直切為四則為圓囷八分之一內亦容圓球八分之一此圓囷上下兩平面俱為圓之一象限其外之圓立面為囷外面皮八分之一其湊心兩直立面本屬囷之半徑乘半高即球之半徑自乘冪因球在囷內球殼因直切處切成一象限是為球半徑冪內容一象限為此體之湊心立面各一
　　圖略于此立面任意橫截則皆有正弦有余弦有矢有半徑
　　圖略于此體橫切之去其上截則高為余弦
　　圖略下半截上面截成兩象限一大一小
　　圖略
此下半截上下兩平行面仍為圓之一象限而上面一象限因有球殼在內界成一小象限其半徑即所截之正弦正弦者句也余弦者股也半徑者弦也以句為半徑作一象限以股為半徑作一象限兩象限相并作一大象限必以弦為半徑　句方股方并為弦方句圓股圓亦并為弦圓句象限股象限亦并為弦象限以方圓比例推之其理易見
然則截體上面之大象限球半徑弦為半徑內減球殼所界之小象限正弦句為半徑所余環(huán)積必與余弦股所作小象限余弦股為半徑等矣
立面一象限自高而下所截余弦至不齊也上面大象限減小象限之環(huán)積亦至不齊也而余弦為半徑作象限必與此環(huán)積等此環(huán)積總為弦上象限句上象限之較此無高無下無小無大無適不然者也
又試依圓囷之底為底即球中腰大圓面以囷之半高為高即球之半徑作一圓錐體而十字切之為象限錐積以象限為底此錐之底兩旁之邊即圓囷半徑亦即球半徑也
底邊之半徑為句錐高之半徑為股是為句股相等
于此錐體任意橫截為各小錐莫不為底邊與高相等之錐茍以小錐高為半徑作象限面莫不與小錐底相等此亦無高無下無小無大無適不然者也
小錐之高猶余弦也小錐之底猶大象限減小象限之環(huán)積也小錐之高為半徑作象限必與小錐底等猶余弦為半徑之象限必與環(huán)積等也
余弦之自大而遞小也截高則余弦大截下則余弦小極高則幾與半徑等極下則幾于無余弦其長短有序不亂今各以為半徑作各象限層累疊積必成一象限錐與上錐等而余弦各象限即球內各象限減圓囷各象限之余也圓囷橫薄切之皆相等之象限面圓球橫薄切之各成正弦為半徑之象限面用此知球與圓囷相較必少一錐體矣
是故一錐一球相并必與圓囷等而錐居囷三分之一球必居囷三分之二矣
是故三倍圓珠兩倍圓囷其積必等
夫囷之求積以囷之外面皮積為底以半徑為高作立方為囷之兩倍球之求積以球之外面皮積為底以半徑為高作立方為球之三倍今既知球之三倍囷之兩倍為相等則兩立方等矣又知兩立方之高同以半徑為高則其底亦必等矣
是故球之外面皮積與囷之外面皮積必等
是故球之中腰大圈乘圓徑即球之外面皮積
再就前截體觀之以球心為心依球殼所截上面小象限弧為界以半徑周遭割之剜出一象限錐此錐以小象限為底此象限以正弦為半徑以余弦為高是為內錐
再依前法將截球殼外圓囷所多之積割出準前論知此亦為一象限錐此錐以大象限球半徑為半徑小象限截球正弦為半徑之面積較為底即余弦為半徑所作之象限亦以余弦為高是為外錐內錐外錐相并為一大錐亦以余弦為高即原截體之高而以大象限半徑即球半徑為底即原截體之底此錐必為原截體三分之一上下兩面平行體與錐體同底同高則錐必居三分之一而所余者必為三分之二矣
圓囷既剜去內錐割去外錐則所余為圓球截積空中如外面則上小下大必居圓囷三分之二
求圓囷截積者囷外面皮截積為底半徑為高作立方為截囷之倍積求圓球截積者球外面皮截積為底半徑為高作立方為截球之三倍積今既知截囷與截球若三與二則截囷兩倍之立方與截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高為相等之半徑則其底亦不得不等矣
是故截球之外面皮積與截囷之外面皮積必等
是故截球余弦高乘球之中周大圈即截球之外面皮截積
全球之外面皮積即圓徑乘周也半球之外面皮積即半徑乘周也截球之外面皮積即余弦乘周也上截球蓋之外面皮積即矢乘周也
　　球徑求積術
徑自乘再乘半之為第一數(shù)　四分第一數(shù)之一又二分去一三分去二為第二數(shù)　四分第二數(shù)之一又四分去一五分去二為第三數(shù)　四分第三數(shù)之一又六分去一七分去二為第四數(shù)　四分第四數(shù)之一又八分去一九分去二為第五數(shù)　諸數(shù)相并即球積
　　球徑求球殼積術
徑自乘三之為第一數(shù)　四分第一數(shù)之一又二分去一三分去二為第二數(shù)　四分第二數(shù)之一又四分去一五分去二為第三數(shù)　諸數(shù)相并即球外面皮積
　　截球余弦求截球積術
　　　識別得余弦乘周又乘半徑為截球積之三倍　半徑自乘內減余弦自乘余為正弦自乘求其圓面又乘余弦為截求內錐之三倍　兩積相并為截球積
半徑自乘三之內減余弦自乘又以余弦乘之為第一數(shù)　四分第一數(shù)之一又二分去一三分去二為第二數(shù)　四分第二數(shù)之一又四分去一五分去二為第三數(shù)　諸數(shù)相并為截球積
　　截球矢求截球上蓋積
　　　識別得矢乘周又乘半徑為錐積之三倍　矢乘矢徑差為正弦冪求其圓面乘余弦為內錐之三倍兩錐相減余為蓋積
矢減半徑又加全徑以矢自乘乘之為第一數(shù)　四分第一數(shù)之一又二分去一三分去二為第二數(shù)　四分第二數(shù)之一又四分去一五分去二為第三數(shù)　諸數(shù)相并為截球上蓋積
　　附錄橢圜求周術
　橢圜求周無法可馭借平圜周求之則有三術以袤為徑求大圜周及周較相減此項梅侶氏之術也以廣為徑求小圜周及周較相加此戴鄂士氏之術也余亦悟得一術以橢周為圜周求其徑以求周即為橢圜之周術更直捷兼可貫三術為一術如后方
堆垛術曰一為第一數(shù)　一乘三乘第一數(shù)四除之為第二數(shù)　三乘五乘第二數(shù)九除之為第三數(shù)　五乘七乘第三數(shù)十六除之為第四數(shù)　七乘九乘第四數(shù)二十五除之為第五數(shù)　九乘十一乘第五數(shù)三十六除之為第六數(shù)　依次列之為初表
招差術曰廣袤各自乘相減四而一為乘法一次乘初表第一數(shù)二次乘第二數(shù)三次乘第三數(shù)四次乘第四數(shù)五次乘第五數(shù)六次乘第六數(shù)仍依次列之為表根
招差又術曰以袤為除法一次除表根第一數(shù)三次除第二數(shù)五次除第三數(shù)七次除第四數(shù)九次除第五數(shù)十一次除第六數(shù)相并為袤徑較以減袤為借圜徑
堆垛又術曰三因借圜徑為第一數(shù)　四分第一數(shù)之一二分去一三分去二為第二數(shù)　四分第二數(shù)之一四分去一五分去二為第三數(shù)　四分第三數(shù)之一六分去一七分去二為第四數(shù)　四分第四數(shù)之一八分去一九分去二為第五數(shù)　四分第五數(shù)之一十分去一十一分去二為第六數(shù)　遞求至若干位相并為橢圜周
　右術分四層即用項氏術變通得之其圖說之詳已見項氏書中茲不復贅若用戴氏術通之前后三層均如舊惟第三層不同如下
招差又術曰以廣為除法一次除表根第一數(shù)正三次除第二數(shù)負五次除第三數(shù)正七次除第四數(shù)負九次除第五數(shù)正十一次除第六數(shù)負遞求至若干位正數(shù)相并內減負數(shù)余為廣徑較以加廣亦為借圜徑
　此即戴氏術變通得之余三層皆同前
　若移第四層為第一層先以求大圜周或以廣求小圜周后依初表表根及招差又術各得周較加減所得并同即項戴二君術也
　　四元解序　　　
顧觀光
四元之術至明而失其傳近得徐鈞卿羅茗香諸公相繼闡發(fā)始有蹊徑可尋然按法求之恒苦其難而不適于用約其大端蓋有三焉天物相乘與地人相乘并用寄位則冪與冪乘推而上之幾有無方位置之處一也剔消之法以一式截分為二左右斜正初無一定之規(guī)非熟于法者安能無誤二也次式副式通式及上中下諸式之名任意作記易滋學者之疑三也繙閱之暇每欲改易算式而其道無由乙已冬海甯李君秋紉以所著四元解示余余受而讀之見其以面體釋四元以面體之自乘再乘定算式而相消所得直命為初消次消三消則向所難之三事均已無之作而嘆曰心之神明固若是之日出而不窮乎非四元無以盡天元之變非天元無以盡少廣之變而非少廣之面體則亦無以定四元之位而直　發(fā)明其所以然竊為一言以蔽之曰析堆垛成廣隅而已古法置太極于中心而環(huán)之以八又環(huán)之以十六其遞增也皆以八堆垛之式也新法置太極于一隅而附之以三又附之以五其遞增也皆以二廉隅之象也置太極于中心則上下左右動有牽制置太極于一隅則升降進退無往不宜由是四元相乘皆有位無寄位也四元為法皆可除無剔消也且其定位之圖既化諸乘方為平方相乘相消之圖又化諸乘方為立方反覆辨論均能假象以達難顯之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢啟秘對數(shù)探原諸書皆本天元之術而引而伸之實發(fā)前人所未發(fā)余冀其悉合而傳之以為言算者一大快也
　　對數(shù)探原序　　　
顧觀光
對數(shù)探原者海甯李君秋紉所著也西人對數(shù)之表以加減代乘除用之甚易而造之甚難李君巧借諸乘尖堆以定其數(shù)又化諸乘尖堆為同高同底之平尖堆以圖其形由是遞加遞除而諸對數(shù)指顧可得精思所到生面獨開矣究其立法之原不越乎天元以虛求實之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正數(shù)也平分其高為若干分依分各作橫以截其積而對數(shù)之法由之以生何也對數(shù)之首位自一至九止矣一之對數(shù)為而百億之對數(shù)亦為故尖堆下段之積不可求而總積亦不可求非無積也正以其大之極而一至九之數(shù)不足以名故反命為此盈虛消息如環(huán)無端之妙也二至十之共積為一十一至一百之共積為一一百一至一千之共積亦為一推之至于萬億無不如是此尖堆漸上漸狹漸下漸闊之理也以加倍代自乘則二段之積不得不同于三四兩段之積以三因代再乘則二段之積不得不又同于五六七八四段之積此尖堆二段以上積數(shù)相等之理也尖堆之底無盡積亦與為無盡而求兩對數(shù)較則所得皆為最上一段之積故二十尖堆已足當億萬尖堆之用西人不達乎此乃用正數(shù)屢次開方對數(shù)屢次折半以求之亦識流而昧其原矣易不云乎易則易知簡則易從李君渺慮凝思無幽不啟蓋實有以通易簡之原而體神明之撰者西人見之應亦自悔其徒勞也
　　數(shù)學跋　　　
顧觀光
江氏數(shù)學繼梅氏歷書而作者也其于七政運行之故歲實消長之原曲暢旁通實足補梅氏之未備自錢竹汀謂宣城能用西學江氏則為西人所用且極詆其冬至權度如公孫龍之言臧三耳甚難而實非無識者往往惑之平心而論江氏之囿于西法固矣錢氏之說則又囿于中法而非實事求是之學也七政盈縮遲疾之原或曰小輪或曰不同心天世無陵云御風之人誰為正之然使小輪所用止在盈縮遲疾之間則謂其巧算而非真象無不可也無如日月在小輪之上半周則距地遠而視之亦小在小輪之下半周則距地近而視之亦大視徑有大小即地半徑差有損益而影徑分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈縮遲疾而后信也有高卑則舍小輪與不同心天固更無他法矣兩心差之有大小西人早已言之日躔歷指偁意罷閣于漢景帝時測兩心差為十萬分之四千一百五十一九執(zhí)歷推定日法分一象限為六段計其積差凡二度十四分以正切求兩心差得十萬分之三千九百江氏推劉宋大明時兩心差四三五與意罷閣所測正相近唐開元時冬至減時大于今四刻有奇則較九執(zhí)歷為稍贏耳錢氏謂兩心差古大今小仍是楊郭百年消長之法不知消長以定冬至為根而兩心差之加減則以平冬至為根根既不同算何由合元明以來歲實由消而漸長議者紛紛江氏妙解算理因授時歷議所述丁丑至庚辰四年冬至自相乖違而知其刻下小余有三十分斷為長極而消之大界證佐甚明恐善辨者亦難為郭氏解也西法行之已久不能無差江氏之書誠有主持太過之弊然元嘉十三年甲戌冬至諸歷皆得癸酉大明五年乙酉冬至諸歷皆得甲申而江氏所推獨與古人吻合元嘉十八年己亥冬至則據(jù)隋志以正宋志之光大二年乙巳冬至則據(jù)太建四年丁卯冬至而疑其測驗之非真此皆由古籍中參稽而得非徒立異同錢氏考之不審乃以為辭窮而遁是算術不足信而史文必無一字之舛也有是理乎兩心差古大今小江氏未有定率而改最卑每歲東行為一分三秒則精思所到遂與噶西尼之新法不約而同可見考諸古而無疑者質諸今而自合若合于古而不合于今則其合也亦幸而已矣易不云乎天地之道貞觀者也天有常行不以古今而異謂西人之術必不可以考古是古之天行異于今也謂古之天行異于今是古與今當各有一天也而豈其然哉江氏書世無善本七政小輪諸紛如亂絲恐其久而失傳無以為治歷者先路之導今特詳為校正書中精確不磨之處讀者當自知之惟無以是古非今之見先橫于中此則余所旦暮遇之也夫
　歲實消長其故有二一由兩心差有大小一由黃赤距有遠近吳江王氏青州薛氏并嘗言之今薛氏天學會通未見足本曉庵新法又脫去補遺不知其說云何江氏之說得其一而失其一蓋考之未審矣夫黃極環(huán)赤極二萬五千八百六十八年而一周即歲差也黃道既退行于赤道則歲實必漸消惟是西人舊說皆以歲差為恒星東行遂與最高行兩數(shù)混淆無從分析中法知歲差為歲不及天矣而又不知最高之有行分宜乎歲實消長歷千余年而未有定論也近日西人新測春秋分點每歲西行五十一秒最高每歲東行十一秒八兩心差古大今小約百年差二萬五千分之一黃赤道古遠今近約百年差四十八秒咸豐庚申最卑過冬至十度二十八分五十三秒三黃赤大距二十三度二十七分二十七秒三八
皇朝經世文續(xù)編卷七
　學術七文學三附算學
　　五星歲輪與伏見輪之不同　　　
顧觀光
西法步五星土木火用歲輪金水用伏見輪梅勿庵謂五星皆有歲輪而伏見輪即歲輪上星行繞日之圓象婺源江氏從之著金水二星發(fā)微繪圖立算縷析條分而征之等邊等角之兩三角形以著其理二家之說可謂詳且明矣余嘗細譯歷書而知歲輪與伏見輪之算其不可強同者有四試詳言之土木火次引以初實行減太陽實行得之是次引大小一由于太陽之盈縮一由于本天之高卑而金水二星但以初均加減伏見平行不用太陽盈縮差其不同一也土木火以初實行減太陽實行則初均數(shù)為加者距日度反差而少初均數(shù)為減者距日度反差而多此緣上三星之行遲于太陽故如此立法若金水二星之行速于太陽初均數(shù)加則距日度亦加初均數(shù)減則距日度亦減而乃反用初均以加減伏見平行與上三星算同而理正相反其不同二也用歲輪則心在本道有升度差用伏見輪則心在黃道無升度差其不同三也土木火以正交行減初實行是用次輪心距正交度金水以正交行減初實行又加伏見實行而初實行與伏見實行相并之度即平行與伏見平行相并之度是從伏見輪言之為星距正交度從本天言之即本輪心距正交度矣其不同四也因此四事而知歲輪與伏見輪之用離之則雙美合之則兩傷矣然則梅氏江氏之說非乎曰未可非也所不同之四事歷書均已言之曰伏見輪雖以太陽為心實以太陽本輪心為心也曰伏見輪最遠點無定分其距平遠點之度必與初均等也曰伏見輪最遠點距伏見輪正交之度必與伏見輪心距本道正交之度等也之三者非征之實測未易決其是非惟謂伏見輪在黃道無升度差則即以伏見輪之理考之而知其必不可通何也伏見輪之心雖行于黃道而其面與黃道斜交半在南半在北惟正交中交二點與黃道合聯(lián)此二點過心成一直此必與黃道平行而其距伏見輪遠近之度時時不等設正交距最遠九十度則伏見輪之上下一南一北成偃臥之勢謂其無升度差理固然矣若正交與最遠合則伏見輪之左右一南一北成側立之勢與土木火本道之斜交于黃道者其象正同又安得無升度差乎斯時黃道如句視緯如股伏見輪面如弦自黃極出抵黃道及星在伏見輪之右者其度必差而東在伏見輪之左者其度必差而西歷書概置不論但以本道即黃道一語了之不思經度與緯度相待而成無升度差安得復有視緯此可以理決之不俟實測而后信也要之伏見輪之法本于歲輪自承用者逐影忘形遂至抵牾不合回歷五星并用太陽平行并無升度差歲輪與伏見輪通為一法西人于土木火三星屢改益精而金水二星仍同回歷由泥于伏見輪在黃道之說而不復深思蓋改法者已不知伏見輪為歲輪上星行繞日之圓象矣梅氏江氏之說穎悟絕倫表而出之以告天下后世之讀古人書而死于句下者
　　幾何原本六和六較解　　　
顧觀光
大分四正方十六　小分三四六四奇正方十二　兩正方較積四其邊二與大分有等　半小分一七三二奇正方三　大分上作少一正方之矩形與半小分正方等長三闊一
大小兩分相并得七四六四奇為第一合名第二第三同
　　相減余五三五奇為第一斷第二第三同
設有比例八與大分有等　以乘矩形之長得二十四其邊四八九八奇以乘矩形之闊得八其邊二八二八奇兩數(shù)相并得七七六奇為合名自之得五九七一奇即第一合名乘比例之矩形兩數(shù)相減得二七奇為斷自之得四二八五奇即第一斷乘比例之矩形
設有比例六九二八奇與小分有等以乘矩形之長得二十七八奇其邊四五五八奇以乘矩形之闊得六九二八奇其邊二六三二奇　兩數(shù)相并得七一九奇為第一合中自之得五一七一奇即第二合名乘比例之矩形　兩數(shù)相減得一九二六奇為第一中斷自之得三七九奇即第二斷乘比例之矩形
設有比例七與大分小分皆無等　以乘矩形之長得二十一其邊四五八二奇以乘矩形之闊得七其邊二六四五奇　兩數(shù)相并得七二二七奇為第二合中自之得五二二四奇即第三合名乘比例之矩形　兩數(shù)相減得一九三七奇為第二中斷自之得三七五二奇即第三斷乘比例之矩形
大分四一二三奇正方十七　小分三六五奇正方十三　兩正方較積四其邊二與大分無等　半小分一八二奇正方三二五　大分上作少一正方之矩形與半小分正方等長三六一奇闊一六一奇
大小兩分相并得七七二八奇為第四合名第五第六同
　　相減余五一八奇為第四斷第五第六同
設有比例八二四六奇與大分有等　以乘矩形之長得二十五二四奇其邊五二三奇以乘矩形之闊得八七四九奇其邊二九五七奇　兩數(shù)相并得七九八奇為太自之得六三七二奇即第四合名乘比例之矩形　兩數(shù)相減得二六六為少自之得四二六八奇即第四斷乘比例之矩形
設有比例七二一奇與小分有等　以乘矩形之長得二十二七其邊四六九七奇以乘矩形之闊得七六五其邊二七六五奇兩數(shù)相并得七四六二奇為比中方自之得五五七一奇即第五合名乘比例之矩形　兩數(shù)相減得一九三二奇為合比中方自之得三七三二奇即第五斷乘比例之矩形
設有比例七與大分小分皆無等　以乘矩形之長得二十一四二七其邊二七二三奇　兩數(shù)相并得七三五一奇為兩中面之自之得五四九奇即第六合名乘比例之矩形　兩數(shù)相減得一九五奇為合中中方自之得三六二九奇即第六斷乘比例之矩形
大分十五正方二百二十五小分十一一八奇正方一百二十五兩正方較積一百其邊十與大分有等　大小兩分相減余三八二奇為第一斷　即以較積方邊為比例圓半徑以乘第一斷得三十八二奇開得斷六一八奇即圓內容十邊形之一邊
大分十二五正方一百五十六二五小分五五九奇正方三十一二五兩正方較積一百二十五其邊十一一八與大分無等　大小兩分相減余六九一奇為第四斷　有比例二十圓徑與大分有等以乘第四斷得一百三十八奇開得少十一七五奇即圓內容五邊形之一邊
大分十七三二奇正方三百小分十二九一奇正方一百六十六六六兩正方較積一百三十三三三其邊十一五四奇與大分有等　大小兩分相減余四四一奇為第一斷　即以較積方邊為比例球內容六面體之一邊以乘第一斷得五十八九奇開得斷七一三奇即球內容十二面體之一邊
大分十一一八奇正方一百二十五小分五正方二十五兩正方較積一百其邊十與大分無等　大小兩分相減余六一八奇為第四斷　有比例十七八八奇容二十面體上五邊形之圓徑與大分有等以乘第四斷得一百十四九奇開得少十五一奇即球內容二十面體之一邊
　　圓錐三曲記　　　
顧觀光
凡圓錐體橫剖之成平圓斜剖之成橢圓平圓祗有一心其周之距心恒等橢圓則有二心自二心出抵圓周二之和必與長徑等也命橢圓之長徑為橫軸短徑為縱軸則任于圓周作縱為股所截長半徑之橫為句股冪乘長半徑冪與句冪乘短半徑冪之和恒與兩半徑冪相乘之數(shù)等其過心之倍股即長軸之通徑以長徑為連比例之首率短徑為中率則通徑為末率也股冪與所分長徑二分相乘之冪若短徑冪與長徑冪于長徑上作平圓則同句之平圓股與橢圓股若長徑與短徑矣任于圓周出二斜抵橫軸之兩端為正余二通弦則二通弦對角正切相乘之冪即長徑冪約短徑冪之數(shù)自圓周作二斜與二通弦平行則橢圓切也引橫軸與切相交成句股形切為弦縱為股則其句為次切法以橫冪與長半徑冪相減為實橫為法實如法而一即次切也自切點作抵橫軸與切成直角是名法法為弦縱為股則其句為次法法以短半徑冪乘橫為實長半徑冪為法實如法而一即次法也橢圓法平分切點距二心之交角故切與距二心之交角亦相等矣二切既與二通弦平行則自二屬點過中點之斜徑亦與二通弦平行命之曰相切徑任于圓周作縱與一半徑平行截其又一半徑為橫與橫軸上之句股比例并同故相屬徑之二冪和與長短徑之二冪和恒相等也徑端距二心相乘之冪與半徑冪等相屬徑四端之四切成平行四邊形亦與長短二徑相乘之冪等若以二徑之平圓面積為首末率而求其中率即橢圓面積也
凡圓錐體依一邊之勢自對邊斜剖之至底成單曲形以此形橫置之作過心橫軸引長至頂點外如頂點距心度乃作垂與軸成直角即準也任于曲上作橫直交于準必與距心等任于曲上作縱為股截軸之橫為句以句為連比例之首率股為中率則通徑為末率通徑者過心之倍股也折取其半即心距準之度矣自縱上端作斜為曲之切引橫軸與之相交亦與次切成句股形又作法直交于切亦與次法成句股形單曲之次切倍于橫而次法恒為通徑之半以縱約次法或以次切約縱皆切與軸交角之正切也切點距心交法之角恒等于法交軸之角故法之兩端其距心亦相等切點距心交切之角恒等于切交軸之角故切之兩端其距心亦相等自心作斜直交于切即切點頂點兩距心之中率矣任作通弦與切平行又自切點作橫徑與軸平行必分通弦為兩平分半通弦為縱截橫徑為橫與橫軸上之句股比例并同若句股相乘取三之二即所截單曲之面積也
凡圓錐體依立垂之勢自一邊直剖之至底成雙曲形以此相等之二形橫置之其二頂點之相距即為橫徑任于曲上出抵二心二之較必與橫徑等也自橫徑之中作直交于橫徑即為縱徑中點距心為弦其距頂為句求得股為半縱徑自橫徑之上下截之復作相等之二曲形為相屬雙曲引縱橫二徑為二軸皆過曲之二心以橫徑為連比例之首率縱徑為中率則通徑為末率即橫軸上過心之倍股也任于曲上作縱為股截橫徑之引長為句股冪乘半橫徑冪與句冪乘半縱徑冪之較恒與兩半徑冪相乘之數(shù)等股冪與句加橫徑乘句之冪若縱徑冪與橫徑冪矣自縱上端作切法二亦與次切次法二成句股形其求切交軸之角與單曲同雙曲之切平分切點距二心之交角故其法亦平分切點距二心之外角任于曲上出二斜抵橫徑之兩端為正余二通弦二通弦對角正切相乘之冪即橫徑冪約縱徑冪之數(shù)自橫徑之中又作二斜與二通弦平行四端皆抵曲命之曰相屬徑以此二徑引而長之任于曲上作縱與一半徑平行截其又一半徑之引長為橫與橫軸上之句股比例并同故相屬徑之二冪較與縱橫徑之二冪較恒相等也相屬徑四端之四切成平行四邊形與縱橫二徑相乘之冪等縱橫徑四端之四切成長方形作對角二斜引而長之與四曲漸近而永不相合命之曰漸近以橫徑約縱徑即漸近與橫徑交角之正切矣任與曲上作縱與一漸近平行截其又一漸近為橫縱橫二相乘之冪恒為中點距心冪四之一引長縱以四曲為界補成平行四邊形恒為縱橫二徑相乘冪二之一任于曲上作切以二漸近為界必平分于切點故切點上之相屬徑亦與切相等若以股乘半橫徑與句乘半縱徑二冪之和乘訥氏對數(shù)二七一八二八二以減句股相乘之冪即所截雙曲之面積也
此三曲皆圓錐之分形其離切之率當以合吻圓度之任于曲上作諸圓形與曲同切于一點則圓周之離切半徑小者較速半徑大者較遲而諸圓形中必有一圓周與曲吻合無間即合吻圓也命圓半徑為曲率半徑則各點曲率半徑之比同于法立方之比法立方為實半通徑之平方為法實如法而一即曲率半徑也橢圓二心相距之半之為兩心差以長半徑約之則為橢率置圓周率三一四一五九二六五以長徑乘之為實橢率自之為屢乘數(shù)遞取其四之一十六之三三十六之十五以減實即橢圓周也置圓周率以長短二徑相乘之冪乘之為實橢率自之為屢乘數(shù)遞取其六之一二十之三四十二之十五以減實即橢圓體之曲面積也法乘縱而以通徑約之于上法加縱而半之以乘訥氏對數(shù)加入上位即單曲之長也以通徑約圓周率四因三除以乘法次法兩立方之較即單曲體之曲面積也橢圓體積等于外切圓柱三之二單曲體積等于外切圓柱二之一單曲面所容最大長方其橫徑恒為軸三之二圓錐所容最大單曲面其軸恒為斜距四之三引而伸之觸類而長之曲之能事畢矣
　　靜重學記　　　
顧觀光
重學之本始于權衡權與物均而衡平則左距與右距等若不均而衡平則左距乘左重與右距乘右重等比例之法由此起矣桿之異于衡者不惟其平而惟其定直桿或平或斜并與衡同曲桿則視力與桿之交角其角正得九十度比例同于直桿不正得九十度則左距乘左重與右角正弦若右距乘右重與左角正弦或有曲桿之折角而求左右兩角則左距乘左重為實右距乘右重為法實如法而一內減折角余弦折角正弦除之即左角余切也求右角者仿此
二力之引重而行也二相合則用其和二相對則用其較若不相合而未至于相對者以二力補成平行四邊形作對角為二力之合率三力以上其理一也
引重之器有七其助力各不同桿之助力為右距與左距之比輪軸之助力為軸徑與輪徑之比齒輪之助力為小輪齒數(shù)與大輪齒數(shù)之比單滑車之助力為一與二之比連滑車之助力為一與二依滑車數(shù)少一乘方積之比或為一與索數(shù)之比或為一與二依動滑車數(shù)乘方積少一之比斜面之助力為股與弦之比劈之助力為劈背與劈邊之比螺旋之助力為兩螺距與柄長為半徑所成圓周之比七者或分或合或復或單皆能以小力運大重其力與重皆若重動速與力動速也
獨體合體均有重心自重心作垂必與地平成直角凡三邊形各于半邊作對角三相交之點為重心其距角與距邊若二與一也兩兩相等四邊形于相等邊之半作聯(lián)兩相交之點為重心其距兩邊恒相等四不等邊以對角分為兩三邊形各以法求其重心兩重心聯(lián)為一則大形垂與小形垂若小形之重心距與大形之重心距也凡尖錐體先求底之重心自底心至尖作聯(lián)其四之一為底心距重心若去其尖則以上下兩重心作聯(lián)全體之重心必在此上矣設諸面體之角各為質點而以聯(lián)之又或斷而不連或動而不定亦必有此重心引重之器以力與重聯(lián)為一力降則重升而聯(lián)上必有定點即重心也既有重心可明定理體之定于一點者自懸點作垂必過重心體之定于一面者自重心作垂必與定點相合體之定于一點及一面者自重心作垂為一邊自面之定點作直交于面為又一邊面之定點距重心為底則兩定點相距為三角形之大分邊體之定于兩點者以此兩點引而長之必交于重心所作之垂也體之定于兩面者兩定點之抵力各與其面成直角引而長之亦必交于重心之垂也
凡體已定而微動之或復原處或離其原處則固定與非固定之別也設小半球切于大半球之凸面其重心恒為球半徑八之五自切點作與地平成直角重心在此內者為固定在此外者為非固定法以兩半徑相乘為實兩半徑相并為法實如法而一為固定率若切于大半球之凹面則兩半徑相乘為實兩半徑相減為法實如法而一為固定率
屋梁相定之理三梁相合成兩等邊三角形加重于頂自頂點作垂分為兩句股形則句為梁平力之率倍股為梁垂力與加重之率三梁相屬以次遞降自下梁重心作直引中梁與之相遇復自相遇點至下梁下端作斜則與地平成句股形句為下梁平力之率弦為下梁垂力之率四梁相屬長短輕重如一合地平成五不等邊形自頂點作垂則與地平成大句股又自下梁上端作地平則與垂成小句股小股對角之正切與大股對角之正切若一與三也
橋環(huán)相定之理先令諸劈之大小形狀左右俱等自橋頂作垂以諸劈之左右切面引而長之必與垂遇于一點此點即環(huán)心也各切面與垂之交角其切較為各劈重率割為各劈抵力率不合此率而又無面阻力橋必圯矣由劈之重心作垂自切面之中作直交于切面為抵力引而長之與左右兩垂相遇必在劈行之中若出劈外而又無膠固力橋必圯矣橋之下面為圓者自圓心作地平又以圓半徑為股橋頂至圓心之垂為弦取其句于垂上自圓心截之復作一地平此自中至邊漸與橋之上曲相近而永不相合任于此上作一垂交于下地平又自圓心作一斜乃取交點距橋頂之度于斜上自圓心截之即上曲所到也橋之上下面俱為地平者中間必為垂面各切面與垂之交角其切較為各劈重率即為各劈面積率抵力不出劈外與橋環(huán)同
凡糙面有二阻力一在平面一在斜面光面則祗有平面之阻力也任何面體行于平面其重即為抵力兩面俱木而紋平行者取抵力二之一兩面俱木而紋橫直相交或兩面俱金者取抵力四之一兩面一木一金者取抵力五之一各以乘抵力為面阻力斜面之阻力則置物于平面而以一邊徐徐舉起于物欲下未下之時測斜面與地平之交角其全數(shù)與角正切若抵力與面阻力也橋環(huán)諸劈之重不合于切較則抵力與切面斜交試于抵力之端作直交于抵力又于直交之中依斜面阻力角度左右各作一角即為斜交之大限切面在此二限之中環(huán)亦定矣
有小圓柱旋轉于大圓柱中其相切處亦生面阻力兩面俱木者取抵力十二之一兩面一銅一鐵者取抵力七之一各以乘抵力為面阻力輪軸滑車率皆準此
　　動重學記　　　
顧觀光
凡動無他力加之則方向必直遲速必平若加以他力而方向異于本動者以二方向補成平行四邊形作對角為二速之合率力之加于物而生動也不論正加旁加其動力恒等于抵力故左重與右重若右速與左速二物相引則速之大者必減小者必增各以其重乘所增減之速其數(shù)亦相等也
凡球行于平面是生平力二球相擊其體平而復凸是生凸力球之無凸力者或鉛或瓦擊時二速消盡二球必止而不行矣凸力有等于平力者謂之全凸力有小于平力者謂之朒凸力呢紗等球凸力為平力九之五象牙球為九之八玻璃球為十六之十五正相擊后二球分行于二對面各生新速其擊前速與擊后速若平力與凸力也設二球皆全凸力正相擊后小球之速必減而大球之速必增二重和與二重較為倍大重與減速之率又為倍小重與增速之率各以其重乘速而并之擊前與擊后亦等二球之凸力等而正相擊后小球止而不行其大球與小球必若平力與凸力也若以動球擊靜球而二體相等又皆為全凸力者其動靜必互相易動球小于靜球則小者返行而大者前行必小于小者之前速動球大于靜球則小者之速必大于大者之前速而大者隨行其速小于前速三球在一上以次遞小而大中二球之較大于中小二球之較者大球由中球傳速于小球必大于直傳速于小球若中球為大小球之中率則傳速最大矣
自擊點過二球心作交其合于球行之方向者為正相擊不合者為斜相擊二球方向一直一橫則擊后橫者斜行以擊前二方向引而長之補成平行四邊形作對角即斜行之也二求俱斜則擊后二方向與擊前二方向互為平行自方向之端作直交于交前后各成兩句股形其兩句必自相等又以擊前二方向引之相交則交角之對邊即擊時之兩半徑和也
二球相距必有重心至相擊時重心即為擊點二球相對而行則重心恒不動故左重與右重若右距與左距相隨而行而后速大于前速則重心隨而前行法以兩重各乘速而并之為實并兩重為法實如法而一即重心行也設二球平行于二斜重心必平行于一直以二斜引之相交取二速之度自交點截之為兩腰作聯(lián)為三角形之底則左速與右速若右分邊與左分邊乃自分邊處至交點作直即重心行也
凡有凸力之球斜擊于不動之面則擊后必斜行自擊點過球心作交又自方向之端作直交于交成前后兩句股形凸力全者兩句股形相等而方向與交之交角前后亦必相等凸力不全則后角與前角之正切為平力凸力之率后角與前角之正弦為前速后速之率無凸力者擊后行于面邊其前速與后速若全數(shù)與角正弦也
凡動有二一為平速一為漸加速平速動成長方形速為闊時為長則路為長方積漸加速動成塹堵形力為高時為長與闊則速為長方積路為塹堵形積物在空中為地力所引而下墜愈下愈速即漸加速也地形橢圓長徑過赤道短徑過兩極徑冪與地力為轉比例故兩極下地力與赤道下地力若百四十五與百四十四兩極赤道之間地力適中于一秒中測物之下墜凡十六尺又萬分尺之六百九十七倍之為一秒之地力依塹堵形求之速與路俱可得矣聲之行為平速一秒中凡千十七尺設投石井中歷幾秒聞水聲則以地力除二開平方為石過井率以聲速除一為聲過井率并之以比所歷之時即井口距水之深也大小二重懸于定滑車者大重必隨地力而下二重和與二重較若地力與長加力物自斜面下行兩面皆為光面必相切而行非旋轉而下斜面之弦為重率股為力率力乘地力即斜面之長加力以塹堵形之比例通之地力乘股以除二弦冪即時冪也二地力以乘股即速冪也故不論弦之長短但股等則速亦等以重引重令行于斜面垂面之重大則重上行垂面之重小則重下行以垂重乘弦與斜重乘股之較乘地力為實并二重以乘弦為法實如法而一即長加力也設有圓面直交地平自頂點至圓界作諸通弦則物任行于何通弦自頂點至末點時刻俱等大小兩圓面之頂合為一點直交地平自頂點至大圓界作諸大通弦中有諸小通弦則物行于兩通弦之較自小圓界至大圓界時刻俱等凡此相等之理皆由地力而生也
拋物空中上行極則彎環(huán)而下其兩端恒相等是名拋拋與地平之交角適足四十五度者拋界最大其左右皆漸小而兩兩相等至九十度則無拋界矣若拋物于斜面則視斜面與九十度之交角拋中分此角者拋界最大其左右亦漸小而兩兩相等至九十度則無拋界矣以拋之切為弦則垂為股地平為句切生于平速之拋力故時速相乘而得弦垂生于漸加速之地力故半地力乘時冪而得股以平三角之比例通之拋交地平之倍角正弦乘速冪為實地力為法實如法而一即平面拋界也拋交地平角與拋交斜面角相并為和相減為較和角較角兩正弦之較乘速冪為實較角余弦冪乘地力為法實如法而一即斜面拋界也九十度之拋即為拋高倍之為平面之最大拋界又以斜面交九十度角之大矢除之即斜面之最大拋界故平面之拋界視斜面為大矣自拋高上端作橫為規(guī)規(guī)距拋頂之度與拋頂距心之度等自心作橫直交于心距規(guī)兩端皆抵拋此必倍于心距規(guī)即末率也心距規(guī)以二拋高為最大故末率以四拋高為最大拋與平之交角自地平上以漸而小至拋頂則與平合而為一無交角矣垂所截之地平為實拋交地平角之余弦冪乘二拋高為法實如法而一以減拋交地平角之正切即交角正切也若以同速拋各物而同在一平面者歷若干秒各物所到之點聯(lián)之成平圓形若不在一平面成立圓形其拋點距圓心之度即若干秒中地力下行所過之路矣
懸物空中左右限以曲令物一往一來則與曲乍合乍離而其行又成曲是名擺倍圓徑為擺長又倍之為擺周則圓周為擺之界即橫徑也于橫徑之中作垂必抵擺之底點以此垂為圓徑作平圓形則任于垂上作橫其所截平圓之弧必等于平圓外之橫而所截之擺周必倍于平圓內之通弦物自擺下行為地力所引其速與垂等以測各處地力之大小至易見也一秒之地力為實圓周率三一四一五九二六五三自之為法實如法而一為秒擺長秒擺者一秒擺動一次也設地力為定數(shù)則擺長之平方根與時刻成正比例擺長為定數(shù)則地力之平方根與時刻成轉比例故以秒擺長除擺長或以地力除原地力平方開之皆為擺動一次之時刻也若以較數(shù)求之則擺長者動遲擺短者動速以擺長與秒擺長之較乘一晝夜八萬六千四百秒為實倍秒擺長為法實如法而一即一晝夜擺動加減次數(shù)地形高下處處不同高則擺動遲下則擺動速一晝夜加減次數(shù)為兩處高下差之率倍之為兩處地力差之率擺之用盡于此矣
有諸質點各以聯(lián)于平面力加一點則諸點隨之而動此與獨動不同因諸質點各有抵力環(huán)軸時必互相感召或生動或阻動也距軸愈遠用力愈少力距相乘積等則速亦等自軸心作地平為句自諸點各作垂為股諸點之距軸為弦各以質重乘弦冪而并之即諸點之質阻率力乘距冪為實質阻率為法實如法而一即實生力也諸質點為地力所引亦各有長加力自軸心作直則分諸點為左右兩邊各以質重乘句視諸點在直之一邊者相加在兩邊者相減用乘地力又以所求點之距軸乘之為實質率為阻法實如法而一即所求點之長加力也諸質相距必有重心其距軸為弦垂為股所截之地平為句合各質重以乘重心之句與質重各乘距軸之句以相并者其數(shù)正等引重心距軸而長之即為擺心重心擺心兩距軸相乘即環(huán)軸半徑冪也自重心作直與距軸成直角亦分諸質點為左右兩邊而諸點之距重心為弦直為股所截之距軸為句各以質重乘句其在重心之兩邊亦相等也合各質重以乘重心距軸冪又以質重各乘弦冪而并之亦與質阻率等重心距軸與距擺心相乘即環(huán)重心之半徑冪合各質重乘之與質重各乘弦冪以相并者其數(shù)亦等重心為心軸心為界作平圓形任于圓上取一點為懸點擺次并同若以擺心為界其理亦同故懸點與擺心點可互易也
二重一加于輪一加于軸而在輪周者下行在軸周者上行輪軸之長加力各如其半徑之比三輪相屬或聯(lián)以索或銜以齒而二重一加于第一輪一加于第三軸輪軸之長加力如三輪半徑連乘與三軸半徑連乘之比不等二重加于桿之兩端者二重之長加力各如距重心之反比矣凡圓體有轉動有過面動此二動常相因也以索之一端纏于圓體一端過定滑車而以重懸之設等質之實圓柱則柱重乘地力以加懸重為實三因懸重以加柱重為法除之即過面動之長加力懸重乘柱徑又乘地力為實三因懸重加柱重以乘柱徑冪八之一為法除之即轉動之長加力若圓柱空而極薄則柱重乘地力為實倍懸重以加柱重為法除之即過面動之長加力倍懸重以乘地力為實倍懸重加柱重以乘柱半徑為法除之即轉動之長加力設索之一端纏于圓體一端著于定點則過面動之長加力實圓柱為地力三之二空圓柱為二之一球為七之五也圓體由斜面而下兩面皆為糙面令圓體不為直動而為轉動則不用地力而用直動之長加力其比例并與此同不等二重加于靜滑車者令大重下行之長加力即令小重上行之長加力若加于二滑車而一靜一動者動滑車之長加力為靜滑車二之一因速減半故也若加于連滑車而一靜數(shù)動者第一動滑車之長加力為靜滑車二之一第二動滑車為四之一第三動滑車為八之一既得諸器之長加力用和分法推之即可知諸器之動矣
凡二體相切相磨皆能生面阻力而動速漸減使牽力與面阻力等則物之行恒為平速矣車行于石路之牽力小者為物重千分之十六大者為二千分之三十九路極不平處至千分之二十四火石路為千分之六十四鐵軌路牽力或為物重二百四十分之一或為三百分之一平石路為七十分之一石子路為十五分之一若車行于斜而其所加之牽力等于股為實弦為法設斜面二丈最高一尺則比平面牽力加物重二十分之一也陸路不論速之大小阻力恒同水路則速冪漸大阻力亦漸大故車或五小時行十里或一小時行十里牽力并同而舟則一小時行十里較五小時行十里者牽力當加二十五倍也惟一小時十里以上阻力增率甚小因舟速甚而高出水面耳生動之力有六曰定質重曰流質重曰定質凸力曰流質動力曰流質漲力曰人畜能力皆以力乘路為當程功定質重之動力斜面與垂面不同設自行車路高一百尺長四千尺輕車一千斤以重車四千斤下行之力引之上行面阻力為二百分重之一法以重較三千斤乘高一百尺得三十萬為當程功以二百除一千得五斤為上行阻力以二百除三千得十五斤為下行阻力并之以乘長四千尺得八萬為實程功是當程之功比實程為四倍弱也用于垂面則以重乘路當程之功即為實程之功矣流質重之動力以水言之其當程功與定質同而水中又有橫流之水互相推蕩不能用以程功故水激上半輪當程功與實程功若五與四水激下半輪當程功與實程功若十與三也捕鳥鼠之巧機能生暫動巧偶鐘表之發(fā)條能生長動皆凸力也發(fā)條動時抵力恒有改變故以繞軸漸卸時所過微路乘各秒中所加抵力之路為所程功風氣之力有二風槍用漲力風帆用動力水氣亦有漲力與動力其動力大小之比皆若速立方大小之比矣人畜能力以靜體為最大人力二十八斤又五分斤之四馬力一百四十四斤行則力必減小行至極速則力不能程功而一小時中極速之限人行六里馬行十二里故求人所程功者以一小時里數(shù)與六里相減余數(shù)自之四因五除為人力求馬所程功者以一小時里數(shù)與十二里相減余數(shù)自之為馬力各以里數(shù)乘之為所程功也
車以平速行于平路其力必等于面阻力若有阻物如小石類而車體甚堅阻物與輪周僅遇于一點過此點時車必減速加力則速不減矣車過阻物上行時所加之力為重阻力車行忽改方向震動時所加之力為震阻力法以輪半徑除阻物高為第一數(shù)輪半徑冪倍之以除阻物高冪為第二數(shù)以此兩數(shù)之較乘平速冪為震阻力率地力乘阻物高為重阻力率并兩率以乘車重即車過阻物之加力也若阻物高小于輪半徑則平速冪為震阻力率輪半徑乘地力為重阻力率或以薄鐵片附于軸下取其凸力令輪心漸離直而不震動阻力可減大半也
以物擊物其受擊物之抵力由兩物相遇而生故鐵錘之力大于紗球鐵墩所抵之能大于軟枕而錘之能力消于墩之抵力其所歷之時刻又有不同時刻愈小抵力必愈大而物性受凹愈少者時刻亦愈小也鋼鐵凸力率九百萬尺如以鐵錘擊鐵墩則錘高加墩高以乘錘高又以錘下行數(shù)乘而倍之為實凸力率為法實如法而一平方開之即錘墩共凹之路錘高乘凸力率又以錘下行數(shù)乘而倍之為實錘高加墩高為法實如法而一平方開之即鐵墩之抵力也若以錘擊釘入木則力為平力而釘能動抵力必小釘長加錘高以乘木徑倍凸力率除之即釘入木之路錘高乘平行數(shù)木徑除之內減釘入木路即錘釘共凹之路也
　　流質重學記　　　
顧觀光
物各有質木石之類為定質風水之類為流質而流質又有輕重之分輕如風氣重如水液其體皆得熱而大得寒而小而水之質獨異當寒暑表之四十度為極小之限更寒則反增大至三十二度而成冰矣成冰之時其體增大最速故瓶盆貯水每因冰而迸裂也流質在器為地力所引必皆平于地平地球旋轉生離心力地心下引生向心力二者又有并力而水面必直交于并力故海面當赤道則曲于球形當二極則平于球形月過處有引力又合地力而生并力必令水面改變即潮汐之理也水之小者同于平面故測兩地高卑以水為準若二處流質相通必升至于平面以法激之能令水自下而上能令水載大重而上升或不用水而用風氣理亦同也定質抵力惟在引力所加之方向流質抵力處處皆同設水在器中于其四周開相等之四小穴以短柱塞之令可進退一柱漸進則余柱必漸退其抵力之比同于穴大小之比去其一柱器必向對邊而傾以一邊無抵力也流質愈深抵力愈大立方一尺之水抵力六十二斤半以乘體積即水抵力之重矣流質抵力必有重心設上下不等正方體水滿其中重心必近于大方令大方在下則重心低而抵力大大方在上則重心高而抵力小若有兩器同底同高不論方斜尖直其底之抵力并同旁面抵力必在重心之下設為平行四邊形則抵力心之高為三分高之一設為兩等邊三角形角尖在上則為四分中垂之一角尖在下則為二分中垂之一凡水閘當?shù)至π奶幈囟嗉幽芰σ宰杷?br />定質為流質所載重者必變而輕故竹木入水必升鐵入水銀亦升因等體積之流質重于定質故也定質重為向下之力流質重為向上之力二力同在一垂相等則物必定由此可得體積相等輕重不等之率如金重三十五分入水中則重三十一分所少四分即等于金體之水重是知水與金之重率為一與八七五矣若不合相定之理則物在水中或升或降令物升降之力即等體積之水重與物重之較也人入水中身重小于等體積之水重又胸中空處能大能小首昂則胸大而兩重較更大且以兩手入水必不沉也若手出水則身重大于等體積之水重而身必沉沉至水底抵力愈大身之體積愈小而不能復升矣人于桅端下墜入水必深以身重大于等體積之水重也歿則體漲大而復升以身重小于等體積之水重也氣球上升亦同此理其上升之力即球重于等體風氣重之較矣風氣又有冷熱之分而熱輕于冷又熱則體必加大而等體之冷風氣愈重二重之較即令熱風氣上升之力聚火處開煙囟令煙速出于上即此理也煙囟高則熱風氣向上直升恒高于頂數(shù)尺外風不能敵之低則熱風氣亦低或不能敵外風而回入室中矣
凡空處皆有風氣風氣漲力四面散行直至遇物攔阻而止設冷熱等則漲力大小與空體大小有轉比例如有長空圓柱兩端一通一塞以通之一端入水則柱中空體為水所逼漸下漸小而令柱下行之力必漸加大此即風氣之漲力以漲力與抵力恒相等也水熱至寒暑表之二百十二度其漲力與風氣等每方一尺抵力二千一百二十斤更熱則漲力極大雖至堅之物不能當之矣
地球外之風氣層層包裹近地最厚漸高漸薄至一百五十里則無風氣矣用玻璃管長三十二寸內徑極小不過八分寸之一兩端一通一塞滿貯水銀倒植水銀器中則管中水銀必降最卑至二十八寸最高至三十一寸其不能再降者為風氣之所抵而風氣厚薄時時不等故升降亦時時不等也海面水銀高二十九寸九分二厘二毫在高山則必降風氣薄而輕也在深壑則必升風氣厚而重也大率高九百尺水銀降下一寸是又為測高之簡法矣水在器中或倒懸而水不出以口有風氣抵力也虹吸內兩邊倒懸之水俱欲下行在頂點有兩分之意而頂點無空勢不能分兩邊一短一長必令短者逆流而上所以無空者風氣抵之也若頂點高過三十二尺即有空矣極大虹吸高不得過三十二尺
風氣冷熱處處不同赤道之下日光正射而熱入必多斜射則熱少愈斜則愈少故一年熱氣中率赤道之下寒暑表八十四度兩極之下僅得四度然則赤道下之風氣較他處熱而輕故必上升而其下南北之冷風氣入之復受熱氣上升而其下之冷風氣又入之如水之流終古不斷遂生上下二潮上自赤道流向兩極下自兩極流向赤道而名之曰風風氣恒隨地球而行地球右轉之勢近赤道者較速近兩極者較遲故上潮速恒而下潮遲及其降至地面遲則與地轉相逆而北半球為東北風南半球為東南風速則與地轉相順而北半球為西南風南半球為西北風其勢正相反也赤道下有颶風亦由于此蓋上下方向相對遂成回旋之風矣擺用流質與定質同其動之比同于長平方根之比水自器中出口其速之比同于口離水面平方根之比設于器旁開二口一離水面一尺一離水面一百尺則一百尺之速必十倍于一尺之速如有少于此者面阻力為之也口在器底則水向下直行口在器旁則水依拋物行設為徑寸平圓之口則近口處徑一寸漸遠漸小小至八分寸之五謂之截面此面距口有一定之度過此則形不變故測流質出口多少不用口面積而用截面積也
舟行水中阻力之比同于速冪之比而阻力又有大小之不同全在水中則大半在水中則小行于闊處則大行于狹處則小若于狹處一小時行十余里舟行愈速出水愈高其阻力必大減矣水行川中上面速于下面中流速于兩邊因底與兩岸有面阻力且多曲處故也曲處凹邊之流速于凸邊因各點有離心力能令水積于凹邊也上下行速不同方向或異甚至有對面者如海口潮來咸水從下入淡水從上出以重者下而輕者上也浪乃略高之水行于水面與水行方向不同如桅上旗因風而生綺浪亦與旗行方向不同故水浮水面浪雖擁擊而水不行也浪每因風而生水闊二三百尺深三四尺浪高不過三寸深二三十尺浪高約尺半故可以浪之高低測水之深淺矣潮汐高卑由于日月攝力朔望時用其和兩弦時用其較而二攝力之大小時時不等因日月距地時時不等而攝力與距地之立方有轉比例也日力大小自十九至二十一月力大小自四十三至五十九故潮之最高與最卑若兩大數(shù)和與兩小數(shù)較即若十與三之比也各地早晚不同當考者有五事一為月過中差潮漲在月過中后若干時刻日日不同大率當以朔望為準二為半月差月過中又因距日而生差當于日月赤道緯度及地心差為中數(shù)時測之此差半月而復故名半月差三為潮距朔望差潮之大汛不在朔望而在朔望后之三潮上潮距月過中之平數(shù)即潮距朔望也四為日差一日二潮高卑不等或早潮高或晚潮高當于各地測之五則日月地心差不同赤道緯度不同潮之高卑時刻亦因之而變測之既久乃知變者皆其常也有諸海港合而復分水道屢變有時成環(huán)繞之行水道變則遲速亦變是又當兼測水道矣
　　天重學記　　　
顧觀光
日居中而不動地球環(huán)之其旋轉于本心而一日一周者晝夜之故也其循行于本道而一歲一周者寒暑之故也旋轉之勢依赤道循行之勢依黃道二道交角今為二十三度二十八分交點每歲西行五十秒一故地行黃道一周三百六十五日五小時四十八分四十九秒七再加二十分十九秒九而后復于恒星即歲差也黃道橢圓而日不正當橢圓之中兩心差一六七八三六最高每歲東行十一秒八故地繞太陽一周三百六十五日六小時九分九秒六再加四分三十九秒七而后復于最高即歷周也最高差與歲差共一分一秒九積二萬九百八十四年而最高周于黃道則復其初矣地行于橢圓周每日五十九分八秒三三所歷之時刻等所過之面積亦等而最高半周角度小于積度則實行差而遲最卑半周角度大于積度則實行差而疾故日距地之平方與速率有反比例日距地之面積與時分有正比例也中距日視徑三十二分三秒三高則變小卑則變大大小之比同于日距地之反比矣黃道橢圓而地形亦為橢圓長徑過赤道短徑過兩極二徑之比若二百九十九與二百九十八地之旋轉近赤道則漸疾而下引之力減近兩極則漸遲而下引之力增故物在兩極較赤道重一百九十四之一各度加重之比同于緯度正弦冪之比也地徑與日徑比若一與一百十一五地徑與黃道徑比若一與二萬三千九百八十四故日之地平視差為八秒六各度視差之比同于視距天頂正弦之比也赤極環(huán)繞黃極二萬五千八百六十八年一周為諸星所攝動而黃赤大距古大今小約百年差四十八秒其最大差為一度二十一分赤極又為月所攝動而成小橢圓之行長徑十八秒五短徑十三秒七四凡十九年一周長徑恒向黃極故大距又有微差矣地以二十四小時旋轉一周而考之鐘表亦有微差一為橢圓遲疾差近最高則行遲而自轉有減分近最卑則行疾而自轉有加分一為黃赤升度差近二分則黃道一度當赤道不足一度故自轉有加分近二至則黃道一度當赤道一度有余故自轉有減分合二差以加減平時即真時也光行之速一秒凡五十五萬五千里而地行黃道一秒僅五十五里故光速率與地速率若半徑與二十秒五之正切是為光行差近地恒有蒙氣能令七政升卑為高地平視差三十三分地平以上漸小而其差又隨時隨地不同此必征諸實測非算術所能御矣
月繞地而又繞日其旋轉于本心與環(huán)繞乎地球皆二十七日七小時四十三分十一秒五而一周故月向地之面終古不易也月行白道與黃道斜交其角五度八分四十八秒交點退行于黃道每日三分十秒六四故月行南北二十七日二一二一而一周即交終也白道橢圓而地不正當橢圓之中兩心差最大最小之比若三與二其中數(shù)為五四八四四二最高每日順行六分四十一秒八故月行遲疾二十七日五五四五而一周即轉終也月行于橢圓周每日十三度一七六四亦以面積為平行角度為實行與太陽同中距月視徑三十一分七秒大小之比亦為月距地之反比矣月地之行每日差十二度一九七五積二十九日十二小時四十四分二秒八七而復合是為一月地徑與月徑比若一與二七二九地徑與白道徑比若一與五十九九六四三五故月之地平視差其中數(shù)為五十七分六秒也日月二半徑和加月地平視差其最大者一度三十四分二十七秒日月兩心距小于此數(shù)則地面必有見食之處故日食限之距交為十六度五十八分法自日體之兩邊各作與月體相切引長之成尖圓其尖或過地或不及地若以兩交互切月引長至地界內即生淡影人在淡影中則見食在尖圓中則見食既也月與內虛二心距等于月外虛二半徑和即月入外虛之時等于月內虛二半徑和即月入內虛之時故月食限之距交為十一度二十一分法自日體之兩邊各作與地球相切引長之成尖圓即內虛也若以兩交互切地引長之過月體即外虛也日光透過蒙氣則折而下其交外虛之角即倍地平蒙氣差其交內虛之角即倍蒙氣差與日視徑之較月八外虛為昏黃色入內虛則淺者為藍綠色深者為紅紫色也凡攝力之大小與相距之平方有反比例月距地心約地半徑之六十倍故地攝月力為地面攝力三千六百之一日之攝力甚大于地而日地距大于月地距約四百倍故日攝月力僅得地攝月力一百七十九之一也白道長徑與地之行每日差五十二分二十七秒二五積二百五日八九四而復合此一合中兩心差有增減長徑亦有進退而增減進退之差在最高者較大在最卑者較小大小之比若二十八與二十五矣朔望前二象限切力恒令速率增增則長徑變長朔望后二象限切力令恒速率減減則長徑變短又朔望左右各五十四度四十四分法力向外令曲率略小兩弦前后各三十五度十六分法力向內令曲率略大其最大差為一度四分一月而復名二均差也月受日之攝力朔時距日近而略大望時距日遠而略小故日心斜交地月之令月增減于橢圓行其最大差為二分名月角差也地行于橢圓周最高后距日漸近則日攝月力漸大最卑后距日漸遠則日攝月力漸小其最大差為十一分一歲而復名年差也二千年間地道兩心差恒變而小約百年差二萬五千分之一則年差亦微有不同而月之平速恒變而大約百年差十一秒九其一終之時甚久未能征諸實測也二體相距必有重心其距二體心遠近之比若二體輕重之比聯(lián)日地為一直其公重心在日體中聯(lián)月地為一直其公重心在地球中故月地之公重心繞日地之公重心而自人視之一若月繞地而地又繞日焉然因此而日之經度亦有微差一月而復因名之曰月差其最大者不能至八秒六八秒六者日之地平視差也白極環(huán)繞黃極十八年六而一周而赤道既退行于黃道又退行于白道則赤極所行方向恒正交赤白二極距故不成正圓而為次擺其速率亦時大時小二道所生二差之比若二與五矣
五星繞日而行軌道并為橢圓與地球同其兩心差各以長半徑準之水星二五五一四九金星六八六七火星九三三七木星四八一六二一土星五六一五五距日中數(shù)以地道半徑準之水星三八七九八一金星七二三三三一六火星一五二三六九二三木星五二二七七六土星九五三八七八六一地與五星周時平方之比各同于距日立方之比推得五星之恒星周水星八十七日九六九二五八金星二百二十四日七七八七火星六百八十六日九七九六四六木星四千三百三十二日五八四八二一土星一萬七百五十九日二一九八一七其交黃道之角水星七度九秒一金星三度二十三分二十八秒五火星一度五十一分六秒二木星一度十八分五十一秒三土星二度二十九分三十五秒七其交點與最高點行皆甚遲故聯(lián)兩交點為一恒平分黃道焉外星之攝動內星也于內道上取距外星等于日距外星之兩點內星自等距點至交點者交點退而后自交點至等距點者交點進而前內星之攝動外星也二道相距小于內道距日者于內道上取距日與外星相等之兩點其交點之進退與外星攝內星同二道相距大于內道距日者二星在交之兩邊交點退而后在交之一邊交點進而前若二星中有一星正當交點則交點不動矣二道漸相近而攝力又引之近二道漸相遠而攝力又推之遠則交角變大二道漸相近而攝力反推之遠二道漸相遠而攝力反引之近則交角變小引之近者交點退推之遠者交點進故交角之大小與交點之進退不相應也法力能變曲率向內則曲率增向外則曲率減切力能變速率順則速率增逆則速率減故法力向內而星近高點則長徑退近卑點則長徑進自高至卑則兩心差增自卑至高則兩心差減法力向外者反是切力順而星近高點則兩心差減近卑點則兩心差增自高至卑則長徑退自卑至高則長徑進切力逆者反是是兩心差與最高行互為消長而切法二力亦互為消長故五星之橢圓周古今不甚相遠也人視五星見其忽順忽逆忽留若無法者因地不在星道之心而又繞日環(huán)行故也若自太陽視之則有遲疾而無留退故求地心經緯度當以日心經緯度為根先用弧三角形直角為一角星道交黃道角為一角最卑交點二經度較為兩角所夾之弧求得對直角之弧以加減星距最卑度即星距交度仍以直角為一角星道交黃道角為一角星距交度為兩角所夾之弧求得對交角之弧即日心緯度又求對直角之弧以加減交點距春分度即日心經度也次用平三角形直角為一角日心緯度為一角星距日為對直角之邊求得緯度角之對邊為星距黃道又求得兩角所夾之邊為星對邊又以星對邊為一邊地距日為一邊星地二日心經度較為兩邊所夾之角求得對角之邊為日對邊又求地距日之對角以加二日心經度較再加地之日心經度即星之地心經度又以日對邊與星距黃道為夾直角之兩邊而求星距黃道之對角即地心緯度也土木二星之互相攝動也二星一合為七千二百五十三日四積至三合則土二周木五周而多八度六分以除三百六十度又以一合日數(shù)乘之得三十二萬二千三百七十三日約八百八十三年然其差因積久而大故九百十八年而一周此一周中一星速率增而周時變短則一星速率減而周時變長其最大差土星四十九分木星二十一分二星經度之比若二星體積各乘長徑平方根之反比也金星之攝動地球也一合為五百八十三日九二積至五合則地八周金十三周而少二度二十四分以除三百六十度又以一合日數(shù)乘之得八萬七千五百八十八日約二百四十年而一周此一周中地速率減則日地中距變大地速率增則日地中距變小其差甚微然因此而月之速率亦有增減其最大差為二十三秒金星攝力又有直加于月者地轉三終則金轉五終而多二十七日十三小時七分三十五秒六較月轉終少十分五十六秒七約為三千六百二十五分月轉終之一凡二百七十三年而一周其最大差為二十七秒四是又在日地二攝力之外矣五星地半徑差并小于月測之甚難而聯(lián)日星與地為三角形則星距日與地距日若星距日度正弦與地道半徑差之正弦此差一年而周與光行差相似若以光行星與地道差為夾直角之兩邊而求地道差之對角即星所在之度也
彗星行法與五緯同而橢圓之長徑甚長兩心差甚大故或數(shù)十年而一見其差甚多不能盡知其根數(shù)也因格彗半長徑二二一六四兩心差八四七四三六交黃道角十三度七分三十四秒凡三年一一而一周迪未谷彗半長徑三九九四六兩心差六一七二五六交黃道角二度五十四分四十五秒凡五年一六七而一周勃陸孫彗半長徑三一五二一兩心差七九三六二九交黃道角三十度五十五分七秒凡五年二一六而一周比乙拉彗半長徑三五一八二兩心差七五五四七一交黃道角十二度三十四分十四秒凡六年二二而一周飛彗半長徑三八一一七九兩心差五五五九六二交黃道角十一度二十二分三十一秒凡七年一六一而一周達唳彗半長徑六三二六六兩心差七五六七二交黃道角三十一度二分十四秒凡十五年三二五而一周好里彗半長徑一七九八七九六兩心差九六七三九一交黃道角十七度四十五分五秒逆行凡七十六年一六而一周又有干隆三十五年之彗兩心差七八五八交黃道角一度三十四分凡五年半而一周道光二十三年之彗最卑距日五五八交黃道角三十五度三十六分二十九秒逆行凡二十一年八七五而一周又有順治十八年之彗約一百二十九年而一周嘉靖三十五年之彗約二百九十二年而一周康熙十九年之彗約五百七十五年而一周上考往古有當見而不見者必近日而晝見有雖見而先后一二年則為他星所攝動也干隆五十一年至道光十八年因格彗已十五周每周減百分日之十一洪武十一年至道光十五年好里彗已六周每周增千分年之四百四十五增減之故未得而詳彗之頭如星氣漸近中心漸厚尾恒背日蓋太虛中之薄氣故借日光而明有時隔彗能見恒星知其為薄氣而非實體矣
　　代微積拾級序　　　
李善蘭
幾何之學自歐幾里得至今專門名家代不乏人粵在古昔希臘最究心此學爾時以圜錐諸曲之理為最精深亞奇默德而后其學日進至法蘭西代加德立縱橫二軸推曲內諸點距軸遠近自有此法而凡曲無不可推故曲之數(shù)多至無窮而以直為限一例用曲之法馭之既得諸曲依代數(shù)理推之可得諸平面諸曲面諸體其已推定之曲略舉其目曰平圜橢圜雙拋物半立方拋物薜荔葉蚌擺余擺和音次擺弦切諸指數(shù)對數(shù)亞奇默德螺對數(shù)螺等角螺交互螺兩端懸葛西尼諸橢圜平行動而圜錐諸曲與他曲統(tǒng)歸一例無或少異此代數(shù)幾何學也自有代數(shù)幾何而微分學之用益大微分學非一時一國一人所作其源流遠矣數(shù)學有數(shù)求數(shù)代數(shù)無數(shù)求數(shù)然所推皆常數(shù)微分能推一切變數(shù)創(chuàng)法者不一家理同而術異求本之者日爾曼人也立界說曰以小至無窮之點積至無窮多推其幾何名為推無窮小點法難者曰無窮小之點雖積之至無窮不能成幾何解之曰但易無窮小為任何小即有積可推矣故其說雖若難解而其理未始不合也而英國奈端造首末比例法不用無窮小之長數(shù)乃用有窮最小長數(shù)之比例而推其漸損之限其幾何變大則為末限變小則為首限此法便于幾何而不便于代數(shù)后造流數(shù)術棄不用而謂萬物皆自變其變皆有速率凡幾何俱可用直顯之故速率之增損可用直之界顯之此說學者皆宗之嘉慶末法蘭西特浪勃造限法自云不過用柰端首末比例耳而蘭頓別創(chuàng)新法凡微分一憑代數(shù)不云任近限而云已得限名曰賸理拉格浪亦造法多依附戴老之理大略與蘭頓同總論之微分不過求變幾何最小變率之較耳家數(shù)雖多理實一焉奈端來本之同時各精思造法未嘗相謀相師也奈端于元上加點以顯流數(shù)如申為甲之流數(shù)是也用以推算覺不便故用來氏之彳號以顯之積分者合無數(shù)微分之積也亦用來氏之禾號以顯之微分積分為中土算書所未有然觀當代天算家如董方立氏項梅侶氏徐君青氏戴鄂士氏顧尚之氏暨李君秋紉所著各書其理有甚近微分者因不用代數(shù)式故或言之甚繁推之甚難今特偕李君譯此書為微分積分入門之助異時中國算學日上未必非此書實基之也
　　代微積拾級序　　　
偉烈亞力
中法之四元即西法之代數(shù)也諸元諸乘方諸互乘積四元別以位次代數(shù)別以記號法雖殊理無異也我　朝康熙時西國來本之奈端二家又創(chuàng)立微分積分二術其法亦借徑于代數(shù)其理實發(fā)千古未有之奇秘代數(shù)以甲乙丙丁諸元代已知數(shù)以天地人物諸元代未知數(shù)微分積分以甲乙丙丁諸元代常數(shù)以天地人物諸元代變數(shù)其理之大要凡線面體皆設為由小漸大一剎那中所增之積即微分也其全積即積分也故積分逐層分之為無數(shù)微分合無數(shù)微分仍為積分其法之大要恒設縱橫二以天代橫以地代縱以彳?天代橫之微分以彳?地代縱之微分凡代數(shù)式皆以法求其微系數(shù)系于彳?天或彳?地之左為一切面體之微分故一切面體之微分與縱橫之微分皆有比例而疊求微系數(shù)可得面體之級數(shù)曲之諸異點是謂微分術既有面體之微分可反求其積分而最神妙者凡同類諸題皆有一公式而每題又各有一本式公式中恒兼有天地或兼有彳?天彳?地但求得本式中天與彳?天之同數(shù)或地與彳?地之同數(shù)以代之乃求其積分即得本題之全積是謂積分術由是一切曲曲所函面曲面曲面所函體昔之所謂無法者今皆有法一切八求弧背弧背求八真數(shù)求對數(shù)對數(shù)求真數(shù)昔之視為至難者今皆至易嗚呼算術至此觀止矣蔑以加矣羅君密士合眾之天算名家也取代數(shù)微分積分三術合為一書分款設題較若列眉嘉惠后學之功甚大偉烈君亞力聞而善之亟購求其書請余共事譯行中國偉烈君之功豈在羅君下哉是書先代數(shù)次微分次積分由易而難若階級之漸升譯既竣即名之曰代微積拾級時幾何原本刊行之后一年也
　　談天序　　　
李善蘭
西士言天者曰恒星與日不動地與五星俱繞日而行故一歲者地球繞日一周也一晝夜者地球自轉一周也議者曰以天為靜以地為動動靜倒置違經畔道不可信也西士又曰地與五星及月之道俱系橢圓而歷時等則所過面積亦等議者曰此假象也以本輪均輪推之而合則設其象為本輪均輪以橢圓面積推之而合則設其象為橢圓面積其實不過假以推步非真有此象也竊謂議者未嘗精心考察而拘牽經義妄生議論甚無謂也古今談天者莫善于子輿氏茍求其故之一語西士蓋善求其故者也舊法火木土皆有歲輪而金水二星則有伏見輪同為行星何以行法不同歌白尼求其故則知地球與五星皆繞日火木土之歲輪因地繞日而生金水之伏見輪則其本道也由是五星之行皆歸一例然其繞日非平行古人加一本輪推之不合則又加一均輪推之其推月且加至三輪四輪然猶不能盡合刻白爾求其故則知五星與月之道皆為橢圜其行法面積與時恒有比例也然俱僅知其當然而未知其所以然奈端求其故則以為皆重學之理也凡二球環(huán)行空中則必共繞其重心而日之質積甚大五星與地俱甚微其重心與日心甚近故繞重心即繞日也凡物直行空中有他力旁加之則物即繞力之心而行而物直行之遲速與旁力之大小適合平圜率則繞行之道為平圜稍不合則恒為橢圜惟歷時等所過面積亦等與平圜同也今地與五星本直行空中日之攝力加之其行與力不能適合平圜故皆行橢圜也由是定論如山不可移矣又證以距日立方與周時平方之比例及恒星之光行差地道半徑視差而地之繞日益信證以煤坑之墜石而地之自轉益信證以彗星之軌道雙星之相繞多合橢圜而地與五星及日之行橢圜益信余與偉烈君所譯談天一書皆主地動及橢圜立說此二者之故不明則此書不能讀故先詳論之
　　談天序　　　
偉烈亞力
天文之學其源遠矣太古之世既知稼穡每觀天星以定農時而近赤道諸牧國地炎熱多夜放羊因以觀天間嘗上考諸文字之國肇有書契即記及天文如舊約中屢言天星希臘古史亦然而中國堯典亦言中星歷家據(jù)以定歲差焉其后積測累推至漢太初三統(tǒng)而立七政統(tǒng)母諸數(shù)從此代精一代至郭太史授時術法已美備惟測器未精得數(shù)不密此其缺陷也中國言天者三家曰渾天曰蓋天曰宣夜然其推歷但言數(shù)不言象而西國則自古及今恒依象立法昔多祿某謂地居中心外包諸天層層硬殼傳其學者又創(chuàng)立本輪均輪諸象法綦繁矣后代測天之器益精得數(shù)益密往往與多氏說不合歌白尼乃更創(chuàng)新法謂太陽居中心地與諸行星繞之第谷雖譏其非然恒得確證人多信之至刻白爾推得三例而歌氏之說始為定論然刻氏僅言其當然至奈端更推求其所以然而其說益不可搖矣夫地球大矣統(tǒng)四大洲計之能盡歷其面者無幾人焉然地球乃行星之一耳且非其最大者計繞太陽有小行星五十余大行星八其最大者體中能容地球一千四百倍其次能容九百倍也設以五百地球平列土星之光環(huán)能覆之而諸行星又或有月繞之總計諸月共二十余設盡并諸行星及諸月之積不及太陽積五百分之一太陽體中能容太陰六千萬倍可謂大之至矣而恒星天視之亦只一點耳設人能飛行空中如最速子亦須四百萬年方能至最近之恒星故目能見之恒星最小者可比太陽其大者或且過太陽數(shù)十萬倍也夫恒星多至不可數(shù)計秋冬清朗之夕昂首九霄目能見者約三千設一恒星為一日各有行星繞之其行星當不下十五萬況恒星又有雙星及三合四合諸星則行星之數(shù)當更不止于此矣然此僅論目所能見之恒星耳古人論天河皆云是氣近代遠鏡出知為無數(shù)小星遠鏡界內所已測見之星較普天空目所能見者多二萬倍天河一帶設皆如遠鏡所測之一界其數(shù)當有二千零十九萬一千設一星為一日各有五十行星繞之則行星之數(shù)當有十億零九百五十五萬意必俱有動植諸物如我地球偉哉造物其力之神能之鉅真不可思議矣而測以更精之遠鏡知天河亦有盡界非布滿虛空也而其界外別有無數(shù)星氣意天河亦為一星氣無數(shù)星氣實即無數(shù)天河我所居之地球在本天河中近故覺其大在別星氣外遠故覺其小耳星氣已測得者三千余意其中必且有大于我天河者初人疑星氣為未成星之質至羅斯伯之大遠鏡成始知亦為無數(shù)小星聚而成而更別見無數(shù)星氣則亦但覺如氣不能辨為星之聚設異日遠鏡更精今所見者俱能辨恐更見無數(shù)遠星氣仍不能辨也如是累推不可思議動法亦然月繞行星行星繞太陽近代或言太陽率諸行星更繞他恒星與雙星同然則安知諸雙星不又同繞一星而所繞之星不又繞別星耶如是累推亦不可思議偉哉造物神妙至此蕩蕩乎民無能名矣
　　割圜八綴術序　　　
左
學術八文學四附算學
　　圜率考真圖解跋　　　
曾紀鴻
曩讀古今人數(shù)學書莫不言割圜之難數(shù)理精蘊中所載圜率與西人固靈所求三十六位之數(shù)相同皆用內容外切屢次開方之法欲求此三十六位之率不下數(shù)十年工夫亦綦難矣后有泰西杜德美特立屢乘屢除之法省去開方較舊法為稍捷然秀水朱君小梁用其術以求四十位圜率止有二十五位不誤其后十五位概行誤足見紛賾繁難易于淆亂果臣先生屬紀鴻等凝心構思幸得創(chuàng)茲巧法斂級甚速按等推求了如指掌邇日深于算者窮理之功多演數(shù)之功少反覺不切于日用今左君壬叟黃君玉屏竟用此術推得各弧背真數(shù)至百位之多庶幾息諸家之聚訟而為古之困于圜率者置一左券也
　　對數(shù)序　　　
劉彝程
人莫不知對數(shù)之用世亦不乏求對數(shù)之書奚俟后有論譔顧是書之不容已于作也其要有二一則自來求對數(shù)者求一對數(shù)祗可得一對數(shù)今思得一法求一對數(shù)俱可得兩對數(shù)蓋以前冊開方第二術求大于本數(shù)之對數(shù)較易正負相間之諸數(shù)為皆正即為小于本數(shù)之對數(shù)較以前冊開方第三術求小于本數(shù)之對數(shù)較易諸數(shù)皆正者為正負相間即為大于本數(shù)之對數(shù)較以此求諸對數(shù)以備立表視前人諸法不尤捷乎此首卷之所以要也一則近來西書求對數(shù)半較其法頗捷而立法之原不詳間以開方之理推之乃知亦系開方之法但此開方與前冊開方諸法不同蓋以中方根求大小兩方根半較法也爰自平方至無量數(shù)九乘方各以率數(shù)闡之莫不顯然一貫而開方之說可以據(jù)為定論無疑此次卷之所以要也至是書中逐事逐節(jié)闡微抉隱于對數(shù)之理均覺似非小補然以視最要之端則猶為余事矣
　　論對數(shù)根　　　
劉彝程
　　　第一問
問何謂對數(shù)根曰命單一下帶無數(shù)空位零一之數(shù)為方根求其無量數(shù)九乘方之積為真數(shù)次置方根零數(shù)即零一之一以一無量數(shù)乘之得單一為真數(shù)之自然對數(shù)由自然對數(shù)求得定準對數(shù)即對數(shù)根也法以十之自然對數(shù)為首率十之定準對數(shù)單一為中率求得末率為對數(shù)根蓋十之自然對數(shù)與十之定準對數(shù)單一之比若以單一為自然對數(shù)與其定準對數(shù)之比而此所得定準對數(shù)用之乘一切方根零數(shù)可得一切數(shù)之定準對數(shù)以其為諸對數(shù)之所自出故曰對數(shù)根也
　　　第二問
問以對數(shù)根乘一切數(shù)之方根零數(shù)而得一切數(shù)之定準對數(shù)其理若何且求一切定準對數(shù)舍對數(shù)根尚別有法乎曰一切數(shù)之方根零數(shù)既為一切數(shù)之自然對數(shù)則置本數(shù)之方根零數(shù)任以若干數(shù)之定準對數(shù)乘之以若干數(shù)之自然對數(shù)除之必得本數(shù)之定準對數(shù)顧此法須一乘一除不若有乘無除或有除無乘之便有乘無除者以對數(shù)根為乘法是也有除無乘者以十之自然對數(shù)為除法是也蓋自然對數(shù)單一與定準對數(shù)對數(shù)根之比同于一切自然對數(shù)與一切定準對數(shù)之比而所宜置之一率系單一可以省除宜以單一為一率對數(shù)根為二率一切自然對數(shù)為三率求得四率為一切定準對數(shù)故以對數(shù)根乘一切方根零數(shù)即得一切定準對數(shù)又十之自然對數(shù)與十之定準對數(shù)之比同于一切數(shù)之自然對數(shù)與一切定準對數(shù)之比而十之定準對數(shù)系單一可以省乘故以十之自然對數(shù)除一切方根零數(shù)即得一切定準對數(shù)夫位少之數(shù)乘便于除位多之數(shù)除便于乘似以十之自然對數(shù)為除法較以對數(shù)根為乘法為便十之自然對數(shù)與對數(shù)根皆位多之數(shù)顧乘除方根零數(shù)乃乘除于得數(shù)之后得數(shù)即得方根也乘除所借之根單一為乘根于第一數(shù)之先第一數(shù)即連比例之第一數(shù)乘除于后與乘除于先原無少異則與其以十之自然對數(shù)除方根零數(shù)孰若以對數(shù)根乘借根單一之為便乎此求對數(shù)者所以恒置對數(shù)根為第一數(shù)之實也置對數(shù)根為第一數(shù)之實即如以對數(shù)根乘單一也
　　　第三問
問求對數(shù)根共有幾法曰舊法以十為本積開五十四次平方然后以方根為真數(shù)以方根之零數(shù)為自然對數(shù)以單一折半五十四次為定準對數(shù)置單一以定準對數(shù)乘之自然對數(shù)除之得對數(shù)根此一法也戴氏以十為本積先開三十一乘方為用數(shù)然后以用數(shù)開無量數(shù)九乘方求得方根零數(shù)以三十一乘方之廉率乘之即三十二乘之得十之自然對數(shù)以十之自然對數(shù)除定準對數(shù)單一得對數(shù)根此又一法也李紉叔氏以二為本數(shù)求得自然對數(shù)三因之得八之自然對數(shù)又求得四與五之自然對數(shù)較命為八與十之自然對數(shù)較四五與八十比例同故對數(shù)較亦同以加八之自然對數(shù)為十之自然對數(shù)然后以十之自然對數(shù)除單一得對數(shù)根此又一法也夫舊法極繁不可為訓戴李二術因十之自然對數(shù)不可徑求故一則借用數(shù)以求之一則分二次以求之皆法之極善者也
　　　第四問
又問求對數(shù)根別有法乎曰無論以若干數(shù)之自然對數(shù)除本數(shù)之定準對數(shù)皆得對數(shù)根以對數(shù)根乘諸自然對數(shù)既得諸定準對數(shù)則以諸自然對數(shù)除諸定準對數(shù)必得對數(shù)根但諸數(shù)之自然對數(shù)與定準對數(shù)恒難兼而有之如二可得自然對數(shù)不能得定準對數(shù)十之平方根可得定準對數(shù)不能得自然對數(shù)試思何數(shù)可兼得自然與定準兩對數(shù)則得對數(shù)根矣間嘗于戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法與戴法相似后一法與李法相似此法任取略大于單一之數(shù)皆可為求對數(shù)根之借端明乎此然后覺求之術途徑甚寬非一格所能限矣法如左
一任取略大于單一之數(shù)為借根屢自再乘至比十略大或略小而止為借積以十為本積視借根屢自再乘為若干次即以十開若干乘方得數(shù)為十之若干乘方根次以此方根為本數(shù)以若干乘方之廉率除十之定準對數(shù)單一為本數(shù)之定準對數(shù)復由本數(shù)求得自然對數(shù)然后以自然對數(shù)除定準對數(shù)得對數(shù)根
　假如任取一一為借根自乘得一二一為平方以平方自乘得一四六四一為三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一為七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三為十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五為二十三乘方此法較以一一累乘二十三次略捷視二十三乘方之數(shù)與十相近而略小乃以此數(shù)為借積十為本積求十之二十三乘方根法以借積減本積得一五二六七三二五為屢次乘法十為屢次除法置借根一一為第一數(shù)乘法乘第一數(shù)除法除之得一六五二九四五八以廉率二十四除之得六八八七二五三為第二數(shù)除法除之得一三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得五三九四為第三數(shù)乘法乘第三數(shù)除法除之得八一以四十九乘之七十二除之得五五一為第四數(shù)乘法乘第四數(shù)除法除之得八以七十三乘之九十六除之得六為第五數(shù)諸數(shù)相得一一六九四一七一四為十之二十三乘方根以上用開方第一術
　次以十之二十三乘方根為本數(shù)以廉率二十四除十之定準對數(shù)得四一六六六六六六七為本數(shù)之定準對數(shù)仍以開方術求本數(shù)之自然對數(shù)法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數(shù)得一六九四一七一四為較積即為屢次乘法置借根單一借積一借根必仍為一以乘法乘之除法除之得一六九四一七一四合以一無量數(shù)除之今不除寄為母即為第一數(shù)正本系第二數(shù)因但求方根零數(shù)故徑以第二數(shù)為第一數(shù)乘法乘第一數(shù)除法為單一除與不除無異故可省去得一一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除與一無量數(shù)乘二無量數(shù)除等得五六九六五八一為第二數(shù)負乘法乘第二數(shù)得五一四八五又二乘之三除之得三四三二三三為第三數(shù)正乘法乘第三數(shù)得三四二六八五又三乘之四除之得二五七一四為第四數(shù)負如是求得二七四為第五數(shù)正一七三八為第六數(shù)負一五為第七數(shù)正一三為第八數(shù)負一為第九數(shù)正諸正數(shù)相諸負數(shù)以減之得九五九四一四五六合以一無量數(shù)乘之因第一數(shù)已寄一無量數(shù)為母是此數(shù)已為一無量數(shù)與方根零數(shù)相乘之數(shù)故即為借積與本數(shù)之對數(shù)較又此對數(shù)較合加借積之對數(shù)為本數(shù)之對數(shù)而借積系單一無對數(shù)可加諸數(shù)之中惟單一無對數(shù)故此對數(shù)較即為本數(shù)之自然對數(shù)置本數(shù)之定準對數(shù)四一六六六六六六七以自然對數(shù)九五九四一四五六除之得四三四二九四四八二即對數(shù)根也以上用開方第二術
一任取略大于單一之數(shù)為本數(shù)求得自然對數(shù)次以本數(shù)屢自再乘至比十略小或略大而止復求得此數(shù)與十之自然對數(shù)較次置先所求自然對數(shù)以屢自再乘之次數(shù)加一乘之以后所求自然對數(shù)較加之得十之自然對數(shù)然后以十之自然對數(shù)除十之定準對數(shù)單一得對數(shù)根
　假如任取一一為本數(shù)求其自然對數(shù)法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數(shù)得一為較積即為屢次乘法置借根單一降一位屢乘法除法皆為一乘除所得之數(shù)但降一位而數(shù)不變故以降一位代乘除一次也得一為第一數(shù)正此處寄母及得數(shù)后不復以無量數(shù)乘之之說俱已見前置第一數(shù)降一位一乘之二除之得五為第二數(shù)負置第二數(shù)降一位二乘之三乘之得三三三三三三為第三數(shù)正置第三數(shù)降一位三乘之四除之得二五為第四數(shù)負如是求得二為第五數(shù)正一六七為第六數(shù)負一四為第七數(shù)正一為第八數(shù)負諸正數(shù)相諸負數(shù)以減之得九五三一一八為一一之自然對以上用開方第二術
　次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五為一一之二十三乘方視此數(shù)與十相近而略小乃以此數(shù)為小積十為大積復開無量數(shù)九乘方求大小兩積之對數(shù)較法置大積自除得一為大借積以大積除小積得九八四九七三二六七五為小借積以減大借積得一五二六七三二五為較積乃以較積除小借積得六□?五五四八六七第二位為單數(shù)故志以口為屢次除法合以較積為乘法小借積為除法今以乘法除除法為除法則屢次乘法可以省去置大借積之根單一以除法除之得一五二五五九八為第一數(shù)正除法除第一數(shù)一乘之二除之得一一六三七五為第二數(shù)負除法除第二數(shù)二乘之三除之得一一八四為第三數(shù)正除法除第三數(shù)三乘之四除之得一四為第四數(shù)負第一第三數(shù)相以第二第四數(shù)相減之得一五一四七八為大借積與小借積之自然對數(shù)較亦即為大積與小積之自然對數(shù)較大小兩借積皆寄大積除法為母同一寄母則與原大積小積比例仍同比例同故對數(shù)較亦同次置一一之自然對數(shù)以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次數(shù)加一乘之也得二二八七四四四三二為小積之自然對數(shù)以大小兩積之自然對數(shù)較加之得二三二五八五二為十之自然對數(shù)置定準對數(shù)單一以十之自然對數(shù)除之得四三四二九四四八二即對數(shù)根也以上用開方第四術
　　代數(shù)術序　　　
華蘅芳
代數(shù)術二十五卷余與西士傅蘭雅所譯也傅君本精于此學余亦粗明算法故傅君口述之余筆記之一日數(shù)千言不厭其艱苦凡兩月而脫稿繕寫付梓經年告成爰展閱一過而序之曰數(shù)之名始于一而終于九故至十則進其位而仍以自一至九之數(shù)名之至百則又進其位而仍以自一至九之數(shù)名之如是以至千萬億兆其例一也夫古人造數(shù)之時所以必以十紀之者誠以數(shù)之多可至無窮若每數(shù)各與一名則吾之名必有窮時且紛而無序將不可記憶不如極之于九而以十進其位則舉手而示屈指而記雖愚魯者皆能之故可便于民生日用傳之數(shù)千百年至今不變也觀夫市廛貿易之區(qū)百貨羅列精粗美惡貴賤之不同則其數(shù)殊焉多寡長短大小之不同則其數(shù)又殊焉凡欲以其所有易其所無者必握算而計之其所斤斤計較者莫非數(shù)也設有人言吾可用他法以代其數(shù)天誰能信之良以其乘除加減不過舉手之勞頃刻而得無有奧邃難明之理在其間本無藉乎代也惟是數(shù)理幽深最耐探索疇人演算務闡精微于是乎設題愈難布算愈繁甚至經旬累月不能畢一數(shù)且其所求之數(shù)往往雜糅隱匿于各數(shù)之內而其理亦紆遠而不易明若每事必設一題每題必立一術枝枝節(jié)節(jié)而為之術之多將不可勝紀而仍不足以窮數(shù)理之變則不如任數(shù)理之萬變而我立一通法以馭之此中法之天元西法之代數(shù)所由作也代數(shù)之術其已知未知之數(shù)皆代之以字而乘除加減各有記號以為區(qū)別可如題之曲折以相赴迨夫層累已明階級已見乃以所代之數(shù)入之而所求之數(shù)出焉故可以省算學之工而心亦較逸以其可不藉思索而得也雖然代數(shù)之術誠簡矣誠便矣試問工此術者遂能不病其繁乎則又不能也夫人之用心日進而不已茍不至昏眊迷亂必不肯中輟故始則因繁而求簡及其既簡也必更進焉而復遇其繁雖迭代數(shù)十次其能免哉由是知代數(shù)之意乃為數(shù)學中鉤深索隱之用非為淺近之算法而設也若米鹽零雜之事而概欲以代數(shù)施之未有不為市儈所笑者也至于代數(shù)天元之異同優(yōu)劣讀此書者自能知之無待余言也
　　論四元相消之理　　　
湯金鑄
四元之書今所存者以元朱漢卿四元玉監(jiān)為最古然四元實由天元所推廣而天元則宋秦道古數(shù)學九章元李鏡齋測圓海鏡益古演段郭邢臺授時厤艸皆著其法今并存唐王又孝通輯古算經所立諸術多與天元四元所衍得者同疑亦據(jù)此而作也考九章算術少廣章曰借一算為法步之似即立天元一所自始顧天元因借一而立然所借止于一用猶未廣故推衍為四元而四元法則悉本方程以為用也蓋天元地元即方程之一色二色而今式云式即方程之一行二行故方程多一色須多一行猶元術多一元即多一式四元之相消無異方程之互乘對減方程對減一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然則對減者方程之轉樞而相消者實四元之關鍵矣夫相消原與常法相減無異而理則有殊蓋減則數(shù)有大小即有減余之數(shù)而相消必兩數(shù)參差相等消后數(shù)有對者汰之無對者列為正負存之故所得必正負相當而等于無數(shù)天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者須得相等兩如積相消遇寄左數(shù)須開平方始與又數(shù)等者即又數(shù)等于左數(shù)之平方根也故以又數(shù)自乘即與寄左數(shù)相等因自乘必無奇零開方數(shù)常不盡故以此通之也或遇左數(shù)當以某數(shù)除之始與又數(shù)等者即又數(shù)小于左數(shù)若干倍也則以其數(shù)乘又數(shù)令大若干倍即與左數(shù)相等因如積常不受除故以此通之也兩數(shù)既等即可消為一行得開方式若立二元者既有兩如積相消而得一式矣然式中又有兩元之和數(shù)或較數(shù)則兩元仍不可知故必更求兩如積相消而得又一式乃以此二式相消得開方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行乘右式則二式之最左一行必相同而相消必盡猶方程之互乘對減必減去最上一層也知其必盡故不必乘亦不必減所以省算也如是屢乘屢消以消至一行止為開方式若遇兩式中左行之數(shù)彼大于此若干倍者可以約率求之不必互乘蓋互乘所以齊同今此既小于彼若干倍則依若干倍之即與彼齊同矣遇兩式之行數(shù)不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇層數(shù)高下不同者亦然如右式有數(shù)在太上一層左式太下一層始有數(shù)可令右式降而從之或以左式升而從之其能任意升降者如以天元一除之或乘之也若立三元則可任意升降而不可任意左右蓋地人兩元互相牽制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元則牽制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行數(shù)層數(shù)不齊者必用剔消法馭之剔消之理因各式之數(shù)既正負相當則任以一數(shù)乘之或除之其相當固不變即其數(shù)任分為二各自乘相減所得仍相當不變也故三元法遇各式行數(shù)多少不齊即將少行之式直剔為二各自乘而相消則數(shù)本為元者可增而為面體及多乘方可與多行之式相消矣四元法遇各式行數(shù)層數(shù)均不齊者則直剔一式使少行增為多行又橫剔一式使少層增為多層亦可與多行多層者相消矣至舊法天物相乘地人相乘得數(shù)皆紀于夾縫中式中有此則視其由何數(shù)相乘而得者即以其數(shù)除而去之若不受除則乘他式以齊之凡此皆不外通分齊同之義而能盡相消之用者也
　正負相當?shù)扔跓o數(shù)則任以數(shù)乘之除之或自乘開方或剔乘相消必仍相當而等于無數(shù)作者以此釋相消之理良由于四元代數(shù)貫徹純熟故能語必破的
　　九減法及任用他數(shù)減試說　　　
沈善蒸
驗乘除之誤舊傳九減之外其三四六七八皆可作減試之法惟一二五不可用因乘除之誤恒差一二五等數(shù)故也梅氏算書祗有九減七減兩法因用他數(shù)減試之法均同七減故用他數(shù)之減法可不俱載焉按九減法無論驗加減乘除之誤先以法數(shù)各位相并滿九者以九減之減至不滿九而止又實數(shù)得數(shù)并減亦如之并減過之數(shù)法仍為法實仍為實如驗乘法者仍相乘驗除法者仍除之驗加減者仍加減之所得之數(shù)滿九者又九減之必與減過之原得數(shù)相同是為無誤若不同必有誤矣七減法則稍異不能各位相并須從首位次第以七減之減至尾位不滿七而止減畢后乘除加減試驗之法皆與九減同試言其理夫數(shù)起于一極于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一與十百千萬之較數(shù)為九九十九九百九十九九千九百九十九按此諸較數(shù)俱為九之倍數(shù)以九減之俱能卻盡無余又如三與三十之較數(shù)二十七七與七十之較數(shù)六十三亦為九之倍數(shù)故無論何數(shù)退下一位或幾位即與九減幾次無異譬如八十退下一位變?yōu)榘思慈绨耸跃艤p八次亦為八所以九減之法十百千萬均可并入單位而他減則不能并也又準此理九減之法可以改為以并代減更為簡捷假如八百六十五萬五千七百八十四今欲以并代減將各位相并得四十三又相并得七則與九減減得之數(shù)同若論用他數(shù)減試視九減孰為難易則他減難而九減易因九減可并故也然九減法有利亦必有弊凡乘除之誤往往因加錯位次與減錯位次者居多乃九減不能驗出此等之誤因九減亦不計位次之故是以九減雖稱捷法誠不如七減之盡善也
　　論海洋深淺之理　　　
沈善蒸
依重心之理而論大西洋必深于太平洋赤道以北之洋必深于赤道以南之洋何以故凡地球吸力非地心所生是地球全體各質點皆有吸力各點互吸其力必聚于公重心猶之一重物各質點皆有重率而重心必歸于一點也凡萬物之有重力皆因地球吸力所致而重力與吸力原非二物故吸力之心即重心無疑所以地面上有物墜下必向地球之公重心而海面恒與重心至地面徑線成正交故重心即球心也又因地球以二極為軸每日東轉一周而生離心力焉故北半球之垂線俱向重心而稍偏南垂線者即懸線也南半球之垂線俱向重心而稍偏北維赤道與二極地方之垂線直向重心是以地球為微匾形矣今閱地圖北半球陸地多于南半球若使海洋深淺略同則北半球地質多于南半球是北半球重而南半球輕其公重心必偏在北半球海水亦隨之而北乃北半球之低地沒為海南半球之淺海變?yōu)殛懞文艹涩F(xiàn)在之形狀以鄙意度之北半球之海洋應倍深于南半球之海洋故北半球洋面雖少以深補之仍不為少南半球洋面雖多以淺消之仍不為多乃兩半球之地質輕重相等而重心亦無偏北之勢庶能成現(xiàn)在之形狀又大西洋應深于太平洋之理亦然不知此論然否須質諸泰西測海家驗以實測方可自信如其不然必因地質有松密北半球地質多而松南半球地質少而密亦能輕重相等可使重心不偏也
　　質點　　　
韓應陛
歐羅巴人光性論云物之微分人亦能分然不能至不可分之地蒙以為人之不能分非物之不可分以幾何之理言之物雖大合之可至無窮雖微分之可至無窮尺椎之說也而以為物有不可分之地者何也定質質點大水質點小水質點大氣質點小氣中各類應又分何類質點大何類質點小九與黍大小懸殊也以囷盛丸以盂盛黍囷底穴則丸相聚下至盡囷而正盂底穴則黍相聚下至盡盂而止其下之形與水之下之形無以異也顧囷之穴必大于丸盂之穴必大于黍囷之穴不大于丸則丸不得下也盂之穴不大于黍則黍不得下也故丸也黍也以網(wǎng)盛則下以布帛盛則不下布帛以盛水則下陶為密矣以盛水久而水沁于外陶孔大水粒小也?比陶為尤密矣?質較疏者以盛水水無沁于外以盛油久而油沁于外?孔大油粒小也水粒之大大于?孔油粒之大不大于?孔也據(jù)此而知凡物質之有點點之有原度不獨定質重流質亦有之則亦可推此而知不獨重流質輕流質亦有之輕流質之有質點雖無據(jù)豈遂不能更有他器烈以測而知之者乎而今則未有其器可以測而知之者也
　　極說　　　
韓應陛
凡可論之物有有極者有無極者有兩端皆有極者有一端有極一端無極者一端有極一端無極者數(shù)也度也數(shù)始于一一數(shù)之至小也不可更減也故即以是為小極由是而遞加加之而至無窮也此小有極大無極者也度終于三百六十三百六十度之至大也不可更加也故即以是為大極由是而遞減減之而至無窮也此大有極小無極者也兩端皆有極者南北極是也幾何之理是也幾何之理始于點終于體點不可減故為小極體不可加故為大極點不但不可減亦不可加使點可加加而為線是點雖不本大而固可使大維其不可加使大故終于點終于小也故為小極也體不但不可加亦不可減使體可減減而為面是體雖不本小而固可使小惟其不可減使小故終于體終于大也故為大極也是兩端皆有極者也而幾何中線加減不離線遞減不及點遞加不及面面加減不離面遞減不及線遞加不及體體加減不離體遞減不及面遞加減不及他形也是線也面也體也小亦無極也大亦無極也是兩端皆無極者也而線以兩點為界即以兩點為極而兩端可引之至無窮是兩端皆無極者也面以心一點為心線為界體以重心一點為心面為界心為小極線為大極重心為小極面為大極也而面之心一而已其界之線遞加而無窮也遞減而無窮也體之重心一而已其界之面遞加而無窮也遞減而無窮也是又小有極大無極者也一端有極一端無極者也投物水中水之浪層層相生以至無窮投物處極也其層層相生而無窮者無極也聲亦然出聲處為極聲漸遠而漸微者無極也光亦然出光處為極光漸遠而漸暗者無極也地球之理亦如是也地球以地心為極而水附于土以共為一球氣又附于水土以共為一大球地心吸力極大以漸而減地心吸力地質點滯力用足相反也力足相敵也力相敵故相定幾何度球面距地心一里吸力幾何則等幾何度球面距地心加一倍為距二里其吸力必減四倍何也距地心二里球面必四倍大于距地心一里球面也則距地心二里球面質點滯力必四倍大于距地心一里球面質點滯力也夫地心吸力加于地質遞加遞進以至地面亦加于水遞及水面地水之上地心吸力又加風氣使地心吸力不加風氣則風氣之性既自生漲力能推諸點四面散行漸遠地心地水向心風氣離心方向相反地上氣下應生空隙今乃不然足證非是地心吸力加于地質漸遠漸減以至地面地面之上又加風氣漸遠漸減以至無窮何也地面風氣漲力有幾何重可測而知如以玻璃方器抽出風氣外面風氣擠逼立碎試問此器不用風氣用幾何力方能擠碎設云一十六兩則風氣擠力極小當不能減于一十六兩擠力漲力名異實同非有二義地心至地面萬五千里據(jù)上所云其距倍是為三萬里面大四倍力減四倍吸力漲力為成四兩使更倍是為六萬里面大四倍力減四倍吸力漲力為成一兩其距遞加其力遞減遞加之數(shù)可至無窮遞減之數(shù)去多存少去三存一終存四一亦自無窮譬如尺椎日取其半萬世不竭使不取半日取四三萬世之后終存四一是故地心吸力最大漸遠漸減以至地面又加風氣漸遠漸減以至無窮永無盡界地心極也其漸遠漸減而無窮者無極也故風氣盡界說稱風氣愈高愈薄漲力愈小漲力能推諸點四面散行漸遠地心其方向與地心力對面此言是也至稱漲力漸小至與地心力相等風氣諸點不復推開而有盡界者其義非是也
　　繙譯航海通書原本　　　
金楷理
是書所列日月行星每日躔度悉照英國都城外之觀象臺地名固林為志經所定其地在赤道北緯五十一度二十八分三十八秒凡日月星從午迤西旋轉復至午為一日所歷之太陽平時日月星多寡不同在日則曰太陽日二十四時在月則曰太陰日約二十五時弱即今日過午至明日過午為一日在行星則各有行星日在恒星則有恒星日二十三時五十六分三秒半弱其命時也悉以太陽平時為宗　設太陽為不動則地軸旋轉及繞日其方向終古不變月星繞日從地心見其遲速不一成各星日也
測算有平時真時之別按鐘表走時平分即太陽之平時日晷測時不平分即太陽真時其理解見譯之航海通書
凡鐘表宜照平時開準蓋真時由測星而得平時以意平分之謂為平時者別于真時也
平時真時之較曰時差每日午正以所差之數(shù)列如表
設于一千八百七十年正月初一日在該處測日心正交午所得之午正即為該處真時查其時差為三分五十一秒四零依號加于真時則知日交午之平時為午正三分五十一秒四零也
凡推算必先準定一處為起算之端如此表依英國為準移用他處俱照相距該處之遠近為加減相距十五度即差一點鐘設同此一時在該處為午正者其西十五度之處尚為午初蓋同時太陽不能分居兩處之午也
行船表即度時表在該處開準者任至某處欲知該處之時檢表即得驗諸實測尚須推算其時差以加減之凡算家所定之表宜各照其測處之午為準
常用以夜半子正起至明日子正為一日而中分于午為午前十二點午后十二點此書則以正午起至明日正午止歷二十四點為一日如常用在正月初二日午前七點鐘四十九分此書則為在正月初一日十九點四十九分也余仿此　每月月終必多列一日即下月初一之數(shù)便中比例之用也
每月第一頁所列諸數(shù)系日心正交該處午時之數(shù)其赤道經度自春分點記起日距赤道南北若干度謂之緯度
若干別時求日之赤道經緯度及時差之法當以次行所記之一點較數(shù)上求之表所列之數(shù)為午正前后一點中日所移之數(shù)若算別時之較取距午正折中之處而比其較中之較視下日較數(shù)之大小以別加減乃加減于本日較數(shù)內即為所求時每點應移之數(shù)而與所求時相乘即得其午正后所移之準數(shù)以加本日午正如日之赤緯度及時差在退行時則減于本日午正即得所求之數(shù)也考其所列之每點較數(shù)乃并上下兩日之行分乃以兩日共四十八點歸之即得下日之一點較
設是年正月十六日在該處四點鐘時求日之赤道緯度則檢表內十六日午正之一點較為二十八秒七六十七日午正之一點較為二十九秒七五兩較相減得較中之較為零秒九九以二十四點歸之得每點差百分秒之四有奇乃以求午正后四點折半為二點即其中處與百分秒之四有奇相乘約得百分秒之八乃視其下日之較為漸大故加于十六日一點較數(shù)上共為二十八秒八四即所求四點時每點應移之赤道緯度乃以四點因之得一分五十五秒四查十六日正交午時在赤道南二十度五十五分五秒視十七日緯度小于十六日則知漸減以減十六日之緯度余為南二十度五十三分十秒即所求四點時之赤道緯度也求經度及時差之法皆仿此
日半徑每日過午所歷之恒星時因日距赤緯之南北而改變及半徑有大小別所歷之時因之不等考其測日之過午必測日之外環(huán)相切于午加此半徑所歷之時而得日中心過午之時故設此表也首頁時差表為真時改平時之用設是年正月十六日該處真時為午后三點求其平時查正月十六日時差次行一點較為千分秒之八百四十四十七日為千分秒之八百十五則十六日三點之較應為千分秒之八百四十二法見前以三點因之得二秒二六以加十六日時差十分零三秒七五共為十分零六秒二八再加三點得三點十分零六秒二八即所求之平時
四月首頁時差表有加有減十五以前為加十五以后為減中有粗畫作記每月第二頁表為該處平午正時日之赤道經緯度按此表從日之黃道經緯及黃道交角等數(shù)算出記真太陽所見處距地球赤道及真春分點之數(shù)
任于何地何時算日之赤道經緯度法　設于是年三月初一日在英國偏西九十八度之處平時為二十一點二十分求日之赤道經度按偏西九十八度應加六點三十二分為英國之三月初二日三點五十二分也查三月初二與初三兩日經度之較為三分四十三秒九五以二十四點比三分四十三秒九五若三點五十二分與三十六秒八凡四率比例皆用以比若與四字括之以即一率比即二率若即三率與即四率下仿此以加三月初二之經度二十二點五十二分三十八秒一二共為二十二點五十三分十四秒二零即所求經度也如求緯度亦查初二與初三兩日緯度之較為二十二分五十七秒六以二十四點比二十二分五十七秒六若三點五十二分與三分四十一秒九查兩日之緯度漸減以減于初二日緯南七度九分五十三秒六得緯南七度六分十一秒七即所求之赤道緯也若更窮其細依前法求兩日之每點較數(shù)比例之則愈密也因各曜之遲速在一日之內亦非平分必以漸而改日之半徑因距地遠近而異夏至后十余日在其至高故半徑最小冬至后十日在其至卑故半徑最大每日列表如測日之高度若測其上環(huán)必減此半徑或測其下環(huán)則加此半徑或測日月相距度乃并日月兩半徑以加減之即得其中心之距度
第二頁時差表為平時改真時之用故其加減之號與真時條下相反兩數(shù)有微差者乃時差中亦應移之數(shù)即時差行也日之赤道經緯度亦同
既有平時如號加減即得真時設于是年四月初二日在該處之平午正時欲求其真時查此日午正時差表應減三分三十七秒七零以減初二日午正即為四月初一日二十三點五十六分二十二秒三零即所求之真時也又如在該處偏東一百零五度之地四月十五日平時為十五點即十六日午前之三點鐘時此系偏東處平時求真時偏東一百零五度應減七點是為英國之四月十五日八點查十五與十六兩日時差之較為十四秒七九因一為加一為減故相并為一日較以二十四點比十四秒七九若八點與四秒九三而十六為當加之日十五為當減之日其十五日表內減余之數(shù)只剩零秒四六少于應減之數(shù)乃以比得之數(shù)反減零秒四六余四秒四七其號即變?yōu)榧幽思佑谑妩c共得十五點零四秒四七為所求處之真時
恒星時者乃每日該處平午正時午上赤道經度距春分起點之數(shù)乃日之平分赤道經度也設太陽為不動則地軸每日旋轉一周又兼繞日之行視恒星所居之原點已西移三分五十六秒半也逐日累之則成恒星時矣
是書所載恒星時乃算家常用之表以明正午測望時距分點偏西之度分秒恒星時分點其差甚微故曰真恒星時而不名平恒星時如以日有平時而欲求恒星平時即日之平經度以十五約之即為平恒星時恒星之真時與恒星平時之較十九年中止差二秒三差甚微細故不另立表也算家測各恒星經度其表已悉訂正無誤是書因之倘欲變更測凡章動之數(shù)皆須改易也
凡測量以求日之平時即以平午正之恒星時為準如用恒星時求日之平時或用日之平時求恒星時俱用五百零四至五百零七頁之等時表查之即得設于是年正月初二日二十一點九分二十四秒零四之恒星時求該處午相當之太陽平時
法以今有恒星時內減本日午正之恒星時十八點四十七分四十一秒余為本日午正后之恒星時二點二十一分四十三秒零四檢等時后表即得其相當之太陽平時為二點二十一分十九秒八二即所求蓋以恒星時一點比太陽平時五十九分五十秒一七零四若本日午后恒星時二點二十一分四十三秒零四與所求之太陽平時二點二十一分十九秒八二與表數(shù)合
又如正月初二日二點二十一分十九秒八二之太陽平時求該處午相當之恒星時
法以今有太陽平時檢等時前表即得其相當之恒星時為二點二十一分四十三秒零四以加本日平午正之恒星時十八點四十七分四十一秒共為二十一點九分二十四秒零四即所求蓋以太陽平時一點比恒星時一點零九秒八五六五若今有太陽時二點二十一分十九秒八二與所求之恒星時二點二十一分四十三秒零四與表數(shù)合即加于本日午正之恒星時是也
凡測算在該處之西者其平午正之恒星時每點照加九秒八五六五在該處之東者則減亦如之
設于該處偏西九點十分六秒之地十五度為一點求正月初二日平午正之恒星時乃以一點比恒星時長于太陽平時之較九秒八五六五若偏西九點十分六秒與一分三十秒三七偏西應加以加表內是日平午正之恒星時十八點四十七分四十一秒共為十八點四十九分十一秒三七即所求
每月第三頁列太陽黃道經度從春分點起而光行有差故所記經度真數(shù)為平午正時之數(shù)
設以囷為連半徑以四百九十七秒九八與囷相乘減余為日之經度真處因光行之差其過見處較后于真處也
太陽黃道緯度乃自太陽中心成一弧與黃道之面交股其弧度即為太陽黃道緯度也
　考日之黃道緯度根于自轉日之本體想亦橢圓二十六日奇自轉一周與表內交終之率恰合因此悟及也
帶半徑之對數(shù)乃平午正時地心與日心真影相距之對數(shù)即黃道之長半徑即日距地心對數(shù)
以上諸條為量日之準而行星及彗星之行度皆藉以推測其距日心之處而求地之經度須查太陽經度而訂其光行差即可測算
光行差表見二百四十二頁黃道交角等表內每十日列一數(shù)余詳五百三十二頁內
凡于太陽黃道經度既得其光行差數(shù)其章動數(shù)可求諸恒星之位
月半徑者乃自月心至地心一如半徑則月之半徑如正切所成之角如從地心見之也
地平視差者乃自地心至月心一如半徑則地球半徑如正切所成之角如從月心見之也
凡測見月之外環(huán)而欲求其中心可用月半徑表至于地之各緯度望月求其視差必以月在地平時最大之視差為比例蓋以地為匾球則隨處可以測月即高出地平之處其差亦能算故于地面測月可改為不異地心見月耳
兩項較中之較相加共一秒七折半得百分秒之八十五為中較再以八約之得百分秒之十一則所較不過差百分秒之十一也
照此細推視差其差為十分秒之四
每月第四頁月行黃道經度緯度之數(shù)其正交分點處乃自地心推算所載表數(shù)無益航海之人黃道經度乃專為章動而設蓋月之動也遲速不一欲于子午兩正外測月之黃道經緯二度則須較其秒數(shù)甚有較至三四次始得其準者月年者乃日月合朔一周之日數(shù)也如中厤每月日數(shù)月過子午圈者乃太陰中心每日過該處上子午之平時表數(shù)僅記十分分之一不更求其細依表測月可定行船經度以推測潮信至欲求月出月入時候亦用此表而參以半弧表表中有○此記號者乃明此日太陰不過該處子午圈也月行之數(shù)較多于日太陰行一過太陽尚未及一周太陽在月行一周之中故每月有一日不過子午圈者
如正月三十日月行多于日行五十二分三即兩次月過午時之較查其上次過午時乃在正月二十九日二十三點十五分六下次過午則在正月三十一日零點七分九是知中間之一日月尚未及一周也若日月相距在半周時每月有一日不過下子午
三百九十頁至四百二十八頁記月相近之星表內亦記月在何時常僅過該處午線一次如三百九十三頁記正月三十一日月僅過下子午線一次三百九十四頁記二月十五日月僅過上子午線一次之類
無論何處欲求月過子午圈之平時設其地在該處之東者則以昨今過午時相較如在該處之西者則以今明過午時相較乃以二十四點比兩次過午時較若所偏經度化時與所求之較在東者應減在西者應加蓋在東者太陰必先過午也
設于是年正月二十六日午前在該處之東六十度求月過子午圈之平時按二十六日在午前者為此書之二十五日查月過該處午為十九點三十六分三與前一日過午時之較為五十二分九以二十四點比五十二分九若四點即偏東六十度所變之時與八分八于十九點三十六分三內減之偏東故減得十九點二十七分半即所求設于是日再求偏西六十度月過午之平時則將十九點三十六分三與后一日過午時之較為五十四分三以二十四點比五十四分三若四點偏西度變時與九分一乃加于十九點三十六分三得十九點四十五分四即所求
以上算法似嫌未密然尋常用之差亦無幾不必過求其細也
每月第五頁至十二頁所記每日每點太陰所行赤道緯度緯度每十分之較數(shù)其緯數(shù)時數(shù)地平經度月出月入等項可由諸頁檢算至表列之數(shù)乃從地心推出
設于是年正月十二日午后八點四十五分在該處東六十度之地求月之赤道經度
法以偏東六十度變?yōu)樗狞c以減于八點四十五分為該處之正月十二日四點四十五分查是日四點表數(shù)為三點二十七分二十八秒八五五點表數(shù)為三點二十九分二十九秒八零兩數(shù)相減余二分零秒九五以六十分比二分零秒九五若四十五分與一分三十秒七一加于四點表數(shù)得三點二十八分五十九秒五六即所求
求緯度亦同此法惟有時較中之較亦不甚小故有每十分緯度之較如前所設時求赤道緯度查是日四點緯表每十分之較為八十六秒六九五點緯表每十分之較為八十六秒一四是四點二十二分半之中即四十五分折中之處其每十分之較應為八十六秒四八即將兩較中之較用六十歸之二十二分半乘之以減于四點下十分之較即得所求理與日躔一點較同以十分比八十六秒四八若四十五分與六分二十九秒二查表知緯度漸加以加于四點表數(shù)緯北十三度五十三分二秒三得緯北十三度五十九分三十一秒五為所求月之赤道緯度太陰形載每月第十二頁所記朔望兩弦時僅至十分分之一月之黃道經度與日無距度為朔距日九十度為上弦一百八十度為望二百七十度為下弦所列俱為該處之平時
月過其本天最高最卑二點為離地最遠最近所由分其所列表數(shù)亦為該處之平時
每月第十三頁至十九頁為月中心與日心及行星恒星之斜距度乃從地心推算逐日照該處平午正時起每越三列一數(shù)凡既測見月距星之斜距度則當依表加其視差而減其蒙氣差蓋推算之表數(shù)乃月與星之實相距度測得者為月與星之視相距度在月要推月之視差用太陰高弧視差表止能改月之視高為實高其斜距弧上實距與視距之較須再用三角形算蓋高弧視差即如高下差再推東西南北差也可以憑月心與何星之實相距度依下法推其為該處之何平時諸星自西徂東表以距月最西起列至最東為序西則在月之西東則在月之東
諸星距月度數(shù)每三點有較即列其比例對數(shù)用以較定度數(shù)而得該處平時法詳后
任于何日何時測得月與星斜距度按前法改為實距度乃查此表是日月與其星相距度與所測略近者取其前一數(shù)相距度與所測度相較余求比例對數(shù)見航海表內減前一數(shù)之傍所列之比例對數(shù)余檢比例對數(shù)表所對之時分秒加于前一數(shù)之時即得該處之平時比例對數(shù)表至三小時其數(shù)為故省一三小時乘之也按此一比例不用對數(shù)算之亦易以表中前后兩距度化秒比歷時三點鐘若所測距度減前一數(shù)距度之較不足減反減之與所求之歷時恒加于前一數(shù)之時是也
加月星相距度數(shù)與前后比例對數(shù)之較其加減同率則照前法自無謬誤若其加減異率者欲求該處之時另應查一準數(shù)法詳下
一　如前法求　二　查表內某度前相近一數(shù)或后相近一數(shù)得兩項比例對數(shù)相減而得其較　三　于第四百九十八頁準數(shù)表內傍行查時即先依前法比出其零時分乃以所得零時檢此表而以比例對數(shù)之較于表上橫行查對檢其與零時分縱橫相遇之秒數(shù)即為所求之準數(shù)也　四　視比例對數(shù)漸減則加此準數(shù)若漸加則減此準數(shù)加減于先得之零時分可得該處之平時設于是年正月初十日測得月實距飛馬甲西名星四十四度十九分五十秒求該處平時查初十日該星表所測相距度在三點六點之間則三點為相近前一數(shù)算如下
　三點月與星相距四十三度四十五分二十九秒其比例對數(shù)三千九百十九
　今測月星相距四十四度十九分五十秒
　　兩距度之較為三十四分二十一秒　　　　　比例對數(shù)七千一百九十四
　　比列對數(shù)表所對之時為一點二十四分四十一秒　　　　　　減余三千二百七十五
查三點與六點之表知前后比例對數(shù)之較為四十九再查第四百九十八頁準數(shù)表內一點二十分與所算之時為最近而以四十九即用四十八亦可行下查其縱橫相遇之準數(shù)為十五秒因其比例對數(shù)由漸而減故加于算出之時上為三點以后之零時故求得該處平時為正月初十日四點二十四分五十六鈔也如不算準數(shù)即差經度三分四十五鈔準數(shù)之表僅列至一百三十八凡遇比例對數(shù)之較有大于此者可折半以檢表查得準數(shù)后倍之理亦同
設于是年五月二十一日測得月距飛馬甲星除去視差蒙氣差外實距為三十度零八分零二秒求該處平時
查二十一日該星表數(shù)所測相距度在十八點與二十一點之間則十八點為相近前一數(shù)算如下
　十八點月相距為三十度三十六分三十一秒　　　　比例對數(shù)五千一百五十
　今測距度為三十度零八分零二秒
　兩距度之較為二十八分二十九秒　　　　　　　　比例對數(shù)八千零零七
　檢表之時為一點三十三分十四秒　　　　　　　　減余二千八百五十七
查十八點與二十一點之表其比例對數(shù)之較為二百五十二此數(shù)大于一百三十八故半之為一百二十六再查四百九十八頁準數(shù)表傍行內與所算零時分相近者為一點三十分次查上面比例對數(shù)之較第一百二十六之行與傍行時分縱橫相遇之準數(shù)為三十九秒倍之因較數(shù)以折半檢表故得數(shù)倍之為七十八秒因比例對數(shù)由漸而加故于所算之時分內減之即為十八點以后之零時分故求得該處平時為五月二十一日十九點鐘三十一分五十六秒也若不算準數(shù)即差經度十九分半然差多至此亦罕有也星之比例較數(shù)愈小則測之愈易緣月之向星或離星所行加速所測倍準且當比例對數(shù)漸減必其本數(shù)加大故對數(shù)漸減知月行漸遠而測之較便矣如是年正月二十日午正至三點鐘時土星最易測查是日之比例對數(shù)僅二千二百七十數(shù)較少于他星故土星表自二十起至二十六日止均易測算也又如是年七月十六日九點至十二點內以比例對數(shù)言之其易測者序如下
第一土星　　　　　第二畢宿大星　　　第三木星　　　　　第四婁三
第五火星　　　　　第六太陽　　　　　第七金星　　　　　第八河鼓二
以上諸星測不易準如欲驗其準否須測數(shù)星而比較之視其比例對數(shù)之小者庶可無差按各條用法皆測得星月相距以推該處之平時其用比例對數(shù)之較求準數(shù)一表乃巧而捷因月行斜距遲疾漸改不可以平行馭故再求準數(shù)加減之所以齊其不齊也
每月第十九頁乃算家愛里氏所定恒星準數(shù)乃用下頁甲乙等號對數(shù)及該處十二年星部算出西國算家以此法精于白水而氏故恒用之以其不用加減之號法省且便也列如表
下頁亦兼列白水而氏法各有其妙
設于是年二月初五日在該處平子正時求某恒星距赤道經度及距北極度并歲差光行差章動準數(shù)等數(shù)分點過午之平時者乃春分起度之點每日過該處午時之恒星時即恒星時當午正中時分點距午之時數(shù)故是表謂之恒星子午正中時凡已知恒星時而欲求太陽平時可用第五百零六七頁之等時表算之每月第二十頁乃白水而氏恒星準數(shù)表是表明恒星真處及其中處有方程式或用乘數(shù)不依恒星之處為眾星公共之數(shù)蓋惟憑日月黃道經度月之交點也表內對數(shù)為公共對數(shù)算家用之隨算一星可合方向照三百二十九頁之表已經于該處平子正時算合惟丙丁二號內除二式
是表與英會星厤合算可得彼厤所記恒星之處凡星厤內未及之星應先算其與他星相合對數(shù)而后用甲乙丙丁號內之數(shù)或即照第三百三十頁及三百三十一頁列之表推算亦可因是表不論何星皆合也其數(shù)系從三百二十九頁方程式算出列譬于左申明二表之法用星厤者其勿忘恒星赤道經度準數(shù)之號耳
設于是年二月初五日平子正時在該處求其星赤道經緯二度歲差光行差及章動之準數(shù)此星即英會星厤第一千六八十七號之星
　　天△為經度準數(shù)　　　　　黃△為緯度準數(shù)
舊歷數(shù)表　是表乃英星士黑失而氏添入謂有此表可省天算家查數(shù)之煩
分日平時者謂自春分后所過平時也以平午正時為則而記其日之分數(shù)是年正月初一日至三月二十二日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一為一千八百六十九年之春分后自二十一日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一以后乃為本年春分年之始時因春分年為三百六十五平日又百萬分平日之二十四萬二千二百十六是年三月二十二日平午正相合春分時為三百六十五日又百萬分日之二萬七千四百六十五可知是年三月二十二日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一乃春分年新舊之交也日分者乃春分年日之共分如是年正月十九日平午正時為三百零三日又百萬分日之二萬七千四百六十五以此例推直至三月二十二日春分年終乃改共分為百萬分日之二十一萬四千七百五十一是年三月二十三日平午正時為百萬分日之七十八萬五千二百四十九此共分數(shù)應加于每日春分時至明年而止
凡日到平春分時設在某處午線上此處午線之平太陽時適與春分時相合周而復始至明歲春分年終日已過某處午三百六十五次又二四二二一六則春分起點又應在他處午上矣是知春分之末每年必移二四二二一六即向西五點四十八分四十七秒四六是年與明年之間春分東過經度百萬分日之七十八萬五千二百四十九即該處西五點九分十四秒四八也
一千八百二十八年行海通書始附列此表蓋天下各處儀象臺之子午遠近不一概以春分時則隨處皆可得一同數(shù)之日而與日行遲速亦無異同故歷家觀象論時不必更詳何處之時如是年正月初五日彗星過最卑之點在英國平時為五點四十七分在潑立司法都平時為五點五十六分二十秒六而以春分時核之則俱為一千八百六十九年二百八十九日六點二十六分三十二秒九八蓋以兩地測之則有遠近不同之數(shù)而春分年乃天下公共之時也
凡已得太陽平時而求相合之春分時如于該處相合之平時內加此日該處平午正之春分時其總數(shù)即所求時如前彗星之譬潑立司在該處之東九分二十秒六于五點五十六分二十秒六內減去九分二十秒六為五點四十七分與該處平時相合以加該處正月初五日春分平午正時二百八十九日又百萬分日之二萬七千四百六十五約其分數(shù)即三十九分三十二秒九八故當日彗星過最卑點時為二百八十九日六點二十六分三十二秒九八即一千八百六十九年春分后之日時也
一千八百二十八年行海通書附用迪白而氏平黃道經度以定春分時所定之時每年長短一例俱系三百六十五平太陽日又二四二二六四以后推算太陽縱使加精此數(shù)亦無可更改嗣于一千八百三十四年至一千八百五十六年其行海通書則改用白水而氏平黃道經度以定春分時其時則每年長短不一英星士黑失而氏謂一千八百二十七八年至一千八百三十三四年間應將白迪二家之表不同之數(shù)較正自一千八百五十六年以后春分年應永定為三百六十五平太陽日二四二二一六若一千八百三十四至一千八百五十六年之春分年長短其差甚微可以不計蓋其差之最大者亦不過萬分日之二也
一千八百二十八年起至一千八百三十三四年止較正白迪二家表數(shù)如下
論年之日數(shù)　表列統(tǒng)年日數(shù)自正月一日平午正起故正月一日為零而以初二平午正為滿一日論年之分數(shù)　此分數(shù)乃以萬分為一年而用三百六十五日又千分日之二百四十二分之逐日登記其數(shù)計日加二十七分半以便天算家也
第二百四十二頁列黃道與赤道相交之角每十日記其數(shù)記至明年正月六日止故于十二月則多六日為三十七日此角度數(shù)常改因有中減率地軸旋動也凡知星距此一面或黃道或赤道若干數(shù)即可依表算得彼面之數(shù)如從黃道經緯度算可得赤道經緯度或從赤道經緯度算可得黃道經緯度是也設值表上未列之日而欲求是日之交角數(shù)則以前后所記二數(shù)求每日比例較分即中比例但其較甚微故平常測量止取表內相近之數(shù)用之
日之地平視差乃日心至地心為一直地之橫半徑上再出一斜射日心成一最大角形如從日心見之也是表亦十日一記地心距日心愈遠此角愈小視差之用乃人在地面測日可改到地心推算也光行差
光常流行地又常依軌道行故所見日處非其真處真處較在見處之前是以有差所差之數(shù)表內亦十日一記凡已知日見之黃道經度而求其真處依表加此光行差即得如從地心推算一星之處而求日之真黃道經度亦加此光行差設是年四月十一日平午正時所列日見黃道經度為二十一度二十三分十一秒二加光行差二十秒四得二十一度二十三分三十一秒六即真黃道經度
歲差　春分點在赤道上所退之數(shù)即恒星東移之數(shù)十日一記用以正平春分之經度如是年四月十一日真春分之日見黃道經度為二十一度二十三分十一秒二光行差為丁此號為減二十秒四春分差為丁十六秒八反用┴此號為加法加此二數(shù)得二十一度二十三分四十八秒四為四月十一日平春分日之真黃道經度減相合之歲差十三秒八為二十一度二十三分三十四秒六為四月十一日之日真黃道經度但此數(shù)系以是年正月一日平春分算起者
春分差凡日月星所列黃赤諸表俱系平春分算定但平春分點與真春分點不符故有春分差所差之數(shù)十日一記于平春分之黃道經度內減此差數(shù)即得真春分之黃道經度
若所指一星黃道經度據(jù)真春分言則將此差數(shù)反用之即得平春分之黃道經度設是年四月十一日真春分所合太陽黃道經度為二十一度二十三分十一秒二相合之春分差為丁十六秒八反用⊥法得二十一度二十三分二十八秒即為此日平春分之太陽黃道經度
赤道經度之春分差亦照此法推算即得與黃道相交然其度分須燮點算變時表恒星等時亦同此
月正交點之平黃道經度　六十日一記以平春分算如值表內未列之零日可用表末在表之下每日計┬三分一八每日退行數(shù)算之如欲約算月將平掩何星亦須此表也
第二百四十三頁至二百五十頁日之縱橫每日列該處平午正時日心與地心之縱橫用□?天□?地□?人號記之○?天為每日過真春分○?地為赤道面向夏至之○?人為赤道面交股向北之　算家以彗星難推故別列此表變真春分○?天○?地○?人縱橫而用是年正月一日之平春分縱橫
第二百五十一頁至三百頁乃諸大行星之表以水金火木土及天王海王分列七表其赤道經緯度皆依該處每日平午正時從地心推算列表謂星之中心如從地心見之惟天王海王二星每隔四日列表　又各行星之黃道經緯度皆從日心推算謂星之中心如從日心望見之以平春分記之其地心之赤道經緯度有光行差故所記為其見處凡求緯度時羅盤偏東偏西即可測望金火木土四星而得之蓋能見太陽時亦能見此諸星也　內金木二星尤易測量行星過該處午之平時亦可藉此以推過他處午之平時然亦有一日內不過該處午者因行星日較長于平太陽日也行星如月亦有不過午之日表以○?(?＊)為記查是年四月十二日水星不過該處午是日水星日之始早于太陽日二分九在十二日午正之前而其終則遲于太陽日十分分之八在十三日午正以后故太陽一周日間此星不及過午也若如中法子正起算水星無日不過子午者
亦有一日過午二次者則以行星日較短于太陽日也蓋行星日之始在太陽日之后而其終則在太陽日之前故太陽一周日間行星必過午兩次矣表亦記之但與月有異因太陰日恒長于太陽日行星有退行時短于太陽日者如是年六月初四日水星過該處午在午正后一分再于是日之二十三點五十四分九即初五午前也復道午也
求行星過別處午之平時　查前后兩日過午之較為行星二十四點中之加速率或減速率既得此率再以距英國經度而比其較此較數(shù)謂之正數(shù)或加或減于行星過英國午時之上但布算者宜詳細審察如測處在英國之東則所有加速率乃行星過測處午早于英國若所有減速率乃行星過測處午遲于英國在英國之西者反是
設于是年二月初四日午后六點鐘測處平時在英國偏西三十度之處求水星赤道經緯度并水星過測處午之平時
法偏西三十度應加二點鐘為英國之二月初四日八點鐘以算赤道經度查二月初四日水星赤道經度為二十點五十五分三十五秒九五二月初五日為二十點五十分五十三秒八一兩數(shù)之較為四分四十二秒一四以二十四點比四分四十二秒一四若八點與一分三十四秒零五查表經度漸減以減于初四日經度余為二十點五十四分零一秒九零即為所求水星赤道經度也然其每點之減率不同須再算較中之較法見日躔減之得二十點五十四分零秒五八為所求赤道經度
再求赤道緯度　查二月初四日為南十三度三十三分二秒九二月初五日為南十三度五十一分二十五秒九兩數(shù)之較為十八分二十三秒以二十四點比十八分二十三秒若八點與六分七秒七加于初四日之緯度得緯南十三度三十九分十秒六即所求赤道緯度再推較中之較應減七秒九法見日躔
求水星過測處午之平時　查二月初四水星過英國午為二十三點四十九分二二月初五為二十三點四十分九其較為八分三以二十四點比八分三若二點偏西三十度所化之時與十分分之七測處在英國之西且又減速率應減于初四之過午時為二月初四日二十三點四十八分五即得測處水星過午之平時尋常測算不必求精用此法則無大差
第三百零一二頁乃水金木火土天王六行星之赤道地平視差及半徑越五日一記下載水土二星乘數(shù)為算極半徑之用木土二星極半徑等于赤道半徑乘千分之九百二十七
第三百零三至三百二十四頁記五星及天王海王過該處午時之赤道經緯度及每點較數(shù)每間日一記用以較算過別處午之赤道經緯度應推其相距英國之數(shù)用每點較數(shù)求之如所設經度在其東則取本日表數(shù)與前二日之表數(shù)核其較如所設經度在其西則與后二日之表數(shù)核其較以兩項每點較數(shù)相減得其較中之較以兩日共四十八點歸之乃以兩處相距之經度變時折半取其中數(shù)乘之視下一數(shù)每點較數(shù)比本日較數(shù)大小以別加減乃加減于本日每點較數(shù)為所求時每點較數(shù)之準數(shù)復以兩處相距度變時乘之即得里差應移之赤經度理與日躔每點較數(shù)法同乃視下二日赤經度之進退以別加減加減于本日經度得測處之赤經度求緯度法仿此
設是年三月初二日在英國東六十度之地求過午之赤道經緯度　查三百零四頁內是日水星過英國午時其赤道經度為二十一點十三分四十二秒二五每點經度之較為┴此代數(shù)記號西表作一譯改作┴十一秒五七用上法推得四點相距六十度變時時之每點較數(shù)為十一秒五四與┬減西作十譯改作┬四點相乘得┬四十六秒一六以減于是日英國過午之赤道經度此逆推而上之法理亦同得二十一點十二分五十六秒零九為水星過測處午時之赤道經度也　再查是日水星緯度表為南表以南為┬數(shù)十六度四十七分三十七秒二每點較數(shù)為┴二十八秒五如上法推得準數(shù)為┴二十八秒二與┬四點相乘得┬一分五十二秒八以加是日緯南度得緯南十六度四十九分三十秒一即水星過測處午時之赤道緯度也
再設在三月初一日算其經度準數(shù)應為┴十一秒一八緯度準數(shù)應為┴二十四秒七也
凡測見行星之環(huán)而欲推算其至中心之數(shù)可用半徑過午之恒星時表若推算其緯數(shù)則用半徑表地平視差表用以便觀象者改到地心推算也
第三百二十五至三百八十九頁記一百四十七恒星之赤道平經緯度以是年正月一日午正后千分日之四十八為起算之端記其歲差　其赤緯南北各有記號惟以北緯為┴凡緯北可依號加減南緯為┬在緯南者須反用其號
設于是年五月三十一日求畢宿大星之平赤道經度查經度歲差為┴三秒又萬分秒之四千三百五十三再查五月第二十頁末行萬分年之分數(shù)表內其三十一日相合分數(shù)為四千一百零七依原表加萬分之二十六得萬分之四千一百三十三此數(shù)與三秒四三五三相乘得一秒四二此即正月一日又千分日之四十八以后至五月三十一日歲差之比例分數(shù)也既有┴號應加于正月一日又千分日之四十八時候所記赤道平經度四點二十八分二十七秒七八二上共得四點二十八分二十九秒二零二是為五月三十一日所求畢宿大星之赤道平經度又查赤道緯度歲差為┴七秒六二二如前法與萬分年之四千一百三十二相乘得三秒一五既為北緯度則依號加于正月一日又千分日之四十八時候所記之赤道平緯度北十六度十四分四十四秒一四內共得北十六度十四分四十七秒二九是為五月三十一日所求畢宿大星之赤道平緯度
又如是年六月初三日求帝星之赤道平經緯度查經度歲差為┬萬分秒之二千四百八十九再查六月第二十頁是日年之分數(shù)為萬分之四千一百八十九依原表加萬分之二十六得萬分之四千二百十五此數(shù)與歲差相乘得千分秒之一百零五依號減于正月一日又千分日之四十八時候平赤道經度十四點五十一分六秒八五七減余為十四點五十一分六秒七五二是為六月初三日所求帝星之平赤道經度
又查赤道緯度歲差為┬十四秒七五七與年之分數(shù)四千二百十五相乘得六秒二二依號減于正月一日又千分日之四十八時候平赤道緯度北七十四度四十一分十一秒二四減余為北七十四度四十一分五秒二是為六月初三日所求帝星之平赤道緯度
又如是年五月三十一日求心宿中心平赤道緯度查其歲差為減八秒三八七與是日年之分數(shù)為萬分之四千一百三十三見前相乘得三秒四七因為緯南度故歲差之┬號應反用遂加于所記正月一日又千分日之四十八時候該星緯南二十六度八分二十七秒六二共得緯南二十六度八分三十一秒九是為五月三十一日所求心宿中星之平赤道緯度每月第二十頁所載白水而氏之推方表已設譬于三百二十九頁此三百三十頁及三百三十一頁所用英會星部恒數(shù)定星表亦于五百二十九頁內詳其法勾陳第一星及第三星并逐日列表其余一百四十五恒星皆越十日列一數(shù)所列之數(shù)皆以是日恒星過該處午時之經緯度表之上面所列赤道經度之點分數(shù)與緯度之度分數(shù)因一歲之中恒星赤道經度出入之數(shù)只爭在秒故其大數(shù)總計于上端止以秒數(shù)小余記其下故其秒數(shù)即有過于六十外者亦不便收分仍以秒計如三百四十六頁是年十二月十七日屏星第二所見之赤道經度為四點五十九分六十秒四二其實則為五點秒四二也　又如三百四十八頁是年十二月十七日廁星第一所見赤道緯度為南十七度五十四分六十二秒七其實則為南十七度五十五分二秒七也其不可移換大數(shù)者限于幅耳
每十日并列其經緯較數(shù)便求零日用中比例也
恒星亦有一日過該處午兩次者倘遇其日亦即記其經緯度兩次如三百五十四頁七月三十日記柳宿第五星過午兩次凡遇恒星過午兩次之日若非表列之日即于經度上下十日之中間別列小字指出十日內之何日此星過該處午兩次則太陽日十日內其星既過午十一次則其所記之較數(shù)亦應作十一分比例如三百四十八頁參宿第二星表內六月初十日與二十日之間傍注小字為十三以明六月十三日此星過午兩次也查表傍較數(shù)為秒一二作十一日分之每日應為千分秒之十一其十三日之第一次過午為十日內第三次應用三因千分秒之十一而得其較十三日之第二次過午為十日內第四次應用四因千秒之十一而得其較其十四日之過午為十日內第五次也雖差數(shù)止微其理固如是也
如欲細算五極星所見位數(shù)須尋一準數(shù)此準數(shù)當以代數(shù)∥?求之
是表記星所見之位不算準數(shù)者緣星之變率每日約二十六度所變甚大故不記也惟三百八十八九兩頁于月之黃道經度則每度記之表末申明其法正每日光行差之方程式記在序內
第三百九十頁至四百二十八頁乃近月之星謂其赤道經緯度距月不遠凡欲算地上東西二午之較即較所測見之星與月相距赤道經度而得之蓋月如不動則星與月赤道經度之較無論何處午皆可一例相同惟月常行動則過二處之午已自改其赤道經度所改度數(shù)加于二處之午較數(shù)內即知西邊午應移若干度而月始至故知月赤道經度之較亦可算東西二午之較月明環(huán)之赤經度與月中心之赤經度在過該處之上下午時表列其數(shù)均有上字下字作記號甲乙二字記月之左右二環(huán)
星之等數(shù)表即記星之大小表之左行記其日數(shù)及十分日之幾
每隔一點即十五度月改赤道經度表即月過該處午時之每點較數(shù)也　如月自英東七度半至英西七度半兩處之較為一點此一點所移之數(shù)即從月之明環(huán)赤經度推測故其半徑亦常改也
凡東西二午之較不大謂在一二度之間可用近月之星算之若較數(shù)甚大謂相距十度以上而欲詳算其經度應以東西二午之中間午為準求得月所移赤道經度之數(shù)而推得之　如欲約算月之明環(huán)過他處子午之赤經度用此測之　法以英國午與測處午經度之較與月所移經度相乘得數(shù)視測處午距英國之東西以別加減在東者減在西者加乃加減于表內赤經度即為測處子午上月明環(huán)經度
設于是年六月十八日月過英國上午時其乙明環(huán)赤經度為二十二點四十七分四十七秒二四其每點較數(shù)為一百二十四秒五而求乙環(huán)過潑立司法都上午之赤經度　查潑立司偏東九分二十秒六化為千分點之一百五十六與每點較數(shù)相乘得十九秒四二以減偏東故減表內赤經度余二十二點四十七分二十七秒八二是為乙明環(huán)過潑立司午之赤經度
凡他處距英國不甚遠者其月之赤緯度亦可如法約算惟地偏于東及緯度在南者皆為負數(shù)即以前譬明之　是日月過英國上午為南十二度三分四十一秒八每點較數(shù)為┴六百二十三秒一此數(shù)與┬千分點之一百五十六相乘得┬一分三十七秒三此負數(shù)與緯南度相加月之緯南漸減因偏東故反減得緯南十二度五分十九秒一是為月過潑立司午時之赤緯度
星名表側有＊號者指此星不論在赤道南北俱可與月同時測算以定月之視差也
月半徑過午所歷之恒星時　此數(shù)因月距赤緯之南北而改變時時不等凡測見月之外環(huán)相切于午之時而加此數(shù)即改為中心過午之時
第四百二十九頁至四百四十三頁記日月交食在何地何時可以望見記其算出之諸根數(shù)
第四百四十四頁至四百五十四頁記星之交食其數(shù)有五　其一記一等至六等之恒星于該處平子正時為月所掩在該處能測見者　其二記行星或恒星自一等至五等不論何處見其為月所掩者　其三記星與月應于該處何平時同一赤經度　其四記月與星合一經度時其緯度有何較數(shù)　其五記在何緯度外月不掩星
凡算月掩何星可用諸表表內所記星月之數(shù)皆從地心推算故地上不論何處皆可通用惟須算其距英國若干經度變時以加減之在東者加在西者減即得月星相合時之測處平時
設于是年八月初四日月掩氏宿第三星在英國平時為十六點二十九分五十七秒而在潑立司平時為十六點三十九分十七秒六因潑立司在英國東九分二十秒六故也
緯限者謂自地上某度起至某度止得見月掩何星外此不見其掩是為緯度之限也
設有人自星望地而月界其中則地面幾分為月所掩而月自西至東移過時地面成一帶形闊與月徑相等若反言之則人在地面于帶形中望月則星為月掩在帶之上下兩限但見月與星相切而不相掩是為緯度限在其上者為上限在其下者為下限
緯限表以明星在何度應為月掩外此不必布算也
如英國在赤道北五十一度二十八分三十八秒即北極高出地平度設于是年八月內查四百五十一頁表自十六日起查末行緯限表至十七日掩α星只指一希臘字星名α希臘字在赤道北二十六度之處起至九十度之間皆可見惟被掩之時在三點十一分四十四秒是在午后日光所逼仍不能見惟是日之十二點四分二十一秒月又掩○星在赤道北十四度至九十度之間八月十九日十四點一分十七秒月掩畢宿第五在赤道南四度之處起至赤道北六十八度之間又是日十四點三十五分三十八秒月又掩是星在赤道北六度之處起至八十五度查四百五十六頁表知已上三星之所掩其二在英國能見其一不能見也
第四百五十五六頁之表乃恒星與行星在該處地平上為月所掩記其不見至再見之恒星時及平時記星于月環(huán)內始隱于某度復見于某度若以翻影鏡測之凡穿過月之北極與中心成一大圈與月環(huán)成一交點方近月環(huán)之星距交點若干度當從角之北點數(shù)之穿過月之天頂與其中心成一大圈亦與月環(huán)成一交點方過月環(huán)之星距交點若干度則從角之頂點數(shù)之用此角可測量小星且當星之隱而復見時亦須先知此角不然難定鏡之方向
表內月掩幾星時有在該處不得見者然離該處不遠即能見也
第四百五十七頁至四百七十六頁是表所記木星之月或食或掩或月過或影過等數(shù)皆準該處之平時圖形以明其隱顯之處如自翻影鏡視之圖內之形雖舉望日之數(shù)然木星離地甚遠目力不及故其體與影一月內更變甚微除與日對峙時形狀有異外余則通月皆然試以兩月圖形較之便可曉然當木星距該處地平上八度日在地平下八度時其月之食有此米為號明該處可以測望至木星在地平上日在地平下時有此十為記則亦能望見也
□?甲者指月木星月被星影所掩方隱之際也○?乙者指月離星影再顯之時也此乃月距木星略遠則然若日星對峙時則月之食也近星之體日星對峙以前月之隱見在木星之西日星對峙以后月之隱見在木星之東用翻影鏡視之則東西相反日星對峙以前僅見第一月之隱對峙以后方見其顯至第二月被星影所掩時其隱見鮮能并見第三第四月或可并見云
凡在別處求木星某月隱見之時即以測處經度在英國之東西推算在東加經度之較變時在西減經度之較即為所求時然亦須查木星之地平上下與日在地平上下如日在地平上光耀難見算之者應以半弧表自東至西日出入半弧也助以半天球始可定日星距地平之方向
測得木星月之食可定地上經度第一月最易測惟須詳悉測量之的確時刻此時與英國時之較即為經度之較化度測處之時早與英國為在其西遲于英國為在其東
設于是年七月二十四日在潑立司法都測得木星第一月之隱平時為十四點三分二十四秒九乃查第四百六十六頁表內英國平時為十三點五十四分四秒三其較為九分二十秒六即兩處相距之經度因所測之時遲于英國故知其在東也
凡測星月之掩木星與其月除表有差數(shù)外尚有別樣難處不能詳定地之經度且遠鏡測量各不同若欲詳算經度須用相類之鏡算其地面蒙氣視差若不必詳算則以測見木星為某月所掩約計地上經度如某月之隱見俱能測得則更妙矣
表內約計月食月過之過所以便天算家預備測量推驗此表之差否因測此二事須用最妙之鏡而海上尤不易測也　入出二字記月初遇木星環(huán)面為入初離木星環(huán)面為出
第四百七十七頁至四百八十七頁　木星兩月毘連表內用數(shù)記之以代尋常之○號而不記其黃道緯度在上者記于上在下者記于下
表右為東表左為西如見木星之月自西向東移動時則知木星在月與地之間而月行于后半軌道故有食有掩若見月自東向西移動時則知月在木星與地之間而月行于前半軌道故有月過與影過
設于是年正月二十七日在英國八點鐘時平時用翻影鏡測望木星月如圖其第一第二兩月實在木星之左從翻影鏡視之則在右第三第四兩月實在右而反左　表首西東二字乃月實在木星之東西方向也木星常在該處天頂之南圖左之月應見于木星之西圖右之月應見于木星之東蓋月之倒影故遂反其方向也乃自木星中心起一直遠近相等而左右互易以此驗圖可得月之真向
表內時分皆指該處平時觀表與圖可以辨木星之諸月而亦以別他星之近木星者
第四百八十八頁至四百九十頁　行星與月或與他行星合一赤經度及行星與恒星或合經度或合緯度皆每月一格記其日時行星當此時候最易測望又以便天算家考驗表之然否
第四百九十一頁　土星光環(huán)之位表中越二十日一記以明其能見與否○為光環(huán)之短軸距何赤緯度∣∣∥∥甲乙甲乙為光環(huán)所見大小之數(shù)丑∣丑之比以定能見與否蓋太陽與地同在一邊高過環(huán)面時其環(huán)自能測見若不能見之時則其故有三　一則環(huán)面平過日心則∣丑與○等
二則環(huán)面平過地心即丑與○等皆不能見　三則日在環(huán)之一面而地又在一面亦不能見因環(huán)上無經光之面向地耳
第四百九十二三頁記月之明環(huán)約于何平時側動最大記火星金星之環(huán)在何月中光顯幾分至月之緯度側動之數(shù)則不論何時皆可照四百九十三頁計之
第四百九十四頁至四百九十七頁　系該處潮汐與中國無涉故不譯
第四百九十八頁之準數(shù)表　凡測見月距星之度數(shù)業(yè)將蒙氣視差等推準可求秒數(shù)相較即比例對數(shù)之較于表內查一準數(shù)以加減之即可得該處相合之時其算之法見后五百二十五六頁內
第四百九十九頁及五百頁　表內之數(shù)算月之側動
第五百一頁至五百三頁　為測勾陳大星若不在午線時可用此表能算地上緯度法如左
先將儀差及蒙氣推準減于星之高點再照五百四頁改測望之太陽平時為恒星時于此表內查得相合之第一準數(shù)為⊥┬按號加減于測見之高度得所求緯度之約數(shù)復以所算恒星時查第二第三表得相合之第二準數(shù)加此二準數(shù)于上約數(shù)內即得真緯度
　　航海通書改率說　　　
賈步緯
是集從英國行海通書譯出考西人之航海來游實以此書為鄉(xiāng)導蓋海舶既駛遠洋茫無畔岸可紀羅盤祗可辨方向不能測其現(xiàn)行何地惟藉天度可認地球之經緯數(shù)理精蘊天上一度相當?shù)孛娑倮镉嬋f尺以天度之一秒當?shù)孛嬉话俪叽苏撃媳本暥葎t然若東西偏度不正當赤道下每度皆不滿大圈之里數(shù)須依弧三角法算之晝則量日夜測月星輔以算術道里之距了如指掌是以無遠弗屆故吾中國航海亦以繙譯此書為首務特延西士層解條分闡明理數(shù)撮要刪繁譯成是集以引誘來學凡吾同志咸宜家置一集朝夕講求引伸類長制備儀象隨時測量并可驗其算法之疏密然否實為推步家特開門徑學者必由是而學焉則庶乎其不差矣
　　改率
考行海通書原依英都觀象臺之中線立算諸星行度表悉照該處平午正時解見時差從地心起數(shù)其天周以春分起步與中國不同今譯改時遵　京都順天府為中線諸星皆從子正起天周以冬至起步中西同用平時共宗地心立算三百六十度為一周天中法又分為十二宮以冬至丑宮初度起逆行十二支每宮三十度每度六十分每分六十秒又一日二十四時此書從西例以一點鐘為一時便布算也故凡言一時皆一小時也每時六十分中法又以十五分為一刻一時為四刻因多增位數(shù)不便布算姑從西例不命刻每分六十秒秒下小余則隨秒不以六十遞析
據(jù)西士實測得東西經線相距一百十六度二十七分變時見變時表為七點四十五分四十八秒蓋英國午正已為順天七點四十五分四十八秒也故用原書之本日午正星度再加四點十四分十二秒之星行度即湊滿半日十二時之數(shù)倘星之經緯有退行者則減即得明日順天之子正度也
　　中比例算法
星者算法也用星必先明算一二三四之四率比例為西算之大宗其法以已知推未知故以原有之數(shù)為一率二率今有之數(shù)為三率恒以二率與三率相乘數(shù)為實以一率為法歸除之得所求之四率數(shù)也
　　時差
推算所得曰平時通書表數(shù)俱按平時算定如鐘表之走平分時也中國又名實時日晷所測曰真時中國又名用時蓋時刻并宗赤道原系平分黃道與赤道斜交在赤道則度有闊狹日行黃道又有冬盈夏縮之異緣此兩端故生時差即平時與真時之較也兩數(shù)相減曰較其數(shù)列如表加減于平時即得真時也
　　鐘表宜開平時說
西書云一晝夜地球自轉一周則宗北極一歲中地球繞日一周則宗黃極兩極相距二十三度二十七分西率尚有二十余秒零數(shù)且每年有行分如歲差然蓋日晷測時皆依繞日之軌而出故與赤道自轉之率有異細較之且逐日不同用度時表候之表之極準者行船用以較偏度故又名行船表二十四時中即一晝夜甚有差至半分者故設時差加減也
然則鐘表但能走平分與赤道同率如太陽之盈縮黃赤道之升度差不與焉故必開準平時按號加減時差以求合于日晷測量之要事也
如先測得日晷午正求鐘表平時則將時差號反用加者減之減者加之以加減十二點即得平時
　　逐日測北極高度不拘何地
法候日晷將交午正之前后凡日晷至午正可不問地之經緯何度節(jié)氣早晚器之密咸可一概施之惟羅盤指南鍼與日影有偏向且隨地不同中國恒偏于日影之東故測太陽高度宜過晷數(shù)分候之用紀限儀屢測太陽高度取其最高之度為本日午正太陽高度內減蒙氣差加地半徑差則改視高為實高隨查通書內本日太陽赤道緯度表數(shù)俱子正起求午正用中比例南加北減于太陽實高度得赤道距地平度亦即北極距天頂度再與一象限九十度相減得測處北極出地度　若測恒星高度赤緯加減與太陽同法惟恒星無地半徑差但減蒙氣差即實高度
又法任于何日算勾陳大星過上子午線之時分測其視高度內減蒙氣差改為實高度又減距極度約一度二十二分半余即北極高度或算其過下子午線之時分測其視高度內減蒙氣差加距極度亦即北極高度
　　測候用時表說
凡度時表必按京師之平時開準蓋諸曜黃赤經緯表數(shù)俱依京師平時起算故任至何地視表內之時分與通書上星行經緯度隨時?合時表實為省算之捷徑設無時表船至某處尚未知其地經緯何度用何比例求星之所在必任設多處逆探推求豈不費算故西人航海測天儀器而外度時表與通書二者相須為用缺一不可也
　　算星過午線時即中星時置本日星之赤道經度內減本日太陽平行赤道經度即恒星時若不足減加二十四時減之此為設星在午正太陽平行距午正后之時分視其數(shù)不滿十二時則加十二時過十二時則減十二時比例要從子正起算故加減十二時為本日星過午之泛時如恰在子正即為平時有距時分因日星俱有行分故曰泛時如法再求明日星過午線之泛時以一日化一千四百四十分為一率兩日之泛時較化秒為二率本日泛時化分為三率求四率即泛時內應行之泛時較秒數(shù)視兩日之泛時順逆以別加減如明日之數(shù)多則加于本日數(shù)明日之數(shù)少則減于本日數(shù)加減于本日泛時即京師星過午之平時如算太陰過午線每時俱有細行只須用一時之數(shù)為比例不用兩子正比例
　　有某地緯度用日晷測偏度
法以日晷按其地極高度測得時分若非午正晷須極準方應視京師平時表內系何時分加減本日本時之時差改為京師日晷時與所測日晷時相減以時較化度法見變時表即得其地距京師之偏度也所測時早于京師為偏東遲于京師為偏西
　　測太陰過午算偏度
任至何地測得太陰過午視京師平時表內系何時分隨檢通書本日太陰過午系何時分與所測時分相減余為兩地所測處與京師過午時分較乃檢通書之明日過午時分內減本日過午時分余化分加一日化一千四百四十分為一率一日化一千四百四十分為二率兩地過午時分較為三率求四率為偏度時分檢變時表得偏東西度早于京師為偏東遲于京師為偏西
蓋測太陰視差多端惟其過正午時但有南北視差可于經度無關是以便于測算諸曜每日過午之時分較數(shù)惟太陰為最大用以比例求偏度易準若恒星每日過午時分較祗三分五十六秒五六太陽平行度即恒星時也故測得兩地過午時分較每點鐘減十秒即偏度時分西人航海常測月過午差為算偏度之捷徑也
　　赤道經緯度說
按西書七政經緯度并宗赤道立算求其故皆因諸曜隨天西轉西謂地球自西徂東亦同惟赤極不動故其經緯隨地隨時測算較易若黃極每日既繞赤極一周則其經緯晷刻異視不惟測候甚難即憑以知地之經緯布算亦不易故西書云黃道經緯度無益航海之人考其數(shù)亦從赤道經緯度用斜弧算出又其五星之黃道經緯度皆從日心立算恒以星出入黃道之南北交終為一周天如水星只八十八日一周金星二百二十余日一周之類并無退留之行用于仰觀不合故是集止取其赤道經緯度列表若求黃道經緯度　欽天監(jiān)既有七政時憲書頒行故省推算
　　表算日食法　　　
賈步緯
　　求入限
所求年干支察首朔食應表表見后得年前十二月朔食應以后每朔但于月數(shù)上遞加一月小余仍之滿食周十一月七三七六五者去之此即月距交平行十三周天月數(shù)余為所求朔食應視某月朔入食限
　　二月三六五二三六以外
　　三月一三八五二八以內
　　八月六七五六四七以外
　　九月三七二四一三九以內
　　附求望食限
所求年干支察首望食應表得年前十二月望食應以后每望遞加一月小余仍之滿食中五月八六八八二五者去之即得逐月望食應視某月望入食限
　　二月五五六一一七八以外
　　三月三一二七七一八以內
右平朔望可食之限摘徐鈞卿先生法不過舉其大凡欲定食之有無須用日躔月離求實朔望太陰距交度始為的食限也
　　求實朔泛時
以平朔距冬至之日數(shù)用推日躔月離法法見考成后編各求其子正黃道實行將本日子正太陽實行與太陰實行相較如太陰實行未及太陽則平朔日即為實朔本日如太陰實行已過太陽則平朔日即為實朔次日平朔前一日為實朔本日又用推日躔月離法各求其子正黃道實行將本日子正太陽實行內減太陰實行余為月距日度分化秒求對數(shù)法見數(shù)理精蘊加日法一千四百四十分對數(shù)內減一日之月距日實行對數(shù)次日日實行內減本日日實行余為一日之日實行又次日月實行內減本日月實行余為一日之月實行內減一日之日實行余為一日之月距日求對數(shù)即是得距本日子正分數(shù)之對數(shù)檢表得真數(shù)以時收之得實朔泛時如次日月實行仍未及日則次日為實朔日乃以次日日實行內減月實行余為月距日化秒求對數(shù)加一千四百四十分對數(shù)內減前所得一日之月距日實行對數(shù)得距次日子正后分數(shù)之對數(shù)
　　求泛時月距正交
次日月距正交內減本日月距正交不及減加十二宮減之余為一日之月距正交化秒求對數(shù)加泛時距子正分數(shù)之對數(shù)內減一千四百四十分對數(shù)得距本日子正之月距正交化秒對數(shù)檢表得真數(shù)以度分收之加本日子正月距正交得泛時月距正交
　　求的食限
視月距正交自初宮初度至初宮十八度二十六分自五宮十一度三十四分至六宮六度二十二分自十一宮二十三度三十八分至十一宮三十度皆入食限為有食不入此限內者不食即不必算
視泛時若在夜距日出前日入后五刻以內者可見食五刻以外者全在夜不可見即不必算如泛時在日出入前后者先須加減時差審晝夜
　　求實朔實時
實朔泛時上下設前后兩時如泛時為丑正二刻則設丑正初刻為前時寅初初刻為后時用推日躔月離法各求其黃道實行以前后兩時日實行相減為一小時日實行以前后兩時月離黃道實行相減為一小時月實行兩實行相減為一小時月距日乃以前時日實行內減月實行余為前時月距日化秒求對數(shù)加一小時化三千六百秒對數(shù)內減一小時月距日化秒對數(shù)得距前時秒數(shù)之對數(shù)檢表得真數(shù)以分收之加于前時得實朔實時再以實朔實時用推日躔月離法各求其黃道實行則日月必同宮同度分秒不異方準乃視本時月距正交入前限者為有食
　　求均數(shù)時差
實朔日引宮度察日躔均數(shù)時差表即得記加減號
　　求升度時差
實朔日躔黃道宮度察升度時差表表見后即得記加減號
　　求實朔用時
實朔實時加減二時差得實朔用時
　　求日實行
前后兩時日躔黃道實行相減為一小時日實行
　　求月實行
前后兩時月離白道實行相減為一小時月實行
　　求實行總較
日實行與月實行相加為實行總相減為實行較
　　求半外角
置半周一百八十度內減黃白大距余數(shù)半之即半外角
　　求半較角
實行較對數(shù)凡弧度求對數(shù)化皆秒入算求三差法仿此如求八線對數(shù)必要弧度入算加半外角正切對數(shù)內減實行總對數(shù)余為半較角正切對數(shù)
　　求斜距交角差
半外角減半較角余為斜距交角差
　　求斜距黃道交角黃白二經交角
實朔黃白大距加斜距交角差即斜距黃道交角亦即黃白二經交角實朔月距正交初宮十一宮白經在黃經西五宮六宮白經在黃經東記東西號
　　求兩經斜距
日實行對數(shù)加實朔黃白大距正弦對數(shù)內減斜距交角差正弦對數(shù)余為兩經斜距對數(shù)
　　求斜距對數(shù)較
一小時三千六百秒對數(shù)內減兩經斜距對數(shù)余為斜距對數(shù)較各限距弧求距時加對數(shù)較距時求距弧減對數(shù)較故用對數(shù)較
　　求食甚實緯
斜距黃道交角余弦對數(shù)加實朔太陰黃緯化秒下同對數(shù)內減半徑對數(shù)即前位所進之一余為食甚實緯對數(shù)檢表得真數(shù)為秒秒下必帶小余一位求三差法仿此記南北號與實朔月緯南北同
　　求食甚距弦　食甚距時
斜距黃道交角正弦對數(shù)加實朔太陰黃緯對數(shù)內減半徑對數(shù)余為食甚距弧對數(shù)再加斜距對數(shù)較即食甚距時對數(shù)檢表得真數(shù)為秒以分收之月距正交初宮六宮為減五宮十一宮為加記加減號
　　求食甚用時
實朔用時加減食甚距時得食甚用時即京師食甚用時
　　求太陽實引
實朔太陽引數(shù)加減太陽均數(shù)得太陽實引
　　求太陰實引
實朔太陰引數(shù)加減太陰初均數(shù)得太陰實引
求地平高下差
太陰實引宮度及本天心距地見月離察交食太陰地半徑差表表見考成后編得太陰在地平時最大地半徑差內減太陽地平地半徑差十秒余為地平高下差
　　求太陽實半徑
太陽實引宮度察交食太陽視半徑表得視半徑內減太陽光分十五秒即實半徑
　　求太陰視半徑
太陽實引宮度及本天心距地察交食太陰視半徑表得太陰視半徑
　　求并徑
太陰實半徑加太陰視半徑得并徑
　　求距時日實行
日實行對數(shù)加食甚距時對數(shù)內減三千六百秒對數(shù)余為距時日實行對數(shù)加減號與食甚距時同
　　求食甚太陽黃道經度
實朔太陽黃道實行加減距時日實行得食甚太陽黃道經度
　　求食甚太陽赤道經度
食甚太陽黃道經度察黃赤升度差表得黃赤升度差加減黃道經度即食太陽赤道經度
　　求食甚太陽赤道緯度
食甚太陽黃道經度察黃赤距度表得食甚太陽赤道緯度記南北號
　　求食甚太陽黃赤道宿度
用上元甲子列宿黃赤經緯度表列宿黃道經度加歲差每年五十二秒算至所求年察食甚太陽黃道經度足減本年黃道宿鈐內某宿度分則減之余為食甚太陽黃道宿度　又將赤道宿度按赤經加減歲差算至所求年察食甚太陽赤道經度足減本年赤道宿鈐內某宿度分則減之余為食甚太陽赤道宿度
　　求太陽距北極
置九十度南加北減太陽赤道緯度得太陽距北極
　　求黃赤二經交角即黃道赤經交角之余
食甚太陽黃道經度察黃赤二經交角表得黃赤二經交角冬夏至后黃經在赤經西東記東西號
　　求赤白二經交角
黃赤二經交角與黃白二經交角即斜距黃道交角東西同號相加東西仍之異號相減東西從數(shù)大者得赤白二經交角記東西號此之謂東西乃白經在赤經之東西也若兩角相等而減盡無余則白經與赤經合無交角如無黃赤二經交角則黃白二經交角即為赤白二經交角東西并同
　　求北極距天頂
置九十度減本地北極出地度得本地北極距天頂
　　求半和弧　半較弧
日距北極與北極距天頂相加半之為半和弧相減半之為半較弧
　　求正弦對數(shù)較
半和弧正弦對數(shù)減半較弧正弦對數(shù)得正弦數(shù)較其號為減因與半角余切相減也