御制律厯淵源序
　　粵稽前古堯有羲和之咨舜有后防之命周有商高之訪逮及厯代史書莫不志律厯備數(shù)度用以敬天授民格神和人行于邦國而周于鄉(xiāng)閭典至重也我皇考圣祖仁皇帝生知好學(xué)天縱多能萬幾之暇留心律厯算法積數(shù)十年博考繁賾搜抉奧微叅伍錯(cuò)綜一以貫之爰
　　指授莊親王等率同詞臣于大內(nèi)?養(yǎng)齋編纂毎日進(jìn)呈
　　親加改正匯輯成書總一百卷名爲(wèi)律厯淵源凡爲(wèi)三部區(qū)其編次一曰厯象考成其編有二上編曰揆天察紀(jì)論本體之象以明理也下編曰明時(shí)正度密致用之術(shù)列立成之表以著法也一曰律呂正義其編有三上編曰正律審音所以定尺考度求律本也下編曰和聲定樂所以因律制器審八音也續(xù)編曰協(xié)均度曲所以窮五聲二變相和相應(yīng)之源也一曰數(shù)理精蘊(yùn)其編有
　　二上編曰立綱明體所以解周髀探河洛闡幾何明比例下編曰分條致用以線面體括九章極于借衰割圜求體變化于比例規(guī)比例數(shù)借根方諸法蓋表數(shù)備矣洪惟我國家聲靈逺屆文軌大同自極西歐羅巴諸國專精世業(yè)各獻(xiàn)其技于閶闔之下典籍圖表燦然畢具我
　　皇考兼綜而裁定之故凡古法之歲乆失傳擇焉而不精與西洋之侏詰屈語焉而不詳者咸皆條理分明本末昭晰其精當(dāng)詳悉雖專門名家莫能窺萬一所謂惟圣者能之豈不信歟夫理與數(shù)合符而不離得其數(shù)則理不外焉此圖書所以開易范之先也以線體例絲管之別以弧角求經(jīng)緯之度若此類者皆數(shù)法之精而律厯之要斯在故三書相爲(wèi)表里齊七政正五音而必通乎九章之義所由試之而不忒用之而有效也書成纂修諸臣請序而傳之恭惟
　　圣學(xué)高深豈易鉆仰顧朕夙承
　　庭訓(xùn)于此書之大指微義
　　提命殷勤歲月斯乆尊其所聞敬効一詞之贊葢是書也豈惟
　　皇考手澤之存實(shí)稽古準(zhǔn)今集其大成高出前代垂千萬世不易之法將欲協(xié)時(shí)正日同律度量衡求之是書則可以建天地而不悖俟圣人而不惑矣
　　雍正元年十月朔敬書

　　欽定四庫全書　　　　子部六
　　御制厯象考成總目　　　　天文算法類一【推歩之屬】
　　上編十六卷
　　下編十卷
　　表十六卷
　　【臣】等謹(jǐn)案
　　御制厯象考成四十二卷康熙五十二年
　　圣祖仁皇帝御定律厯淵源之第一部也按推歩之術(shù)古法無征所可考者漢太初術(shù)以下至明大統(tǒng)術(shù)而已自利瑪竇入中國測驗(yàn)漸宻而辨爭亦遂日起終明之世朝議堅(jiān)守門戶訖未嘗用也
　　國朝聲教覃敷極西諸國皆累譯而至其術(shù)愈推愈精又與崇禎新法算法圖表不合而作新法算書時(shí)歐邏巴人自秘其學(xué)立説復(fù)深隠不可觧
　　圣祖仁皇帝乃
　　特命諸臣詳考法原定著此書分上下二編上編曰揆天察紀(jì)下編曰明時(shí)正度集中西之大同建天地而不悖精微廣大殊非管蠡之見所能測今據(jù)其可以仰窺者與新法算書互校如黃道斜交赤道而出其內(nèi)外其相距之度即二至太陽距赤道之緯度新法算書用西人第谷所測定為二十三度三十一分三十秒今則累測夏至午正太陽髙度得黃赤大距為二十三度二十九分三十秒較第谷所測度　少二分葢黃赤二道由逺而近其所以古多今少漸次移易之故非巧算所能及故當(dāng)隨時(shí)宻測以合天行者也又時(shí)差之根其故有二一因太陽之實(shí)行而時(shí)刻為之進(jìn)退葢以髙卑為加減之限也一因赤道之升度而時(shí)刻為之消長葢以分至為加減之限也新法算書合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分則宮度引數(shù)必不能相同合立一表歳乆必不可用今分為二表加減二次而于法為宻矣又新法算書推算日食三差以黃平象限為本然三差并生于太隂而太隂之經(jīng)緯度為白道經(jīng)緯度當(dāng)以白平象限為本太隂在此度即無東西差而南北差最大與髙下差等若在此度以東則差而早宜有減差在此度以西則差而遲宜有加差其加減有時(shí)而與黃平象限同有時(shí)而與黃平象限異故定交角有反其加減之用也又厯來算術(shù)定月食初虧復(fù)圓方位東西南北主黃道之經(jīng)緯而言非謂地平經(jīng)緯之東西南北也惟月實(shí)行之度在初宮六宮望時(shí)又為子正則黃道經(jīng)緯之東西南北與地平經(jīng)度合否則黃道升降有邪正而加時(shí)距午有逺近両經(jīng)緯回然各別所推之東西南北必不與地平之方位相符今實(shí)指其在月體之上下左右為眾目所共睹較舊法更為親切又新法算書言五星古圖以地為心新圖以日為心然第谷推步均數(shù)惟火星以日為心若以地為心立算其得數(shù)亦與之同知第谷乃虛立巧算之法而五星本天實(shí)皆以地為心葢金水二星以日為心者乃其本輪非本天也土木火三星以日為心者乃次輪上星行距日之跡亦非本天也至若弧三角之法新法算書所載圖説殊多厐雜而正?又遺黃赤互求之法今以正?約之為對邊對角及垂?矢較三比例則周天經(jīng)緯皆可互求而操之有要矣此皆訂正新法算書之大端其余與新法算書相同者亦推衍精宻無差累黍洵乎
　　大圣人之制作萬世無出其范圍者矣乾隆四十九
　　年六月恭校上
　　總纂官【臣】紀(jì)昀【臣】陸錫熊【臣】孫士毅
　　總　校　官【臣】陸　費(fèi)　墀

　　【五月十七日奉防】
　　【開載纂修編校諸臣】
　　【職名承防纂修和碩莊】
　　【親王允】
　　【祿和碩　　誠　親　王　允祉　彚】
　　【編　　日　講　官　起　居　注詹】
　　【事　　府　少　詹　　事兼　翰】
　　【林
　　院】
　　【侍　講　學(xué)　士　　加　一級】
　　【何　國　宗　翰　　林　院編修梅】
　　【防成分校原任湖南巡撫都察　院右】
　　【副都御史魏廷珍翰林院　編修王　蘭　生　原　　進(jìn)士方苞】
　　【考　測　會(huì)　考　　府　郎中成　　　徳　　　　防領(lǐng)　阿】
　　【齊　　　圖　　　　臣臣　臣】
　　【臣臣臣】
　　【臣】
　　雍　　　　　　　　正【臣】二年
　　原　任　吏　部　員　外　郎【臣】顧　琮工　部　員　外　郎　加　一　級【臣】照　海食員外郎俸欽天監(jiān)五　官　正【臣】明安圖兵　　部　主　事　加　一　級【臣】平　安福　　建　汀　州　府　知　府【臣】何國棟江　　西　袁　州　府　知　府【臣】李　英翰　林　院　筆　帖　式　加　一　級【臣】豐盛額校算
　　兵部郎中兼管欽天監(jiān)左監(jiān)副事加二級【臣】何國柱刑　　　部　　員　　外　　　郎【臣】倫大理欽　天　　監(jiān)　　左　　監(jiān)　　副【臣】四　格
　　內(nèi)　　　　閣　　中　　　　書【臣】黃　茂欽　天　監(jiān)　博　士　加　一　級【臣】潘汝瑛山　　東　莒　州　　知　　州【臣】陳永年廣　東　西　寧　縣　知　　縣【臣】薩　海京　衛(wèi)　武　學(xué)　教　　授【臣】胡　振
　　舉　　人　揀　選　知　　縣【臣】髙　澤防　　考　府　筆　帖　　式【臣】傅明安吏　　部　筆　　　帖　　式【臣】戴嵩安　　補(bǔ)　筆　　　帖　　式【臣】黑　都
　　生　　　　　　　　　　　　員【臣】秦　寧
　　生　　　　　　　　　　　　員【臣】五徳寳
　　防　　　　　　　　　　　　軍【臣】楊　格校錄
　　翰　　林　　院　　侍　　　讀【臣】呉孝登翰　　林　　院　　侍　　　講【臣】留　保刑　部　郎　中　　加　一　級【臣】朱　崧
　　戶　　　部　　　　主　　　事【臣】黒　赫
　　禮　　　部　　　　主　　　事【臣】穆繼倫
　　刑　　　部　　　　主　　　事【臣】玉　羾工　部　主　事　　加　一　級【臣】色合立戶　部　司　庫　　加　一　級【臣】穆成格
　　工　　部　　司　　　　庫【臣】伍大夀
　　行　人　司　行　人　加　一　級【臣】顧陳垿
　　湖　廣　黃　州　府　同　　知【臣】郎　瀚
　　江　南　通　州　知　州　加　一　級【臣】白暎棠河　南　孟　津　縣　知　縣　加　一　級【臣】陳永貞監(jiān)　　生　　選　州　同　　知【臣】張嘉論
　　生　　　　　　　　　　　員【臣】焦繼謨

　　欽定四庫全書
　　御制厯象考成上編卷一
　　厯理總論
　　天象
　　地體
　　厯元
　　黃赤道
　　經(jīng)緯度
　　歲差

　　天象
　　虞書堯典曰欽若昊天厯象日月星辰楚詞天問曰圜則九重孰營度之后世厯家謂天有十二重非天實(shí)有如許重?cái)?shù)蓋言日月星辰運(yùn)轉(zhuǎn)于天各有所行之道即楚詞所謂圜也欲明諸圜之理必詳諸圜之動(dòng)欲考諸圜之動(dòng)必以至靜不動(dòng)者準(zhǔn)之然后得其盈縮蓋天道靜專者也天行動(dòng)直者也至靜者自有一天與地相為表里故羣動(dòng)者運(yùn)于其間而不息若無至靜者以驗(yàn)至動(dòng)則圣人亦無所成其能矣人恒在地面測天而七政之行無不可得者正為以靜驗(yàn)動(dòng)故也十二重天最外者為至靜不動(dòng)次為宗動(dòng)南北極赤道所由分也次為南北歲差次為東西歲差此二重天其動(dòng)甚微厯家姑置之而不論焉次為三垣二十八宿經(jīng)星行焉次為填星所行次為歲星所行次為熒惑所行次則太陽所行黃道是也次為太白所行次為辰星所行最內(nèi)者則太隂所行白道是也要以去地之逺近而為諸天之內(nèi)外然所以知去地之逺近者則又從諸曜之掩食及行度之遲疾而得之蓋凡為所掩食者必在上而掩之食之者必在下月體能蔽日光而日為之食是日逺月近之征也月能掩食五星而月與五星又能掩食恒星是五星髙于月而卑于恒星也五星又能互相掩食是五星各有逺近也又宗動(dòng)天以渾灝之氣挈諸天左旋其行甚速故近宗動(dòng)天者左旋速而右移之度遲漸遠(yuǎn)宗動(dòng)天則左旋較遲而右移之度轉(zhuǎn)速今右移之度惟恒星最遲土木次之火又次之日金水較速而月最速是又以次而近之證也是故恒星與宗動(dòng)相較而歲差生焉太陽與恒星相防而歲實(shí)生焉黃道與赤道出入而節(jié)氣生焉太陽與太隂循環(huán)而朔朢盈虛生焉黃道與白道交錯(cuò)而薄蝕生焉五星與太陽離合而遲速順逆生焉地心與諸圜之心不同而盈縮生焉厯代專家多方測量立法布算積久愈詳已得其大體其間或有豪芒之差諸説不無同異者蓋因儀器仰測穹蒼失之纎微年久則著雖有圣人莫能預(yù)定惟立窮源竟委之法隨時(shí)實(shí)測取其精密附近之?dāng)?shù)折中用之每數(shù)十年而一修正斯為治厯之【通術(shù)而古圣欽若之道庶可復(fù)于今日矣】

　　地體
　　欲明天道之流行先達(dá)地球之圓體日月星辰每日出入平地一次而天下大地必非同時(shí)出入居?xùn)|方者先見居西方者后見東西相去萬八千里則東方人見日為午正者西方人見日為夘正也周天三百六十度每度當(dāng)?shù)厣隙倮锸枪释乞?yàn)大地經(jīng)緯度分皆與天應(yīng)測緯度者用午正日晷或測南北二極測經(jīng)度則必于月蝕取之蓋月蝕與日蝕異日之食限分?jǐn)?shù)隨地不同月之食限分?jǐn)?shù)天下皆同但入限有晝夜人有見不見耳此處食甚于子者處其東三十度必食甚于丑處其西三十度必食甚于亥是故相去九十度則此見食于子而彼見食于酉相去百八十度則此見食于子而彼當(dāng)食于午雖食而不可見矣
　　設(shè)如午酉子卯為日天甲
　　乙丙丁為地球日在午人
　　居甲者日正在其天頂?shù)?br />　　午時(shí)人居丙者日卻在其
　　天頂對沖而得子時(shí)東去
　　甲九十度居丁者得酉時(shí)
　　而西去甲九十度居乙者
　　又得卯時(shí)矣夫居甲丙者
　　以酉乙丁卯為地平而居
　　乙丁者則又以午甲丙子
　　為地平蓋大地皆以日到
　　天頂為午正也是故測東
　　西之經(jīng)度者兩地同測月
　　食虧復(fù)時(shí)刻或相約于同
　　夜測月與某星同經(jīng)度分
　　為其時(shí)刻分秒相隔一時(shí)
　　則東西相去六千里如測
　　南北之緯度則于兩地測
　　北極出地之度所差一度
　　即相去二百里此皆地球
　　圓體之明驗(yàn)也

　　厯元
　　治厯者必有起算之端是謂厯元其法有二一則逺溯古初冬至七曜齊元之日為元自漢太初以來諸厯所用之積年是也一則截算為元若元授時(shí)厯以至元辛巳天正冬至為元今時(shí)憲厯以崇禎元年戊辰天正冬至為元是也二者雖同為起算之端然積年實(shí)不如截算之簡易也夫所謂七曜齊元者乃溯上古冬至之時(shí)歲月日時(shí)皆防甲子日月如合璧五星如聨珠是以為造厯之元使果有此雖萬世遵用可矣而廿一史所載諸家厯元無一同者是其所用積年之久近皆非有所承受但以巧算取之而已當(dāng)其立法之初亦必有所驗(yàn)于近測遂援之以立術(shù)于是溯而上之至于數(shù)千萬年之逺庶幾各曜之躔次可以齊同然既欲其上合厯元又欲其不違近測竒零分秒之?dāng)?shù)決不能齊勢不能不稍為遷就以求其巧合其始也據(jù)近測以求積年其既也且將因積年而改近測矣杜預(yù)云治厯者當(dāng)順天以求合不當(dāng)為合以驗(yàn)天積年之法是為合以驗(yàn)天也安得為立法之盡善乎若夫截算之法不用積年虛率而一以實(shí)測為憑誠為順天求合之道治厯者所當(dāng)取法也今定康熙二十三年甲子天正冬至次日壬申子正初刻為厯元【即康熙二十二年十一月初五日子正初刻】七政皆從此起算其應(yīng)用諸數(shù)皆系實(shí)測庶數(shù)有可征而理有所據(jù)矣

　　黃赤道
　　天包地外圜轉(zhuǎn)不息南北兩極為運(yùn)行之樞紐地居天中體圓而靜人環(huán)地面以居隨其所至適見天體之半中華之地面近北故北極常現(xiàn)南極常隠平分兩極之中橫帶天腰者為赤道赤道距天頂之度即北極出地之度也赤道以北為內(nèi)為隂以南為外為陽斜交赤道而半出其南半出其北者為黃道乃太陽一歲所躔之軌跡也黃赤道相交之兩界為春秋分距赤道南二十三度半為冬至距赤道北二十三度半為夏至七政所行之道紛然不齊惟恃黃赤二道以為推測之本蓋太陽循黃道東行而出入于赤道之南北太隂與五星各循本道東行而又出入于黃道之南北故?赤二道之位定則晝夜永短寒暑進(jìn)退以及晦朔?朢薄蝕朓朒皆從此可稽矣

　　經(jīng)緯度
　　恒星七政各有經(jīng)緯度蓋天周弧線縱橫交加即如布帛之經(jīng)緯然故以東西為經(jīng)南北為緯然有在天之經(jīng)緯有隨地之經(jīng)緯在天則為赤道為黃道隨地則為地平赤道均分三百六十度平分之為半周各一百八十度四分之為象限各九十度六分之為紀(jì)限各六十度十二分之為宮為時(shí)各三十度是為赤經(jīng)從經(jīng)度出弧線與赤道十字相交各引長之防于南北極皆成全圜亦分為三百六十度兩極相距各一百八十度兩極距赤道俱九十度是為赤緯依緯度作圜與赤道平行名距等圏此圏大小不一距赤道近則大距赤道逺則小其度亦三百六十俱與赤道之度相應(yīng)也赤道之用有動(dòng)有靜動(dòng)者隨天左旋與黃道相交日躔之南北于是乎限靜者太虛之位亙古不移晝夜之時(shí)刻于是乎紀(jì)焉黃道之宮度并如赤道其與赤道相交之兩防為春秋分相距皆半周平分兩交之中為冬夏至距兩交各一象限六分象限為節(jié)氣各十五度是為黃經(jīng)從經(jīng)度出弧線與黃道十字相交各引長之周于天體即成全圜其各圜相湊之處不在赤道之南北兩極而別有其樞心是為黃極黃極之距赤極即兩道相距之度其距黃道亦皆九十度是為黃緯而月與五星出入黃道之南北者悉于是而辨焉故凡南北圏過赤道極者必與赤道成直角而不能與黃道成直角其過黃道極者亦必與黃道成直角而不能與赤道成直角惟過黃赤兩極之圈其過黃赤道也必當(dāng)冬夏二至之度所以并成直角名為極至交圈又若赤道度為主而以黃道度準(zhǔn)之則互形大小何也渾圓之體當(dāng)腰之度最寛漸近兩端則漸狹【距等圏之度也】二至?xí)r黃道以腰度當(dāng)赤道距等圏之度故黃道一度當(dāng)赤道一度有余二分時(shí)兩道雖皆腰度然赤道平而黃道斜故黃道一度當(dāng)赤道一度不足也此所謂同升之差而七政升降之斜正伏見之先后皆由是而推焉至于地平經(jīng)緯則以各人所居之天頂為極蓋人所居之地不同故天頂各異而經(jīng)緯從而變也地在天中體圓而小隨人所立凡目力所極適得大圓之一半則地雖圓而與平體無異故謂之地平乃諸曜出沒之界晝夜晦明之交也地平亦分三百六十度四分之為四方【子午卯酉】各相距九十度二十四分之為二十四向各十五度是為地平經(jīng)從經(jīng)度出弧線上防于天頂并皆九十度【從地平下至天頂之沖亦九十度】是為地平緯又名髙弧髙弧從地平正午上防天頂者其全圜必過赤道南北兩極名為子午圏乃諸曜出入地平適中之界而北極之髙下晷影之長短中星之推移皆由是而測焉是故經(jīng)緯相求黃赤互變因黃赤而求地平或因地平而求黃赤乃厯象之要?jiǎng)?wù)推測之所取準(zhǔn)也

　　歲差
　　歲差者太陽每歲與恒星相距之分也如今年冬至太陽躔某宿度至明年冬至?xí)r不能復(fù)躔原宿度而有不及之分但其差甚微古人初未之覺至?xí)x虞喜始知之因立歲差法厯代治厯者宗焉而所定之?dāng)?shù)各家不同喜以五十年差一度劉宋何承天以百年差一度祖沖之以四十五年差一度隋劉焯以七十五年差一度唐傅仁均以五十五年差一度僧一行以八十二年差一度惟宋楊忠輔以六十七年差一度以周天三百六十度每度六十分每分六十秒約之得每年差五十二秒半元郭守敬因之較諸家為密今新法實(shí)測晷影驗(yàn)之中星得七十年有余而差一度每年差五十一秒此所差之?dāng)?shù)在古法為冬至西移之度新法為恒星東行之度征之天象恒星原有動(dòng)移則新法之理長也【詳恒星厯理】

　　御制厯象考成上編卷一
　　欽定四庫全書
　　御制厯象考成上編卷二
　　弧三角形上
　　弧三角形總論
　　弧三角形綱領(lǐng)
　　弧三角形凡例
　　正弧三角形論
　　正弧三角形圖說
　　正弧三角形八線勾股比例圖說
　　正弧三角形用次形圖說
　　正弧三角形邊角相求法
　　正弧三角形設(shè)例七則

　　弧三角形總論
　　弧三角形者球面弧線所成也古厯家有黃赤相準(zhǔn)之率大約就渾儀度之僅得大概未能形諸算術(shù)惟元郭守敬以弧矢命算黃赤相求始有定率視古為密但其法用三乘方取數(shù)甚難自西人利瑪竇湯若望等翻譯厯書始有曲線三角形之法三弧度相交成三角形其三弧三角各有相應(yīng)之八線弧與弧相交即線與線相遇而勾股比例生焉于是乎有黃道可以知赤道有赤道可以知黃道有經(jīng)可以知緯有緯可以知經(jīng)厯象之法至此而備勾股之用至此而極矣
　　弧三角形綱領(lǐng)
　　凡弧三角形皆在球面球面之腰圍一線謂之大圈如甲乙丙丁為子午規(guī)戊己為赤道庚辛為黃道壬乙癸丁為地平規(guī)如此之類皆為大圈其周度皆相等故可以相為比例凡圈皆有極極距圈皆九十度如赤道則有南北極黃道則有黃極若圈不相等則為距等圈如子丑二圈其四圍之距大圈皆相等而與大圈平行雖亦為三百六十度其分則小于大圈距大圈愈逺距極愈近則其圈愈小至極一防而止不能與大圈為比例故弧三角形之角度邊度皆大圈之度也
　　凡兩弧相交所成角相距皆半周一百八十度名其角度則必取其兩弧各足象限九十度其對角之弧即為本角之度如甲乙丙丁為黃道甲戊丙己為赤道甲丙二處相交相距各半周一百八十度即如春秋分試于甲丙弧之各平分九十度處作丁己乙戊垂弧【凡言垂弧皆曲線畫圖于平面不能顯出故作虛線以別之】則丁己弧為甲丁己三角形之甲角度亦為丙丁己三角形之丙角度其乙戊弧為甲乙戊三角形之甲角度亦為丙乙戊三角形之丙角度即如冬夏至之大距為春秋分之角度葢甲丙為極則丁己乙戊為腰圈所謂大圈者是也
　　凡弧三角形之三弧不足九十度者必引長至九十度其對角之弧方為本角之度如甲乙丙弧三角形三弧皆不足九十度則將甲乙弧引長至丁甲丙弧引長至戊作丁戊弧其丁戊弧之度即甲角之度也又將乙甲弧引長至己乙丙弧引長至庚作己庚弧其己庚弧之度即乙角之度也又將丙甲弧引長至辛丙乙弧引長至壬作辛壬弧其辛壬弧之度即丙角之度也
　　凡弧三角形其角適足九十度者為直角為正弧三角形甲圖是也大于九十度者為鈍角不及九十度者為鋭角俱為斜弧三角形乙圖丙圖是也因三邊皆弧故與直線三角形不同直線三角形有一直角或一鈍角余二角必銳弧三角形則有一直角二銳角者如丁形有一直角二鈍角者如戊形有一直角一鈍角一銳角者如己形有二直角一銳角者如庚形有二直角一鈍角者如辛形有三角俱直者如壬形有一鈍角二銳角者如癸形有三角俱鈍者如子形有一銳角二鈍角者如丑形而弧三角之形勢大概盡于此數(shù)端矣
　　弧三角形凡例
　　一直線三角形之三角相加成一百八十度弧三角形之三角相加最小者亦必大于一百八十度但不得滿五百四十度【因其有三鈍角每一鈍角不得滿一百八十度故三鈍角不得滿五百四十度】
　　一直線三角形知兩角即知其所余一角弧三角形雖知兩角其余一角非算不知
　　一直線三角形之邊小則咫尺大則千百萬里實(shí)有尺度之可量弧三角形之邊俱系弧度必在半周一百八十度之內(nèi)但合三邊不得滿三百六十度【葢三百六十度則成全圜而不得成角矣】
　　一直線三角形之八線惟用于角弧三角形之八線并用于邊角之八線與邊之八線相求仍以勾股為比例也
　　一直線三角形兩形之三邊各相等者為相等形兩形之三角各相等者為同式形弧三角形則但有相等形而無同式形葢以兩形之三角同其三邊必各相同也
　　一直線三角形可以三邊求角不可以三角求邊而弧三角形既可以三邊求角又可以三角求邊
　　一弧三角形三角三弧共六件知三件可求其余理與直線三角形同
　　一正弧三角形除直角外二角三弧共五件知二件可求其余理與直線三角形同
　　一斜弧三角形作垂弧分為兩正弧三角形與直線三角形作中垂線之理同
　　一弧三角形所知之三件有弧角相對者即用弧角為比例理與直線三角形同
　　一正弧三角形弧角不相對者則用次形法
　　一斜弧三角形知三邊求角者用總較法知三角求邊者先用次形法將角易為邊邊易為角然后用總較法
　　一斜弧三角形知兩邊一角而角在兩邊之間者用總較法或用垂弧法知兩角一邊而邊在兩角之間者先用次形法將角易為邊邊易為角然后用總較法或用垂弧法

　　正弧三角形論
　　正弧三角形必有一直角者葢因南北二極為赤道之樞紐皆距赤道九十度故凡過南北二極經(jīng)圈與赤道相交所成之角俱為直角其相當(dāng)之弧皆九十度又凡有一圈即有兩極其過兩極經(jīng)圈與本圈相交亦必為直角其所成三角形必皆為正弧三角形夫正弧三角形所知之三件弧角相對者用弧角之八線所成勾股為比例而弧角不相對者則用次形蓋以弧角之八線所成勾股比例不生于本形而生于次形而次形者乃以本形與象限相減之余度所成故用本形之余?余切即用次形之正?正切也其法可易弧為角易角為弧【若斜弧三角形可易大形為小形易大邊為小邊易鈍角成銳角】邊與角雖不相對可易為相對且知三角即可以求邊其理實(shí)一以貫之也今以黃道赤道與過極經(jīng)圈所成之三角形設(shè)例而正弧三角形比例推算之法無不統(tǒng)于是矣
　　正弧三角形圖說【設(shè)黃赤大距二十三度三十分】
　　如甲乙丙丁為赤道甲戊
　　丙己為黃道相交于甲丙
　　甲為春分丙為秋分戊為
　　夏至己為冬至庚為北極
　　辛為南極庚戊乙辛己丁
　　為二極二至交圈戊至乙
　　己至丁俱二十三度三十
　　分為黃赤大距今作庚壬
　　癸辛為過南北二極經(jīng)圈
　　與黃道交于壬與赤道交
　　于癸成甲癸壬正弧三角
　　形甲為黃道赤道交角當(dāng)
　　戊乙弧二十三度三十分
　　癸為直角葢庚辛二極即
　　赤道之極皆距赤道九十
　　度故凡過南北極經(jīng)圈與
　　赤道所成之角皆為直角
　　其相當(dāng)之弧皆九十度又
　　如子丑為黃道兩極若從
　　子丑二處作子寅卯丑過
　　黃極經(jīng)圈與黃道交于卯
　　與赤道交于寅成甲寅卯
　　正弧三角形則卯亦為直
　　角葢子丑為黃道兩極皆
　　距黃道九十度故凡過黃
　　極經(jīng)圈與黃道所成之角
　　皆為直角其相當(dāng)之弧皆
　　九十度由此推之凡有一
　　圈必有兩極其過兩極圈
　　與本圈相交必為直角其
　　所成三角形必皆為正弧
　　三角形可知矣
　　正弧三角形八線勾股比例圖說【設(shè)黃道四十五度】
　　甲為黃道赤道交角甲乙
　　為黃道四十五度甲丙為
　　赤道同升度乙丙為黃赤
　　距度成甲乙丙正弧三角
　　形甲丁甲戊皆象限丁戊為
　　黃赤大距二十三度三十分
　　即甲角度己為北極庚為南
　　極己丁庚壬為二極二至交
　　圈甲為春分丁為夏至辛為
　　秋分壬為冬至癸為地心己
　　乙丙庚為過南北二極經(jīng)圈
　　其甲乙丙三角形之八線各
　　成相當(dāng)比例之勾股形丁子
　　為甲角之正弦子癸為甲角
　　之余?丑戊為甲角之正切
　　丑癸為甲角之正割戊癸丁
　　癸皆為半徑成丑戊癸及丁
　　子癸同式兩勾股形乙寅為
　　乙丙距緯弧之正?乙卯為
　　甲乙黃道弧之正?將兩正
　　?之寅卯

　　二處作虛線聨之成乙寅
　　卯勾股形【兩正?之末立于各半徑寅卯
　　二處而寅卯二處皆未抵于弧界故不得為正?今
　　以虛線聨之者為眀勾股之理也】辰丙為
　　乙丙距緯弧之正切丙己
　　為甲丙赤道弧之正?將
　　正切正?之辰巳二處作
　　虛線聨之成辰丙巳勾股
　　形午甲為甲乙黃道弧之
　　正切未甲為甲丙赤道弧
　　之正切將兩正切之午未
　　二處作虛線聨之成午未
　　甲勾股形此三勾股形與
　　前二勾股形皆為同式形
　　夫甲癸辛原系一線如將
　　甲癸辛平視之則甲癸辛
　　合成一防而辛癸卯己甲
　　五角皆合為一角甲戊象
　　限亦成一直線而戊癸半徑
　　寅卯聨線丙己正?未甲正
　　切亦皆合為一線矣赤道既
　　平置則黃道斜倚従辛視之
　　甲丁象限亦成一直線而丁
　　癸半徑乙卯正?辰巳聨線
　　午甲正切亦皆合為一線矣
　　夫五勾股形既同角而各股
　　皆合為赤道之一線各?皆
　　合為黃道之一線則各勾必
　　皆與赤道徑線相交成直角
　　而自將平行故皆為相當(dāng)比
　　例之勾股形而可以互相比
　　例也正弧三角形用次形圖
　　說如甲乙丙
　　形可易為乙己丁次形葢
　　甲戊甲丁己丙

　　己戊四弧皆象限九十度
　　于甲丁象限弧內(nèi)減去甲
　　乙弧余乙丁弧即次形之
　　乙丁邊于己丙象限弧內(nèi)
　　減去乙丙弧余己乙弧即
　　次形之己乙邊于己戊象
　　限弧內(nèi)減去丁戊弧【即甲角度】余己丁弧即次形之己丁
　　邊于甲戊象限弧內(nèi)減去
　　甲丙弧余丙戊弧即次形
　　之己角度是次形之三邊
　　一角即本形三邊一角之
　　余度而用?形之余?余
　　切實(shí)即用次形之正?正
　　切也?次形之丁角為直
　　角與本形之丙角等乙為
　　交角其度又等故算乙己
　　丁形即得甲乙丙形也
　　又甲乙丙形可易為己庚辛
　　次形葢庚丁為象限弧與己
　　戊等則庚己與丁戊等故本
　　形【丁戊即甲角度】之甲角即次形
　　之庚己邊乙辛壬庚乙壬皆
　　為象限弧與甲丁等則壬丁
　　即與甲乙等故本形之甲乙
　　邊即次形之庚角乙壬與乙
　　辛既皆【庚壬與庚丁俱象限故壬丁弧為庚
　　角度】為象限則辛壬弧即乙角
　　之度故象限內(nèi)減去乙角之
　　辛壬弧余即次形之庚辛邊
　　丙戊弧即己角之度故于甲
　　戊象限弧內(nèi)減去甲丙弧余
　　丙戊弧即次形之己角又次
　　形之辛角為直角與本形之
　　丙角等次形之丁戊即甲角
　　度庚壬與庚丁俱象限故壬
　　辛己邊與本形之乙丙邊等
　　故【辛乙與己丙等故辛己與乙丙等】算己
　　庚辛形亦得甲乙丙形也辛
　　乙

　　正弧三角形邊角相求法
　　正弧三角形邊角相求錯(cuò)綜變換共三十則用黃赤交角所生八線勾股比例者九用黃道交極圏角所生八線勾股比例者亦九用次形者十二依題比類列目于前按法循序設(shè)問于后以便觀覽
　　有直角有黃赤交角有黃道求距緯【第一】
　　有直角有黃赤交角有黃道求赤道【并見第一】有直角有黃赤交角有黃道求黃道交極圏角【并見第一】
　　有直角有黃赤交角有赤道求距緯【第二】
　　有直角有黃赤交角有赤道求黃道【并見第二】有直角有黃赤交角有赤道求黃道交極圏角【并見第二】
　　有直角有黃赤交角有距緯求黃道【第三】
　　有直角有黃赤交角有距緯求赤道【并見第三】有直角有黃赤交角有距緯求黃道交極圏角【并見第三】
　　有直角有黃道有赤道求黃赤交角【第四】
　　有直角有黃道有赤道求距緯【道并見第】
　　有直角有黃道有赤道求黃道交極圏角【四并見第】有直角有黃道有距緯求黃赤交角【四第】
　　有直角有黃道有距緯求赤道【五并見第】
　　有直角有黃道有距緯求黃道交極圏角【五并見第】有直角有赤道有距緯求黃赤交角【五第】
　　有直角有赤道有距緯求黃道【六并見第】
　　有直角有赤道有距緯求黃道交極圏角【六并見第】有直角有黃道交極圏角有黃道求赤道【六與第一之理】
　　有直角有黃道交極圏角有黃道求距緯【同與第一之理】
　　有直角有黃道交極圏角有黃道求黃赤交角【同與第一之理】
　　有直角有黃道交極圏角有距緯求赤道【同與第二之理】
　　【同】有直角有黃道交極圏角有距緯求黃【與第二之理同】
　　有直角有黃道交極圏角有距緯求黃赤交角【與第二之理同】
　　有直角有黃道交極圏角有赤道求黃道【與第三之理同】
　　有直角有黃道交極圏角有赤道求距緯【與第三之理同】
　　有直角有黃道交極圏角有赤道求黃赤交角【與第三之理同】
　　有直角有黃赤交角有黃道交極圏角求黃道【第七】
　　有直角有黃赤交角有黃道交極圏角求赤道【并見第七】
　　有直角有黃赤交角有黃道交極圏角求距緯【并見第七】
　　設(shè)如黃赤交角二十三度三十分黃道弧四十五度求距緯度及赤道度并黃道交極圏角各防何【第一】
　　甲乙丙正弧三角形甲為
　　黃赤交角丙為直角甲乙
　　為黃道弧求乙丙距緯弧則
　　以丙直角為對所知之角其
　　正?即半徑一千萬為一率
　　甲角二十三度三十分為對
　　所求之角其正?三百九十
　　八萬七千四百九十一為二
　　率甲乙弧四十五度為所知
　　之邊其正?七百零七萬一
　　千零六十八為三率求得四
　　率二百八十一萬九千五百
　　八十二為乙丙弧之正?檢
　　表得一十六度二十二分三
　　十八秒即乙丙距緯弧之度
　　也如圖丁癸為半徑丁子為
　　甲角之正?乙卯為甲乙弧
　　之正?乙寅為乙丙弧之正
　　?丁子癸

　　勾股形與乙寅卯勾股形為
　　同式形故以丁癸與丁子之
　　比同于乙卯與乙寅之比也
　　求甲丙
　　赤道度則以半徑一千萬為
　　一率甲角二十三度三十分
　　之余?九百一十七萬零六
　　百零一為二率甲乙弧四十
　　五度之正切一千萬為三率
　　仍得四率九百一十七萬零
　　六百零一為甲丙弧之正切
　　檢表得四十二度三十一分
　　二十二秒即甲丙赤道弧之
　　度也如圖丁癸為半徑子癸
　　為甲角之余?午甲為甲乙
　　弧之正切未甲為甲丙弧之
　　正切丁子癸

　　勾股形與午未甲勾股形為
　　同式形故以丁癸與子癸之
　　比同于午甲與未甲之比也
　　求黃道
　　交極圈之乙角則用次形法
　　以甲乙弧四十五度之余?
　　七百零七萬一千零六十八
　　為一率甲角二十三度三十
　　分之余切二千二百九十九
　　萬八千四百二十五為二率
　　半徑一千萬為三率求得四
　　率三千二百五十二萬四千
　　六百八十三為乙角之正切
　　檢表得七十二度五十四分
　　三十四秒即黃道交極圈之
　　乙角度也如圖甲乙丙正弧
　　三角形之次

　　形為乙己丁葢甲乙弧之余
　　?即乙己丁次形之丁乙弧
　　之正?為丁子而甲角之余
　　切即乙己丁次形之己丁弧
　　之正切為丑丁又乙角之正
　　切亦即乙己丁次形之乙角
　　之正切為寅壬而丑丁子勾
　　股形與寅壬癸勾股形為同
　　式形故以丁子與丑丁之比
　　同于壬癸與寅壬之比也此
　　法用乙己丁次形有丁乙邊
　　己丁邊及丁直角求乙角即
　　與【甲乙余弧】有赤道【甲角余弧】有距
　　緯求黃赤交角之理同葢乙
　　角即如黃赤交角丁乙即如
　　赤道己乙即如黃道己丁即
　　如距緯其八甲乙余弧甲角
　　余弧
　　線所成之勾股皆由乙角
　　而生故其相當(dāng)之比例皆
　　同也
　　設(shè)如黃赤交角二十三度三十分赤道弧四十二度三十一分二十二秒求距緯度及黃道度并黃道交極圈角各防何【第二】
　　甲乙丙正弧三角形甲為
　　黃赤交角丙為直角甲丙
　　為赤道弧求乙丙距緯弧
　　則以半徑一千萬為一率
　　甲角二十三度三十分之
　　正切四百三十四萬八千
　　一百二十四為二率甲丙
　　弧四十二度三十一分二
　　十二秒之正?六百七十
　　五萬八千八百二十一為
　　三率求得四率二百九十
　　三萬八千八百一十九為
　　乙丙弧之正切檢表得一十
　　六度二十二分三十八秒即
　　乙丙距緯弧之度也如圖戊
　　癸為半徑丑戊為甲角之正
　　切丙己為甲丙弧之正?辰
　　丙為乙丙弧之正切丑戊癸
　　勾股形與辰丙己勾股形為
　　同式形故以戊癸與丑戊之
　　比同于丙已與辰丙之比也
　　求甲乙黃道度則以甲
　　角二十三度三十分之余?
　　九百一十七萬零六百零一
　　為一率半徑一千萬為二率
　　甲丙弧四十二度三十一分
　　二十二秒之正切九百一十
　　七萬零六百零一為三率仍
　　得四率一千

　　萬為甲乙弧之正切檢表得
　　四十五度即甲乙黃道弧之
　　度也如圖子癸為甲角之余
　　?丁癸為半徑未甲為甲丙
　　弧之正切午甲為甲乙弧之
　　正切丁子癸勾股形與午未
　　甲勾股形為同式形故以子
　　癸與丁癸之比同于未甲與
　　午甲之比也求黃道交極圈
　　之乙角
　　則用次形法以半徑一千萬
　　為一率甲丙弧四十二度三
　　十一分二十二秘之余?七
　　百三十七萬零九十八為二
　　率甲角二十三度三十分之
　　正?三百九十八萬七千四
　　百九十一為

　　三率求得四率二百九十三
　　萬八千八百二十為乙角之
　　余?檢表得七十二度五十
　　四分三十四秒即黃道交極
　　圈之乙角度也如圖甲乙丙
　　正弧三角形之次形為己庚
　　辛葢甲丙弧之余?即己庚
　　辛次形之己角之正?為卯
　　辰而甲角之正?亦即己庚
　　辛次形之己庚弧之正?為
　　庚己又乙角之余?即己庚
　　辛次形之庚辛弧之正?為
　　庚午而庚午巳勾股形與卯
　　辰癸勾股形為同式形故卯
　　癸與卯辰之比同于庚己與
　　庚午之比也此法用己庚辛
　　次形有己

　　角【甲丙余弧】己庚邊【與甲角等】及辛
　　直角求庚辛邊【乙角余弧】即與
　　有黃赤交角有黃道求距
　　緯之理同葢己角即如黃
　　赤交角己庚即如黃道己
　　辛即如赤道庚辛即如距
　　緯其八線所成之勾股皆
　　由己角而生故其相當(dāng)之
　　比例皆同也
　　設(shè)如黃赤交角二十三度三十分距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黃道度及赤道度并黃道交極圈角各防何【第三】
　　甲乙丙正弧三角形甲為
　　黃赤交角丙為直角乙丙
　　為距緯弧求甲乙黃道弧
　　則以甲角二十三度三十
　　分為對所知之角其正?
　　三百九十八萬七千四百
　　九十一為一率丙直角為對
　　所求之角其正?即半徑一
　　千萬為二率乙丙弧一十六
　　度二十二分三十八秘為所
　　知之邊其正?二百八十一
　　萬九千五百八十二為三率
　　求得四率七百零七萬一千
　　零六十八為甲乙弧之正?
　　檢表得四十五度即甲乙黃
　　道弧之度也如圖丁子為甲
　　角之正?丁癸為半徑乙寅
　　為乙丙弧之正?乙卯為甲
　　乙弧之正?丁子癸勾股形
　　與乙寅卯勾股形為同式形
　　故丁子與丁癸之比同于乙
　　寅與乙卯之比也

　　求甲丙赤道度則以甲角二
　　十三度三十分之正切四百
　　三十四萬八千一百二十四
　　為一率半徑一千萬為二率
　　乙丙弧一十六度二十二分
　　三十八秒之正切二百九十
　　三萬八千八百一十九為三
　　率求得四率六百七十五萬
　　八千八百二十一為甲丙弧
　　之正?檢表得四十二度三
　　十一分二十二秒即甲丙赤
　　道弧之度也如圖丑戊為甲
　　角之正切戊癸為半徑辰丙
　　為乙丙弧之正切丙己為甲
　　丙弧之正?丑戊癸勾股形
　　與辰丙己勾股形為同式形
　　故丑戊與

　　戊癸之丙同于辰丙與丙己
　　之比也求
　　黃道交極圈之乙角則用次
　　形法以乙丙弧一十六度二
　　十二分三十八秒之余?九
　　百五十九萬四千二百六十
　　七為一率甲角二十三度三
　　十分之余?九百一十七萬
　　零六百零一為二率半徑一
　　千萬為三率求得四率九百
　　五十五萬八千四百一十七
　　為乙角之正?檢表得七十
　　二度五十四分三十四秘即
　　黃道交極圈之乙角度也如
　　圖甲乙丙正弧三角形之次
　　形為乙己丁葢乙丙弧之余
　　?即乙己丁

　　次形之己乙弧之正?為
　　己未而甲角之余?即乙
　　己丁次形之己丁弧之正
　　?為巳申又乙角之正?
　　亦即乙己丁次形之乙角
　　之正?為辛酉而巳申未
　　勾股形與辛酉癸勾股形
　　為同式形故巳未與巳申
　　之比同于辛癸與辛酉之
　　比也
　　設(shè)如黃道弧四十五度赤道弧四十二度三十一分二十二秒求黃赤交角及距緯度并黃道交極圈角各幾何【第四】
　　甲乙丙正弧三角形丙為
　　直角甲乙為黃道弧甲丙
　　為赤道弧求黃赤相交之
　　甲角則以甲乙弧四十五
　　度之正切一千萬為一率
　　甲丙弧四十二度三十一分
　　二十二秒之正切九百一十
　　七萬零六百零一為二率半
　　徑一千萬為三率仍得四率
　　九百一十七萬零六百零一
　　為甲角之余?檢表得二十
　　三度三十分即黃赤相交之
　　甲角度也如圖午甲為甲乙
　　弧之正切未甲為甲丙弧之
　　正切丁癸為半徑子癸為甲
　　角之余?午未甲勾股形與
　　丁子癸勾股形為同式形故
　　午甲與未甲之比同于丁癸
　　與子癸之比也求乙丙距緯
　　度則用次形法以甲丙
　　弧四十二度三十一分二十
　　二秒之余?

　　七百三十七萬零九十八為
　　一率半徑一千萬為二率甲
　　乙弧四十五度之余?七百
　　零七萬一千零六十八為三
　　率求得四率九百五十九萬
　　四千二百六十六為乙丙弧
　　之余?檢表得一十六度二
　　十二分三十八秒即乙丙距
　　緯弧之度也如圖甲乙丙正
　　弧三角形之次形為乙己丁
　　葢甲丙弧之余?即乙己丁
　　次形之己角之正?為丙辰
　　而甲乙弧之余?即乙己丁
　　次形之乙丁弧之正?為乙
　　子又乙丙弧之余?即乙己
　　丁次形之乙己弧之正?為
　　乙未而丙

　　辰癸勾股形與乙子未勾股
　　形為同式形故丙辰與丙癸
　　之比同于乙子與乙未之比
　　也此法用乙己丁次形有己
　　角乙丁邊及【甲丙余弧】丁直角
　　【甲乙余弧】求乙己邊即與有黃
　　【乙丙余弧】赤交角有距緯求黃
　　道之理同葢己角即如黃赤
　　交角己乙即如黃道己丁即
　　如赤道乙丁即如距緯其八
　　線所成之勾股皆由己角而
　　生故其相當(dāng)之比例皆同也
　　求黃道交極圈之乙角
　　則以甲乙弧四十五度為對
　　所知之邊其正?七百零七
　　萬一千零六十八為一率甲
　　丙弧四十二度三十甲丙余
　　弧甲乙余弧乙丙余弧
　　一分二十二秒為對所求之
　　邊其正?六百七十五萬八
　　千八百二十一為二率丙直
　　角九十度為所知之角其正
　　?即半徑一千萬為三率求
　　得四率九百五十五萬八千
　　四百一十六為乙角之正?
　　檢表得七十二度五十四分
　　三十四秒即黃道交極圈之
　　乙角度也如圖甲申為甲乙
　　弧之正?甲酉為甲丙弧之
　　正?戌癸為半徑戌亥為乙
　　角之正?甲酉申勾股形與
　　戌亥癸勾股形為同式形故
　　甲申與甲酉之比同于戌癸
　　與戌亥之比也此與有黃道
　　有距緯求

　　黃赤交角之理同葢乙角
　　即如黃赤交角甲乙為黃
　　道乙丙即如赤道甲丙即
　　如距緯其八線所成之勾
　　股皆由乙角而生故其相
　　當(dāng)之比例皆同也
　　設(shè)如黃道弧四十五度距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黃赤交角及赤道度并黃道交極圈角各防何【第五】
　　甲乙丙正弧三角形丙為
　　直角甲乙為黃道弧乙丙
　　為距緯弧求黃赤相交之
　　甲角則以甲乙弧四十五
　　度為對所知之邊其正?
　　七百零七萬一千零六十
　　八為一率乙丙弧一十六
　　度二十二分三十八秒為
　　對所求之邊其正?二百
　　八十一萬九千五百八十二
　　為二率丙直角九十度為所
　　知之角其正?即半徑一千
　　萬為三率求得四率三百九
　　十八萬七千四百九十一為
　　甲角之正?檢表得二十三
　　度三十分即黃赤相交之甲
　　角度也如圖乙卯為甲乙弧
　　之正?乙寅為乙丙弧之正
　　?丁癸為半徑丁子為甲角
　　之正?乙寅卯勾股形與丁
　　子癸勾股形為同式形故乙
　　卯與乙寅之比同于丁癸與
　　丁子之比也求甲丙赤道度
　　則用次形法以乙丙
　　弧一十六度二十二分三十
　　八秒之余?

　　九百五十九萬四千二百六
　　十七為一率甲乙弧四十五
　　度之余?七百零七萬一千
　　零六十八為二率半徑一千
　　萬為三率求得四率七百三
　　十七萬零一百一十三為甲
　　丙弧之余?檢表得四十二
　　度三十一分二十二秒即甲
　　丙赤道弧之度也如圖甲乙
　　丙正弧三角形之次形為乙
　　己丁葢乙丙弧之余?即乙
　　己丁次形之乙己弧之正?
　　為乙未而甲乙弧之余?即
　　乙己丁次形之乙丁弧之正
　　?為乙子又甲丙弧之余?
　　即乙己丁次形之己角之正
　　?為丙辰

　　而乙子未勾股形與丙辰
　　癸勾股形為同式形故乙
　　未與乙子之比同于丙癸
　　與丙辰之比也
　　求黃道交極圈之乙角則
　　與前第四問有黃道有赤
　　道求黃赤交角之理同葢
　　乙角即如黃赤交角甲乙
　　為黃道乙丙即如赤道其
　　勾股比例同也
　　設(shè)如赤道弧四十二度三十一分二十二秒距緯弧一十六度二十二分三十八秒求黃赤交角及黃道度并黃道交極圈角各防何【第六】
　　甲乙丙正弧三角形丙為
　　直角甲丙為赤道弧乙丙
　　為距緯弧求黃赤相交之
　　甲角則以甲丙弧四十二
　　度三十一分二十二秒之
　　正?六百七十五萬八千八
　　百二十一為一率乙丙弧一
　　十六度二十二分三十八秒
　　之正切二百九十三萬八千
　　八百一十九為二率半徑一
　　千萬為三率求得四率四百
　　三十四萬八千一百零九為
　　甲角之正切檢表得二十三
　　度三十分即黃赤相交之甲
　　角度也如圖丙己為甲丙弧
　　之正?辰丙為乙丙弧之正
　　切戊癸為半徑丑戊為甲角
　　之正切辰丙己勾股形與丑
　　戊癸勾股形為同式形故丙
　　己與辰丙之比同于戊癸與
　　丑戊之比也求甲乙黃道度
　　則用次形

　　法以半徑一千萬為一率甲
　　丙弧四十二度三十一分二
　　十二秒之余?七百三十七
　　萬零九十八為二率乙丙弧
　　一十六度二十二分三十八
　　秒之余?九百五十九萬四
　　千二百六十七為三率求得
　　四率七百零七萬一千零六
　　十八為甲乙弧之余?檢表
　　得四十五度即甲乙黃道弧
　　之度也如圖甲乙丙正弧三
　　角形之次形為乙己丁葢甲
　　丙弧之余?即乙己丁次形
　　之己角之正?為丙辰而乙
　　丙弧之余?即乙己丁次形
　　之乙己弧之正?為乙未又
　　甲乙弧之

　　余?即乙己丁次形之乙
　　丁弧之正?為乙子而丙
　　辰癸勾股形與乙子未勾
　　股形為同式形故丙癸與
　　丙辰之比同于乙未與乙
　　子之比也
　　求黃道交極圈之乙角則
　　與求黃赤交角之理同葢
　　乙角即如黃赤交角乙丙
　　即如赤道甲丙即如距緯
　　其勾股比例同也
　　設(shè)如黃赤交角二十三度三十分黃道交極圈角七十二度五十四分三十四秒求黃道度及赤道度并距緯度各防何【第七】
　　甲乙丙正弧三角形甲為
　　黃赤交角丙為直角乙為
　　黃道交極圈角求甲乙黃
　　道弧則用次形法以乙角
　　七十二度五十四分三十四
　　秒之正切三千二百五十二
　　萬四千六百八十三為一率
　　半徑一千萬為二率甲角二
　　十三度三十分之余切二千
　　二百九十九萬八千四百二
　　十五為三率求得四率七百
　　零七萬一千零六十八為甲
　　乙弧之余?檢表得四十五
　　度即甲乙黃道弧之度也如
　　圖甲乙丙正弧三角形之次
　　形為乙己丁葢乙角之正切
　　亦即乙己丁次形之乙角之
　　正切為寅壬而甲角之余切
　　即乙己丁次形之丁己弧之
　　正切為丑丁又甲乙弧之余
　　?即乙己

　　丁次形之丁乙弧之正?為
　　丁子而寅壬癸勾股形與丑
　　丁子勾股形為同式形故寅
　　壬與壬癸之比同于丑丁與
　　丁子之比也求甲丙赤
　　道弧亦用次形法以甲角二
　　十三度三十分之正?三百
　　九十八萬七千四百九十一
　　為一率乙角七十二度五十
　　四分三十四秒之余?二百
　　九十三萬八千八百二十為
　　二率半徑一千萬為三率求
　　得四率七百三十七萬零九
　　十八為甲丙弧之余?檢表
　　得四十二度三十一分二十
　　二秒即甲丙赤道弧之度也
　　如圖甲乙丙

　　正弧三角形之次形為己庚
　　辛葢甲角之正?亦即己庚
　　辛次形之庚己弧之正?為
　　庚己而乙角之余?即己庚
　　辛次形之庚辛弧之正?為
　　庚午又甲丙弧之余?即己
　　庚辛次形之己角之正?為
　　卯辰而庚午己勾股形與卯
　　辰癸勾股形為同式形故庚
　　己與庚午之比同于卯癸與
　　卯辰之比也求乙丙距緯弧
　　亦用次形法
　　以乙角七十二度五十四分
　　三十四秒之正?九百五十
　　五萬八千四百一十七為一
　　率半徑一千萬為二率甲角
　　二十三度三

　　十分之余?九百一十七萬
　　零六百零一為三率求得四
　　率九百五十九萬四千二百
　　六十七為乙丙弧之余?檢
　　表得一十六度二十二分三
　　十八秒即乙丙距緯弧之度
　　也如圖甲乙丙正弧三角形
　　之次形為乙己丁葢乙角之
　　正?亦即乙己丁次形之乙
　　角之正?為辛酉而甲角之
　　余?即乙己丁次形之己丁
　　弧之正?為巳申又乙丙弧
　　之余?即乙己丁次形之己
　　乙弧之正?為己未而辛酉
　　癸勾股形與巳申未勾股形
　　為同式形故辛酉與辛癸之
　　比同于巳

　　【象考成上編卷二】

　　申與巳未之比也御制厯
<子部,天文算法類,推步之屬,御制歷象考成>
　　欽定四庫全書
　　御制歴象考成上編卷三
　　弧三角形下
　　斜弧三角形論
　　斜弧三角形邊角比例法
　　斜弧三角形作垂弧法
　　斜弧三角形用總較法【次形法附】
　　斜弧三角形設(shè)例八則

　　斜弧三角形論
　　弧三角之有斜弧形猶直線三角之有銳鈍形也但直線三角之銳鈍形惟二種一種三角俱鋭一種一鈍兩銳而斜弧形則不然或三角俱銳或三角俱鈍或兩銳一鈍或兩鈍一銳其三邊或俱大過于九十度或俱小不及九十度或兩大一小或兩小一大參錯(cuò)成形為類甚多而新法算書所載推算之法抑復(fù)繁雜難稽葢三角三邊各有八線但線與線之比例相當(dāng)即可相求是故或同步一星或同推一數(shù)而所用之法彼此互異遂使學(xué)者莫知所從茲約以三法求之無論角之銳鈍邊之大小并視先所知之三件為斷其一先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角則用邊角比例法其一先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角【或求角而無對角之邊或求邊而無對邊之角】則用垂弧法其一先知之三件無相對之邊角【或三邊求角或有兩邊一角而角在所知兩邊之間或三角求邊或有兩角一邊而邊在所知兩角之間】則用總較法明此三法則斜弧之用已備而七政之升降出沒經(jīng)緯之縱橫交加無不可推測而知矣
　　斜弧三角形邊角比例法
　　凡斜弧三角形先知之三件有相對之邊角又有對所求之邊角者則用邊角比例法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙邊有乙丙邊而求丙角則乙丙為對所知之邊甲為所知之角甲乙為對所求之邊乃以對所知之乙丙邊正?與對所求之甲乙邊正?之比同于所知之甲角正?與所求之丙角正?之比也又如丁戊己斜弧三角形有丁角有己角有丁戊邊而求戊己邊則己角為對所知之角丁戊為所知之邊丁為對所求之角乃以對所知之己角正?與對所求之丁角正?之比同于所知之丁戊邊正?與所求之戊己邊正?之比也
　　斜弧三角形作垂弧法
　　凡斜弧三角形先知之三件有相對之邊角而無對所求之邊角者則用垂弧法如甲乙丙斜弧三角形有甲角有甲乙邊有乙丙邊而求乙角及甲丙邊乃自乙角作乙丁垂弧于形內(nèi)分為甲乙丁丙乙丁兩正弧三角形算之先用甲乙丁形求乙丁垂弧甲丁分邊及乙分角葢此形有甲角有甲乙邊有丁直角以丁角正?【即半徑】與甲角正?之比同于甲乙邊正?與乙丁垂弧正?之比而得乙丁垂弧以半徑與甲角余?之比同于甲乙邊正切與甲丁邊正切之比而得甲丁分邊以甲乙邊正?與甲丁邊正?之比同于丁角正?【即半徑】與乙分角正?之比而得乙分角次用丙乙丁形求乙分角及丁丙分邊葢此形有乙丙邊有乙丁垂弧有丁直角以乙丙邊正切與乙丁垂弧正切之比同于半徑與乙分角余?之比而得乙分角以丁角正?【即半徑】與乙分角正?之比同于乙丙邊正?與丁丙邊正?之比而得丁丙分邊既得兩分角并之即乙角得兩分邊并之即甲丙邊也又如戊己庚斜弧三角形有戊角有庚角有己庚邊而求戊庚邊及己角乃自己角作己辛垂弧于形外將戊庚弧引長至辛作戊己辛庚己辛兩正弧三角形算之先用庚己辛形求己辛垂弧庚辛虛邊及己虛角葢此形有庚外角有己庚邊有辛直角以辛角正?【即半徑】與庚角正?之比同于己庚邊正?與己辛垂弧正?之比而得己辛垂弧以半徑與庚角余?之比同于己庚邊正切與庚辛虛邊正切之比而得庚辛虛邊以己庚邊正?與庚辛邊正?之比同于辛角正?【即半徑】與己虛角正?之比而得己虛角次用戊己辛形求戊辛總邊及己總角葢此形有戊角有己辛垂弧有辛直角以戊角正切與半徑之比同于己辛垂弧正切與戊辛邊??之比而得戊辛總邊以己辛垂弧正?與戊辛邊正?之比同于戊角正?與己角??之比而得己總角既得戊辛總邊內(nèi)減去庚辛虛邊即戊庚邊得己總角內(nèi)減去己虛角即己角也
　　斜弧三角形用總較法
　　凡斜弧三角形知三邊求
　　角者則用總較法以角傍
　　之兩邊相加為總弧相減
　　為較弧各取其余?相加
　　減【總弧較弧俱不過象限或俱過象限則兩余?
　　相減若一過象限一不過象限則兩余?相加其或
　　過二象限者與過一象限同過三象限者與不過象
　　限同】折半為中數(shù)又以對邊
　　之矢與較弧之矢相減余
　　為矢較乃以中數(shù)與矢較
　　為比同于半徑與所求角
　　之正矢之比也如知兩邊
　　一角而角在兩邊之間者
　　以半徑與所知角之正矢
　　為比同于中數(shù)與矢較之
　　比既得矢較與較弧之矢
　　相加即得對邊之矢也如
　　甲乙丙斜弧三角形有三
　　邊求甲角則以甲角傍之
　　甲乙甲丙二邊相加得乙
　　丁【甲丙甲戊甲丁三弧同為丁戊距等圈所截故
　　其度相等】為總弧其正?為丁
　　己余?為己庚甲乙與甲
　　丙相減余乙戊為較弧其
　　正?為戊辛余?為辛庚
　　兩余?相加得己辛【乙丁總弧
　　過象限乙戊較弧不過象限其兩余?在圜心之兩
　　邊故相加】折半得辛壬與癸子
　　等為中數(shù)乙丙對邊與乙
　　丑等【乙丙與乙丑兩弧同為丑寅距等圈所截
　　故其度相等】其正?為丑卯余
　　?為卯庚正矢為乙卯以
　　乙卯與乙戊較弧之正矢
　　乙辛相減余辛卯與辰巳
　　等為矢較戊辰巳與戊癸
　　子為同式兩勾股形故癸
　　子與辰巳之比同于戊子
　　與戊巳之比也又午庚為
　　半徑戊子為距等圈之半
　　徑午未與戊己兩段同為
　　甲丙申大圈所分則戊子
　　與戊己之比原同于午庚
　　與午未之比是以中數(shù)癸
　　子與矢較辰巳之比即同
　　于半徑午庚與甲角正矢
　　午未之比也以午未與午
　　庚半徑相減余未庚為甲
　　角之余?檢表即得甲角
　　所當(dāng)午申弧之度也若先
　　有甲角及甲乙甲丙二邊
　　求乙丙對邊則以半徑午
　　庚與甲角正矢午未之比
　　即同于中數(shù)癸子與矢較
　　辰巳之比既得辰巳與辛
　　卯等與乙戊較弧之正矢
　　乙辛相加得乙卯為乙丙
　　對邊之正矢也如有甲乙
　　甲丙乙丙三邊求乙角則
　　以乙角傍甲乙乙丙二邊
　　相加得甲丁【乙丙乙丁乙戊三弧同為
　　戊丁距等圈所截故其度相等】為總弧其
　　正?為丁己余?為己庚
　　甲乙與乙丙相減余甲戊
　　為較弧其正?為戊辛余
　　?為辛庚兩余?相減余
　　辛己【甲丁總弧甲戊較弧皆不過象限其兩余
　　?同在圜心之一邊故相減】折半得辛
　　壬與癸子等為中數(shù)甲丙
　　對邊與甲丑等【甲丙與甲丑兩弧同
　　為寅丑距等圈所截故其度相等】其正?
　　為丑卯余?為卯庚正矢
　　為甲卯以甲卯與甲戊較
　　弧之正矢甲辛相減余辛
　　卯與辰巳等為矢較戊癸
　　子與戊辰巳為同式兩勾
　　股形故癸子與辰巳之比
　　同于戊子與戊巳之比也
　　又午庚為半徑戊子為距
　　等圈之半徑戊巳與午未
　　兩段同為乙丙申大圈所
　　分則戊子與戊巳之比原
　　同于午庚與午未之比是
　　以中數(shù)癸子與矢較辰巳
　　之比即同于半徑午庚與
　　乙角大矢午未之比也【凡鈍
　　角所用諸線皆與外角同惟矢則有正矢大矢之別
　　如庚未為乙銳角所當(dāng)申酉弧之余?亦為乙鈍角
　　所當(dāng)午申弧之余?檢表銳角即得本角度鈍角與
　　半周相減亦即得本角度而未酉為乙銳角之正矢
　　乃于酉庚半徑內(nèi)減庚未余?午未為乙鈍角之大
　　矢乃于午庚半徑加庚未余?也此正矢大矢之別
　　過弧亦然】于午未大矢內(nèi)減午
　　庚半徑余庚未為乙角之
　　余?檢表得乙外角度與
　　半周相減余即乙鈍角之
　　度也若先有乙鈍角及甲
　　乙乙丙二邊求甲丙對邊
　　則以半徑午庚與乙角大
　　矢午未之比即同于中數(shù)
　　癸子與矢較辰巳之比既
　　得辰巳與辛卯等與甲戊
　　較弧之正矢甲辛相加得
　　甲卯為甲丙對邊之正矢
　　也
　　斜弧三角形知三角求邊
　　者則用次形法如甲乙丙
　　形可易為丁戊己次形葢
　　甲角之度當(dāng)庚辛弧而庚
　　辛與己戊等【庚己與辛戊皆象限故庚
　　辛與己戊等】故本形之甲角即
　　次形之己戊邊乙外角之
　　度當(dāng)壬癸弧而壬癸與己
　　丁等【壬己與癸丁皆象限故壬癸與己丁等】故本形之乙外角即次形
　　之己丁邊丙角之度當(dāng)子
　　丑弧而子丑與戊丁等【子戊
　　與丑丁皆象限故子丑與戊丁等】故本形
　　之丙角即次形之戊丁邊
　　是本形之三角即次形之
　　三邊也又次形丁角之度
　　當(dāng)癸丑弧而癸丑與乙丙
　　等【丙丑與乙癸皆象限故癸丑與乙丙等】故
　　次形之丁角即本形之乙
　　丙邊戊外角之度當(dāng)辛子
　　弧而辛子與甲丙等【丙子與甲
　　辛皆象限故辛子與甲丙等】故次形之
　　戊外角即本形之甲丙邊
　　己角之度當(dāng)庚壬弧而庚
　　壬與甲乙等【乙壬與甲庚皆象限故庚
　　壬與甲乙等】故次形之己角即
　　本形之甲乙邊是本形之
　　三邊即次形之三角也故
　　用丁己戊次形仍用總較
　　法算之求得次形之三角
　　即得本形之三邊也如有
　　乙角丙角及乙丙邊而求
　　甲角亦用丁戊己次形有
　　己丁邊戊丁邊及丁角仍
　　用總較法算之求得己戊
　　邊即甲角也
　　設(shè)如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經(jīng)度偏西八十一度四十二分四十八秒求太陽距赤道緯度幾何
　　甲乙丙三角形甲為北極
　　乙為天頂丙為太陽乙丁
　　戊己為子午經(jīng)圏乙丙癸
　　戊為地平經(jīng)圏丁己為地
　　平庚辛為赤道庚壬為申
　　正初刻距午正赤道六十
　　度即甲角丙癸為太陽髙
　　三十二度【即地平緯度一名髙弧】與
　　乙癸象限相減余太陽距
　　天頂五十八度即乙丙邊
　　丁癸為地平經(jīng)度偏西八
　　十一度四十二分四十八
　　秒與丁己半周相減余癸
　　己九十八度一十七分一
　　十二秒即乙角丙壬為太
　　陽距赤道緯度與甲壬象
　　限相減余甲丙邊為太陽
　　距北極度故用甲乙丙三
　　角形有甲乙二角及乙丙
　　邊求甲丙邊以甲角六十
　　度為對所知之角其正?
　　八百六十六萬零二百五
　　十四為一率乙角九十八
　　度一十七分一十二秒為
　　對所求之角其正?九百
　　八十九萬五千五百九十
　　三為二率乙丙五十八度
　　為所知之邊其正?八百
　　四十八萬零四百八十一
　　為三率求得四率九百六
　　十九萬零一百七十六為
　　所求甲丙邊之正?檢表
　　得七十五度四十二分零
　　一秒即甲丙弧之度與九
　　十度相減余一十四度一
　　十七分五十九秒即太陽
　　距赤道北之緯度也此法
　　用邊角相比例與直線三
　　角形同但直線三角形以
　　角之正?與邊相比【見數(shù)理精
　　蘊(yùn)第十七卷】此以角之正?與
　　邊之正?相比其比例之
　　理一也又以正弧之理明
　　之試將甲乙弧引長至丁
　　自丙角作丙丁垂弧則成
　　甲丁丙乙丁丙兩正弧三
　　角形先求乙丁丙形丁角
　　正?【即半徑】為一率乙角正
　　?為二率乙丙正?為三
　　率丙丁正?為四率此第
　　一比例也次求甲丁丙形
　　甲角正?為一率丁角正
　　?【即半徑】為二率丙丁正?
　　為三率甲丙正?為四率
　　此第二比例也然第二比
　　例之二率三率即第一比
　　例之一率四率而二率三
　　率相乘與一率四率相乘
　　之?dāng)?shù)等故用第一比例之
　　二率三率而用第二比例
　　之一率即得第二比例之
　　四率此有對角求對邊之
　　法也
　　設(shè)如太陽距赤道北一十四度一十七分五十九秒測得髙弧三十二度地平經(jīng)度偏西八十一度四十二分四十八秒求系何時(shí)刻
　　甲乙丙三角形甲為北極
　　乙為天頂丙為太陽丙壬
　　為太陽距赤道北一十四
　　度一十七分五十九秒甲
　　丙即為太陽距北極七十
　　五度四十二分零一秒丙
　　癸為太陽髙三十二度乙
　　丙即為太陽距天頂五十
　　八度丁癸為地平經(jīng)度偏
　　西八十一度四十二分四
　　十八秒癸己為九十八度
　　一十七分一十二秒即乙
　　角庚壬為太陽距午正赤
　　道度即甲角故用甲乙丙
　　三角形有乙角及甲丙乙
　　丙二邊求甲角以甲丙七
　　十五度四十二分零一秒
　　為對所知之邊其正?九
　　百六十九萬零一百七十
　　六為一率乙丙五十八度
　　為對所求之邊其正?八
　　百四十八萬零四百八十
　　一為二率乙角九十八度
　　一十七分一十二秒為所
　　知之角其正?九百八十
　　九萬五千五百九十三為
　　三率求得四率八百六十
　　六萬零二百五十四為所
　　求甲角之正?檢表得六
　　十度即甲角度以六十度
　　變得二時(shí)從午正初刻后
　　計(jì)之【因偏西故為午正后】為申正初
　　刻也此有對邊求對角之
　　法也
　　設(shè)如北極出地四十度申正初刻測得太陽髙三十二度求太陽距赤道緯度及地平經(jīng)度各幾何
　　甲乙丙三角形甲為北極
　　乙為天頂丙為太陽甲己
　　為北極出地四十度甲乙
　　即為北極距天頂五十度
　　庚壬為申正初刻距午正
　　赤道六十度即甲角丙癸
　　為太陽髙三十二度乙丙
　　即為太陽距天頂五十八
　　度丙壬為太陽距赤道緯
　　度甲丙為其余丁癸為地
　　平經(jīng)度即乙角之外角【甲乙
　　丙形之乙角當(dāng)癸己弧其癸乙丁外角即當(dāng)丁癸弧】故用甲乙丙三角形有甲
　　角及甲乙乙丙二邊求甲
　　丙邊及乙角乃自乙角作
　　乙丁垂弧分為甲乙丁丙
　　乙丁兩正弧三角形先求
　　甲乙丁形以丁角正?即
　　半徑一千萬為一率甲角
　　六十度之正?八百六十
　　六萬零二百五十四為二
　　率甲乙五十度之正?七
　　百六十六萬零四百四十
　　四為三率求得四率六百
　　六十三萬四千一百三十
　　九為乙丁弧之正?檢表
　　得四十一度三十三分三
　　十九秒即乙丁弧之度也
　　【此即正弧三角形有黃赤交角有黃道求距緯之法
　　葢甲角即如黃赤交角甲乙即如黃道甲丁即如赤
　　道乙丁即如距緯】又以半徑一千
　　萬為一率甲角六十度之
　　余?五百萬為二率甲乙
　　五十度之正切一千一百
　　九十一萬七千五百三十
　　六為三率求得四率五百
　　九十五萬八千七百六十
　　八為甲丁弧之正切檢表
　　得三十度四十七分二十
　　三秒即甲丁弧之度也【此即
　　正弧三角形有黃赤交角有黃道求赤道之法】又
　　以甲乙五十度之正?七
　　百六十六萬零四百四十
　　四為一率甲丁三十度四
　　十七分二十三秒之正?
　　五百一十一萬八千八百
　　八十八為二率丁角正?
　　即半徑一千萬為三率求
　　得四率六百六十八萬二
　　千二百三十四為乙分角
　　之正?檢表得四十一度
　　五十五分四十八秒即乙
　　分角之度也【此即正弧三角形有黃道
　　有赤道求黃道交極圏角之法】次求乙丙
　　丁形以乙丁四十一度三
　　十三分三十九秒之余?
　　七百四十八萬二千五百
　　二十六為一率乙丙五十
　　八度之余?五百二十九
　　萬九千一百九十三為二
　　率半徑一千萬為三率求
　　得四率七百零八萬二千
　　零九十一為丙丁弧之余
　　?檢表得四十四度五十
　　四分三十八秒即丙丁弧
　　之度也【此即正弧三角形有黃道有距緯求
　　赤道之法葢丙角即如黃赤交角乙丙即如黃道丙
　　丁即如赤道乙丁即如距緯】又以乙丙
　　五十八度之正?八百四
　　十八萬零四百八十一為
　　一率丙丁四十四度五十
　　四分三十八秒之正?七
　　百零六萬零二十七為二
　　率丁角正?即半徑一千
　　萬為三率求得四率八百
　　三十二萬五千零三十為
　　乙分角之正?檢表得五
　　十六度二十一分二十四
　　秒即乙分角之度也【此即正弧
　　三角形有黃道有距緯求黃赤交角之法葢乙分角
　　即如黃赤交角乙丙即如黃道乙丁即如赤道丙丁
　　即如距緯】乃以甲丁丙丁相并
　　得甲丙七十五度四十二
　　分零一秒即太陽距北極
　　度與九十度相減余一十
　　四度一十七分五十九秒
　　即太陽距赤道北之緯度
　　【如甲丙大于九十度則減去九十度余為太陽距赤】
　　【道南之緯度】以兩乙分角相并
　　得九十八度一十七分一
　　十二秒與一百八十度相
　　減余八十一度四十二分
　　四十八秒即太陽距午正
　　偏西之地平經(jīng)度也此作
　　垂弧于形內(nèi)之法也
　　設(shè)如申正初刻測得太陽髙三十二度地平經(jīng)度偏西八十一度四十二分四十八秒求北極出地度幾何
　　甲乙丙三角形甲為北極
　　乙為天頂丙為太陽丙癸
　　為太陽髙三十二度乙丙
　　即為太陽距天頂五十八
　　度庚壬為申正初刻距午
　　正赤道六十度即甲角丁
　　癸為地平經(jīng)度偏西八十
　　一度四十二分四十八秒
　　即乙角之外角甲己為北
　　極出地度甲乙為其余故
　　用甲乙丙三角形有甲乙
　　二角及乙丙邊求甲乙邊
　　乃自丙角作丙丁垂弧補(bǔ)
　　成甲丙丁乙丙丁兩正弧
　　三角形先求乙丙丁形以
　　丁角正?即半徑一千萬
　　為一率乙角九十八度一
　　十七分一十二秒之正?
　　九百八十九萬五千五百
　　九十三為二率乙丙五十
　　八度之正?八百四十八
　　萬零四百八十一為三率
　　求得四率八百三十九萬
　　一千九百三十九為丙丁
　　弧之正?檢表得五十七
　　度零三分一十八秒即丙
　　丁弧之度也【此即正弧三角形有黃赤
　　交角有黃道求距緯之法葢乙角即如黃赤交角乙
　　丙即如黃道乙丁即如赤道丙丁即如距緯】又
　　以半徑一千萬為一率乙
　　角九十八度一十七分一
　　十二秒之余?一百四十
　　四萬一千二百六十為二
　　率乙丙五十八度之正切
　　一千六百萬零三千三百
　　四十五為三率求得四率
　　二百三十萬六千四百九
　　十八為乙丁弧之正切檢
　　表得一十二度五十九分
　　一十七秒即乙丁弧之度
　　也【此即正弧三角形有黃赤交角有黃道求赤道
　　之法】次求甲丙丁形以甲角
　　六十度之正切一千七百
　　三十二萬零五百零八為
　　一率半徑一千萬為二率
　　丙丁五十七度零三分一
　　十八秒之正切一千五百
　　四十三萬一千零五十九
　　為三率求得四率八百九
　　十萬九千一百二十六為
　　甲丁弧之正?檢表得六
　　十二度五十九分一十七
　　秒即甲丁弧之度也【此即正弧
　　三角形有黃赤交角有距緯求赤道之法葢甲角即
　　如黃赤交角甲丙即如黃道甲丁即如赤道丙丁即
　　如距緯】乃以甲丁與乙丁相
　　減余甲乙五十度即北極
　　距天頂又與九十度相減
　　余四十度即北極出地度
　　也【若求丙角則求得丙總角與丙虛角相減即得】此作垂弧于形外之法也
　　設(shè)如大角星黃道緯北三十一度零三分赤道緯北二十度五十八分四十七秒黃極赤極【即北極】相距二十三度三十分求黃道經(jīng)度赤道經(jīng)度各幾何
　　甲乙丙三角形甲為赤極
　　【即北極】乙為黃極甲乙相距
　　二十三度三十分丙為大
　　角星丁戊為黃道己庚為
　　赤道丙辛為黃道緯北三
　　十一度零三分乙丙即為
　　星距黃極五十八度五十
　　七分丙壬為赤道緯北二
　　十度五十八分四十七秒
　　甲丙即為星距赤極六十
　　九度零一分一十三秒丁
　　辛為星距夏至后黃道經(jīng)
　　度即乙角己壬為星距夏
　　至后赤道經(jīng)度即甲角之
　　外角故用甲乙丙三角形
　　有甲乙甲丙乙丙三邊求
　　甲乙二角先求乙角則以
　　夾乙角之甲乙邊二十三
　　度三十分與乙丙邊五十
　　八度五十七分相加得八
　　十二度二十七分為總弧
　　其余?一百三十一萬三
　　千九百一十三又以甲乙
　　乙丙兩邊相減余三十五
　　度二十七分為較弧其余
　　?八百一十四萬六千二
　　百二十兩余?相減【總弧較弧
　　俱不過象限或俱過象限則兩余?相減若一過象
　　限一不過象限則兩余?相加其或過二象限者與
　　過一象限同過三象限者與不過象限同】余六
　　百八十三萬二千三百零
　　七折半得三百四十一萬
　　六千一百五十四為中數(shù)
　　為一率以對乙角之甲丙
　　邊六十九度零一分一十
　　三秒之正矢六百四十一
　　萬九千六百二十五【余?與半
　　徑相減得矢度】與較弧三十五度
　　二十七分之正矢一百八
　　十五萬三千七百八十相
　　減余四百五十六萬五千
　　八百四十五為矢較為二
　　率半徑一千萬為三率求
　　得四率一千三百三十六
　　萬五千四百五十四為乙
　　角之大矢【凡矢度過于半徑者為大矢其
　　角即為鈍角】內(nèi)減半徑一千萬
　　余三百三十六萬五千四
　　百五十四為乙角之余?
　　檢表得七十度二十分與
　　半周相減余一百零九度
　　四十分為乙角度即星距
　　夏至后黃道經(jīng)度自夏至
　　未宮初度逆計(jì)之為卯宮
　　一十九度四十分也如圖
　　甲乙與乙丙相加得甲癸
　　為總弧【乙丙乙癸乙子三弧同為癸子距等
　　圈所截故其度相等】其正?為癸丑
　　余?為丑寅甲乙與乙丙
　　相減余甲子為較弧其正
　　?為子卯余?為卯寅以
　　丑寅與卯寅兩余?相減
　　余卯丑折半得卯辰與巳
　　午等為中數(shù)又對乙角之
　　甲丙邊與甲未等其正?
　　為未申余?為申寅正矢
　　為甲申以甲申與甲子較
　　弧之正矢甲卯相減余卯
　　申與酉戌等為矢較遂成
　　子酉戌與子巳午同式兩
　　勾股形故巳午與酉戌之
　　比必同于子午與子戌之
　　比也又丁寅為半徑子午
　　為距等圈之半徑子戌與
　　丁亥兩段同為乙丙辛黃
　　道經(jīng)圈之所分則子午與
　　子戌之比原同于丁寅與
　　丁亥之比是以中數(shù)己午
　　與矢較酉戌之比即同于
　　半徑丁寅與乙角大矢丁
　　亥之比也既得丁亥大矢
　　內(nèi)減丁寅半徑余寅亥即
　　乙外角之余?檢表得乙
　　外角所當(dāng)辛戊弧之度復(fù)
　　與半周相減即得乙角所
　　當(dāng)丁辛弧之度也既得乙
　　角則以對邊對角之法求
　　之即得甲角度矣
　　如先求甲角則以夾甲角
　　之甲乙邊二十三度三十
　　分與甲丙邊六十九度零
　　一分一十三秒相加得九
　　十二度三十一分一十三
　　秒為總弧其余?四十三
　　萬九千七百二十九又以
　　甲乙甲丙兩邊相減余四
　　十五度三十一分一十三
　　秒為較弧其余?七百萬
　　零六千五百六十八兩余
　　?相加【總弧過象限較弧不過象限故兩余
　　?相加】得七百四十四萬六
　　千二百九十七折半得三
　　百七十二萬三千一百四
　　十八為中數(shù)為一率以對
　　甲角之乙丙邊五十八度
　　五十七分之正矢四百八
　　十四萬二千一百四十一
　　與較弧四十五度三十一
　　分一十三秒之正矢二百
　　九十九萬三千四百三十
　　二相減余一百八十四萬
　　八千七百零九為矢較為
　　二率半徑一千萬為三率
　　求得四率四百九十六萬
　　五千四百四十五為甲角
　　之正矢與半徑一千萬相
　　減余五百零三萬四千五
　　百五十五為甲角之余?
　　檢表得五十九度四十六
　　分一十六秒即甲角度與
　　半周相減余一百二十度
　　一十三分四十四秒即星
　　距夏至后赤道經(jīng)度自夏
　　至未宮初度逆計(jì)之為卯
　　宮初度一十三分四十四
　　秒也如圖甲乙與甲丙相
　　加得乙癸為總弧其正?
　　為癸子余?為子丑甲乙
　　與甲丙相減余乙寅為較
　　弧其正?為寅卯余?為
　　卯丑兩余?相加得卯子
　　【因兩余?在圜心之兩邊故相加】折半得
　　卯辰與巳午等為中數(shù)又
　　對甲角之乙丙邊與乙未
　　等其正?為未申余?為
　　申丑正矢為乙申以乙申
　　與乙寅較弧之正矢乙卯
　　相減余卯申與酉戌等為
　　矢較遂成寅巳午與寅酉
　　戌同式兩勾股形故巳午
　　與酉戌之比同于寅午與
　　寅戌之比又庚丑為半徑
　　寅午為距等圈之半徑寅
　　戌與庚亥兩段同為甲丙
　　壬赤道經(jīng)圈之所分則寅
　　午與寅戌之比原同于庚
　　丑與庚亥之比是以巳午
　　中數(shù)與矢較酉戌之比即
　　同于半徑庚丑與甲角正
　　矢庚亥之比也既得庚亥
　　正矢與庚丑半徑相減余
　　亥丑即甲角之余?檢表
　　即得甲角所當(dāng)庚壬弧之
　　度也既得甲角則以對邊
　　對角之法求之亦即得乙
　　角度矣此三邊求角之法
　　也
　　設(shè)如大角星黃道經(jīng)度距夏至一百零九度四十分赤道經(jīng)度距夏至一百二十度一十三分四十四秒黃赤兩過極經(jīng)圈交角二十三度四十二分四十五秒求黃道緯度赤道緯度各幾何
　　甲乙丙三角形甲為赤極
　　【即北極】乙為黃極甲乙為兩
　　極距度丙為大角星丁戊
　　為黃道己庚為赤道丁辛
　　為黃道經(jīng)度距夏至一百
　　零九度四十分即乙角己
　　壬為赤道經(jīng)度距夏至一
　　百二十度一十三分四十
　　四秒即甲角之外角丙角
　　為甲壬乙辛兩經(jīng)圏交角
　　二十三度四十二分四十
　　五秒丙辛為黃道北緯度
　　乙丙為其余丙壬為赤道
　　北緯度甲丙為其余故用
　　甲乙丙三角形有甲乙丙
　　三角求乙丙甲丙二邊乃
　　用次形法先求乙丙邊將
　　甲乙丙形易為癸子丑次
　　形葢本形之甲角即次形
　　之子丑邊【甲角當(dāng)庚壬弧與子丑等】本
　　形乙角之外角即次形之
　　癸丑邊【乙角之外角當(dāng)戊辛弧與癸丑等】本形之丙角即次形之癸
　　子邊【丙角當(dāng)寅卯弧與癸子等】本形之
　　甲乙邊即次形之丑角【丁己
　　弧與甲乙等即丑角度】本形之乙丙
　　邊即次形之癸角【辛寅弧與乙丙
　　等即癸角度】本形之甲丙邊即
　　次形子角之外角【壬卯弧與甲丙
　　等即子銳角度為癸子丑形子鈍角之外角】故
　　用癸子丑三角形有三邊
　　求癸角【即乙丙邊】以夾癸角之
　　癸子邊【即丙角】二十三度四
　　十二分四十五秒與癸丑
　　邊【即乙外角】七十度二十分相
　　加得九十四度零二分四
　　十五秒為總弧其余?七
　　十萬五千五百四十四又
　　以癸子癸丑兩邊相減余
　　四十六度三十七分一十
　　五秒為較弧其余?六百
　　八十六萬八千二百三十
　　二兩余?相加【總弧過象限較弧不
　　過象限故兩余?相加】得七百五十
　　七萬三千七百七十六折
　　半得三百七十八萬六千
　　八百八十八為中數(shù)為一
　　率以對癸角之子丑邊【即甲
　　角】五十九度四十六分一
　　十六秒之正矢四百九十
　　六萬五千四百四十五與
　　較弧四十六度三十七分
　　一十五秒之正矢三百一
　　十三萬一千七百六十八
　　相減余一百八十三萬三
　　千六百七十七為矢較為
　　二率半徑一千萬為三率
　　求得四率四百八十四萬
　　二千一百七十四為癸角
　　之正矢與半徑一千萬相
　　減余五百一十五萬七千
　　八百二十六為癸角之余
　　?檢表得五十八度五十
　　七分即癸角度亦即乙丙
　　邊度與象限相減余三十
　　一度零三分即黃道北之
　　緯度也既得乙丙邊則以
　　對邊對角之法求之即得
　　甲丙邊矣
　　如先求甲丙邊則用癸子
　　丑次形求子角【子角之外角當(dāng)壬卯
　　弧與甲丙等】以夾子角之子丑
　　邊【即甲角】五十九度四十六
　　分一十六秒與癸子邊【即丙
　　角】二十三度四十二分四
　　十五秒相加得八十三度
　　二十九分零一秒為總弧
　　其余?一百一十三萬四
　　千八百七十四又以子丑
　　癸子兩邊相減余三十六
　　度零三分三十一秒為較
　　弧其余?八百零八萬四
　　千一百五十二兩余?相
　　減【總弧較弧俱不過象限故兩余?相減】余
　　六百九十四萬九千二百
　　七十八折半得三百四十
　　七萬四千六百三十九為
　　中數(shù)為一率以對子角之
　　癸丑邊【即乙外角】七十度二十
　　分之正矢六百六十三萬
　　四千五百二十五與較弧
　　三十六度零三分三十一
　　秒之正矢一百九十一萬
　　五千八百四十八相減余
　　四百七十一萬八千六百
　　七十七為矢較為二率半
　　徑一千萬為三率求得四
　　率一千三百五十八萬零
　　三百三十七為子角之大
　　矢內(nèi)減半徑一千萬余三
　　百五十八萬零三百三十
　　七為子角之余?檢表得
　　六十九度零一分一十三
　　秒即子角之外角度亦即
　　甲丙邊度與象限相減余
　　二十度五十八分四十七
　　秒即赤道北之緯度也既
　　得甲丙邊則以對邊對角
　　之法求之亦即得乙丙邊
　　矣此三角求邊之法也
　　設(shè)如土星黃道經(jīng)度卯宮二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分黃道南緯度二度三十七分黃極赤極相距二十三度三十分求赤道經(jīng)度緯度各幾何
　　甲乙丙三角形甲為赤極
　　【即北極】乙為黃極甲乙相距
　　二十三度三十分丙為土
　　星丁戊為赤道己庚為黃
　　道己辛為黃道經(jīng)度距夏
　　至一百二十二度二十九
　　分即乙角丙辛為黃道南
　　緯度二度三十七分乙丙
　　為星距黃極九十二度三
　　十七分丙壬為赤道南緯
　　度甲丙即星距北極度丁
　　壬為距夏至赤道經(jīng)度即
　　甲角之外角故用甲乙丙
　　三角形有乙角及甲乙乙
　　丙二邊求甲丙邊及甲角
　　先求甲丙邊以半徑一千
　　萬為一率乙角一百二十
　　二度二十九分之大矢一
　　千五百三十七萬零五百
　　四十二為二率以夾乙角
　　之甲乙邊二十三度三十
　　分與乙丙邊九十二度三
　　十七分相加得一百一十
　　六度零七分為總弧其余
　　?四百四十萬二千零四
　　又以甲乙乙丙兩邊相減
　　余六十九度零七分為較
　　弧其余?三百五十六萬
　　四千六百六十二兩余?
　　相加【總弧過象限較弧不過象限故兩余?相
　　加】得七百九十六萬六千
　　六百六十六折半得三百
　　九十八萬三千三百三十
　　三為中數(shù)為三率求得四
　　率六百一十二萬二千五
　　百九十九為矢較與較弧
　　六十九度零七分之正矢
　　六百四十三萬五千三百
　　三十八相加得一千二百
　　五十五萬七千九百三十
　　七為甲丙對邊之大矢【凡矢
　　度過于半徑者為大矢其弧即為過弧】內(nèi)減
　　半徑一千萬余二百五十
　　五萬七千九百三十七為
　　甲丙邊之余?檢表得七
　　十五度一十分四十六秒
　　與半周相減余一百零四
　　度四十九分一十四秒即
　　甲丙邊之度內(nèi)減九十度
　　余一十四度四十九分一
　　十四秒為赤道南之緯度
　　也如圖己癸為半徑己子
　　為甲角之大矢甲乙與乙
　　丙相加【乙丙與乙丑乙卯皆相等】得甲
　　丑為總弧其正?為丑寅
　　余?為寅癸甲乙與乙丙
　　相減余甲卯為較弧其正
　　?為卯辰余?為辰癸兩
　　余?相加得辰寅折半得
　　辰巳與午未等為中數(shù)又
　　對乙角之甲丙邊與甲申
　　等其正?為申酉余?為
　　酉癸大矢為甲酉以甲酉
　　與甲卯較弧之正矢甲辰
　　相減余辰酉與戌亥等為
　　矢較遂成卯午未與卯戌
　　亥同式兩勾股形而卯未
　　與卯亥之比同于午未與
　　戌亥之比又卯未為丑卯
　　距等圈之半徑卯亥與巳
　　子兩段同為乙辛丙黃道
　　經(jīng)圈之所分則卯未與卯
　　亥之比原同于己癸與己
　　子之比是以半徑己癸與
　　乙角大矢己子之比即同
　　于中數(shù)午未與矢較戌亥
　　之比也既得戌亥矢較與
　　甲卯較弧之正矢甲辰相
　　加得甲酉即為甲丙弧之
　　大矢內(nèi)減甲癸半徑余酉
　　癸為甲丙弧之余?亦即
　　丙干弧之余?檢表得丙
　　干弧之度故與半周相減
　　始為甲丙弧之度也次求
　　甲角則以甲丙弧一百零
　　四度四十九分一十四秒
　　之正?九百六十六萬七
　　千三百一十六為一率乙
　　丙弧九十二度三十七分
　　之正?九百九十八萬九
　　千五百七十三為二率乙
　　角一百二十二度二十九
　　分之正?八百四十三萬
　　五千四百七十七為三率
　　求得四率八百七十一萬
　　六千六百七十一為甲角
　　之正?檢表得六十度三
　　十九分一十秒即甲角之
　　度與半周相減余一百一
　　十九度二十分五十秒即
　　星距夏至赤道經(jīng)度自夏
　　至未宮初度逆計(jì)之為辰
　　宮二十九度二十分五十
　　秒也
　　又法將乙丙弧引長至丁
　　自甲作甲丁垂弧補(bǔ)成甲
　　丁乙甲丁丙兩正弧三角
　　形先求甲丁乙形以丁角
　　正?即半徑一千萬為一
　　率乙外角五十七度三十
　　一分之正?八百四十三
　　萬五千四百七十七為二
　　率甲乙弧二十三度三十
　　分之正?三百九十八萬
　　七千四百九十一為三率
　　求得四率三百三十六萬
　　三千六百三十八為甲丁
　　弧之正?檢表得一十九
　　度三十九分二十秒即甲
　　丁弧之度也【此即正弧三角形有黃赤
　　交角有黃道求距緯之法】又以半徑一
　　千萬為一率乙外角五十
　　七度三十一分之余?五
　　百三十七萬零五百四十
　　二為二率甲乙二十三度
　　三十分之正切四百三十
　　四萬八千一百二十四為
　　三率求得四率二百三十
　　三萬五千一百七十八為
　　乙丁弧之正切檢表得一
　　十三度零八分三十八秒
　　即乙丁弧之度也【此即正弧三角
　　形有黃赤交角有黃道求赤道之法】次求甲
　　丁丙形以半徑一千萬為
　　一率乙丙弧九十二度三
　　十七分與乙丁弧一十三
　　度零八分三十八秒相加
　　得丙丁弧一百零五度四
　　十五分三十八秒其余?
　　二百七十一萬六千一百
　　七十八為二率甲丁弧一
　　十九度三十九分二十秒
　　之余?九百四十一萬七
　　千三百一十八為三率求
　　得四率二百五十五萬七
　　千九百一十一為甲丙弧
　　之余?檢表得七十五度
　　一十分四十六秒與半周
　　相減余一百零四度四十
　　九分一十四秒即甲丙邊
　　之度也【此即正弧三角形有赤道有距緯求
　　黃道之法】既得甲丙邊則以對
　　邊對角之法求之即得甲
　　角矣此兩邊夾一角之法
　　也
　　設(shè)如土星黃道經(jīng)度卯宮二度二十九分距夏至一百二十二度二十九分赤道經(jīng)度辰宮二十九度二十分五十秒距夏至一百一十九度二十分五十秒黃極赤極相距二十三度三十分求黃道緯度赤道緯度各幾何
　　甲乙丙三角形甲為赤極
　　【即北極】乙為黃極甲乙相距
　　二十三度三十分丙為土
　　星丁戊為赤道己庚為黃
　　道己辛為黃道經(jīng)度距夏
　　至一百二十二度二十九
　　分即乙角丁壬為赤道經(jīng)
　　度距夏至一百一十九度
　　二十分五十秒即甲角之
　　外角丙辛為黃道南緯度
　　乙丙為星距黃極度丙壬
　　為赤道南緯度甲丙為星
　　距赤極度故用甲乙丙三
　　角形有甲乙二角及甲乙
　　邊求甲丙乙丙二邊乃用
　　次形法先求丙角將甲乙
　　丙形易為癸子丑次形葢
　　本形之甲角即次形之子
　　丑邊【甲角當(dāng)壬戊弧與子丑等】本形乙
　　角之外角即次形之癸丑
　　邊【乙外角當(dāng)辛庚弧與癸丑等】本形之
　　丙角即次形之癸子邊【丙角
　　當(dāng)寅卯弧與癸子等】本形之甲乙邊
　　即次形之丑角【丁己與甲乙等即丑
　　角度】本形之乙丙邊與半周
　　相減之余度即次形癸角
　　之外角【乙丙邊與半周相減余丙辰與卯辛
　　等即辛癸卯角為癸子丑形癸角之外角葢卯丙與
　　辛辰皆象限各減辛丙故卯辛與丙辰等】本形
　　之甲丙邊與半周相減之
　　余度即次形之子角【甲丙邊與】
　　【半周相減余丙巳與寅壬等即子角度葢寅丙與壬
　　巳皆象限各減壬丙故壬寅與丙巳等】故用
　　癸子丑三角形有丑角及
　　癸丑子丑二邊求癸子邊
　　【即丙角】以半徑一千萬為一
　　率丑角二十三度三十分
　　之正矢八十二萬九千三
　　百九十九為二率以癸丑
　　邊【即乙外角】五十七度三十一
　　分與子丑邊【即甲角】六十度
　　三十九分一十秒相加得
　　一百一十八度一十分一
　　十秒為總弧其余?四百
　　七十二萬零八百零七又
　　以癸丑子丑兩邊相減余
　　三度零八分一十秒為較
　　弧其余?九百九十八萬
　　五千零二十四兩余?相
　　加得一千四百七十萬五
　　千八百三十一折半得七
　　百三十五萬二千九百一
　　十五為中數(shù)為三率求得
　　四率六十萬九千八百五
　　十為矢較與較弧三度零
　　八分一十秒之正矢一萬
　　四千九百七十六相加得
　　六十二萬四千八百二十
　　六為癸子對邊之正矢與
　　半徑一千萬相減余九百
　　三十七萬五千一百七十
　　四為癸子對邊之余?檢
　　表得二十度二十一分四
　　十一秒為癸子邊之度亦
　　即丙角度也次求乙丙邊
　　則以丙角之正?三百四
　　十七萬九千三百八十七
　　為一率甲角六十度三十
　　九分一十秒之正?八百
　　七十一萬六千六百五十
　　七為二率甲乙邊二十三
　　度三十分之正?三百九
　　十八萬七千四百九十一
　　為三率求得四率九百九
　　十八萬九千五百七十三
　　為乙丙邊之正?檢表得
　　八十七度二十三分與半
　　周相減余九十二度三十
　　七分即乙丙邊之度內(nèi)減
　　九十度余二度三十七分
　　即星距黃道南之緯度也
　　次求甲丙邊以丙角之正
　　?三百四十七萬九千三
　　百八十七為一率乙角一
　　百二十二度二十九分之
　　正?八百四十三萬五千
　　四百七十七為二率仍以
　　甲乙邊之正?三百九十
　　八萬七千四百九十一為
　　三率求得四率九百六十
　　六萬七千三百三十一為
　　甲丙邊之正?檢表得七
　　十五度一十分四十六秒
　　與半周相減余一百零四
　　度四十九分一十四秒即
　　甲丙邊之度內(nèi)減九十度
　　余一十四度四十九分一
　　十四秒即星距赤道南之
　　緯度也
　　又法將乙丙弧引長至丁
　　自甲作甲丁垂弧補(bǔ)成甲
　　丁乙甲丁丙兩正弧三角
　　形先求甲丁乙形以丁角
　　正?即半徑一千萬為一
　　率乙外角五十七度三十
　　一分之正?八百四十三
　　萬五千四百七十七為二
　　率甲乙弧二十三度三十
　　分之正?三百九十八萬
　　七千四百九十一為三率
　　求得四率三百三十六萬
　　三千六百三十八為甲丁
　　弧之正?檢表得一十九
　　度三十九分二十秒即甲
　　丁弧之度也【此即正弧三角形有黃赤
　　交角有黃道求距緯之法】又以甲乙弧
　　二十三度三十分之正切
　　四百三十四萬八千一百
　　二十四為一率甲丁弧一
　　十九度三十九分二十秒
　　之正切三百五十七萬一
　　千七百五十二為二率半
　　徑一千萬為三率求得四
　　率八百二十一萬四千四
　　百六十七為甲虛角之余
　　?檢表得三十四度四十
　　六分一十二秒即甲虛角
　　之度也【此即正弧三角形有黃道有赤道求
　　黃赤交角之法】次求甲丁丙形以
　　丙甲乙角六十度三十九
　　分一十秒與甲虛角三十
　　四度四十六分一十二秒
　　相加得九十五度二十五
　　分二十二秒為丙甲丁角
　　乃以其余?九十四萬五
　　千零六十四為一率半徑
　　一千萬為二率甲丁弧一
　　十九度三十九分二十秒
　　之正切三百五十七萬一
　　千七百五十二為三率求
　　得四率三千七百七十九
　　萬三千七百五十七為甲
　　丙弧之正切檢表得七十
　　五度一十分四十六秒與
　　半周相減余一百零四度
　　四十九分一十四秒即甲
　　丙邊之度也【此即正弧三角形有黃赤
　　交角有赤道求黃道之法】既得甲丙邊
　　則以對邊對角之法求之
　　即得乙丙邊矣此兩角夾
　　一邊之法也

　　御制象考成上編卷三
<子部,天文算法類,推步之屬,御制歷象考成>
　　欽定四庫全書
　　御制歴象考成上編卷四
　　日躔歴理
　　南北眞線
　　北極髙度
　　地半徑差
　　黃赤距緯
　　清?氣差
　　測歲實(shí)以定平行
　　本天髙卑為盈縮之原
　　求兩心差及最髙
　　最髙行及本輪均輪半徑
　　求盈縮差
　　時(shí)差【原名日差】
　　曚影刻分
　　晝夜永短
　　節(jié)氣時(shí)刻

　　南北眞線
　　辨方定位厯象首務(wù)蓋必先定南北然后可以候中星歩日躔然南北之大勢雖若昜知而立線定向必豪厘不失乃得其眞即用指南針亦有所偏向不可為準(zhǔn)其所偏向又隨地不同故欲得南北之眞線者必以測量星日為主
　　法于春秋分日植表于案
　　令極平取日影自午前至
　　午后視表末影所至隨作
　　防為識次聯(lián)諸防成一直
　　線即東西線取東西線之
　　正中作垂線即南北線也
　　或不拘何日植表取影自
　　午前至午后視表末影所
　　至隨作防為識次取與表
　　心最近之一防為午正表
　　影乃太陽出地平最髙之
　　度依此防向表心作直線
　　即南北線也
　　又法用方案令極平作圜
　　數(shù)層植表于圜心以取日
　　影凡影圜上者皆作防識
　　之乃視午前午后兩防同
　　在一圜上者作直線聯(lián)
　　之即東西線取東西線之
　　正中向圜心作垂線即南
　　北線也
　　又法植表取日影別用儀
　　噐測得午前日軌髙度作
　　防于影末又測得午后日
　　軌髙度與午前等亦作防
　　于影末乃以兩防作直線
　　聯(lián)之即東西線取東西線
　　之正中向表作垂線即南
　　北線也
　　又法于冬至日前后用儀
　　噐測勾陳第五星初昏時(shí)
　　此星在北極之西候其漸
　　轉(zhuǎn)而西至不復(fù)西而止至
　　五更后此星在北極之東
　　候其漸轉(zhuǎn)而東至不復(fù)東
　　而止兩表視線之正中即
　　南北線也葢勾陳第五星
　　冬至日酉時(shí)在極西卯時(shí)
　　在極東他星則離極右逺
　　故止取此星可以得東西
　　之準(zhǔn)他時(shí)非不可測但或
　　日永夜短卯酉二時(shí)星不
　　可見故必于冬至日前后
　　測之也
　　又法取恒星之大者用兩
　　儀噐測之一測其髙度一
　　測其地平經(jīng)度視此星在
　　東時(shí)測其髙度若干隨測
　　其地平經(jīng)度俟此星轉(zhuǎn)而
　　西測其髙度與在東時(shí)等
　　者復(fù)測其地平經(jīng)度此兩
　　經(jīng)度之正中即南北線此
　　法與前同然不拘冬至他
　　日皆可用較前法為簡便
　　也

　　北極髙度
　　北極為天之樞紐居其所而不移其出地有髙下者因人所居之地南北之不同也是故寒暑之進(jìn)退晝夜之永短因之而各異焉蓋厯法以日躔出入赤道之度定諸節(jié)氣而北極出地之度即赤道距天頂之度倘推測不精髙度差至一分則春秋分必差一時(shí)而冬夏至必差一二日日躔既差則月離五星之經(jīng)緯無不謬矣故測北極出地之髙下最宜精宻不容或略也授時(shí)厯測得京師北極出地四十度七十五分以周天三百六十度每度六十分約之為四十度零九分五十一秒新法算書京師北極出地三十九度五十五分今測得暢春園北極出地三十九度五十九分三十秒
　　法于冬至日前后用儀器
　　測勾陳大星出地之度酉
　　時(shí)此星在北極之上候其
　　漸轉(zhuǎn)而髙至不復(fù)髙而止
　　為最髙之度卯時(shí)此星在
　　北極之下候其漸轉(zhuǎn)而低
　　至不復(fù)低而止為最低之
　　度乃以所測最高最低之
　　度折中取之即北極出地
　　之度也蓋北極無星其髙
　　低不可得而見故取星之
　　環(huán)繞北極上下者測之惟
　　勾陳大星冬至酉時(shí)在最
　　髙卯時(shí)在最低可以得髙
　　低之準(zhǔn)也
　　又法取恒星之大者測其
　　最髙為若干度若此星為
　　赤道以南之星則以其距
　　赤道之緯與其髙相加得
　　若干即赤道之髙度若此
　　星為赤道以北之星則以
　　其距赤道之緯與其髙相
　　減得若干即赤道之髙度
　　既得赤道之髙與一象限
　　九十度相減余若干即北
　　極出地之度也此法較之
　　前法為少煩蓋因赤道南
　　北之星距赤道之緯俱系
　　測得北極之髙度而后可
　　得而恒星有歲差其緯度
　　亦有増損然存此法與前
　　法參互考騐可也

　　地半徑差
　　凡求七曜出地之髙度必用測量乃測量所得之?dāng)?shù)與推歩所得之?dāng)?shù)徃徃不合蓋推歩所得者七曜距地心之髙度而測量所得者七曜距地面之髙度也距地心之髙度為眞髙距地面之髙度為視髙人在地面不在地心故視髙必小于眞髙以有地半徑之差也【或有大于眞髙者則清蒙氣所為也】蓋七曜恒星雖皆麗于天而其髙下又各不等惟恒星天為最髙其距地最逺地半徑甚防故無視髙眞髙之差若夫七曜諸天則皆有地半徑差今欲求太陽之眞髙必先得地半徑差欲求地半徑差必先得地半徑與日天半徑之比例今隨時(shí)測太陽之髙度求得地半徑與日天半徑之比例最髙為一與一千一百六十二最卑為一與一千一百二十一比舊定地半徑與日天半徑之比例最髙少二十二最卑多二十一蓋太陽髙卑之故由于兩心差然最髙之髙于本天半徑最卑之卑于本天半徑者非兩心差之全數(shù)而止及其半【詳見本輪均輪半徑篇】舊表日天半徑乃依兩心差全數(shù)所定故最髙較實(shí)測則多最卑較實(shí)測必少也
　　如圖甲為地心乙為地面
　　甲乙為地半徑乙丙為地
　　平丁戊己為太陽天庚辛
　　壬癸為恒星天戊為太陽
　　人從地面乙測之對恒星
　　天于壬其視髙為壬乙丙
　　角若從地心甲計(jì)之則見
　　太陽于戊者對恒星天于
　　辛其真髙為辛甲癸角此
　　兩髙之差為乙戊甲角即
　　地半徑之差然又時(shí)時(shí)不
　　同者其故有二一太陽距
　　地平近其差角大漸髙則
　　漸小一太陽在本天上又
　　有髙卑髙則距地心逺其
　　差角小卑則距地心近其
　　差角大【如戊甲線其長短時(shí)時(shí)不同其所以
　　逺近之故詳見于后】今約為最髙與
　　中距及最卑三限【太陽本天髙卑
　　細(xì)推之每日不同然用以求差角所差甚防故止用
　　三限】于夏至春秋分冬至?xí)r
　　各以所測地面上太陽之
　　髙度求太陽距地心之戊
　　甲線【太陽夏至前后行最髙限春秋分前后行
　　中距限冬至前后行最卑限故于三時(shí)測之】康熙五十四年乙未五月
　　二十九日甲子午正【夏至后八
　　日也以本日太陽躔本天之最髙為距地心之最逺】在暢春園測得太陽髙七
　　十三度一十六分零二十
　　三防同時(shí)于廣東廣州府
　　測得太陽髙九十度零六
　　分二十一秒四十八防以
　　之立法甲為地心乙為暢
　　春園地面庚為天頂子為
　　廣州府地面丑為天頂戊
　　為太陽寅為赤道寅庚弧
　　三十九度五十九分三十
　　秒為暢春園赤道距天頂
　　之度寅丑弧二十三度一
　　十分為廣州府赤道距天
　　頂之度【赤道距天頂數(shù)俱系實(shí)測所得】以
　　兩處赤道距天頂度相減
　　余一十六度四十九分三
　　十秒為庚丑弧即庚甲丑
　　角以暢春園髙度與一象
　　限相減余一十六度四十
　　三分五十九秒三十七防
　　為庚乙戊角于廣州府髙
　　度內(nèi)減去一象限余六分
　　二十一秒四十八防即戊
　　子丑角【戊在天頂丑北】先用乙甲
　　子三角形此形有甲角一
　　十六度四十九分三十秒
　　又有乙甲及子甲邊俱地
　　半徑命為一千萬乃以甲
　　角折半之正?倍之得二
　　九二五九七七為乙子邊
　　又以甲角與半周相減余
　　數(shù)半之得八十一度三十
　　五分一十五秒為乙角亦
　　即子角次用乙戊子三角
　　形此形有乙子邊二九二
　　五九七七有戊乙子角八
　　十一度四十分四十五秒
　　二十三秒【半周內(nèi)減去甲乙子角又減去
　　庚乙戊角余即戊乙子角】有戊子乙角
　　九十八度一十八分二十
　　三秒一十二防【半周內(nèi)減去甲子乙
　　角又減去戊子丑角余即戊子乙角】即有乙
　　戊子角五十一秒二十五
　　防求得戊子邊一一六一
　　三二二三八三九次用戊
　　子甲三角形此形有戊子
　　邊有子甲邊【地平徑一千萬】有戊
　　子甲之外角六分二十一
　　秒四十八防【即戊子丑角】求得
　　戊甲邊一一六二二六四
　　二五一二為太陽在本天
　　最髙時(shí)距地心之逺以地
　　半徑較之其比例如一與
　　一千一百六十二也【乙甲一千
　　萬與一一六二二六四二五一二之比同于一與一
　　千一百六十二有余之比】末用乙戊甲
　　三角形乙甲邊為一戊甲
　　邊為一一六二戊乙甲之
　　外角一十六度四十三分
　　五十九秒三十七防【即庚乙戊
　　角】求得乙戊甲角五十一
　　秒零五防為最髙限太陽
　　髙七十三度一十六分之
　　地半徑差以加暢春園視
　　髙七十三度一十六分零
　　二十三防得七十三度一
　　十六分五十一秒二十八
　　防為暢春園太陽之眞髙
　　也于乙戊子角五十一秒
　　二十五防內(nèi)減去乙戊甲
　　角五十一秒零五防余二
　　十防為甲戊子角乃最髙
　　限太陽髙九十度零六分
　　二十一秒之地半徑差【即八
　　十九度五十三分三十九秒之地半徑差】以減
　　廣州府視髙九十度零六
　　分二十一秒四十八防【視髙
　　過九十度故減】得九十度零六分
　　二十一秒二十八防為廣
　　州府太陽之眞髙也
　　又康熙五十五年丙申三
　　月初五日丙申午正【春分后八
　　日也以本日太陽躔本天之中距為距地心之適中】在暢春園測得太陽髙五
　　十三度零三分三十八秒
　　一十防同時(shí)于廣東廣州
　　府測得太陽髙六十九度
　　五十四分零八秒三十八
　　防減去緯差一十四秒余
　　六十九度五十三分五十
　　四秒三十八防【測得廣州府子午線
　　在京師之西三度三十三分其午正時(shí)乃京師午正
　　初刻十四分也夫太陽距緯度夏至?xí)r每日止差四
　　十余秒其一刻所差甚防可不論若春分時(shí)每日差
　　至二十四分則十四分時(shí)可差一十四秒又春分后
　　太陽自卑而髙緯度既差一十四秒則午正之髙度
　　亦多一十四秒故必于所測之度減去緯差始為與
　　京師子午相當(dāng)?shù)孛嬷{度也此即東西里差詳后
　　節(jié)氣時(shí)刻篇】以之立法庚為暢
　　春園天頂丑為廣州府天
　　頂戊為太陽寅為赤道乙
　　甲子三角形之三邊三角
　　俱與前圖等以暢春園髙
　　度與一象限相減余三十
　　六度五十六分二十一秒
　　五十防為庚乙戊角以廣
　　州府髙度與一象限相減
　　余二十度零六分零五秒
　　二十二防為戊子丑角先
　　用乙戊子三角形此形有
　　乙子邊二九二五九七七
　　有戊乙子角六十一度二
　　十八分二十三秒一十防
　　【半周內(nèi)減去甲乙子角又減去庚乙戊角余即戊乙
　　子角】有戊子乙角一百一十
　　八度三十分五十秒二十
　　二防【半周內(nèi)減去甲子乙角加入戊子丑角即
　　戊子乙角】即有乙戊子角四十
　　六秒二十八防求得戊子
　　邊一一四一○三一○二
　　九九次用戊子甲三角形
　　此形有戊子邊有子甲邊
　　【地半徑一千萬】有戊子甲之外角
　　二十度零六分零五秒二
　　十二防【即戊子丑角】求得戊甲
　　邊一一四二一八六七七
　　三○為太陽在本天中距
　　時(shí)距地心之逺以地半徑
　　較之其比例如一與一千
　　一百四十二也末用乙戊
　　甲三角形乙甲邊為一戊
　　甲邊為一一四二戊乙甲
　　之外角三十六度五十六
　　分二十一秒五十防【即庚乙戊
　　角】求得乙戊甲角一分四
　　十八秒三十二防為中距
　　限太陽髙五十三度零三
　　分三十八秒之地半徑差
　　以加暢春園視髙五十三
　　度零三分三十八秒一十
　　防得五十三度零五分二
　　十六秒四十二防為暢春
　　園太陽之眞髙也于乙戊
　　甲角一分四十八秒三十
　　二防內(nèi)減去乙戊子角四
　　十六秒二十八防余一分
　　零二秒零四防為子戊甲
　　角乃中距限太陽髙六十
　　九度五十四分零八秒之
　　地半徑差以加廣州府視
　　髙六十九度五十四分零
　　八秒三十八防得六十九
　　度五十五分一十秒四十
　　二防為廣州府太陽之眞
　　高也
　　今若以最髙太陽距地心
　　一一六二與中距太陽距
　　地心一一四二相減余二
　　○為兩限距地心之較則
　　最卑限太陽距地心之逺
　　為一一二二然中距太陽
　　距地心如?本天半徑如
　　股【圖見后求盈縮差篇】其距最髙之
　　差應(yīng)少距最卑之差應(yīng)多
　　故最卑限太陽距地心當(dāng)
　　不足一一二二欲以實(shí)測
　　求之奈冬至后太陽躔本
　　天最卑時(shí)髙弧僅二十六
　　度余蒙氣差甚大難得其
　　眞今以太陽最髙與本天
　　半徑比例數(shù)一○一七九
　　二○八【見交食厯理求日月距地與地半徑
　　之比例篇】與地半徑比例數(shù)一
　　一六二之比即同于太陽
　　最卑與本天半徑比例數(shù)
　　九八二○七九二與地半
　　徑比例數(shù)一一二一之比
　　是為最卑限太陽距地心
　　之逺也既得三限距地心
　　之逺即各用為一邉【即戊甲】地半徑為一邊【即乙甲為一】太
　　陽出地逐度之髙【即戊防】與
　　象限相加為一角【即甲乙戊角】成戊乙甲三角形求得乙
　　戊甲角為三限太陽自地
　　平至天頂逐度之地半徑
　　差以列表
　　黃赤距緯
　　黃道斜交赤道而出其內(nèi)外其相距最逺之度即二至太陽距赤道之緯度古今所測不同授時(shí)厯測得二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分約之為二十三度三十三分三十二秒新法厯書用西人第谷所測為二十三度三十一分三十秒今自康熙五十三年以來于暢春園累測夏至午正太陽髙度得視髙七十三度二十九分十余秒加地半徑差五十秒得實(shí)髙七十三度三十分減去本處之赤道髙五十度零三十秒余二十三度二十九分三十秒為黃道赤道相距最逺之率因用正弧三角形法推得日躔黃道每度每分之距緯以立表
　　如圖甲乙為黃道一象限
　　甲丙為赤道一象限甲為
　　春分乙為夏至乙丙為大
　　距二十三度二十九分三
　　十秒即甲角之度設(shè)丁防
　　為立夏距甲春分四十五
　　度求丁戊距緯若干則用
　　甲丁戊正弧三角形此形
　　有甲角乙丙大距度二十
　　三度二十九分三十秒有
　　甲丁黃道四十五度有戊
　　直角九十度今以戊直角
　　九十度之正?一千萬與
　　甲角乙丙大距度二十三
　　度二十九分三十秒之正
　　?三九八六一五七之比
　　即同于甲丁黃道四十五
　　度之正?七○七一○六
　　八與丁戊距緯一十六度
　　二十二分一十七秒之正
　　?二八一八六三九之比
　　也既得立夏之距緯度則
　　立春立秋立冬之距緯度
　　亦同按法于甲乙一象限
　　內(nèi)逐度逐分求其距緯則
　　其余三象限之距緯度亦
　　得矣

　　清防氣差
　　清?氣差從古未聞明萬厯間西人第谷始發(fā)之其言曰清?氣者地中游氣時(shí)時(shí)上騰其質(zhì)輕防不能隔礙人目卻能映小為大升卑為髙故日月在地平上比于中天則大星座在地平上比于中天則廣此映小為大也定望時(shí)地在日月之間人在地面無兩見之理而恒得兩見或日未西沒而已見月食于東日已東出而尚見月食于西此升卑為髙也又曰清?之氣有厚薄有髙下氣盛則厚而髙氣防則薄而下而升像之髙下亦因之而殊其所以有厚薄有髙下者地勢殊也若海或江湖水氣多則清?氣必厚且髙也故欲定七政之緯宜先定本地之清?差第谷言其國北極出地五十五度有竒測得地平上最大之差三十四分自地平以上其差漸少至四十五度其差五秒更髙則無差矣此即新法厯書所用之表也近日西人又言于北極出地四十八度地方測得太陽髙四十五度時(shí)?氣差尚有一分余自地平至天頂皆有?氣差即此觀之益見?氣差之隨地不同而第谷之言為不妄矣今述其測量推算之法于左使觀者知?氣差表之所自立云
　　假如太陽髙一十度三十
　　四分四十二秒距正午八
　　十三度【地平經(jīng)度】于時(shí)日躔降
　　婁宮三度三十六分距赤
　　道北一度二十六分如圖
　　甲為地心乙為天頂丙為
　　太陽丁為北極乙戊為子
　　午規(guī)乙丙己為髙弧丙己
　　為太陽實(shí)髙弧庚己為視
　　髙弧今用丁乙丙斜弧三
　　角形此形有北極距天頂
　　之丁乙弧五十度零三十
　　秒有太陽距北極之丁丙
　　弧八十八度三十四分【以距
　　緯一度二十六分減象限九十度得之】有丁
　　乙丙角九十七度【己乙戊角八十
　　三度為太陽距正午之度與半周相減即得丁乙丙
　　角】求太陽實(shí)距天頂之乙
　　丙弧法以乙丙弧引長從
　　丁作丁辛垂弧兩弧相交
　　于心為直角遂成丁辛乙
　　丁辛丙兩正弧三角形先
　　用丁辛乙正弧三角形以
　　半徑一千萬與乙角八十
　　三度之正?九九二五四
　　六二之比同于乙丁弧五
　　十度零三十秒之正?七
　　六六一三七九與丁辛弧
　　之正?七六○四二七三
　　之比得丁辛弧四十九度
　　三十分零七秒又以半徑
　　一千萬與乙角八十三度
　　之余?一二一八六九三
　　之比同于乙丁弧五十度
　　零三十秒之正切一一九
　　二一○五六與乙辛弧之
　　正切一四五二八一一之
　　比得乙辛弧八度一十五
　　分五十八秒次用丁辛丙
　　正弧三角形以丁丙弧八
　　十八度三十四分之正?
　　九九九六八七一與丁辛
　　弧四十九度三十分零七
　　秒之正?七六○四二七
　　三之比同于半徑一千萬
　　與丙角正?七六○六六
　　五三之比得丙角四十九
　　度三十一分二十二秒又
　　以丙角四十九度三十一
　　分二十二秒之正切一一
　　七一七九二七與半徑一
　　千萬之比同于丁辛弧四
　　十九度三十分零七秒之
　　正切一一七○九三○二
　　與辛丙弧之正?九九九
　　二六三九之比得辛丙弧
　　八十七度四十八分零五
　　秒于辛丙弧內(nèi)減去乙辛
　　弧八度一十五分五十八
　　秒余乙丙弧七十九度三
　　十二分零七秒為太陽實(shí)
　　距天頂之度以乙丙弧與
　　乙己弧九十度相減余丙
　　己弧一十度二十七分五
　　十三秒為太陽之實(shí)髙乃
　　以實(shí)髙與視髙一十度三
　　十四分四十二秒相減余
　　六分四十九秒加地半徑
　　差二分五十七秒得九分
　　四十六秒為地平上一十
　　度三十五分之?氣差按
　　法求得逐度之差數(shù)以立
　　表

　　測歲實(shí)以定平行
　　太陽之實(shí)行每日不同歩日躔者必以平行為根而求平行之法則在于定歲實(shí)歲實(shí)者太陽循黃道右旋一周而復(fù)于原界之日時(shí)也【或自今年冬至至明年冬至或自今年春分至明年春分】古厯定太陽每日所行為一度故周天為三百六十五度四分度之一其后漸覺后天以為歲實(shí)太強(qiáng)自漢以來每次修厯必有所減以合當(dāng)時(shí)實(shí)測故每日之平行雖定為一度而天周與歲實(shí)訖無定率也今法定天周為三百六十度故太陽每日之行不及一度其分秒之進(jìn)退視歲實(shí)之消長得歲實(shí)即得毎日之平行矣數(shù)歲以來于二分二至遣人各省分測得歲實(shí)為三百六十五日五時(shí)三刻三分四十五秒【即三百六十五日十分日之二分四二一八七五】乃置天周三百六十度為實(shí)以歲實(shí)三百六十五日五時(shí)三刻三分四十五秒為法實(shí)如法而一得太陽每日平行五十九分零八秒一十九防四十九纎五十九忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】既得太陽每日之平行遞加之得十日百日之平行遞析之得每時(shí)每分之平行以立表【毎日二十四時(shí)毎時(shí)六十分】
　　測歲實(shí)之法古人皆測冬至然冬至之時(shí)刻難定不如用春秋分時(shí)得數(shù)為眞葢冬至?xí)r黃道與赤道平行其緯度一日所差不過數(shù)十秒儀噐無從分別春秋分黃道與赤道斜交其緯度一日差二十四分其差易見且求平行須用平行歲實(shí)而測量止能得視行惟二分時(shí)去中距不逺其平行實(shí)行之差甚防可以不計(jì)況冬至?xí)r太陽之地平緯度少清?之氣甚大古來歲實(shí)難得確準(zhǔn)此其故也
　　康熙五十四年乙未二月
　　十六日癸未午正于暢春
　　園測得太陽髙五十度零
　　三十二秒三十五防加地
　　半徑差一分五十六秒零
　　五防得實(shí)髙五十度零二
　　分二十八秒四十防與赤
　　道髙五十度零三十秒相
　　減余一分五十八秒四十
　　防為太陽在赤道北之緯
　　度即知春分時(shí)刻在午正
　　前也如圖甲為春分乙為
　　太陽丙為赤道乙丁為午
　　正太陽實(shí)髙丙丁為赤道
　　髙乙丙為太陽距赤道北
　　緯度用甲乙丙正弧三角
　　形此形有甲角大距度二
　　十三度二十九分三十秒
　　有丙直角有乙丙緯度一
　　分五十八秒四十防求甲
　　乙弧為太陽過春分之經(jīng)
　　度法用甲角正?三九八
　　六一五七與丙直角正?
　　一千萬之比同于乙丙弧
　　正?五七五三與甲乙弧
　　正?一四四三三之比得
　　甲乙弧四分五十七秒四
　　十三防用變時(shí)法以一日
　　之平行五十九分零八秒
　　二十防為一率【二分時(shí)太陽之實(shí)行
　　與平行相近故即用平行為一率若他節(jié)氣須用本
　　日之實(shí)行為一率】二十四時(shí)化為
　　一千四百四十分為二率
　　甲乙弧四分五十七秒四
　　十三防為三率得四率一
　　百二十分四十九秒一十
　　二防以每時(shí)六十分収之
　　得二時(shí)零四十九秒一十
　　二防為春分距午正前之
　　時(shí)即已初三刻一十四分
　　一十秒四十八防春分也
　　康熙五十五年丙申二月
　　二十七日戊子午正于暢
　　春園測得太陽髙四十九
　　度五十四分四十九秒五
　　十一防加地半徑差一分
　　五十六秒一十七防得實(shí)
　　髙四十九度五十六分四
　　十六秒零八防與赤道髙
　　五十度零三十秒相減余
　　三分四十三秒五十二防
　　為太陽在赤道南之緯度
　　即知春分時(shí)刻在午正后
　　也依法用甲乙丙正弧三
　　角形求得乙甲弧九分二
　　十一秒三十九防為太陽
　　未到春分之經(jīng)度變時(shí)得
　　三時(shí)四十七分五十五秒
　　四十八防為春分距午正
　　后之時(shí)即申初三刻二分
　　五十五秒四十八防春分
　　也乃總計(jì)兩春分相距得
　　三百六十五日五時(shí)三刻
　　三分四十五秒即為歲實(shí)

　　本天髙卑為盈縮之原
　　太陽行天每歲一周萬古不忒宜其每日平行而無有盈縮乃征之目下實(shí)測則春分至秋分行天半周而厯日多秋分至春分行天半周而厯日少其在本天所行之度原均而人居地上所見時(shí)日不同今即其不平行之?dāng)?shù)求其所以然之故則惟有本天髙卑之説能盡之本天髙卑之法有二一為不同心天一為本輪立名雖異而理則同故髙卑之距盈縮之度皆不謀而合焉
　　不同心天之法蓋以天包
　　地外以地為心太陽本天
　　亦包乎地外而不以地為
　　心因其有兩心之差而髙
　　卑判焉如圖甲為地心乙
　　丙丁戊為黃道己為太陽
　　本天心庚辛壬癸為太陽
　　本天其癸庚辛大半周逺
　　于地為髙辛壬癸小半周
　　近于地為卑戊為春分丙
　　為秋分乙為夏至丁為冬
　　至自春分厯夏至以至秋
　　分太陽自癸厯庚以至辛
　　行本天之大半周故厯日
　　多而自地心甲立算其自
　　戊厯乙以至丙止行黃道
　　之半周故為行縮自秋分
　　厯冬至以至春分太陽自
　　辛厯壬以至癸行本天之
　　小半周故厯日少而自地
　　心甲立算其自丙厯丁以
　　至戊亦行黃道之半周故
　　為行盈夫日在本天原自
　　平行因自地心甲立算而
　　不以太陽本天心已立算
　　遂有髙卑盈縮之異故髙
　　卑為盈縮之原而兩心之
　　差又髙卑之所由生也
　　本輪之法蓋以本天與地
　　同心而本天之周又有一
　　本輪本輪心循本天周向
　　東而行日在本輪之周向
　　西而行兩行之度相等【輪心
　　東行太陽西行二者亦有防差然積至周歲才差一
　　分雖謂相等可也】太陽在本輪之
　　下半周去地近為卑則順
　　輪心行故見其速于平行
　　在本輪之上半周去地逺
　　為髙則背輪心行故見其
　　遲于平行在本輪之左右
　　去地不逺不近為髙卑適
　　中故名中距其行與平行
　　等如圖甲為地心即本天
　　心乙丙丁戊為本天其本
　　輪循本天東行由丁向戊
　　而乙而丙而復(fù)于丁為平
　　行度【即經(jīng)度】太陽循本輪西
　　行由下而左而上而右而
　　復(fù)于下【本輪以近地心為下逺地心為上】為自行度【名引數(shù)】如本輪心
　　在丁則太陽在本輪之下
　　如辛去地心甲最近是為
　　最卑本輪心在乙則太陽
　　在本輪之上如己去地心
　　甲最逺是為最髙最髙最
　　卑之防皆對本輪心與地
　　心成一直線其平行實(shí)行
　　同度故為盈縮起算之端
　　如本輪心由丁向戊太陽
　　由本輪下向左順輪心行
　　能益東行之度故較平行
　　度為盈至半象限后所益
　　漸少迨輪心行一象限至
　　戊太陽亦行輪周一象限
　　至壬即無所益而復(fù)于平
　　行是為中距然而積盈之
　　多正在中距蓋平行至戊
　　而太陽在壬從地心甲立
　　算則太陽當(dāng)本天之子子
　　戊弧以本輪之半徑為正
　　切為盈差之極大也從中
　　距而后太陽行本輪之上
　　半周背輪心行故實(shí)行漸
　　縮然因有積盈之度方以
　　次漸消其實(shí)行仍在平行
　　前迨行滿一象限至最髙
　　為極縮而積盈之度始消
　　盡無余其實(shí)行與平行乃
　　合為一線故自最卑至最
　　髙半周俱為盈厯也如本
　　輪心由乙向丙太陽由本
　　輪上向右背輪心行能損
　　東行之度故較平行度為
　　縮至半象限后所損漸少
　　迨輪心行一象限至丙太
　　陽亦行輪周一象限至庚
　　即無所損而復(fù)于平行是
　　為中距然而積縮之多亦
　　在中距蓋平行至丙而太
　　陽在庚從地心甲立算則
　　太陽當(dāng)本天之丑丑丙弧
　　亦以本輪之半徑為正切
　　為縮差之極大也從中距
　　而后太陽行本輪之下半
　　周順輪心行故實(shí)行漸盈
　　然因有積縮之度方以次
　　相補(bǔ)其實(shí)行仍在平行后
　　迨行滿一象限至最卑為
　　極盈而積縮之度始補(bǔ)足
　　無缺其實(shí)行與平行乃合
　　為一線故自最髙至最卑
　　半周俱為縮厯也此本輪
　　之法于盈縮之理最為顯
　　著然謂與不同心天之理
　　同何也試于本輪上己庚
　　辛壬諸防聨為一圜此圜
　　必不以甲為心而以癸為
　　心遂成不同心天之形其
　　癸甲兩心之差即本輪之
　　半徑故求得兩心之差而
　　本輪之徑自見明于本輪
　　之故而盈縮之理益彰然
　　則其理相通其用相輔并
　　存其説實(shí)可以參稽而互
　　證也

　　求兩心差及最髙
　　新法厯書用春分秋分立夏三節(jié)氣相距日時(shí)推得兩心差為三五八四一六最髙在夏至后五度三十分然而未詳何年月日永年表載康熙丁酉年最卑在冬至后七度四十三分四十九秒今以丁酉年實(shí)測節(jié)氣時(shí)刻依法推算得兩心差為三五八九七七最卑在冬至后八度三十八分二十五秒五十五防皆與原數(shù)不合葢今之春分秋分立夏皆不正當(dāng)最髙最卑中距之度用兩心差以推其時(shí)刻與實(shí)測不合則用實(shí)測之時(shí)刻以推兩心差亦必與原數(shù)不合而最髙最卑所在亦必不合矣因思太陽在最髙最卑二防平行與實(shí)行合為一線本天與黃道皆平分為兩半周太陽厯半周歲而適行半周天其度分即髙卑所在自最卑厯周歲四分之一至中距應(yīng)行九十度其實(shí)行之過于九十度者即積盈之度自最髙厯周歲四分之一至中距亦應(yīng)行九十度其實(shí)行之不及九十度者即積縮之度檢其正切即兩心差之?dāng)?shù)也今以丁酉年逐日實(shí)測日躔度分求得最髙過夏至最卑過冬至各七度四十四分三十六秒四十八防又自太陽過最髙之日分加周歲四分之一求其時(shí)刻之實(shí)行不及中距二度零三分零九秒四十防檢其正切得三五八四一六皆與歴書所載相合是故用兩心差之全數(shù)以推盈縮維中距與實(shí)測合最髙前后兩象限則失之小最卑前后兩象限則失之大所以又用均輪以消息其數(shù)方與實(shí)測相符今于其相合者得最髙及兩心差所自來于其不相合者得本輪均輪所由設(shè)推算之法并述于左
　　用實(shí)測最髙最卑中距求
　　兩心差及最髙所在如康
　　熙五十六年丁酉二至后
　　暢春園逐日測午正太陽
　　髙度求其經(jīng)度用實(shí)行推
　　得五月二十一日甲戌辰
　　正一刻零四十秒四十五
　　防交未宮七度五月二十
　　二日乙亥已初一刻一十
　　四分五十七秒二十七防
　　交未宮八度十一月二十
　　七日丁丑子正一刻一十
　　二分五十七秒四十一防
　　交丑宮七度本日夜子初
　　三刻一十二分二十七秒
　　四十七防交丑宮八度夫
　　未宮七度至丑宮七度厯
　　一百八十二日一十六時(shí)
　　一十二分一十六秒五十
　　六防大于半周歲一時(shí)一
　　十七分五十四秒二十六
　　防而未宮八度至丑宮八
　　度厯一百八十二日一十
　　四時(shí)二十七分三十秒二
　　十防小于半周歲二十六
　　分五十二秒一十防乃以
　　此兩數(shù)立法以求最髙所
　　在如圖甲為地心即宗動(dòng)
　　天心乙丙丁戊為黃道與
　　宗動(dòng)天相應(yīng)【同以甲為心也】乙為
　　夏至丙為秋分丁為冬至
　　戊為春分又設(shè)己防為心
　　作庚辛壬癸圈為不同心
　　天庚為最髙當(dāng)黃道之子
　　壬為最卑當(dāng)黃道之丑則
　　寅夘為其中距【距最髙子最卑丑各
　　九十度】過巳甲兩心作庚丑
　　線則平分本天與黃道各
　　為兩半周故厯半周歲一
　　百八十二日一十四時(shí)五
　　十四分二十二秒三十防
　　適行半周天一百八十度
　　若夫夏至乙則在最髙前
　　有加差時(shí)刻早冬至丁則
　　在最卑前有減差時(shí)刻遲
　　故夏至至冬至大于半周
　　歲而秋分丙在最髙后有
　　減差時(shí)刻遲春分戊在最
　　卑后有加差時(shí)刻早故秋
　　分至春分小于半周歲今
　　未宮七度至丑宮七度大
　　于半周歲未宮八度至丑
　　宮八度小于半周歲即知
　　未宮七度在最髙前如辰
　　未宮八度在最髙后如巳
　　丑宮七度在最卑前如午
　　丑宮八度在最卑后如未
　　今以大于半周歲之一時(shí)
　　一十七分五十四秒二十
　　六防與小于半周歲之二
　　十六分五十二秒一十防
　　相并得一時(shí)四十四分四
　　十六秒三十六防與辰巳
　　或午未一度之比同于大
　　于半周歲之一時(shí)一十七
　　分五十四秒二十六防與
　　辰子或午丑四十四分三
　　十六秒四十八防之比而
　　得辰子或午丑與乙辰或
　　丁午之七度相加得乙子
　　或丁丑七度四十四分三
　　十六秒四十八防即最髙
　　過夏至最卑過冬至之度
　　亦即中距過春秋分之度
　　也【丙寅弧夘戊弧皆與乙子弧相等】此所
　　得之?dāng)?shù)比永年表丁酉年
　　前冬至最卑度多四十七
　　秒比戊戌年前冬至最卑
　　度少一十五秒葢最髙每
　　歲行六十一秒今合最髙
　　最卑取數(shù)立算則其所得
　　為中距過秋分之度較之
　　丁酉年前冬至固應(yīng)差四
　　分之三較之戊戌年前冬
　　至固應(yīng)差四分之一是所
　　測與永年表合矣又用比
　　例法求得本年五月二十
　　二日乙亥寅初初刻一分
　　三十七秒四十五防過最
　　髙加周歲四分之一九十
　　一日七時(shí)二十七分一十
　　一秒一十五防得秋分后
　　丙午日巳正一刻一十三
　　分四十九秒過中距在黃
　　道應(yīng)從最髙子行九十度
　　至寅為辰宮七度四十四
　　分三十六秒四十八防而
　　在本天則從最髙庚行九
　　十度至辛當(dāng)黃道之申今
　　以實(shí)測求其經(jīng)度在辰宮
　　五度四十一分二十七秒
　　零八防【即申防之度】不及中距
　　二度零三分零九秒四十
　　防即申寅弧當(dāng)辛甲寅角
　　與甲辛巳角等檢其正切
　　得三五八四一六為已甲
　　兩心差【亦即本輪半徑】與厯書所
　　載同
　　用實(shí)測春分秋分立夏求
　　兩心差及最髙所在如康
　　熙五十六年丁酉暢春園
　　測得春分為二月初八日
　　癸巳亥初二刻六分四十
　　七秒立夏為三月二十四
　　日己夘亥正二刻一分三
　　十六秒秋分為八月十九
　　日庚子申初二刻四分零
　　三秒則春分距立夏得四
　　十六日三刻九分四十九
　　秒以毎日平行五十九分
　　零八秒二十防乘之得平
　　行度四十五度二十二分
　　三十八秒一十六防春分
　　距秋分得一百八十六日
　　七十一刻一十二分一十
　　六秒以每日平行五十九
　　分零八秒二十防乗之得
　　平行度一百八十四度零
　　四分零三秒五十八防如
　　圖甲為地心乙丙丁戊為
　　黃道戊為春分己為夏至
　　丙為秋分庚為冬至辛為
　　立夏戊辛弧四十五度又
　　以壬防為心作子丑寅夘
　　圈為不同心天春分時(shí)太
　　陽在子實(shí)度在戊立夏時(shí)
　　太陽在癸實(shí)度在辛子癸
　　弧四十五度二十二分三
　　十八秒一十六防為平行
　　度秋分時(shí)太陽在寅實(shí)度
　　在丙子癸丑寅弧一百八
　　十四度零四分零三秒五
　　十八防為平行度于是過
　　壬甲兩心作丑丁線則丑
　　為最髙當(dāng)黃道之乙卯為
　　最卑當(dāng)黃道之丁今命丑
　　壬半徑為一千萬求壬甲
　　兩心差得丑壬半徑之若
　　干分并求辛甲乙角為最
　　髙距立夏之度乃以子癸
　　丑寅弧一百八十四度零
　　四分零三秒五十八防與
　　全周相減余一百七十五
　　度五十五分五十六秒零
　　二防為寅辰卯子弧又甲
　　辰子三角形其子甲辛外
　　角為四十五度【當(dāng)辛弧也】戊則
　　子甲辰角必一百三十五
　　度而辰角為癸子弧相對
　　界角必為癸子弧之一半
　　得二十二度四十一分一
　　十九秒零八防則子角必
　　為二十二度一十八分四
　　十秒五十二防倍之得四
　　十四度三十七分二十一
　　秒四十四防為寅辰弧【因與
　　子界角相當(dāng)故】與寅辰夘子弧相
　　減余一百三十一度一十
　　八分三十四秒一十八防
　　為子卯辰弧檢其通?得
　　一八二二一五六二為子
　　辰邊用三角形邊角相求
　　法求得甲辰邊九七八二
　　九九八又以癸子弧與子
　　卯辰弧相加得一百七十
　　六度四十一分一十二秒
　　三十四防為癸子卯辰弧
　　半之得八十八度二十分
　　三十六秒一十七防檢其
　　余?得二八九○八九即
　　壬巳其正?得九九九五
　　八二○即辰巳內(nèi)減甲辰
　　余二一二八二二即巳甲
　　乃用壬巳甲勾股形求得
　　壬甲?三五八九七七為
　　兩心差比厯書所載多一
　　千萬分之五百六十一又
　　用邊角相求法求得甲角
　　五十三度三十八分二十
　　五秒五十五防為最髙乙
　　距立夏辛之度內(nèi)減立夏
　　距夏至四十五度得最髙
　　過夏至后八度三十八分
　　二十五秒五十五防比永
　　年表多五十四分三十六
　　秒五十五防葢目今春分
　　秋分立夏皆不正當(dāng)最髙
　　最卑中距之度故太陽之
　　自最卑至中距自中距至
　　最髙其行度必有不同所
　　以用實(shí)測節(jié)氣推兩心差
　　及最髙所在皆不相合是
　　故歴家于本輪半徑【即兩心差】分設(shè)一均輪以消息四象
　　限之行分而后與實(shí)測相
　　符此均輪之法所由立也

　　最髙行及本輪均輪半徑
　　太陽之行因去地有髙卑遂生盈縮故最髙最卑之防即極盈極縮之度而為起算之端但此髙卑之防不定在冬夏至而有行分且最髙之髙于本天半徑最卑之卑于本天半徑者非兩心差之全數(shù)而止及其半歴家殫精推測因悟太陽本天之周有本輪而本輪之周又有均輪乃以兩心差三十五萬八千四百一十六四分之取其三分得二十六萬八千八百一十二為本輪半徑取其一分得八萬九千六百零四為均輪半徑而后髙卑之?dāng)?shù)盈縮之行始與實(shí)測相符焉然髙卑之所以有行分者何也葢縁本輪心之行防速于均輪心之行本輪心循本天東行已滿一周而均輪心循本輪西轉(zhuǎn)尚未滿一周其本輪心與均輪心兩行之差即最髙之行分也但其行分甚防積久始著康熙永年表戊午年測得最髙在夏至后七度零四分零四秒至丁酉年則最髙在夏至后
　　七度　　　　　　　　　　　　　　　　　【秒約毎年東行一分一秒一十防】四十三分四十九【即本輪心毎歲之行速于均輪心每歲之行一分一秒一十防也】
　　如圖甲為地心即本天心
　　乙丙丁戊為本天本天之
　　周載本輪心本輪之周又
　　載均輪心本輪心循本天
　　東行由丁而戊而乙而丙
　　而復(fù)于丁為經(jīng)度【每日平行五十
　　九分零八秒二十防】均輪心循本輪
　　西行由下而左而上而右
　　而復(fù)于下其行度防不及
　　于本輪名曰引數(shù)【每日行五十九
　　分零八秒零九防有余】太陽則循均
　　輪周東行由最近而最逺
　　【逺近皆以距本輪心言】而復(fù)于最近
　　其行倍于均輪心【均輪心行一度
　　太陽在輪周行二度】癸甲為兩心差
　　本輪半徑為癸甲四分之
　　三均輪半徑為癸甲四分
　　之一最卑時(shí)本輪心在本
　　天之丁均輪心在本輪之
　　辛【本輪下點(diǎn)】太陽則在均輪之
　　辰【均輪近點(diǎn)】居兩輪心之間從
　　地心甲計(jì)之成一直線故
　　無平行實(shí)行之差辰丁為
　　兩心差之半辰甲為太陽
　　距地心之逺其卑于甲丁
　　本天半徑者即辰丁兩心
　　差之半也本輪心由丁行
　　九十度至戊為中距均輪
　　心由本輪之下防行九十
　　度至壬【本輪左防】太陽則由均
　　輪之近防行一百八十度
　　至已【均輪逺防】從地心甲立算
　　則太陽當(dāng)本天之子子戊
　　弧為積盈之度【即子甲戊角】其
　　正切已戊為本輪與均輪
　　兩半徑相并之?dāng)?shù)與癸甲
　　兩心差等最髙時(shí)本輪
　　心在本天之乙【由戊行九十度至乙】均
　　輪心在本輪之已【由本輪左防行
　　九十度至上防】太陽則在均輪之
　　寅【由均輪之逺防行一百八十度至近防】居
　　兩輪心之間從地心甲計(jì)
　　之成一直線故亦無平行
　　實(shí)行之差【中距時(shí)所積之盈度至此消盡
　　而合于平行】寅乙為兩心差之
　　半寅甲為太陽距地心之
　　逺其髙于乙甲本天半徑
　　者即寅乙兩心差之半也
　　本輪心由乙行九十度至
　　丙為中距均輪心由本輪
　　之上防行九十度至庚【本輪
　　右防】太陽則由均輪之近防
　　行一百八十度至夘【均輪逺防】從地心甲立算則太陽當(dāng)
　　本天之丑丑丙弧為積縮
　　之度【即丑甲丙角】其正切夘丙
　　為本輪與均輪兩半徑相
　　并之?dāng)?shù)與癸甲兩心差等
　　夫子戊弧與丑丙弧既皆
　　以兩心差為正切故其度
　　等但子戊為積盈之度【在最
　　卑至最髙之半周故也】其平行戊在
　　后實(shí)行子在前故子戊弧
　　為加差以加于平行而得
　　實(shí)行也【由最卑至最髙之半周皆平行在后
　　實(shí)行在前故皆為加差也】丑丙弧為積
　　縮之度【在最髙至最卑之半周故也】其
　　平行丙在前實(shí)行丑在后
　　故丑丙弧為減差以減于
　　平行而得實(shí)行也【由最髙至最卑
　　之半周皆平行在前實(shí)行在后故皆為減差也】本
　　輪心復(fù)由丙行九十度至
　　丁則均輪心復(fù)至辛太陽
　　復(fù)至辰其積縮之度俱已
　　補(bǔ)足而平行實(shí)行復(fù)合為
　　一線矣然使兩輪心之行
　　度皆等而無秒忽之不同
　　則最髙卑必常與冬夏至
　　同度【據(jù)今最髙所在而上溯之得元世祖至元
　　初年最髙卑正與冬夏至同度其前此則在至前也】因兩輪心之行每年相差
　　一分余積久至今已差七
　　度四十余分而最髙即在
　　夏至后七度四十余分矣
　　如圖未為冬至午為夏至
　　本輪心由冬至未行一百
　　七十九度余將至午而均
　　輪心才至本輪之申未至
　　上防七度有余【均輪行每年不及本
　　輪行一分余積之遂差七度余也】而太陽
　　必尚在均輪近防之東十
　　四度余然從地心甲計(jì)之
　　則太陽已當(dāng)本天之午為
　　夏至矣迨均輪心行至上
　　防時(shí)本輪心復(fù)行七度余
　　至乙而兩輪心始與地心
　　參直太陽亦至寅防在兩
　　輪心之間其距地最逺是
　　為最髙而以日躔計(jì)之已
　　在夏至后七度余最卑之
　　在冬至后理亦如之故曰
　　兩輪心行度之差即最髙
　　卑之行分也

　　求盈縮差
　　盈縮差即今所用之均數(shù)自最卑至最髙六宮為盈厯為加差自最髙至最卑六宮為縮厯為減差最卑前三宮與后三宮相當(dāng)最髙前三宮亦與后三宮相當(dāng)其差數(shù)皆相等故止求得最卑后六宮之差數(shù)而最髙后六宮之差數(shù)視此但加減不同耳【如最卑前三十度與最卑后三十度其差數(shù)必等但在最卑前者為減差在最卑后者為加差也】授時(shí)厯最大之盈縮差為二度四○一四以周天三百六十度每度六十分約之得二度二十二分今推得最大之差為二度零三分一十一秒【即二度零百分度之五分三一】
　　如圖甲為地心即本天心乙丙為本天之一弧今命乙甲半徑為一千萬丁戊已為本輪則丁乙半徑為二十六萬八

　　千八百一十二丁為上防已為下防【距地心近為下防距地心逺為上防】庚辛壬為均輪而庚己半徑為八萬九千六百零四庚為最近壬為最逺【逺近皆以距本輪心言】假如本輪心乙在本天之最卑則均輪心在本輪之下防已而太陽在均輪之近防庚是為初宮初度從地心甲計(jì)之太陽在兩輪心之間成一直線無平行實(shí)行之差無均

　　數(shù)也如本輪心乙在本天之最髙則均輪心在本輪之上防丁而太陽在均輪之近防庚是為六宮初度從地心甲計(jì)之太陽亦在兩輪心之間成一直線無平行實(shí)行之差亦無均數(shù)也
　　如本輪心乙距最卑后一象限為三宮初度則均輪心從本輪下防已行一象限至癸而太陽則從均輪近防庚行半

　　周至逺防壬從地心甲計(jì)之太陽當(dāng)本天之子乙子弧為實(shí)行盈于平行之度乃用乙甲壬直角三角形乙為直角乙壬為兩輪半徑相并之?dāng)?shù)三十五萬八千四百一十六乙甲為本天半徑一千萬則乙子弧即甲角之度而乙壬為其正切檢表得二度零三分零九秒四十

　　防為甲角即乙子弧乃太陽中距時(shí)之均數(shù)是為加差以加于平行而得實(shí)行【實(shí)行者太陽實(shí)在之行度】若本輪心乙距最卑前一象限為九宮初度則均輪心從本輪下防已行三象限至丑而太陽從均輪近防庚行一周復(fù)自庚行半周至逺防壬從地心甲計(jì)之太陽當(dāng)本天之寅寅乙

　　弧與乙子弧等亦為太陽中距時(shí)之均數(shù)但為實(shí)行縮于平行之度是為減差以減于平行而得實(shí)行也
　　如本輪心乙距最卑后三十度為一宮初度則均輪心從本輪下防已行三十度至夘而太陽則從均輪近防庚行六十度至辰從地心甲計(jì)之太陽當(dāng)本天

　　之巳乙巳弧為實(shí)行盈于平行之度乃先用乙午庚直角三角形此形有午直角有乙角三十度【即己夘弧】則庚角必六十度有乙庚邊一七九二○八【即乙夘半徑之三分之二】求得午庚邊八九六○四乙午邉一五五一九九乃置乙甲本天半徑一千萬減去乙午一五五一九九得午甲九

　　八四四八○一又倍午庚得午辰一七九二○八【庚辰壬三角形與乙午庚三角形之邊角俱相等蓋庚為交角辰角立于圜界之一半為直角與午角等則壬角必與乙角等是三角俱等也庚壬為均輪全徑與乙庚等則辰庚必與午庚等故倍午庚即得午辰也】于是用午甲辰直角三角形求得甲角一度零二分三十四秒一十八防即乙巳弧是為加差以加于平行而得實(shí)行

　　若本輪心乙在最卑前三十度是為十一宮初度則均輪心從本輪下防已行三百三十度至未而太陽則從均輪近防庚行一周復(fù)行三百度至申從地心甲計(jì)之太陽當(dāng)本天之酉酉乙弧與乙巳弧等但為實(shí)行縮于平行之度是為減差以減于平行而得實(shí)行也用此法

　　求得最卑后一象限之加差即得最卑前一象限之減差
　　如本輪心乙距最髙前四十度為四宮二十度則均輪心從本輪下防已行一百四十度至戌而太陽則從均輪近防庚行二百八十度至亥從地心甲計(jì)之太陽當(dāng)本天之子乙子弧為實(shí)行盈于

　　平行之度乃先用乙丑庚直角三角形此行形丑直角有乙角四十度【即丁戌弧】則庚角必五十度有乙庚邊一七九二○八【即乙戌半徑之三分之二】求得丑庚邊一一五一九三丑乙邊一三七二八一乃置乙甲本天半徑一千萬加丑乙一三七二八一得丑甲一○一三七二八一又倍丑

　　庚得丑亥二三○三八六于是用丑甲亥直角三角形求得甲角一度一十八分零六秒五十三防即乙子弧是為加差以加于平行而得實(shí)行若本輪心乙距最髙后四十度是為七宮一十度則均輪心從本輪下防已行二百二十度至寅而太陽則從均輪近防庚行一周

　　復(fù)行八十度至夘從地心甲計(jì)之太陽當(dāng)本天之辰辰乙弧與乙子弧等但為實(shí)行縮于平行之度是為減差以減于平行而得實(shí)行也用此法求得最髙前一象限之加差即得最髙后一象限之減差

　　時(shí)差【原名日差】
　　時(shí)差者平時(shí)與用時(shí)相較之時(shí)分也推歩所得者為平時(shí)測量所得者為用時(shí)【用時(shí)即視時(shí)也】二者常不相合其故有二一因太陽之實(shí)行而時(shí)刻為之進(jìn)退蓋以髙卑為加減之限也一因赤道之升度而時(shí)刻為之消長蓋以分至為加減之限也新法厯書合二者以立表名曰日差然髙卑每年有行分則宮度引數(shù)必不能相同若合立一表歲久即不可用今仍分作二表加減兩次庶于法為宻也
　　如圖甲為地心乙為本輪
　　心冬至后本輪心平行一
　　百一十八度余至乙太陽
　　從本輪最卑自行一百一
　　十一度余至丙從地心甲
　　作實(shí)行線至丙割黃道于
　　丁丁乙弧即平行實(shí)行之
　　差設(shè)推得某日申正太陽
　　平行乙未到酉宮尚一度
　　余因行盈厯實(shí)行大于平
　　行故平行乙雖未至酉宮
　　而實(shí)行丁巳交酉宮若以
　　平行乙所臨之時(shí)刻為交
　　宮之時(shí)刻則為申正太陽
　　入酉宮是為平時(shí)然平行
　　乙雖臨于申正而太陽丙
　　實(shí)在其東一度余【即丁乙弧】故
　　必以此一度余變時(shí)約得
　　五分為時(shí)差以減申正得
　　申初三刻十分大陽入酉
　　宮是為用時(shí)也又如夏至
　　后本輪心平行六十一度
　　余至乙太陽從本輪最髙
　　自行五十四度余至丙從
　　地心甲作實(shí)行線至丙割
　　黃道于丁丁乙弧為平行
　　實(shí)行之差設(shè)推得某日辰
　　正太陽平行乙巳入巳宮
　　一度余因行縮厯實(shí)行小
　　于平行故平行乙雖入巳
　　宮一度余而實(shí)行丁方交
　　巳宮初度若以平行乙所
　　臨之時(shí)刻為交宮之時(shí)刻
　　則為辰正太陽入巳宮是
　　為平時(shí)然平行乙雖臨于
　　辰正而太陽丙實(shí)在其西
　　一度余故必以此一度余
　　變時(shí)約得五分為時(shí)差以
　　加辰正得辰正初刻五分
　　太陽入巳宮是為用時(shí)也
　　準(zhǔn)此論之凡最卑后半周
　　實(shí)行皆大于平行則用時(shí)
　　在平時(shí)東其時(shí)差宜減最
　　髙后半周實(shí)行皆小于平
　　行則用時(shí)在平時(shí)西其時(shí)
　　差宜加此以最髙卑為時(shí)
　　差加減之限黃道上事也
　　然時(shí)刻以赤道為主黃道
　　上之用時(shí)猶非赤道上之
　　用時(shí)何也黃道與赤道斜
　　交二分之后黃道如?赤
　　道如股【從赤極出線至赤道成直角勾股形】故黃道一度赤道一度不
　　足赤道度少則時(shí)刻増矣
　　【右旋度少則左旋度多故時(shí)刻増】二至之
　　后黃道以腰圍大圈之度
　　當(dāng)赤道距等小圈之度故
　　黃道一度赤道一度有余
　　赤道度多則時(shí)刻減矣【右旋
　　度多則左旋度少故時(shí)刻減】如圖甲為
　　北極乙戊丙為赤道乙丁
　　丙為黃道乙為春分丙為
　　秋分丁為夏至春分后太
　　陽實(shí)行四十五度至已赤
　　道上與已相等之度為庚
　　庚距乙亦四十五度與已
　　相當(dāng)之度為辛辛庚弧為
　　赤道少于黃道之度得二
　　度二十九分是為升度差
　　如推得太陽本日實(shí)行距
　　春分四十五度而即以四
　　十五度之防當(dāng)某位為某
　　時(shí)者是以赤道之庚防命
　　時(shí)也【如庚防當(dāng)午位即為午時(shí)】而實(shí)度
　　之辛防實(shí)在其西故必以
　　辛庚升度差變時(shí)為時(shí)差
　　以加于平時(shí)得用時(shí)【如庚防當(dāng)
　　午正末即午正末為平時(shí)以時(shí)差加之得辛防在未
　　初為用時(shí)秋分后與春分后同】又如夏至
　　后太陽實(shí)行四十五度至
　　已赤道上與已相等之度
　　為庚庚距戊為四十五度
　　與巳相當(dāng)之度為辛庚辛
　　弧為赤道多于黃道之度
　　得二度二十九分是為升
　　度差如推得太陽本日實(shí)
　　行距夏至四十五度而即
　　以四十五度之防當(dāng)某位
　　為某時(shí)者是以赤道之庚
　　防命時(shí)也【如庚防當(dāng)午位即為午時(shí)】而
　　實(shí)度之辛防實(shí)在其東故
　　必以庚辛升度差變時(shí)為
　　時(shí)差以減于平時(shí)得用時(shí)
　　【如庚防當(dāng)午初即午初為平時(shí)以時(shí)差減之得辛防
　　在已正為用時(shí)冬至后與夏至后同】準(zhǔn)此論
　　之凡分后兩象限用時(shí)皆
　　在平時(shí)西其時(shí)差宜加至
　　后兩象限用時(shí)皆在平時(shí)
　　東其時(shí)差宜減此以分至
　　為時(shí)差加減之限赤道上
　　事也是二者一以髙卑為
　　加減之限一以分至為加
　　減之限若以太陽實(shí)行宮
　　度求得赤道同升度與平
　　行宮度相減余度變時(shí)為
　　時(shí)差逐度立表以加減平
　　時(shí)而得用時(shí)是合兩次加
　　減為一次加減然而宮度
　　引數(shù)又因逐年最髙卑有
　　行分不能相同合立一表
　　慮歲久不可用故仍分作
　　二表一以太陽均數(shù)變時(shí)
　　用引數(shù)查之一以升度差
　　變時(shí)用實(shí)行查之依法加
　　減兩次庶平時(shí)與用時(shí)相
　　較之分可得其眞數(shù)也

　　曚影刻分
　　曚影者古所謂晨昏分也太陽未出之先已入之后距地平一十八度皆有光故以一十八度為曚影限然北極出地有髙下太陽距赤道有南北故曚影刻分隨時(shí)隨地不同其隨時(shí)不同者二分之刻分少二至之刻分多也隨地不同者愈北則刻分愈多愈南則刻分愈少也若夫北極出地五十度則夏至之夜半猶有光愈髙則漸不夜矣南至赤道下則二分之刻分極少而二至之刻分相等赤道以南反是
　　如圖甲為天頂乙丙為地
　　平丁戊為地平下一十八
　　度曚影限【乙丁及丙戊皆一十八度】已
　　為北極庚為南極辛壬為
　　赤道癸子為夏至距等圈
　　丑寅為冬至距等圈二分
　　時(shí)日行辛壬赤道出入于
　　卯交曚影限于辰則日在
　　卯辰弧地平上皆有光故
　　以卯辰為曚引之刻分也
　　若冬至?xí)r日行丑寅距等
　　圈出入于已交曚厯限于
　　午則日在巳午弧地平上
　　皆有光故以巳午為曚影
　　之刻分而巳午與赤道相
　　當(dāng)之弧為未申其度多于
　　卯辰故冬至之刻分多于
　　二分也夏至?xí)r日行癸子
　　距等圈出入于酉交曚影
　　限于戌則日在酉戌弧地
　　平上皆有光故以酉戌為
　　曚影之刻分而酉戌與赤
　　道相當(dāng)之弧為亥干其度
　　更多于未申故夏至之刻
　　分不惟多于二分而更多
　　于冬至也夫冬至相當(dāng)之
　　未申弧度多于二分相當(dāng)
　　之卯辰弧度其故易知若
　　夏至相當(dāng)之亥干弧度多
　　于冬至相當(dāng)之未申弧度
　　其故則難知葢未申亥干
　　二分皆系與赤道相當(dāng)之
　　正?非弧度也正?之?dāng)?shù)
　　近圜心則疎疎則所當(dāng)之
　　度少近圜周則宻宻則所
　　當(dāng)之度多試于赤道上之
　　未申亥干四防各作垂線
　　引至圜周其割圜周之防
　　為坎艮震巽而坎艮弧為
　　未申弧相當(dāng)之度【未卯為坎己弧
　　之正?卯申為已艮弧之正?以未卯與卯申相加
　　成未申以坎已與巳艮相加成坎艮故坎艮弧為未
　　申相當(dāng)之度】震巽弧為亥干弧
　　相當(dāng)之度【卯干為巳巽弧之正?夘亥為
　　巳震弧之正?以卯干與卯亥相減余亥干以已巽
　　與已震相減余震巽故震巽弧為亥干相當(dāng)之度】以震巽弧與坎艮弧相較
　　則度之多少自見矣如求
　　二分之曚影刻分則用甲
　　巳辰斜弧三角形求巳角
　　為赤道之辛夘辰弧此形
　　有甲巳邊五十度零五分
　　為北極距天頂之度【以京師北
　　極出地三十九度五十五分立法】有已辰
　　邊九十度有甲辰邊一百
　　零八度用三邊求角法求
　　得巳角一百一十三度四
　　十五分三十六秒即辛卯
　　辰弧變時(shí)得六時(shí)六刻五
　　分【每度變時(shí)之四分】內(nèi)減去半晝
　　分辛夘六時(shí)【即日出夘至午正辛或午
　　正辛至日入卯之時(shí)刻也】余卯辰六刻
　　五分為二分時(shí)之曚影刻
　　分也如求冬至之曚影刻
　　分則用甲巳午斜弧三角
　　形求巳角為赤道之辛未
　　申弧此形有甲巳邊五十
　　度零五分為北極距天頂
　　之度有巳午邊一百一十
　　三度二十九分三十秒【巳申
　　象限九十度加申午距緯二十三度二十九分三十
　　秒】有甲午邊一百零八度
　　用三邊求角法求得已角
　　九十四度二十分零六秒
　　即辛未申弧變時(shí)得六時(shí)
　　一刻二分內(nèi)減去半晝分
　　辛未四時(shí)二刻五分【即日出巳
　　至午正丑或午正丑至日入巳之時(shí)刻也】余未
　　申六刻一十二分為冬至
　　時(shí)之曚影刻分也如求夏
　　至之曚影刻分則用甲巳
　　戌斜弧三角形求巳角為
　　赤道之辛亥干弧此形有
　　甲巳邊五十度零五分為
　　北極距天頂之度有巳戌
　　邊六十六度三十分三十
　　秒【已乾象限九十度內(nèi)減去戌干距緯二十三度
　　二十九分三十秒】有甲戌弧一百
　　零八度用三邊求角法求
　　得巳角一百四十三度二
　　十三分零五秒即辛亥干
　　弧變時(shí)得九時(shí)二刻五分
　　內(nèi)減去半晝分辛亥七時(shí)
　　一刻一十分【即日出酉至午正癸或午
　　正癸至日入酉之時(shí)刻也】余亥干八刻
　　九分為夏至?xí)r之曚影刻
　　分也其余各節(jié)氣皆仿
　　此推之

　　晝夜永短
　　晝夜由于日之出入因人所居有南北故見日之出入早晚隨時(shí)各異而晝夜之永短生焉中土居赤道之北赤道斜倚于天頂之南南極入地北極出地故惟春秋分見日出入于卯酉而晝夜平分若秋分以后則出入于卯酉之南隨天左旋之度地平上者少地平下者多故晝短夜永春分以后則出入于卯酉之北隨天左旋之度地平上者多地平下者少故晝永夜短所居之地愈北則永短之差愈多【廣州府北極出地二十三度一十分夏晝冬夜各五十三刻一十一分夏夜冬晝各四十二刻零四分其較一十一刻零七分京師北極出地三十九度五十五分夏晝冬夜各五十九刻零五分夏夜冬晝各三十六刻一十分其較二十二刻一十分北極愈髙其較愈多】及至北極之下則赤道當(dāng)?shù)仄较膭t有晝而無夜冬則有夜而無晝?nèi)懸园肽隇闀儼肽隇橐挂铀又赜蟿t永短之差漸少以至于赤道之下則兩極當(dāng)?shù)仄蕉鴷円钩＞o永短蓋一歲中為四時(shí)者各二矣【以日當(dāng)天頂為夏日去天頂逺為冬赤道既當(dāng)天頂而太陽一歲必兩躔赤道是兩夏也一躔天頂南二十三度余一躔天頂北二十三度余是兩冬也春秋亦如之】
　　晝夜永短以南北而異若
　　東西雖相去千萬里茍南
　　北極之髙度同則晝夜之
　　永短亦同故謂之南北里
　　差亦名地平緯差其推歩
　　之法以本地北極出地髙
　　度為主求得各節(jié)氣日出
　　入時(shí)刻即得晝夜時(shí)刻也
　　如圖甲乙丙為子午防甲
　　丙為地平丁為北極丁丙
　　三十九度五十五分為京
　　師北極之髙戊為卯正酉
　　正之位巳戊庚為赤道春
　　秋分太陽正當(dāng)赤道日出
　　于戊為卯正中于巳為午
　　正復(fù)入于戊為酉正地平
　　上戊巳之度與地平下戊
　　庚之度等故晝夜平分各
　　四十八刻辛為夏至辛壬
　　癸為赤道距等圈【古名晝長規(guī)】即夏至太陽隨天西轉(zhuǎn)一
　　周之軌壬當(dāng)卯正酉正之
　　位子為冬至子丑寅為赤
　　道距等圈【古名晝短規(guī)】即冬至
　　太陽隨天西轉(zhuǎn)一周之軌
　　丑當(dāng)卯正酉正之位夏至
　　日出于辰在卯正前壬辰
　　為日出距卯正之弧與赤
　　道之戊巳度等中于辛為
　　午正復(fù)入于辰在酉正后
　　地平上辰辛之度多于地
　　平下辰癸之度故晝永夜
　　短冬至日出于未在卯正
　　后未丑為日出距卯正之
　　弧與赤道之申戊度等亦
　　即與夏至日出距卯正之
　　戊己度等中于子為午正
　　復(fù)入于未在酉正前地平
　　上未子之度少于地平下
　　未寅之度故晝短夜永冬
　　至?xí)r地平上未子之度與
　　夏至?xí)r地平下辰癸之度
　　等冬至?xí)r地平下未寅之
　　度與夏至?xí)r地平上辰辛
　　之度等故冬之夜同于夏
　　之晝冬之晝同于夏之夜
　　也今求戊巳之度以丁戊
　　半徑一千萬與丁丙北極
　　髙三十九度五十五分之
　　正切丁戌八三六六二四
　　二之比即同于辰巳距緯
　　弧二十三度二十九分三
　　十秒之正切巳亥四三四
　　六三九五與戊巳弧之正
　　?三六三六二九九之比
　　【渾圓從外視之則弧與正?俱合為一線】得戊
　　巳二十一度一十九分二
　　十四秒【戌丁戊三角形與亥巳戊三角形為
　　同式形其巳角與丁角同為直角戌角與戊角為平
　　行線上交錯(cuò)之角必等故相當(dāng)之邊皆可為比例】變時(shí)得五刻一十分在夏
　　至?xí)r為卯前酉后分以減
　　卯正得日出寅正二刻五
　　分以加酉正得日入戌初
　　一刻一十分復(fù)倍卯前分
　　得一十一刻五分與四十
　　八刻相加得五十九刻五
　　分為晝刻與四十八刻相
　　減得三十六刻一十分為
　　夜刻也在冬至?xí)r為卯后
　　酉前分以加卯正得日出
　　辰初一刻一十分以減酉
　　正得日入申正二刻五分
　　復(fù)倍卯后分得一十一刻
　　五分與四十八刻相減得
　　三十六刻一十分為晝刻
　　與四十八刻相加得五十
　　九刻五分為夜刻也其余
　　節(jié)氣各用其距緯之正切
　　為比例即得日出入距卯
　　酉之弧但自春分至秋分
　　半歲日出皆在卯前日入
　　皆在酉后其變時(shí)加減并
　　與夏至同自秋分至春分
　　半歲日出皆在卯后日入
　　皆在酉前其變時(shí)加減并
　　與冬至同各省各國并依
　　此法推之

　　節(jié)氣時(shí)刻
　　古厯節(jié)氣之日時(shí)有二其一取周歲之日【三百六十五日有竒】二十四分之得一十五日有余為節(jié)為氣其日相等以之頒厯授時(shí)置閏成歲【置閏之法以無中氣者為閏月】名為恒氣言其各節(jié)氣之日皆一定而不易且歲歲有常也其一取周天之度【古三百六十五度四分度之一】二十四分之得一十五度有余為節(jié)為氣其度相等以歩躔離推朓朒名為定氣言以日躔之度為定而不問日時(shí)之多寡也【因日行有盈縮故各節(jié)氣度數(shù)雖等而日時(shí)不等】今頒厯亦用定氣【以日躔右旋一十五度為一氣】故冬至至小寒止一十四日有余夏至至小暑則一十六日不足且每年不同葢有加減可推務(wù)求宻合于天行也然一歲之中同一節(jié)氣而京師各省時(shí)刻不同者此則東西之里差亦名地平經(jīng)差而非天行之故蓋地體渾圎與天相應(yīng)而人居地面各以所見日中為午正今以京師為主在京師東者見日出入皆早其日中必在京師午正之前在京師西者見日出入皆遲其日中必在京師午正之后故東方節(jié)氣遲者非日躔之縮乃其見日早也西方節(jié)氣早者非日躔之盈乃其見日遲也其時(shí)刻之差視偏度之多寡每偏一度得時(shí)之四分偏東者加偏西者減要以京師西之節(jié)氣時(shí)刻加減之即得各省之節(jié)氣時(shí)刻

　　御制厯象考成上編卷四
<子部,天文算法類,推步之屬,御制歷象考成>
　　欽定四庫全書
　　御制歴象考成上編卷五
　　月離歴理
　　太隂各種行度
　　太隂平行度
　　太隂本輪遲疾四限
　　三月食推本輪半徑及最髙
　　晦朔?朢
　　太隂四輪總論
　　求初均數(shù)
　　求二三均數(shù)
　　兩月食定交周
　　黃白大距度及交均
　　視差
　　隱見遲疾

　　太隂各種行度
　　太隂行度共有九種而隨天西轉(zhuǎn)之行不與焉一曰平行葢太隂之本天帶一本輪本輪心循本天自西而東每日平行一十三度有竒二十七日有余而行天一周即白道經(jīng)度也二曰自行葢本輪心循白道行自西而東【即平行經(jīng)度】太隂復(fù)依本輪周行自東而西每日亦行一十三度有竒防不及本輪心行而與本輪心之行順逆參錯(cuò)人目視之遂生遲疾故名自行以別之授時(shí)厯名為轉(zhuǎn)周滿一周為轉(zhuǎn)終其所生之遲疾差名為初均數(shù)也三曰均輪行西人第谷言用一本輪以齊太隂之行往往與實(shí)測未合因?qū)⒈据啺霃饺种嫫涠譃榫啺霃接闷湟环譃榫啺霃骄喲据営眯凶詵|而西【即自行轉(zhuǎn)周度】太隂復(fù)依均輪周行自西而東每日行二十六度有竒為輪心行之倍度【均輪心行一度月行均輪周二度也】其所生之遲疾差即今所用之初均數(shù)也四曰次輪行葢用本輪均輪推得遲疾之最大差為四度有竒于朔朢時(shí)測之其數(shù)恰合而于上下?時(shí)測之則不合其大差至七度有竒故厯家又于均輪之周復(fù)設(shè)一輪循均輪周行命為次輪次輪心自西而東太隂復(fù)依次輪周亦自西而東每日行二十四度有竒為本輪心距太陽行之倍度【本輪心距太陽行一度月行次輪周二度也】名為倍離倍離所生之遲疾差名為次均數(shù)也五曰次均輪行葢有初均次均以步朔朢以定兩?則既合矣而于兩?前后測之又多不合故新法厯書復(fù)有二三均數(shù)表之加減也細(xì)考其表中所列誠皆實(shí)測之?dāng)?shù)但總合二三均數(shù)加減之而為一表耳爰思次輪之上必更有一輪以消息乎次均之?dāng)?shù)今命之曰次均輪其心循次輪周自西而東行倍離之度而太隂則循此輪之周自東而西亦行倍離之度用其所生之差以加減次均數(shù)即與太隂兩?前后所行恰合也六曰交行葢太隂行白道出入于黃道之內(nèi)外大距五度有竒其自黃道南過黃道北之防名曰正交【即如春分自赤道南過赤道北】自黃道北過黃道南之防名曰中交【即如秋分自赤道北過赤道南】每交之終不能復(fù)依原次而不及一度有余逐日計(jì)之退行三分有余命為兩交左旋之度【自東而西也】亦名羅計(jì)行度也【正交曰羅防中交曰計(jì)都】七曰最髙行最髙者本輪之上半最逺地心之處而最髙行者平行與自行相較之分也均輪心從最高左旋防不及于平行每日六分有竒即命為最髙左旋之度亦名月孛行度也八曰距日行于每日平行度內(nèi)減去太陽之行為每日太隂距太陽行二十九日有竒而復(fù)與日防是為朔防九曰距交行以每日平行度與每日交行相加得每日太隂距交度二十七日有竒而行交一周名為交周也要之太隂之去地甚近其行最著諸小輪之設(shè)雖無象可見而實(shí)有數(shù)可稽葢借以推步度數(shù)期與實(shí)測相符而已至于大象寥廓其或然或不然則非智計(jì)之所能及也

　　太隂平行度
　　測太隂平行之法須用兩月食計(jì)其前后相距若干日時(shí)及月行天若干周用其度分為實(shí)中積日時(shí)為法除之即得每日平行之率葢月之視差甚大惟月食為月入闇虛無地心地面之殊又食甚時(shí)正與太陽沖故將太陽之經(jīng)度加半周即太隂之經(jīng)度其得數(shù)為真也然所用兩月食亦須詳審葢闇虛與月體有小大之分而行度有遲疾之異必須擇各率均齊之兩月食方可用也其擇之之法第一取兩食時(shí)之太陽距地等斯闇虛之大小相等【太陽距地逺則影粗而長太陽距地近則影細(xì)而短詳交食】第二取兩食時(shí)之太隂距地等斯月體之大小等而入影之粗細(xì)亦等【闇虛為尖圓體近地粗漸逺地漸細(xì)以至于無故太隂距地近則當(dāng)闇虛之粗處太隂距地逺則當(dāng)闇虛之細(xì)處詳交食】第三取兩食時(shí)之自行度等斯入轉(zhuǎn)之遲疾等而過影之時(shí)刻必等考之史志所書月食并無時(shí)刻分秒及躔離度數(shù)即西人交食考亦不載月轉(zhuǎn)遲疾無憑取用今依新法厯書載西人依巴谷法定為三百四十五平年【平年者三百六十五日無余分】又八十二日四刻【每日九十六刻】或一十二萬六千零七日四刻為兩月食各率齊同之距于時(shí)防朢轉(zhuǎn)終皆復(fù)其始計(jì)其中積凡為防朢者四千二百六十七為轉(zhuǎn)終者四千五百七十三置中積一十二萬六千零七日四刻為實(shí)會(huì)朢數(shù)四千二百六十七為法除之得防朢策【即朔防】二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒【即二十九日零十分日之五分三○五九三授時(shí)厯同】乃以周天三百六十度為實(shí)防朢策二十九日五十刻一十四分零三秒一十四微零六纎四十三忽一十二芒為法除之得一十二度一十一分二十六秒四十一微二十六纎二十二忽三十四芒【即一十二度零十分度之一分九○七四七四○五五八授時(shí)厯作一十二度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分約之得一十二度一十一分二十七秋二十七微】為每日太隂平行距太陽之度加太陽每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纎五十一忽三十九芒得一十三度一十分三十五秒零一微一十六纎一十四忽一十三芒【即一十三度零十分度之一分七六三九四七七一三八授時(shí)厯作一十三度三十六分八十七秒五十微以周天三百六十度每度六十分約之得一十三度一十分三十五秒二十四防】為每日太隂平行經(jīng)度【即白道經(jīng)度】又置中積一十二萬六千零七日四刻為實(shí)以轉(zhuǎn)終數(shù)四千五百七十三為法除之得二十七日五十三刻零三分三十四秒四十防三十纖四十三忽一十二芒【即二十七日零十分日之五分五四五六八授時(shí)厯作二十七日五五四六】為轉(zhuǎn)終分乃以天周三百六十度為實(shí)以轉(zhuǎn)終分二十七日五十三刻零三分三十四杪四十微三十纖四十三忽一十二芒為法除之得一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纖一十九忽一十六芒【即一十三度零百分度之六分四九八四三六一二一】為每日太隂自行度又以每日平行經(jīng)度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纖一十四忽一十三芒與每日自行度一十三度零三分五十三秒五十六微三十七纖一十九忽一十六芒相減余六分四十一秒零四微三十八纖五十四忽五十七芒【即十分度之一分一一四一○四一○一七】為每日月孛之平行既得以上各種行度每日之平行遞加之得十日百日之平行遞析之得每時(shí)每分之平行以立表【毎日二十四時(shí)每時(shí)六十分】

　　太隂本輪遲疾四限
　　太隂之輪有四而本輪乃
　　遲疾四限之所由生其余
　　皆所以消息遲疾之?dāng)?shù)故
　　本輪為步月離之主如圖
　　甲為地心即本天心乙丙
　　丁戊為白道即太陰之本
　　天己庚辛壬為本輪其心
　　循白道右旋每日行一十
　　三度一十分百奇自乙而
　　丙而丁而戊而復(fù)至乙是
　　為平行徑度太隂循本輪
　　左旋每日行一十三度零
　　三分有奇自己而庚而辛
　　而壬而復(fù)至己是為自行
　　度【一名轉(zhuǎn)周一名引數(shù)】太隂在本輪
　　之己為最高【即月孛】在本輪
　　之辛為最卑最髙最卑之
　　防皆對本輪心與地心成
　　一直線故平行實(shí)行同度
　　為遲疾起算之端如太隂
　　由己向庚為遲初限以其
　　背輪心行能損右旋之度
　　故較平行度為遲至半象
　　限后所損漸少迨行滿一
　　象限至庚則無所損然而
　　積遲之多正在于庚葢平
　　行在乙而太隂在庚從地
　　心甲計(jì)之太陰當(dāng)本天之
　　癸癸乙弧以本輪半徑庚
　　乙為正切為遲差之極大
　　也從庚向辛為遲末限太
　　隂行本輪之下半周順輪
　　心行其實(shí)行漸疾然因有
　　積遲之度方以次相補(bǔ)其
　　實(shí)行仍在平行后迨行滿
　　一象限至辛為極疾而積
　　遲之度始補(bǔ)足無缺實(shí)行
　　與平行乃合為一線故自
　　最髙至最卑半周為遲厯
　　也如太隂由辛向壬為疾
　　初限以其順輪心行能益
　　右旋之度故較平行度為
　　疾至半象限后所益漸少
　　迨行滿一象限至壬則無
　　所益然而積疾之多正在
　　于壬蓋平行在乙而太隂
　　在壬從地心甲計(jì)之太隂
　　當(dāng)本天之子子乙弧以本
　　輪半徑壬乙為正切為疾
　　差之極大也從壬向己為
　　疾末限太隂行本輪之上
　　半周背輪心行其實(shí)行漸
　　遲然因有積疾之度方以
　　次相消其實(shí)行仍在平行
　　前迨行滿一象限至己為
　　極遲而積疾之度始消盡
　　無余實(shí)行與平行復(fù)合為
　　一線故自最卑至最髙半
　　周為疾厯也

　　三月食推本輪半徑及最髙
　　太隂初均數(shù)生于本輪半徑本輪半徑不定則實(shí)行不可得而定新法厯書載西人多録某用漢陽嘉永和間三次月食推得本輪半徑為本天半徑十萬分之八千七百零六月過最髙三百一十四度一十七分【陽嘉二年三月朢】西人歌白泥用明正徳嘉靖間三次月食推得本輪半徑為本天半徑十萬分之八千六百零四月過最髙一百八十三度五十一分【正徳六年九月朢】迨后西人第谷定本輪半徑為本天半徑十萬分之八千七百月離表定崇禎戊辰年天正冬至次日子正月過最髙二百零五度三十二分一十六秒交日表定崇禎戊辰年首朔【即年前十二月朔】月過最髙三十七度三十四分三十四秒其年首朔距天正冬至次日子正一十四日一十六時(shí)二十六分四十六秒以交日表所定首朔月過最髙之度推其年天正冬至次日子正月過最髙之度應(yīng)得二百零五度四十二分四十九秒比月離表所定多一十分三十三秒又察其正交行度兩表差至二十余分今以交食表推步月食其時(shí)刻之早晚食分之淺深俱與天行頗合故月過最髙之度宜以交食表為凖但用目下三月食推本輪半徑或微大或微小皆不能合八千七百之?dāng)?shù)葢用本輪以推實(shí)朢惟自行當(dāng)三宮九宮初度之一防方合而目下所測月食其自行皆不正當(dāng)三宮九宮初度之?dāng)?shù)用本輪半徑以推實(shí)朢既與實(shí)測不合則用實(shí)測之實(shí)朢以推本輪半徑亦必與原數(shù)不合因假設(shè)三月食以明其法如左

　　設(shè)如第一食日躔鶉首宮七度三十五分四十七秒五十三微月離星紀(jì)宮七度三十五分四十七秒五十三微月行遲末限之初在本輪右半周之中如甲第二食日躔夀星宮初度月離降婁宮初度月行遲初限將半在本輪右半周之上如乙第三食日躔星紀(jì)宮二度五十四分零二秒四十九微月離鶉首宮二度五十四分零二秒四十九微月行疾末限之初在本輪左半周之中如丙
　　第一食距第二食一千一
　　百八十日二十二時(shí)一十
　　四分零四秒實(shí)行相距八
　　十二度二十四分一十二
　　秒零七微【即星紀(jì)宮丁防距降婁宮戊防
　　之度于第二次月離度內(nèi)減去第一次月離度即得】平行相距八十度二十一
　　分一十秒【即星紀(jì)宮已防距降婁宮庚防
　　之度以每日平行與距日相乘減去全周即得】平
　　行小于實(shí)行二度零三分
　　零二秒零七微自行相距
　　三百零八度四十七分零
　　七秒二十七微【以每日自行與距日
　　相乘減去全周即得】第二食距第三
　　食一千九百一十八日二
　　十三時(shí)零五分五十七秒
　　實(shí)行相距九十二度五十
　　四分零二秒四十九微【即降
　　婁宮戊防距鶉首宮辛防之度】平行相距
　　八十五度零二十五秒【即降
　　婁宮庚防距實(shí)沈?qū)m壬防之度】平行小于
　　實(shí)行七度五十三分三十
　　七秒四十九微自行相距
　　二百三十一度一十二分
　　五十二秒三十三微乃以
　　三月食自行相距度列于
　　一本輪之上立法算之
　　如圖癸為地心即本天心丁戊己辛為本天之一弧己為本輪心從丁向戊右旋為平行度月體從本輪最高子向乙左旋為自行度第一食月在甲本天平

　　行度在己實(shí)行度在丁從甲行三百零八度四十七分零七秒二十七微至乙即第一食距第二食之自行度第二食月在乙本天平行度在己實(shí)行度在戊丁戊弧二度零三分零二秒零七微即第一食距第二食平行實(shí)行之差從乙行二百三十一度一十二分五十二秒

　　三十三微至丙即第二食距第三食之自行度第三食月在丙本天平行度在己實(shí)行度在辛戊辛弧七度五十三分三十七秒四十九微即第二食距第三食平行實(shí)行之差乙癸線割本輪于丑從丑防作丑甲丑丙二線又作甲丙線即成丑丙癸丑甲癸丑甲丙三三角形

　　乃用此三三角形求本天半徑與本輪半徑之比例先用丑丙癸三角形求丑丙邊此形有丑角一百一十五度三十六分二十六秒一十六微【以乙丑丙弧二百三十一度一十二分五十二秒三十三防折半即得葢乙子丙弧為丑界角之倍度折半得丑外角與半周相減得丑內(nèi)角以乙丑丙弧折半得數(shù)亦同故乙丑丙弧亦即丑角之倍度】有癸角七度五十三分三十

　　七秒四十九微【即戊辛弧之度】即有丙角五十六度二十九分五十五秒五十五微設(shè)丑癸邊為一○○○○○○○求得丑丙邊一六四六九八六次用丑甲癸三角形求丑甲邊此形有丑角一百五十四度二十三分三十三秒四十三微【以甲丑丙乙弧三百零八度四十七分零七秒二十七防折半即得葢乙甲弧為丑】

　　【界角之倍度折半得丑外角與半周相減得丑內(nèi)角以甲丑丙乙弧折半得數(shù)亦同故甲丑丙乙弧亦即丑角之倍度】有癸角二度零三分零二秒零七微【即丁戊弧之度】即有甲角二十三度三十三分二十四秒一十微設(shè)丑癸邊為一○○○○○○○求得丑甲邊八九五三一六末用丑甲丙三角形求丙角此形有丑角九十度【以癸丑丙角與】

　　【癸丑甲角相加得二百七十度與三百六十度相減即得】有丑丙邊一六四六九八六有丑甲邊八九五三一六求得丙角二十八度三十一分四十四秒倍之得五十七度零三分二十八秒為甲丑弧以甲丑弧與乙甲弧五十一度一十二分五十二秒三十三微相加得一百零八度一十六分二十秒

　　三十三微為乙丑弧于是以本輪半徑命為一○○○○○○○各用八線表求其通?則乙丑弧之通?為一六二○八二三六丑丙弧之通?為一七五七一五三○乃用比例法變先設(shè)之丑癸邊為同比例數(shù)以先得之丑丙邊一六四六九八六與先設(shè)之丑癸邊一○

　　○○○○○○之比即同于今所察之丑丙通?一七五七一五三○與今所求之丑癸邊之比而得丑癸邊一○六六八九○○六又以乙丑通?一六二○八二三六折半得八一○四一一八為寅丑與丑癸一○六六八九○○六相加得一一四七九三一二四為寅癸

　　又以乙丑弧一百零八度一十六分二十秒三十三微折半得五十四度零八分一十秒一十六微其余?五八五八六○六為寅巳成巳寅癸勾股形乃用勾股求?法求得巳癸?一一四九四二五二七為本天半徑即得本天半徑與本輪半徑之比例為一一四九四二

　　五二七與一○○○○○○○若設(shè)本天半徑為一○○○○○○○則得本輪半徑為八七○○○○
　　求大陰距最髙之度則用巳寅癸直角三角形求得巳角八十七度零四分四十二秒三十微即卯辰弧加乙卯弧五十四度零八分一十秒一十六微得一百四十一度一十二分五十二秒四十

　　六微與半周相減余三十八度四十七分零七秒一十四微為子乙弧即第二次月食月距最髙之度也
　　晦朔?朢
　　太隂之晦朔?朢雖無闗于自行之遲疾而自行之遲疾實(shí)由于朔朢兩?而得知其二十七日有奇而一周者太陰之自行也其二十九日半強(qiáng)而與太陽相防者朔策也其間猶有朢與上下兩?之分焉葢太隂之體賴太陽而生光其向太陽之面恒明背太陽之面恒晦而其行則甚速于太陽當(dāng)其與太陽相會(huì)之時(shí)人在地上正見其背故謂之朔朔后漸逺太陽人可漸見其面其光漸長至距朔七日有奇其距太陽九十度人可見其半面太陽在后太隂在前其光向西其魄向東故名上?上?以后距太陽愈逺其光漸滿至一百八十度正與太陽相朢人居其間正見其面故謂之朢自朢以后又漸近太陽人不能正見其面其光漸虧其魄漸生至距朢七日有奇其距太陽亦九十度則又止見其半面太陽在前太隂在后其光向東其魄向西故名下?下?以后距太陽愈近其光漸消至復(fù)與太陽相會(huì)其光全晦復(fù)為朔矣

　　如圖甲為地面乙為太陽
　　丙丁戊己皆為太隂如太
　　隂在丙與太陽正會(huì)為朔
　　其光向乙從甲視之止見
　　其背故全晦也離太陽而
　　前距九十度至丁為上?
　　從甲視之見其半面故半
　　明半晦也至距太陽一百
　　八十度至戊正與太陽相
　　朢從甲視之正見其面故
　　全明也及離太陽而后距
　　九十度至己為下?從甲
　　視之又止見其半面故亦
　　半明半晦也及至于丙而
　　與太陽復(fù)防則又全晦而
　　為朔矣

　　太隂四輪總論
　　太隂行度用四輪推之而四輪之法皆系實(shí)測而得非意設(shè)也西人第谷以前步月離惟用本輪次輪葢因朔朢之行有遲疾故知其有本輪而兩?之行不同于朔朢故知其有次輪其法次輪與本輪兩周相切太隂行于次輪之上朔朢時(shí)太隂正當(dāng)兩周相切之防故云朔朢時(shí)太隂循本輪周行而兩?時(shí)太隂則從兩周相切之防行次輪半周距本輪心最逺故次輪全徑為兩?時(shí)大于朔朢時(shí)平行實(shí)行之極大差第谷遵其法用之因不能密合太隂之行故于本輪上復(fù)加一均輪且因兩?前后之行又不同于兩?故又加一次均輪葢用本輪推朔朢時(shí)平行實(shí)行之極大差為本輪半徑得四度五十八分有余而徴之實(shí)測惟自行三宮九宮初度之一防為合在最髙前后兩象限則失之小在最卑前后兩象限則失之大故第谷將本輪半徑三分之存其二分為本輪半徑取其一分為均輪半徑用求平行實(shí)行之差為初均數(shù)乃密合于天至于兩?時(shí)平行實(shí)行之極大差七度二十五分有余雖為新本輪半徑并均輪半徑仍加次輪全徑之?dāng)?shù)然即舊本輪半徑與次輪全徑相并之?dāng)?shù)也其次均輪行于次輪即如初均輪之行于本輪但所行之度不同耳【初均輪行為引數(shù)之度次均輪行為倍離之度】第谷以次輪設(shè)于地心又設(shè)不同心之天其心循次輪周行而本輪心則循不同心天行初均輪則循本輪周行夫用不同心天與用小輪理本相通但兩法合講殊覺紛紜不如専用一法觀之為便至于兩?前后有二三均數(shù)之加減而不言其由次均輪而生今并悉其根源増一負(fù)均輪圈移初均輪心使行于此則次輪心即行于初均輪而次均輪心亦得行于次輪葢負(fù)均輪圏半徑乃新本輪半徑加一次輪半徑之分朔朢時(shí)太隂在次輪之最近防又在次均輪之下防而次均輪心又必常在次輪周故朔朢時(shí)止用初均輪不用次輪及次均輪也兩?時(shí)太隂在次輪之最逺防又在次均輪之上防而次均輪心亦必在次輪之最逺防故兩?時(shí)止用次輪不用次均輪也至于朔朢前后及兩?前后太隂在次輪之逺近二防之間又在次均輪之上下二防之間而次均輪心亦不在次輪之逺近二防故有次輪與次均輪之相差而或加或減也要之本輪者推本天之髙卑均輪者所以消息本輪之行度次輪者定朔朢兩?之逺近次均輪者又所以分別朔朢兩?前后之加減故本輪行度合初均輪之倍引而生初均數(shù)分髙卑左右而為朔朢之加減差也次輪行度合次均輪之倍離而生二三均數(shù)分逺近上下而為兩?及兩?前后之加減差也是故非騐諸實(shí)測無以知四輪之妙而明于四輪之用則于太隂遲疾之故思過半矣
　　西人第谷以前所用本輪次輪法如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為本輪戊為最髙庚為最卑辛為次輪心辛壬為負(fù)次輪之圈己為次輪最近癸為次輪最逺如次輪周

　　在本輪最髙后六十度相切于己朔朢時(shí)太隂在己從地心甲作己甲實(shí)行線割本天于子子丙弧為平行實(shí)行之差

　　故用丙甲己三角形求得甲角即子丙弧為本輪所生初均數(shù)也上下?時(shí)太隂則從次輪之巳防厯丑至癸從地心甲作癸甲實(shí)行線割本天于寅寅丙弧

　　為平行實(shí)行之差故用丙甲癸三角形求得甲角即寅丙弧為本輪所生初均及次輪所生次均之共數(shù)也【子丙弧為初均寅子弧為次均】第谷用此法求得均數(shù)征之實(shí)測在最髙前后兩象限其數(shù)失之小在最卑前后兩象限其數(shù)失之大故將本輪半徑三分之存其二分為本輪半徑取

　　其一分為均輪半徑將次輪設(shè)于地心又設(shè)不同心之天其心循次輪周行而本輪心則循不同心天行均輪心循本輪周行如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為舊本輪辛壬癸為新本輪辛丙半徑為戊丙半徑三分之二戊子丑為均輪戊辛半徑為

　　戊丙半徑三分之一本輪心循本天右旋均輪心循本輪左旋甲寅卯辰為次輪本天心循甲寅卯辰右旋半月一周朔朢時(shí)本天心與地心同在甲兩?時(shí)本天心在卯離地心極逺總之朔朢以外本天心俱離甲防本天皆為不同心之天矣

　　又第谷添設(shè)初均輪新法所推均數(shù)與本輪舊法所生均數(shù)最大之差有九分五十余秒在最高前后兩象限為大最卑前后兩象限為小如舊法太隂距最髙戊后六十度在已則丙甲巳角為初均數(shù)若新法則均輪心距最髙辛后六十度在壬太隂則距均輪之近防丑行

　　一百二十度至子而丙甲子角為初均數(shù)比舊法初均數(shù)丙甲巳角大一已甲子角其在最髙前之均數(shù)亦如之又如舊法太隂距最卑庚后六十度在已則丙甲已角為初均數(shù)若新法則均輪心距最卑癸后六十度在壬太隂則距均

　　輪之近防丑行一百二十度至子而丙甲子角為初均數(shù)比舊法初均數(shù)丙甲已角小一子甲已角其在最卑前之均

　　數(shù)亦如之然第谷所増均輪法極有理而所設(shè)不同心天與小輪合用則不便于觀今將次輪置于均輪之周其心循均輪周右旋又將次輪半徑與新本輪半徑相加為半徑作負(fù)均輪之圈均輪心則循負(fù)均輪圈左旋又増一次均輪以明二三均數(shù)之根用此法求各均數(shù)皆與第谷之法無異
　　依第谷所添初均輪并新増次均輪合本輪次輪共為一圖如甲為地心乙丙丁為本天之一弧丙為本輪心戊己庚為舊本輪辛壬癸為新本輪巳子丑為原均輪寅卯為新増負(fù)均輪之圈其半

　　徑為次輪半徑與新本輪半徑相加之?dāng)?shù)乃移均輪心于負(fù)均輪圈卯作辰巳午均輪與巳子丑原均輪等辰為逺防午為近防用均輪心行負(fù)均輪圈寅卯弧之倍度【即本輪周辛壬弧之倍度】從均輪近點(diǎn)午數(shù)至巳以巳為心作未申子次輪其未子全徑與均輪辰午全徑平行未為逺

　　防子為近防又以次輪周近防子為心作酉戌亥次均輪酉為上防戌為下防如均輪心循負(fù)均輪圈從最髙寅厯卯左旋則次輪心循均輪周從最近午厯巳右旋行均輪心距最髙之倍度次均輪心又循次輪周從最近子厯申右旋行太隂距太陽之倍度太陰則循次均

　　輪周從最下戌厯亥左旋亦行距太陽之倍度朔朢時(shí)太隂必在次均輪之最下戌次均輪心必在次輪周之最近子【即次輪周與巳子丑原均輪周相切之防】從地心甲作子甲實(shí)行線即成丙甲子三角形其甲角為初均數(shù)葢朔朢時(shí)太隂雖在次均輪之周然必在下防而次均輪心又必在次

　　輪周與均輪周相切之防故求朔朢時(shí)之初均數(shù)止用均輪不用次輪也【太隂在次均輪之戌防雖在子防之下然俱在實(shí)行線上其經(jīng)度無異也】兩?時(shí)次均輪心從次輪周之最近子行至最逺未太陰從次均輪周之最下戌行至最上酉從地心甲作酉甲實(shí)行線成子甲未三角形其甲角為二均數(shù)葢兩?

　　時(shí)太隂必在次均輪周之上防而次均輪心又必在次輪周之逺防故兩?時(shí)止用次輪求二均數(shù)不用次均輪也【太隂在次均輪周之酉點(diǎn)雖高于未點(diǎn)然俱在實(shí)行線上其經(jīng)度無異也】如在朔朢之后兩?之前次均輪心從次輪周之最近子行至申太隂從次均輪周之最下戌行至亥從地心甲至次均輪

　　之最上酉作酉甲過心線復(fù)從地心甲至次均輪之太隂所在亥作亥甲實(shí)行線則成子甲申與亥甲申兩三角形其子甲申角為二均數(shù)亥甲申角為三均數(shù)兩角相減余子甲亥角為二三均數(shù)也如在朔朢之前兩?之后次均輪心從次輪周之最近子厯最逺未行至申

　　太隂從次均輪周之最下戌厯最上酉行至亥從地心甲至次均輪之最上酉作酉甲過心線復(fù)從地心甲至次均輪之太隂所在亥作亥甲實(shí)行線則成子甲申與申甲亥兩三角形其子甲申角為二均數(shù)申甲亥角為三均數(shù)兩角相加得子甲亥角為二三均數(shù)也求初均

　　數(shù)及二三均數(shù)法俱見后

　　求初均數(shù)
　　太隂之行因遲疾而生加減差朔望用之者名為初均數(shù)自最髙至最卑六宮為遲厯為減差自最卑至最髙六宮為疾厯為加差葢因最髙前三宮與后三宮相當(dāng)最卑前三宮與后三宮相當(dāng)其差數(shù)皆相等故求得最髙后六宮之差數(shù)而最卑后六宮之差數(shù)視此但加減不同耳【如最髙前三十度與最髙后三十度其差數(shù)必等但在最髙前者為加差最髙后者為減差也】授時(shí)厯名為遲疾差其最大者為五度四二九三四四以周天三百六十度每度六十分約之得五度二十一分零五秒朔朢兩?同用今求得最大之差四度五十八分二十七秒【即四度零十分度之九分七四二】惟朔朢為然名之初均數(shù)者所以別于朔朢以外之二三均數(shù)也
　　如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲半徑為一千萬戊己庚為本輪戊丙半徑為五十八萬戊為最

　　髙庚為最卑辛壬癸為均輪辛戊半徑為二十九萬辛為最逺【去本輪心逺也】癸為最近【去本輪心近也】本輪心循本天右旋自乙而丙而丁每日行一十三度一十分三十五秒即白道經(jīng)度均輪心循本輪左旋自戊而已而庚每日行一十三度零三

　　分五十四秒即自行引數(shù)太隂則循均輪右旋自癸而壬而辛每日行二十六度零七分四十八秒為倍引數(shù)也如均輪心在本輪之最髙戊為初宮初度則太隂在均輪之最近癸從地心甲計(jì)之成一直線無平行實(shí)行之差故自

　　行初宮初度無均數(shù)也
　　如均輪心從本輪最髙戊向己行一百八十度至最卑庚為六宮初度則太隂

　　從均輪最近癸厯壬辛行一周復(fù)至癸從地心甲計(jì)之亦成一直線無平行實(shí)行之差故自行六宮初度亦無均數(shù)也如均輪心從本輪最髙戊行三十度至子為一宮初度則太隂從均輪最近癸行六十度至丑【丑癸弧為戊子弧之倍度】從地心甲

　　計(jì)之太隂當(dāng)本天之寅寅丙弧為實(shí)行不及平行之度乃用丙癸卯直角三角形求癸卯卯丙二邊此形有卯直角有丙角三十度則癸角必六十度有癸丙本輪半徑之半二十九萬【于子丙半徑五十八萬內(nèi)減去子癸半徑二十九萬即得】求得癸卯邊一十四萬五千卯丙邊二十五萬一千一百四十七以卯丙邊與丙甲半徑一千萬相加

　　得一千零二十五萬一千一百四十七為卯甲邊以癸卯邊三因之得四十三萬五千為丑卯邊【辛丑癸三角形與丙卯癸三角形為同式形葢癸為交角丑角立于圜界之一半為直角與卯角等則辛角必與丙角等是三角俱等也辛癸為均輪全徑為癸丙之二倍則丑癸亦必為癸卯之二倍故三因癸卯即得丑卯也】于是用甲丑卯直角三角形求得甲角二度二十五分四十七秒即寅丙弧為太隂自行一宮初度之初

　　均數(shù)是為減差以減于平行而得實(shí)行也【凡求得初均角即求得丑甲邊為太隂距地心數(shù)存之為后求二均之用余仿此】若均輪心從最髙戊向己厯庚行三百三十度至辰為十一宮初度則太隂從均輪最近癸行一周復(fù)自最近癸厯辛行三百度至己【癸巳弧為戊辰弧之倍度】從地心甲計(jì)之太隂當(dāng)本天之午午丙弧與寅丙弧等故自行十一宮初度之初均

　　數(shù)與一宮初度等但為實(shí)行過于平行之?dāng)?shù)是為加差以加于平行而得實(shí)行也用此法求得最髙后三宮之減差【初宮初度至二宮末度】即得最髙前三宮之加差【九宮初度至十一宮末度】
　　如均輪心從本輪最髙戊行九十二度至未為三宮二度則太隂從均輪最近

　　癸歴辛行一百八十四度至申從地心甲計(jì)之太隂當(dāng)本天之酉酉丙弧為實(shí)行不及平行之度乃用丙癸戌直角三角形求癸戌丙戌二邊此形有戌直角有丙角八十八度則癸角必二度癸丙邊為二十九萬求得癸戌邊二十八萬九千八百二十三丙戌邊一萬零一百

　　二十一以丙戌邊與丙甲邊相減余九百九十八萬九千八百七十九為戌甲邊以癸戌邊三因之得八十六萬九千四百六十九為申戌邊于是用甲申戌直角三角形求得甲角四度五十八分二十七秒即酉丙弧為太隂自行三宮

　　二度之初均數(shù)是為極大之減差以減于平行而得實(shí)行也若均輪心從最髙戊厯庚行二百六十八度至亥為八宮二十八度則太隂從均輪最近癸行一周復(fù)自癸厯壬行一百七十六度至子從地心甲計(jì)之太隂當(dāng)本天之丑丑丙

　　弧與酉丙弧等故自行八宮二十八度之初均數(shù)與三宮二度等但為實(shí)行過于平行之?dāng)?shù)是為極大之加差以加于平行而得實(shí)行也用此法求得最卑前三宮之減差【三宮初度至五宮末度】即得最卑后三宮之加差【六宮初度至八宮末度】

　　求二三均數(shù)
　　太隂之加減差朔朢以外用者名為二均三均數(shù)其二均數(shù)之生于次輪全徑與三均數(shù)之生于次均輪半徑亦猶初均數(shù)之生于本輪及均輪半徑也故欲求二均三均之?dāng)?shù)必先定次輪及次均輪之徑而欲定次輪及次均輪之徑又須先測二均及三均之?dāng)?shù)也厯家于上下?當(dāng)自行三宮或九宮時(shí)累測之【惟此時(shí)太隂距本輪心甚逺平行視行之差極大】其極大之均數(shù)得七度二十五分四十六秒查其切線得一百三十萬四千內(nèi)減去本輪均輪兩半徑之共數(shù)八十七萬余四十三萬四千半之得二十一萬七千即次輪之半徑也于兩?及朔朢之間【約太隂距太陽四十五度時(shí)】當(dāng)自行三宮或九宮時(shí)累測之其均數(shù)常與推算不合差至四十一分零二秒是即次均輪所生之三均數(shù)也依法求其半徑得一十一萬七千五百既定次輪與次均輪之半徑乃逐度求其二均三均之?dāng)?shù)復(fù)用三均數(shù)以加減乎二均數(shù)是為二三均數(shù)用以推步月離乃與測驗(yàn)脗合矣
　　如圖甲為地心即本天心乙丙丁為本天之一弧丙甲為本天半徑戊丙己為本輪全徑戊為最髙己為最卑庚丙辛為負(fù)均輪圈全徑【省曰負(fù)圈】庚為最髙辛為最卑壬庚癸為均輪全徑壬為最逺癸

　　為最近子癸丑為次輪全徑子為最逺丑為最近寅丑卯為次均輪全徑寅為最上卯為最下本輪心從本天冬至度右旋【本天上與黃道冬至相對之度也】為經(jīng)度均輪心從負(fù)圈最髙左旋【即同本輪最髙】為引數(shù)【即自行度】次輪心從均輪最近右旋為倍引數(shù)次均輪心從次輪最近右旋行倍離之度【即太隂距太陽之倍度】太隂從次均輪最下左旋

　　亦行倍離之度如均輪心在負(fù)圈最髙庚為自行初宮初度則次輪心在均輪之最近癸又當(dāng)朔朢時(shí)則次均輪心在次輪之最近丑太隂在次均輪之最下卯從地心甲計(jì)之同在一直線即平行實(shí)行合而為一故無均數(shù)之加減也如均輪心在負(fù)圈最卑辛為自行六宮初度則次輪心在均輪之最近癸又當(dāng)

　　朔朢時(shí)則次均輪心在次輪之最近丑太隂在次均輪之最下卯從地心甲計(jì)之亦同在一直線即平行實(shí)行合而為一故亦無均數(shù)之加減也
　　如均輪心從最髙庚行九十度至辰為自行三宮初度次輪心則從均輪最近癸行一百八十度至最逺壬朔朢時(shí)次均輪心常在次輪周之最近丑太隂常

　　在次均輪周之最下卯從地心甲計(jì)之仍見太隂在丑【太隂雖在丑點(diǎn)之下因在一直線故視之如在一處也】其實(shí)行不及平行之度為丙甲丑

　　角四度五十八分二十秒即初均數(shù)其切線丑丙八十七萬即本輪均輪兩半徑之共數(shù)也兩?時(shí)次均輪心常在次輪周之最逺子太隂常在次均輪周之

　　最上寅從地心甲計(jì)之仍見太隂在子【太隂雖在子點(diǎn)之上因在一直線故視之如在一處也】其實(shí)行不及平行之度為丙甲子角七度二十五分四十五秒內(nèi)減初均數(shù)丙甲丑角四度五十八分二十秒余二度二十七分二十五秒即丑甲子角命為二均數(shù)丙甲子角之切線子丙得一百三十萬四

　　千內(nèi)減丑丙本輪均輪兩半徑八十七萬余丑子線四十三萬四千是為次輪之全徑也此初均數(shù)為減差二均數(shù)亦為減差葢朔朢之實(shí)行丑點(diǎn)在平行丙點(diǎn)之后【本輪心丙循本天右旋故以左為前右為后凡言前后者皆仿此】而兩?時(shí)之實(shí)行子點(diǎn)仍在丑點(diǎn)之后故于平行內(nèi)減去初均數(shù)丙甲丑角

　　即得朔朢時(shí)之實(shí)行復(fù)減去二均數(shù)丑甲子角始得兩?時(shí)之實(shí)行也若均輪心從最髙行二百七十度至辰為自行九宮初度次輪心則從均輪最近癸行一周復(fù)行一百八十度至最逺壬而當(dāng)兩?之時(shí)則初均數(shù)丙甲丑角與二均

　　數(shù)丑甲子角皆與三宮初度之?dāng)?shù)相等但實(shí)行俱在平行之前故俱為加差以

　　加于平行而得實(shí)行也
　　如均輪心從最髙庚行九十度至辰為自行三宮初度次輪心從均輪之最近癸行一百八十度至最逺壬時(shí)當(dāng)朔與

　　上?之間或朢與下?之間次均輪心從次輪最近丑行九十度至巳太隂則從次均輪最下卯行九十度至午其丙甲丑角四度五十八分二十秒為初均數(shù)丑甲邊一千零三萬七千七百七十四為次輪最近點(diǎn)距地心之?dāng)?shù)【求丑甲邊法見前求初均數(shù)篇】乃用丑甲己三角形求二均數(shù)

　　此形有丑甲邊一千零三萬七千七百七十四有丑己邊三十萬六千八百八十四【即次輪九十度之通?以半徑一千萬為一率九十度之通?一千四百一十四萬二千一百三十六為二率次輪半徑二十一萬七千為三率求得四率三十萬六千八百八十四即次輪九十度之通?】有丑角四十九度五十八分二十秒【丙甲丑直角形以丙直角與甲角相加得九十四度五十八分二十秒為壬丑甲角內(nèi)減去壬丑己角四】

　　【十五度余四十九度五十八分二十秒為巳丑甲角】求得丑甲巳角一度二十二分零五秒與初均數(shù)丙甲丑角四度五十八分二十秒相加得丙甲巳角六度二十分二十五秒為實(shí)行不及平行之度然太隂不在巳而在午于時(shí)測得實(shí)行不及平行之度為五度三十九分二十三秒相差四十一分

　　零二秒即丙甲巳角大于丙甲午角之午甲巳角命為三均數(shù)乃用午甲巳直角三角形求次均輪之半徑此形有巳

　　甲邊九百八十四萬二千六百二十二【用丑巳甲三角形求之而得】有己直角有甲角四十一分零二秒求得己午邊一十一萬七千五百是為次均輪之半徑也此初均

　　數(shù)為減差二均數(shù)亦為減差而三均數(shù)轉(zhuǎn)為加差故于二均數(shù)內(nèi)減去三均數(shù)余四十一分零三秒即丑甲午角為二三均數(shù)仍為減差【凡二均與三均加減異者相減為二三均數(shù)仍從大數(shù)如二均大于三均則從二均三均大于二均則從三均】葢次輪之最近丑點(diǎn)在平行丙點(diǎn)之后次均輪心巳點(diǎn)又在最近丑點(diǎn)之后而太隂

　　午點(diǎn)卻在次均輪心巳點(diǎn)之前故以二均與三均相減余丑甲午角為二三均數(shù)于平行內(nèi)減去初均數(shù)丙甲丑角復(fù)減去二三均數(shù)丑甲午角始得本時(shí)之實(shí)行也若均輪心從最髙庚行二百七十度至辰為自行九宮初度次輪心從

　　均輪最近癸行一周復(fù)行一百八十度至最逺壬而當(dāng)上?與朢之間或下?與朔之間則初均數(shù)丙甲丑角及二三均數(shù)丑甲午角皆與三宮初度之?dāng)?shù)相等但實(shí)行俱在平行之前故俱為加差

　　以加于平行而得實(shí)行也
　　如均輪心從最髙庚行一百二十度至未為自行四宮初宮次輪心從均輪最近癸行二百四十度至申此時(shí)若太隂距太陽一百一十度為上?后一日余則次均輪心從次輪最近丑行二百二

　　十度至酉太隂亦從次均輪最下卯行二百二十度至戌其丙甲丑角四度二十二分一十九秒為初均數(shù)丑甲邊九百八十八萬三千七百六十為次輪最近點(diǎn)距地心之?dāng)?shù)乃用丑甲酉三角形求二均數(shù)此形有丑甲邊九百八十八萬三千七百六十有丑酉邊四十萬七

　　千八百二十七【次輪丑酉弧一百四十度之通?】有丑角八十四度二十二分一十九秒【丙甲亥三角形以甲丙兩角相并與亥外角等丑申子次輪全徑原與癸未壬均輪全徑平行則申丑亥角與丑亥丙角為平行線內(nèi)兩尖交錯(cuò)之角其度必等故以丙甲亥角四度二十二分一十九秒與甲丙亥角六十度相加得六十四度二十二分一十九秒即為申丑亥角又酉丑子為界角對酉子弧四十度則酉丑子角必二十度與申丑亥角相加得八十四度二十二分一十九秒即為酉丑甲】

　　【角】求得丑甲酉角二度二十一分四十秒為二均數(shù)又求得酉甲邊九百八十五萬一千五百九十五復(fù)用酉甲戌三角形求三均數(shù)此形有酉甲邊九百八十五萬一千五百九十五有酉戌邊一十一萬七千五百【次均輪半徑】有酉角一百四十度【即次均輪戌卯弧】求得酉甲戌角二十

　　六分零七秒為三均數(shù)也此二均三均并為減差故以二均與三均相加得二度四十七分四十七秒為二三均數(shù)仍為減差【凡二均與三均加減同者相加為二三均數(shù)余仿此】葢次輪之最近丑點(diǎn)與次均輪心酉點(diǎn)俱在平行丙點(diǎn)之后而太隂戌點(diǎn)又在次均輪心酉點(diǎn)之后故以二均與三均相加

　　得丑甲戌角為二三均數(shù)于平行內(nèi)減去初均數(shù)丙甲丑角復(fù)減去二三均數(shù)丑甲戌角始得本時(shí)之實(shí)行也若均輪心從最髙庚行二百四十度至未為自行八宮初度次輪心從均輪最近癸行一周復(fù)行一百二十度至申而太隂距

　　太陽七十度為上?前一日余則次均輪心從次輪最近丑行一百四十度至

　　酉太隂亦從次均輪最下卯行一百四十度至戌其初均數(shù)丙甲丑角及二三均數(shù)丑甲戌角皆與四宮初度之?dāng)?shù)相

　　等但實(shí)行俱在平行之前故俱為加差以加于平行而得實(shí)行也
　　如均輪心合朔時(shí)在本輪之辰距最卑辛十五度余則次輪心在均輪之己距均輪最近癸三十一度余次均輪心則

　　在次輪最近丑太隂在次均輪最下卯迨朔后一日余本輪心從本天合朔后行十六度至丙則均輪心亦從本輪辰行十五度余至最卑辛為自行六宮初度次輪心亦從均輪己行三十一度余

　　至最近癸次均輪心從次輪最近丑行三十二度至午太隂亦從次均輪最下卯行三十二度至未則無初均數(shù)乃用癸甲午三角形求二均數(shù)此形有癸甲邊九百四十九萬三千【于丙甲半徑一千萬內(nèi)減去負(fù)圈半徑丙辛七十九萬七千余辛甲九百二十萬三千最加均輪半徑癸辛二】

　　【十九萬即得】有癸午邊二十一萬七千有癸角一百四十八度求得癸甲午角四十分五十一秒為二均數(shù)又求得午甲邊九百六十七萬七千五百零七復(fù)用午

　　甲未三角形求三均數(shù)此形有午甲邊九百六十七萬七千五百零七有午未邊一十一萬七千五百有午角三十二度求得午甲未角二十二分二十一秒

　　為三均數(shù)也此二均三均并為加差以二均與三均相加得一度零三分一十二秒為二三均數(shù)仍為加差葢次輪之最近丑點(diǎn)與平行內(nèi)點(diǎn)在一直線上平行即實(shí)行故無初均數(shù)而次均輪心午點(diǎn)在平行丙點(diǎn)之前太隂未點(diǎn)又在午點(diǎn)之前故以二均與三均相加得丙甲未角為二三均數(shù)以加于平行即得本

　　時(shí)之實(shí)行也若均輪心在最卑辛而太隂距太陽三百四十四度為朔前一日余則二三均數(shù)丙甲未角與朔后一日余之?dāng)?shù)相等但實(shí)行在平行后故為減差以減于平行而得實(shí)行也
　　如均輪心過最卑辛行五十度至午為自行七宮二十度則次輪心從均輪最近癸行一百度至未而太陰距太陽一

　　百三十五度為朢前三日余則次均輪心從次輪最近丑行二百七十度至申太隂亦從次均輪最下卯行二百七十度至酉其丙甲丑角三度五十三分零六秒為初均數(shù)丑甲邊九百八十三萬六千一百九十五為次輪最近點(diǎn)距地心之?dāng)?shù)乃用丑甲申三角形求二均數(shù)

　　此形有丑甲邊九百八十三萬六千一百九十五有丑申邊三十萬六千八百八十四【次輪丑申弧九十度之通?】有丑角八度五十三分零六秒【丙甲戌三角形以丙甲兩角相并與戌外角等丑未子次輪全徑原與癸午壬均輪全徑平行則丙戌丑角與戌丑未角為平行線內(nèi)兩尖交錯(cuò)之角其度必等故以丙甲戌角三度五十三分零六秒與甲丙戌角五十度相加得五十三度五十三分零六秒為戌丑未角內(nèi)減去未丑】

　　【申角四十五度余八度五十三分零六秒為申丑甲角也】求得丑甲申角一十七分零六秒為二均數(shù)又求得申甲邊九百五十二萬八千九百二十復(fù)用申甲酉三角形求三均數(shù)此形有申甲邊九百五十二萬八千九百二十有申酉邊一十一萬七千五百有申角九十度求得申甲酉角四十二分二

　　十三秒為三均數(shù)也此初均數(shù)為加差二均數(shù)亦為加差而三均數(shù)轉(zhuǎn)為減差故于三均數(shù)內(nèi)減去二均數(shù)余二十五

　　分一十七秒為二三均數(shù)轉(zhuǎn)為減差【三均大于二均故從三均】葢次輪之最近丑點(diǎn)與次均輪心申點(diǎn)俱在平行丙點(diǎn)之前而太隂酉點(diǎn)卻在次輪最近丑點(diǎn)之后故以二

　　均與三均相減余丑甲酉角為二三均數(shù)于平行外加初均數(shù)丙甲丑角復(fù)減去二三均數(shù)丑甲酉角始得本時(shí)之實(shí)行也若均輪心未至最卑辛五十度在午為自行四宮十度而太隂距太陽二百二十五度為朢后三日余其初均數(shù)丙甲丑角及二三均數(shù)丑甲酉角皆與

　　七宮二十度之?dāng)?shù)相等但初均數(shù)為減差二三均數(shù)為加差以初均數(shù)減于平行復(fù)以二三均數(shù)加之而得實(shí)行也如均輪心從最卑辛行一百二十度至辰為自行十宮初度則次輪心從均輪最近癸行二百四十度至己而太隂距太陽三百二十度為下?后四日則次

　　均輪心從次輪最近丑行一周復(fù)行二百八十度至午太隂亦從次均輪最下卯行一周復(fù)行二百八十度至未其丙甲丑角四度一十四分五十一秒為初均數(shù)丑甲邊一千零一十七萬二千九百四十一為次輪最近點(diǎn)距地心之?dāng)?shù)乃用丑甲午三角形求二均數(shù)此形有

　　丑甲邊一千零一十七萬二千九百四十一有丑午邊二十七萬八千九百七十【次輪丑午弧八十度之通?】有丑角七十四度一十四分五十一秒【丙申甲三角形以丙甲兩角相并與申外角等丑巳子次輪全徑原與癸辰壬均輪全徑平行則己丑甲角與壬申丑角為平行線之內(nèi)外角其度必等故以申丙甲角一百二十度與丙甲申角四度一十四分五十一秒相加得一百二十四度一十四分五十一秒即為己丑甲】

　　【角內(nèi)減去己丑午角五十度余七十四度一十四分五十一秒為午丑甲角也】求得丑甲午角一度三十一分二十三秒為二均數(shù)又求得午甲邊一千零一十萬一千六百一十七復(fù)用午甲未三角形求三均數(shù)此形有午甲邊一千零一十萬一千六百一十七有午未邊一十一萬七千五百有午角八十度求得

　　午甲未角三十九分二十七秒為三均數(shù)也此初均數(shù)二均數(shù)俱為加差而三均數(shù)為減差故于二均數(shù)內(nèi)減去三均

　　數(shù)余五十一分五十六秒為二三均數(shù)仍為加差葢次輪之最近丑點(diǎn)與次均輪心午點(diǎn)俱在平行丙點(diǎn)之前而太隂未點(diǎn)卻在次均輪心午點(diǎn)之后故以二

　　均與三均相減余丑甲未角為二三均數(shù)于平行外加初均數(shù)丙甲丑角復(fù)加二三均數(shù)丑甲未角即得本時(shí)之實(shí)行也若均輪心在最髙庚后六十度為自行二宮初度而太隂距太陽二百二十度為下?前四日其初均數(shù)丙甲丑角

　　及二三均數(shù)丑甲未角加與十宮初度之?dāng)?shù)相等但實(shí)行在平行之后故俱為減差以減于平行而得實(shí)行也
　　兩月食定交周
　　白道與黃道斜交月行天一周必兩次過交而交無定處每一交之中退天一度有余故每日太隂距交行度常多于每日平行經(jīng)度其較即為每日交行度測法亦擇用兩月食其兩食必須太陽之距最髙等太隂之自行度等食分等食在陽厯或在隂厯亦等【黃道南為陽厯黃道北為隂厯】乃可推月行若干交周而復(fù)于故處西人依巴谷用前法推得四百四十一平年又二百一十二日九十四刻零五分一十三秒為朔策五千四百五十八交周五千九百二十三因定太隂每日距交得一十三度一十三分四十五秒三十九微四十纎一十四忽一十三芒【即一十三度零十分度之二分二九三五○三二六九三】與每日平行經(jīng)度一十三度一十分三十五秒零一微一十六纖一十四忽一十三芒相減余三分一十秒三十八微二十四纖【即百分度之五分二九五五五五五五一授時(shí)厯作百分度之五分二三六以周天三百六十度約之得百分度之五分一六○七】為兩交每日左旋之度也今擇用兩月食以明其法如左
　　第一食順治十三年丙申十一月庚申朢子正后一十八時(shí)四十四分一十五秒月食一十五分四十七秒在陽厯日躔星紀(jì)宮一十度三十九分在最卑后三度四十九分于時(shí)月自行為三宮二十七度四十六分第二食康熙十三年甲寅十二月丙午朢子正后三時(shí)二十三分二十六秒月食一十五分五十秒在陽厯日躔星紀(jì)宮二十一度五十二分在最卑后一十四度二十一分于時(shí)月自行為三宮二十五度二十四分【兩次月食太陽距最髙差一十度余然地景之大小無異月自行差二度半食分差三秒所差甚微俱可勿論】以上兩次月食相距中積二百二十三月乃用朔策定數(shù)五千四百五十八為一率交終定數(shù)五千九百二十三為二率【此二數(shù)依巴谷所定】二百二十三月為三率得四率二百四十一又五千四百五十八分之五千四百五十一可收作二百四十二【差千分之一可以不論】為兩次月食相距之交終數(shù)又以兩次月食相距中積六千五百八十五日零八時(shí)三十九分一十秒與每日太隂平行經(jīng)度相乗以交終數(shù)二百四十二除之得一百二十九萬零八百一十二秒小余八七九五九八為每一交行度與周天一百二十九萬六千秒相減余五千一百八十七秒小余一二○四○二為每一交退行度又以交終數(shù)除兩次月食相距中積日分得二十七日二一二二三三為交周日分乃以交周日分除每一交退行度得三分一十秒三十七微為兩交每日退行度與每日平行經(jīng)度一十三度一十分三十五秒零一微相加得一十三度一十三分四十五秒三十八微為太隂每日距交行度比舊數(shù)止少一微今仍用舊數(shù)各以日數(shù)乘之得十日百日之行度以時(shí)分除之得每時(shí)每分之行度以立表

　　黃白大距度及交均
　　白道與黃道相距之緯曰大距度而交均者乃兩交平行與自行之差是二者常相因也葢相距之度時(shí)少時(shí)多而自行之度有遲有疾故必測得距度極多極少之?dāng)?shù)而后交行之遲疾可推測大距之法推得月離黃道鶉首宮初度又在黃道北【月在黃道北則近天頂而地半徑差最防可以勿論】而距交適足九十度時(shí)俟至子午線上測之得地平髙度乃于髙度內(nèi)減去赤道髙及黃赤距緯度其余即為黃白大距度也厯家用此法測得朔朢時(shí)之大距為四度五十八分三十秒【即四度零十分度之九分七五】上下?時(shí)之大距為五度一十七分三十秒【即五度零十分度之二分九一六授時(shí)厯無分朔朢兩?皆六度以周天三百六十度每度六十分約之得五度五十四分三十九秒】既得二數(shù)乃用弧三角形法推得逐日之大距及交均以立表
　　如圖甲為黃極乙丙丁戊
　　為黃道用朔朢與上下?
　　兩距度相加折半得五度
　　零八分為黃白大距之中
　　數(shù)取中數(shù)為半徑如己甲
　　作己庚辛壬圈為白極繞
　　黃極本輪又取兩距度之
　　較數(shù)一十九分折半得九
　　分三十秒為半徑如己癸
　　作癸子丑寅圈為負(fù)白極
　　均輪其心循己庚辛壬本
　　輪左旋【從己向庚】每日行三分
　　一十秒有余白極則循癸
　　子丑寅均輪左旋【從癸向子】行
　　倍離之度半月一周如癸
　　子丑寅均輪心在己朔朢
　　時(shí)白極在癸白道交黃道
　　于丙于戊其卯乙弧為大
　　距四度五十八分三十秒
　　與癸甲弧等上下?時(shí)白
　　極在丑白道亦交黃道于
　　丙于戊其辰乙弧為大距
　　五度一十七分三十秒與
　　丑甲弧等如癸子丑寅均
　　輪心從本輪己行至庚朔
　　朢時(shí)白極在癸白道交黃
　　道于乙于丁其卯丙弧為
　　大距四度五十八分三十
　　秒與癸甲弧等上下?時(shí)
　　白極在丑白道亦交黃道
　　于乙于丁其辰丙弧為大
　　距五度一十七分三十秒
　　與丑甲弧等惟朔朢與上
　　下?時(shí)白極俱在丑甲線
　　上平行自行相合故無交
　　均數(shù)如白極從癸向子交
　　行漸遲至子距癸九十度
　　為朔與上?之間或朢與
　　下?之間其行極遲白道
　　交黃道于巳于午其未申
　　弧為大距與子甲弧等【子甲
　　為白極距黃極之弧故與未申大距弧等】于是
　　用子甲己正弧三角形求
　　子甲弧此形有己甲弧五
　　度零八分有己子弧九分
　　三十秒有己直角九十度
　　【當(dāng)癸子弧】求得子甲弧五度零
　　八分零九秒與未申弧等
　　為黃白大距又求得甲角
　　一度四十六分零八秒為
　　交均即自行遲于平行極
　　大之差從子向丑則遲行
　　之度漸減至丑而合于平
　　行矣如白極從丑向寅交
　　行漸疾至寅距丑九十度
　　為上?與朢之間或下?
　　與朔之間其行極疾己甲
　　寅角亦一度四十六分零
　　八秒寅甲兩極距弧亦與
　　子甲等從寅向癸則疾行
　　之度漸減至癸而又合于
　　平行矣要之從癸向子至
　　丑為前半周所求之諸甲
　　角俱為減差以減交之平
　　行而得交之實(shí)行從丑向
　　寅至癸為后半周諸甲角
　　之度皆以前半周等但俱
　　為加差以加交之平行而
　　得交之實(shí)行故用弧三角
　　形法以己庚辛壬圈之半
　　徑五度零八分及癸子丑
　　寅圈之半徑九分三十秒
　　為常用之兩邊以極距癸
　　點(diǎn)之逐度為角得弧三角
　　形一百八十求得各對角
　　之弧為兩極大距【如子甲之類】近黃極之角為交均在前
　　半周為減差后半周為加
　　差而大距及交均之表全
　　矣至于有大距之?dāng)?shù)而求
　　逐度之小距度與日躔求
　　黃赤距緯之法同

　　視差
　　太隂之視差有四一為蒙氣差能升卑為髙其理與數(shù)皆與太陽同一為髙下差【即地半徑差】生于地之半徑能變髙為下其理亦與太陽同而數(shù)則過之葢太陽本天半徑與地半徑之比例為千余分之一而太隂本天半徑與地半徑之此例為五六十分之一故其差角迥別不可同論也又有東西差【即經(jīng)度差】南北差【即緯度差】皆由髙下差而生算交食用之詳載交食本篇茲不具論
　　如圖甲為地心乙為地面
　　甲乙為地半徑乙丙為地
　　平丁戊己為太隂本天庚
　　辛壬癸為恒星天戊為太
　　隂人從地面乙測之對恒
　　星天于壬其視髙為壬乙
　　丙角若從地心甲計(jì)之則
　　見太隂于戊者對恒心天
　　于辛其真髙為辛甲癸角
　　此兩髙之差為乙戊甲角
　　即髙下差然亦時(shí)時(shí)不同
　　者一因太隂距地平近則
　　差角大漸髙則漸小一因
　　太隂在本天最髙則差角
　　小在本天最卑則差角大
　　與日躔之理同今亦約為
　　最髙最卑中距三限于朢
　　時(shí)及兩?各以所測地面
　　上太隂之髙度求太隂距
　　地心之甲戊線【朢時(shí)測中距兩?時(shí)
　　測最髙及最卑葢月自行在中距朢時(shí)次均輪心在
　　次輪之最近月在次均輪之最下微小于本天若兩
　　?時(shí)則次均輪心在次輪之最逺已在本天之外月
　　又在次均輪之最上未免太過于本天故于朢時(shí)測
　　中距也又月自行在最髙兩?時(shí)月距地心比朢時(shí)
　　髙一次輪全徑又髙一次均輪全徑故于此時(shí)測最
　　髙月自行在最卑兩?時(shí)月距地心北朢時(shí)卑一次
　　輪全徑又髙一次均輪全徑猶在朢時(shí)月體之下故
　　于此時(shí)測最卑也】
　　如暢春園測得太隂髙六
　　十二度四十分五十一秒
　　四十三微同時(shí)于廣東廣
　　州府測得太隂高七十九
　　度四十七分二十六秒一
　　十二微【廣東子午線在京師西三度三十三
　　分然髙下差甚微可勿論】于時(shí)月自行
　　三宮初度月距日一百八
　　十度【即朢時(shí)】以之立法甲為
　　地心乙為京師地面庚為
　　天頂子為廣州府地面丑
　　為天頂戊為太隂寅為赤
　　道寅庚弧三十九度五十
　　九分三十秒為暢春園赤
　　道距天頂之度寅丑弧二
　　十三度一十分為廣州府
　　赤道距天頂之度以兩處
　　赤道距天頂度相減余一
　　十六度四十九分三十秒
　　為庚丑弧即庚甲丑角以
　　暢春園髙度與一象限相
　　減余二十七度一十九分
　　零八秒一十七微為庚乙
　　戊角以廣州府髙度與一
　　象限相減余一十度一十
　　二分三十三秒四十八微
　　為丑子戊角先用乙甲子
　　三角形此形有甲角一十
　　六度四十九分三十秒又
　　有乙甲及子甲俱地半徑
　　命為一千萬乃以甲角折
　　半之正?倍之得二九二
　　五九七七為乙子邊又以
　　甲角與半周相減余數(shù)半
　　之得八十一度三十五分
　　一十五秒為乙角亦即子
　　角次用乙戊子三角形此
　　形有乙子邊二九二五九
　　七七有戊乙子角七十一
　　度零五分三十六秒四十
　　三微【以庚乙戊角與子乙甲角相加得一百零
　　八度五十四分二十三秒一十七微以減半周即得】有戊子乙角一百零八度
　　三十七分一十八秒四十
　　八微【于半周內(nèi)減去乙子甲角八十一度三十
　　五分一十五秒加入戊子丑角一十度一十二分三
　　十三秒四十八微即得】即有乙戊子
　　角一十七分零四秒二十
　　九微求得戊乙邊五五八
　　二六五二五四末用戊乙
　　甲三角形此形有乙甲地
　　半徑一千萬有戊乙邊五
　　五八二六五二五四有戊
　　乙甲角一百五十二度四
　　十分五十一秒四十三微
　　【于半周內(nèi)減去庚乙戊角二十七度一十九分零八
　　秒一十七微即得】求得乙戊甲角
　　二十七分四十九秒零四
　　微為中距限太隂髙六十
　　二度四十分五十一秒四
　　十三微之髙下差求得戊
　　甲邊五六七一七一三三
　　四為太隂在本天中距時(shí)
　　距地心之逺以地半徑較
　　之其比例為一千萬與五
　　億六千七百一十七萬一
　　千三百三十四若命地半
　　徑為一則月距地心為五
　　十六又百分之七十二也
　　乃依此法于月自行初宮
　　初度月距日九十度時(shí)【即上
　　下?】測之求得甲乙線與戊
　　甲線之比例為一與六十
　　一又百分之九十八即月
　　在本天最髙距地心最逺
　　之?dāng)?shù)又于月自行六宮初
　　度月距日九十度時(shí)測之
　　求得甲乙線與戊甲線之
　　比例為一與五十三又百
　　分之七十一即月在本天
　　最卑距地心最近之?dāng)?shù)于
　　是自最近五十三至最逺
　　六十二之十?dāng)?shù)逐度求其
　　髙下差以立表

　　隠見遲疾
　　合朔之后恒以三日月見于西方故尚書注月之三日為哉生明然有朔后二日即見者更有晦日之晨月見東方朔日之夕月見西方者唐厯家遂為進(jìn)朔之法致日食乃在晦宋元史已辨其非而未明其故葢月之隠見遲疾固有一定之理可按數(shù)而推殆因乎天行由于地度無庸轉(zhuǎn)移遷就也至于漢魏厯家未明盈縮遲疾之差以平朔著厯故有晦而月見西方朔而月見東方者此則推步之疎不可以隠見遲疾論也隠見之遲疾其故有三今并詳于后
　　一因黃赤道之升降有斜
　　正也葢春分前后各三宮
　　【由星紀(jì)至實(shí)沈六宮】黃道斜升而正
　　降月離此六宮則朔后疾
　　見秋分前后各三宮【由鶉首至
　　析木六宮】黃道正升而斜降月
　　離此六宮則朔后遲見如
　　上二圖前圖日躔降婁初
　　度月離降婁一十五度為
　　正降日入時(shí)月在地平上
　　髙一十四度余即可見葢
　　入地遲而見早也后圖日
　　躔夀星初度月離夀星一
　　十五度為斜降日入時(shí)月
　　在地平上髙六度余即不
　　可見葢入地疾而見遲也
　　若晦前月離正升六宮則
　　隠遲斜升六宮則隠早其
　　理亦同
　　一因月距黃緯有南北也
　　葢月距黃道北則朔后見
　　早距黃道南則朔后見遲
　　如圖日躔降婁初度月離
　　降婁一十五度而月距黃
　　道北則月距地平之度多
　　入地遲而見早月距黃道
　　南則月距地平之度少入
　　地疾而見遲也若晦前距
　　黃道北則隠遲距黃道南
　　則隠早其理亦同
　　一因月視行之度有遲疾
　　也葢月視行為遲厯則朔
　　后見遲晦前隠遲視行為
　　疾厯則朔后見早晦前隠
　　早也
　　夫月離正降宮度距日一
　　十五度即可見以每日平
　　行一十二度有竒計(jì)之則
　　朔后一日有余即見生明
　　于西是故合朔如在甲日
　　亥子之間月離正升宮度
　　距黃道北而又行遲厯則
　　甲日太陽未出亦見東方
　　月離正降宮度距黃道北
　　而又行疾歴則乙日太陽
　　已入亦見西方矣

　　御制歴象考成上編卷五
<子部,天文算法類,推步之屬,御制歷象考成>
　　欽定四庫全書
　　御制厯象考成上編卷六
　　交食厯理一【日食月食合】
　　交食總論
　　朔望有平實(shí)之殊
　　朔望用時(shí)
　　求日月距地與地半徑之比例
　　日月視徑
　　求日月實(shí)徑與地徑之比例
　　地影半徑

　　交食總論
　　太隂及于黃白二道之交因生薄蝕故名交食然白道出入黃道南北太隂每月必兩次過交而或食或否何也月追及于日而無距度為朔距日一百八十度為望此皆為東西同經(jīng)其入交也正當(dāng)黃道而無緯度是為南北同緯雖入交而非朔望則同緯而不同經(jīng)當(dāng)朔望而不入交則同經(jīng)而不同緯皆無食必經(jīng)緯同度而后有食也蓋合朔時(shí)月在日與地之間人目仰觀與日月一線參直則月掩蔽日光即為日食望時(shí)地在日與月之間亦一線參直地蔽日光而生闇影其體尖圓是為闇虛月入其中則為月食也按日為陽精星月皆借光焉月去日逺去人近合朔之頃特能下蔽人目而不能上侵日體故食分時(shí)刻南北迥殊東西異視也若夫月食則月入闇虛純?yōu)榛奁枪示庞型^但時(shí)刻有先后耳至于推步之法日食須用髙下南北東西三差委曲詳密而月食惟論入影之先后淺深無諸視差之繁故先總論交食之理次論月食乃及日食因日食立法較難故后論加詳焉
　　如圖合朔時(shí)月在地與日
　　之間人在地面居甲者見
　　月全掩日居乙者見月掩
　　日之半居丙者但見日月
　　兩周相切而不相掩故日
　　食隨地不同乃月蔽人日
　　不見日光而日體初無異
　　也
　　如地在日月之間日大地
　　小地向日之面為晝背日
　　之面則生尖影人在影中
　　不見日光為夜望時(shí)月入
　　影中而不能借日光全為
　　晦魄故月食為普天同視
　　也

　　朔望有平實(shí)之殊
　　日月相防為朔相對為望而朔望又有平實(shí)之殊平朔望者日月之平行度相防相對也實(shí)朔望者日月之實(shí)行度相防相對也故平朔望與實(shí)朔望相距之時(shí)刻以兩實(shí)行相距之度為準(zhǔn)蓋兩實(shí)行相距之度以兩均數(shù)相加減而得而兩朔望相距之時(shí)刻則以兩實(shí)行相距之度變?yōu)闀r(shí)刻以加減平朔望而得實(shí)朔望故兩實(shí)行相距無定度則兩朔望相距亦無定時(shí)也
　　如圖甲為地心即日月本
　　天心乙為月本輪心丙為
　　日本輪心【日月止用本輪者因明平實(shí)之
　　理取其易于辨析也】兩輪心俱在甲
　　乙丙及甲乙丁直線上為
　　平朔望而丙為黃道上平
　　朔之度丁為黃道上平望
　　之度如日在本輪之戊月
　　在本輪之己或在本輪之
　　庚俱在甲己戊辛及甲庚
　　壬直線上則為實(shí)朔望而
　　辛為黃道上實(shí)朔之度壬
　　為黃道上實(shí)望之度也
　　如平朔望在丙在丁而日
　　在戊月在己或在庚則日
　　之實(shí)行度在辛相對之度
　　在壬而辛丙及壬丁皆為
　　加均乃實(shí)行過于平行之
　　度月之實(shí)行度朔在癸望
　　在子而癸丙及子丁皆為
　　減均乃實(shí)行不及平行之
　　度故以辛丙加均與癸丙
　　減均相并得癸辛弧為兩
　　實(shí)行相距之度亦即實(shí)朔
　　距平朔之度以壬丁加均
　　與子丁減均相并得子壬
　　弧為兩實(shí)行相距之度亦
　　即實(shí)望距平望之度也此
　　日為加均月為減均故日
　　實(shí)行在月實(shí)行之前為實(shí)
　　朔望在平朔望之后必計(jì)
　　月得若干時(shí)分而后行過
　　癸辛弧及子壬弧始能與
　　日相防相對故以癸辛弧
　　及子壬弧變?yōu)闀r(shí)分以加
　　平朔望而得實(shí)朔望也若
　　日為減均月為加均則日
　　實(shí)行在月實(shí)行之后而實(shí)
　　朔望在平朔望之前即以
　　實(shí)行相距之時(shí)分減平朔
　　望而得實(shí)朔望其理亦同
　　也
　　如平朔望在丙在丁而日
　　在戊月在己或在庚則日
　　之實(shí)行度在辛相對之度
　　在壬而辛丙及壬丁皆為
　　減均乃實(shí)行不及平行之
　　度月之實(shí)行度朔在癸望
　　在子而癸丙及子丁亦皆
　　為減均乃實(shí)行不及平行
　　之度故以辛丙減均與癸
　　丙減均相減余辛癸弧為
　　兩實(shí)行相距之度亦即實(shí)
　　朔距平朔之度以壬丁減
　　均與子丁減均相減余壬
　　子弧為兩實(shí)行相距之度
　　亦即實(shí)望距平望之度也
　　此日之減均大于月之減
　　均故日實(shí)行在月實(shí)行之
　　后而實(shí)朔望在平朔望之
　　前必計(jì)月己行過與日相
　　防相對若干時(shí)分為辛癸
　　弧及壬子弧故以辛癸弧
　　及壬子弧變?yōu)闀r(shí)分以減
　　平朔望而得實(shí)朔望也若
　　日之減均小于月之減均
　　則日實(shí)行在月實(shí)行之前
　　而實(shí)朔望在平朔望之后
　　即以實(shí)行相距之時(shí)分加
　　平朔望而得實(shí)朔望其理
　　亦同也
　　如平朔望在丙在丁而日
　　在戊月在己或在庚則日
　　之實(shí)行度在辛相對之度
　　在壬而辛丙及壬丁皆為
　　加均乃實(shí)行過于平行之
　　度月之實(shí)行度朔在癸望
　　在子而癸丙及子丁亦皆
　　為加均乃實(shí)行過于平行
　　之度故以辛丙加均與癸
　　丙加均相減余辛癸弧為
　　兩實(shí)行相距之度亦即實(shí)
　　朔距平朔之度也以壬丁
　　加均與子丁加均相減余
　　壬子弧為兩實(shí)行相距之
　　度亦即實(shí)望距平望之度
　　也此日之加均大于月之
　　加均故日實(shí)行在月實(shí)行
　　之前而實(shí)朔望在平朔望
　　之后必計(jì)月得若干時(shí)分
　　而后行過辛癸弧及壬子
　　弧始能與日相防相對故
　　以辛癸弧及壬子弧變?yōu)?br />　　時(shí)分以加平朔望而得實(shí)
　　朔望也若日之加均小于
　　月之加均則日實(shí)行在月
　　實(shí)行之后而實(shí)朔望在平
　　朔望之前即以實(shí)行相距
　　之時(shí)分減平朔望而得實(shí)
　　朔望其理亦同也

　　朔望用時(shí)
　　太陽與太隂實(shí)行相防相對為實(shí)朔望但實(shí)朔望之時(shí)刻按諸測驗(yàn)猶有數(shù)分之差【或早或遲差至一刻】以其猶非用時(shí)也蓋實(shí)朔望固兩曜實(shí)防實(shí)對之度而推算時(shí)刻則仍以平行所臨之位為時(shí)皆依黃道而定今推平行與實(shí)行既有盈縮差則時(shí)刻亦有增減又時(shí)刻以赤道為主而黃道赤道既有升度差則時(shí)刻亦有進(jìn)退故必以本時(shí)太陽均數(shù)與升度差俱變?yōu)闀r(shí)分以加減實(shí)朔望之時(shí)刻為朔望用時(shí)乃與測驗(yàn)脗合此即日躔時(shí)差加減之理也

　　求日月距地與地半徑之比例
　　太陽太隂距地之逺近日躔月離地半徑差篇言之詳矣顧求地半徑差止用最髙最卑中距三限而交食之日月視徑以及影徑影差則逐度不同且太隂在最髙兩?尤髙太陰在最卑兩?尤卑交食在朔望其髙卑皆不及兩?故欲求日月逐度之髙必先定最髙最卑中距之距地心線今依日月諸輪之行求得太陽在最髙距地心一○一七九二○八【本　天半　徑加本輪半徑減均輪半徑】其與地半徑之比例為一與一千一百六十二【詳日躔厯理】中距距地心一○○○六四二一【求均數(shù)時(shí)并求太陽距地心之邉即得】其與地半徑之比例為一與一千一百四十二最卑距地心九八二○七九二【本天半徑減本輪半徑加均輪半徑】其與地半徑之比例為一與一千一百二十一太陰在最髙朔望時(shí)距地心一○一七二五○○【本天半徑加負(fù)圏半徑減均輪半徑又減次輪半徑又減次均輪半徑即得俱詳月離二三均數(shù)圖】其與地半徑之比例為一與五十八又百分之一十六中距朔望時(shí)距地心九九二○二七三【求初均數(shù)時(shí)并求太陰距地心之邉內(nèi)減次均輪半徑即得蓋朔望時(shí)無二三均但距地心少次均輪半徑耳】其與地半徑之比例為一與五十六又百分之七十二【詳月離地半徑差篇最髙最卑皆以此為比例】最卑朔望時(shí)距地心九五九二五○○【本天半徑減負(fù)圏半徑加均輪半徑又加次輪半徑減次均輪半徑即得】其與地半徑之比例為一與五十四又百分之八十四如求太陽在最髙前后四十度距地心與地半徑之比例則以太陽最髙距地心一○一七九二○八為一率一千一百六十二為二率太陽在最髙前后四十度之距地心線一○一三九八九八為三率得四率一千一百五十七即當(dāng)時(shí)日距地與地半徑之比例也求月距地之法仿此

　　日月視徑
　　日月之徑為食分淺深之原所關(guān)甚大但人目所見者非實(shí)徑乃視徑也實(shí)徑為一定之?dāng)?shù)而視徑則隨時(shí)不同蓋凡物逺則見小近則見大日月之行有髙卑其去地之逺近逐日不同故其視徑之小大亦不等數(shù)年以來精推實(shí)測得太陽最髙之徑為二十九分五十九秒最卑之徑為三十一分零五秒比舊定日徑最髙少一秒最卑多五秒朔望時(shí)太陰最髙之徑為三十一分四十七秒最卑之徑為三十三分四十二秒比舊定月徑最髙多一分一十七秒最卑少五十八秒而以日月髙卑比例推算今數(shù)為密茲將測算之術(shù)詳著于篇
　　測太陽徑一法用正表倒
　　表各取日中之影求其髙
　　度兩髙度之較即太陽之
　　徑也蓋正表之影乃太陽
　　上邊之光射及表之上邉
　　其所得為太陽上邊距地
　　平之髙度倒表之影乃太
　　陽下邊之光射及表之下
　　邊其所得為太陽下邉距
　　地平之髙度故兩髙度之
　　較即太陽之徑也
　　一法用儀器測得太陽午
　　正之髙度復(fù)用正表測影
　　亦求其髙度兩髙度之較
　　即太陽之半徑也蓋儀器
　　所得者太陽中心之度表
　　影所得者太陽上邊之度
　　故兩髙度相較即得太陽
　　之半徑也
　　一法用中表正表各取日
　　中之影求其髙度兩髙度
　　之較即太陽之半徑也蓋
　　中表系橫梁上下皆空太
　　陽上邊之光射橫梁之下
　　面太陽下邊之光射橫梁
　　之上面其所生之影必當(dāng)
　　太陽之中心故以中表所
　　測之髙度與正表所得太
　　陽上邊之髙度相較即得
　　半徑也
　　一法治一暗室令甚黝黒
　　于室頂上開小圓孔【徑一寸或
　　半寸】以透日光孔面頂平不
　　可欹側(cè)室內(nèi)置平案孔中
　　心懸垂線至案中線正午
　　時(shí)日光射于案上必成撱
　　圓形爰従案上對垂線處
　　量至撱圓形之前后兩界
　　垂線至前界加孔之半徑
　　為前影垂線至后界減去
　　孔之半徑為后影乃以垂
　　線【即孔距案面】為一率前后影
　　各為二率半徑一千萬為
　　三率得四率并查八線表
　　之余切線得前后影之兩
　　髙度相減之較即太陽之
　　全徑也蓋太陽上邊之光
　　従孔南界射入至案為撱
　　圓形之前界與正表之理
　　同太陽下邊之光従孔北
　　界射入至案為撱圓形之
　　后界與倒表之理同故兩
　　髙度之較即為太陽之徑
　　也至于前后影必加減孔
　　之半徑者因量影時(shí)俱對
　　孔之中心起算然前影則
　　自孔之南界入在中心之
　　前而后影則自孔之北界
　　入在中心之后較之中心
　　并差一半徑故必須加減
　　半徑而后立算也
　　測太陰徑一法春秋分望
　　時(shí)用版或墻為表以其西
　　界當(dāng)正午線人在表北依
　　不動(dòng)之處候太隂之西周
　　切于正午線看時(shí)辰表是
　　何時(shí)刻俟太陰體過完其
　　東周才離正午線復(fù)看時(shí)
　　辰表是何時(shí)刻乃計(jì)太陰
　　過正午線共得防何時(shí)刻
　　以時(shí)刻變度【每時(shí)之四分為一度】內(nèi)
　　減本時(shí)分之太陰行度余
　　即太陰之徑也
　　一法兩人各用儀器候太
　　陰當(dāng)正午時(shí)同時(shí)并測一
　　測其上弧髙度一測其下
　　弧髙度兩髙度之較即太
　　隂之徑也
　　一法用附近恒星以紀(jì)限
　　儀測其距太陰左右兩弧
　　之度其兩距度之較即太
　　陰之徑也
　　以上諸法逐時(shí)測量即得
　　太陽太陰自髙及卑之各
　　半徑以立表又法不用逐
　　時(shí)測量止測得最髙最卑
　　時(shí)之兩半徑相減用其較
　　數(shù)與本輪之矢度為比例
　　即可得髙卑間之各半徑
　　數(shù)也如太陽最髙之徑為
　　二十九分五十九秒最卑
　　之徑為三十一分零五秒
　　相差一分零六秒化為六
　　十六秒今求距髙卑前后
　　六十度之視徑則命本輪
　　徑為二千萬為一率六十
　　度之矢五百萬為二率徑
　　差六十六秒為三率得四
　　率一十六秒半以加最髙
　　之徑二十九分五十九秒
　　得三十分一十五秒半為
　　最髙前后六十度之視徑
　　以減最卑之徑三十一分
　　零五秒得三十分四十八
　　秒半為最卑前后六十度
　　之視徑也太陰之法并同

　　求日月實(shí)徑與地徑之比例
　　日月地三體各有大小之比例日最大地次之月最小新法厯書載日徑為地徑之五倍有余月徑為地徑之百分之二十七強(qiáng)今依其法用日月髙卑兩限各數(shù)推之所得實(shí)徑之?dāng)?shù)日徑為地徑之五倍又百分之七月徑為地徑之百分之二十七弱皆與舊數(shù)大致相符足征其説之有據(jù)而非誣也
　　凡明暗兩體相對明體施
　　光暗體受之其背即生黑
　　影若兩體同大則其影成
　　平行長圓柱形其徑與原
　　體相同其長至于無窮而
　　無盡也如甲圖然若明體
　　小暗體大則其影漸大成
　　圓墩形其徑雖與原體相
　　同其長至于無窮其底之
　　大亦無窮也如乙圖然惟
　　明體大暗體小則其影漸
　　小成尖圓體其徑與原體
　　等其下漸小而盡成鋭角
　　如丙圖然使日小于地或
　　與地等則地所生之影宜
　　如甲乙兩圖其長無窮今
　　地影不能掩熒惑何況嵗
　　星以上諸星是地影之長
　　有盡必如丙圖而日之大
　　于地也其理明矣又凡人
　　目視物近則見大逺則見
　　小如丁戊與己庚兩物同
　　大人目視之成兩三角形
　　丁戊近目其兩腰短故底
　　之對角大己庚逺目其兩
　　腰長故底之對角小若去
　　人目有逺近而視之若等
　　則逺者必大近者必小今
　　仰觀日月其徑畧等而日
　　去地甚逺月去地甚近則
　　月必小于日也可知矣夫
　　地徑小于日而地影之徑
　　又漸小于地月過地影則
　　食食時(shí)月入影中多厯時(shí)
　　刻而后生光則月必小于
　　地影月既小于地影則其
　　必小于地也又何疑焉求
　　日實(shí)徑之法如圖甲為地
　　心乙為日心甲乙為兩心
　　相距乙甲丙角為日視半
　　徑角乙丙為日半徑用甲
　　乙丙直角三角形此形有
　　丙直角有甲角十四分五
　　十九秒三十微為日在最
　　髙之視半徑有乙甲邊一
　　千一百六十二為日在最
　　髙距地心之?dāng)?shù)求得乙丙
　　五又百分之七為日實(shí)半
　　徑即為地半徑之五倍又
　　百分之七也求月實(shí)徑之
　　法仿此

　　地影半徑
　　太陽照地而生地影太陰過影而生薄蝕凡食分之淺深食時(shí)之乆暫皆視地影半徑之大小其所系固非輕也但地影半徑之大小隨時(shí)變易其故有二一緣太陽距地有逺近距地逺者影巨而長距地近者影細(xì)而短此由太陽而變易者也一緣地影為尖圓體近地麤而逺地細(xì)太陰行最卑距地近則過影之麤處其徑大行最髙距地逺則過影之細(xì)處其徑小此由太陰而變易者也今依太陽在最髙所生之大影為率而以太陰従髙及卑各距地心之地半徑數(shù)求其相當(dāng)之影半徑為影半徑表復(fù)求得太陽従髙及卑所生之各影各求其太陰在中距所當(dāng)之影半徑俱與太陽在最髙所生之大影相較余為影差列于本表之下用時(shí)以太陰引數(shù)宮度查得影半徑復(fù)以太陽引數(shù)宮度查得影差以減影半徑即得所求之地影實(shí)半徑也
　　如圖甲為地球乙丙皆為太陽乙為最髙丙為最卑太陽従最髙乙發(fā)光則地影長大為丁己戊従最卑丙發(fā)光則地影短小為丁庚戊太陰遇丁己戊大影而在最髙辛則其所當(dāng)之影徑如辛壬

　　在最卑癸則其所當(dāng)之影徑如癸子若太陰遇丁庚戊小影而在最髙辛則其所當(dāng)之影徑如丑寅在最卑癸則其所當(dāng)之影徑如卯辰其兩半徑之較為辛丑與癸卯是所謂影差也
　　求地影半徑有二法一用推算一用測

　　量而推算所得之?dāng)?shù)比測量所得之?dāng)?shù)常多數(shù)分蓋因太陽光大能侵削地影故也如甲為地球乙丙丙丁為太陽實(shí)半徑従乙丁作兩線切地球戊己兩邊而交于庚則成戊庚己影然太陽光芒常溢于原體之外如辛壬従辛壬作兩

　　線切地球戊己兩邊而交于癸則成戊癸己影而小于戊庚己影論其實(shí)則推算之?dāng)?shù)為真欲合仰觀則測量之?dāng)?shù)為準(zhǔn)故地影表所列之?dāng)?shù)皆小于推算之?dāng)?shù)也
　　推算之法命地半徑甲己為一百分則太陽實(shí)半徑丙丁為五百零七分【太陽實(shí)徑】

　　【為地徑之五倍又百分之七今以地半徑為一百分則太陽實(shí)半徑為五百零七分】以甲己與丙丁相減余丙子四百零七乃以丙子四百零七為一率太陽在最髙距地心之丙甲一十一萬六千二百【即地半徑之一千一百六十二倍】為二率甲己地半徑一百為三率得四率甲庚二萬八千五百五十為地影之長蓋丙子甲勾股

　　形與甲己庚勾股形為同式形故其相當(dāng)各界皆可為比例也既得甲庚地影之長乃求得甲庚己角一十二分零二秒又于甲庚地影之長內(nèi)減去太陰在中距朔望時(shí)距地心之甲丑五千六百七十二【即地半徑之五十六倍又百分之七十二】余二萬二千八百七十八為丑庚于是用丑庚寅

　　直角三角形求得丑寅八十有余又用甲丑寅直角三角形求得甲角四十八分三十四秒為太陰在中距時(shí)所過地影之半徑查地影半徑表為四十四分四十三秒多三分五十一秒
　　測量之法如康熈五十六年丁酉八月十七日月食其實(shí)引為二宮三度四十一分零三秒距地心五十七地半徑零百分之四十一測得緯度在黃道北三十六分一十八秒月半徑為一十六分一十秒食分為二十三分三十秒乃以黃道緯度三十六分一十八秒求得白道緯度三十六分二十六秒為食甚距緯與食分二十三分三十秒相加得五十九分五十六秒內(nèi)減月半徑一十六分一十秒余四十三分四十六秒為地影半徑查地影半徑表為四十三分五十四秒相差八秒乃本時(shí)太陽之影差也【表數(shù)乃太陽在最髙之影今太陽在八宮故差八秒】如圖子丑寅為黃道卯辰己為白道卯子寅己為地影午丑為地影半徑未申酉為月未辰為月半徑月行白道従卯至辰距地影心丑最近是為食甚午酉即為食分辰戌為黃道緯度辰丑即白道緯度用辰丑戌正弧三角形此形有辰角與黃白交角等有戌直角有辰戌邊求得辰丑為食甚距緯以午酉食分與辰丑距緯相加成亥丑內(nèi)減與月半徑未辰相等之亥午余午丑即為地影之半徑也推算所得之?dāng)?shù)既大于測量所得之?dāng)?shù)則太陽光大之能侵削地影可知矣然不得太陽之光分雖逐時(shí)測量又有影差雜于其內(nèi)則地影之大小終不能得其真今立法以太陰在中距之地影半徑四十四分四十三秒為準(zhǔn)【前測月食實(shí)引二宮三度近中距而其影畧與表合故以中距之地影為準(zhǔn)】求太陽之光分命地半徑甲巳為一百分則太陰在中距朔望時(shí)距地心之甲丑為五千六百七十二丑甲寅角即為四十四分四十三秒用甲丑寅直角三角形求得丑寅為七十三小余七八甲寅為五千六百七十二小余四八又用甲巳寅直角三角形【巳為直角】求得巳甲寅角為八十

　　八度五十九分二十四秒于象限內(nèi)減去巳甲寅角又減去丑甲寅角余一十五分五十三秒為卯甲己角乃用卯甲己直角三角形【已為直角】求得甲卯為一百又千分之一甲卯內(nèi)減去與丑寅相等之甲辰余二十六小余二二一為辰卯于是以卯辰寅勾股形【辰寅與甲丑等】與卯甲

　　庚勾股形為比例得甲庚二萬一千六百三十二即地影之長又以甲己庚勾股形與丙丁庚勾股形為比例得丙丁六百三十七即太陽之光分為地半徑之六倍又百分之三十七也既得丙丁太陽之光分又得甲庚地影之長乃于甲庚內(nèi)減太陰在最髙距地心之甲巳

　　五千八百一十六余己庚一萬五千八百一十六以甲卯庚勾股形與巳午庚勾股形為比例得巳午七十三小余一一又用甲巳午直角三角形求得甲角四十三分一十三秒為太陰在最髙所過地影之半徑于甲庚內(nèi)減太陰在最卑距地心之甲未五千四百八十四余

　　未庚一萬六千一百四十八以甲卯庚勾股形與未申庚勾股形為比例得未申七十四小余六五又用甲未申直角三角形求得甲角四十六分四十八秒為太陰在最卑所過地影之半徑比舊表最髙多一十三秒最卑少一十二秒蓋舊表固由實(shí)測要亦準(zhǔn)于太隂之髙卑今測太陰之在最髙較舊數(shù)為稍卑故月徑大而影徑亦大太陰之在最卑較舊數(shù)為稍髙故月徑小而影徑亦小然月徑約以三十分為十分影徑差一十二秒食分止差四秒固不失為密合況影徑隨月徑而大小尤不致舛謬也于是以隨時(shí)太陰距地心之地半徑數(shù)各與地影之長相減以求得地影之半徑線又各求其相當(dāng)之角即得太陰隨時(shí)之影半徑以立表
　　求影差之法用太陽在最髙所生之長影求得太陰在中距時(shí)所當(dāng)之影半徑四十四分四十三秒為率而以太陽在最卑所生之短影亦求得太陰在中距
　　所當(dāng)之影半徑為四十四分零八秒相
　　差三十五秒為太陽最髙最卑兩限之
　　影差其余影差俱依此例推之

　　御制厯象考成上編卷六
　　欽定四庫全書
　　御制厯象考成上編卷七
　　交食厯理二【専論月食】
　　太隂食根
　　月食分秒
　　月食五限時(shí)刻
　　見食先后
　　定月食方位
　　繪月食圖

　　太陰食限
　　食限者推太陰交周度距交若干為入食限之始也太陰半徑與地影半徑相切即入食之限故以兩半徑相并之?dāng)?shù)當(dāng)黃白兩道之距緯度而求其相當(dāng)之經(jīng)度得距交一十一度一十六分四十五秒為必食之限距交一十二度一十六分五十五秒為可食之限蓋必食者無不食可食者或食或不食也二者皆實(shí)望之限若論平望其限尤寛得距交一十四度五十四分即為有食之限矣解之如左
　　地影半徑最小者四十二
　　分三十八秒太陰半徑最
　　小者一十五分五十三秒
　　三十微相并得五十八分
　　三十一秒三十微黃白距
　　緯度在此數(shù)以內(nèi)者月必
　　食以此數(shù)當(dāng)距緯求其經(jīng)
　　度則用黃白大距四度五
　　十八分三十秒之正切與
　　半徑為比例即得一十一
　　度一十六分四十五秒為
　　必食之限如圖甲乙為黃
　　道甲丙為白道甲為二道
　　之交乙為地影心丙為月
　　心兩周相切于丁乙丁丙
　　為兩半徑之共數(shù)若距度
　　在此數(shù)以內(nèi)則月周侵入
　　地影內(nèi)而見食故用甲乙
　　丙正弧三角形求甲丙交
　　周度距交若干此形有丙
　　直角有甲角黃白大距度
　　四度五十八分三十秒有
　　乙丙兩半徑相并五十八
　　分三十一秒三十微今以
　　甲角正切與半徑之比同
　　于乙丙距緯正切與甲丙
　　經(jīng)度正?之比而得一十
　　一度一十六分四十五秒
　　為甲丙距交之度也
　　地影半徑最大者四十六
　　分四十八秒太陰半徑最
　　大者一十六分五十一秒
　　相并得一度零三分三十
　　九秒黃白距緯度在此數(shù)
　　以內(nèi)者月可食以此數(shù)當(dāng)
　　距緯按前法求經(jīng)度得一
　　十二度一十六分五十五
　　秒為可食之限其或不食
　　者何也蓋必兩半徑俱最
　　大而后得食若有一半徑
　　畧小即兩周不得相切而
　　不食矣平望之限又寛于
　　實(shí)望之限而為一十四度
　　五十四分何也蓋太陽最
　　大之均數(shù)二度零三分一
　　十一秒太陰最大之均數(shù)
　　四度五十八分二十七秒
　　相并得七度零一分三十
　　八秒為兩實(shí)行相距最逺
　　之度如圖甲為地心乙為
　　黃道上平望之點(diǎn)日之實(shí)
　　行正對之度在丙乙丙弧
　　為二度零三分一十一秒
　　月之實(shí)行度在丁丁乙弧
　　為四度五十八分二十七
　　秒兩實(shí)行相并得丁丙弧
　　七度零一分三十八秒為
　　日實(shí)行正對之點(diǎn)與月實(shí)
　　行相距之度迨月實(shí)行逐
　　及于日實(shí)行正對之丙則
　　曰正對之點(diǎn)又行三十一
　　分余至戊月更行至戊則
　　日正對之點(diǎn)又行二分余
　　至己月必又行至己方為
　　實(shí)望共計(jì)乙己弧得二度
　　三十七分有余為實(shí)望距
　　平望之?dāng)?shù)以此數(shù)與實(shí)望
　　之限相加得一十四度五
　　十四分乃為平望之食限
　　也

　　月食分秒
　　月食分?jǐn)?shù)之淺深視黃白距緯之多少距緯愈少太陰心與地影心相去愈近則太陰入影愈深故用太陰半徑地影半徑相并而與距緯相較并徑大于距緯之較即為月食之分若并徑小于距緯則月不食若太陰恰當(dāng)交點(diǎn)而無距緯則并徑全為食分為月食之最深也但太陰與地影之半徑分秒皆系弧度而論食分則以太陰全徑直線計(jì)之其法命太陰全徑為十分以太陰視徑分秒與并徑距緯之較之比【無距緯者即以并徑為比】同于太陰全徑與食分之比也
　　如圖甲乙為黃道丙乙為
　　白道乙為二道之交丙甲
　　丁戊己庚皆為黃白距度
　　辛甲壬戊癸庚子乙皆為
　　地影半徑丙丑丁寅己卯
　　乙辰皆為太陰半徑如太
　　陰心在丙地影心在甲丙
　　丑辛甲兩半徑相并小于
　　丙甲距緯則太陰不入于
　　影故不食也如太陰心在
　　丁地影心在戊丁寅壬戊
　　兩半徑相并大于丁戊距
　　緯其較為壬寅即太陰入
　　影之分也又如太陰心在
　　己地影心在庚己卯癸庚
　　兩半徑相并大于巳庚距
　　緯其較為癸夘與太陰全
　　徑相等即太陰入影之分
　　此為月食十分蓋月體全
　　入影中才食既而即生光
　　也又太陰恰當(dāng)交點(diǎn)全無
　　距緯太陰心地影心相防
　　于乙即以子乙乙辰兩半
　　徑相并為太陰入影之分
　　月食遇此其食分為最深
　　也設(shè)太陰在最髙其視半
　　徑一十五分五十三秒三
　　十微地影半徑四十三分
　　一十三秒相并得五十九
　　分零六秒三十微乃以太
　　陰視徑三十一分四十七
　　秒為一率并徑五十九分
　　零六秒三十微為二率太
　　陰全徑十分為三率得四
　　率一十八分三十七秒為
　　月食之最大分也

　　月食五限時(shí)刻
　　月食五限一曰食甚乃月入影最深之限也一曰初虧月將入影兩周初切也一曰食既月全入影其光盡掩也是二者在食甚前一曰生光月將出影其光初吐也一曰復(fù)圓月全出影兩周方離也是二者在食甚后月食十分以上者有五限十分以下者止三限無食既與生光也其時(shí)刻之多寡則由于入影之淺深過影之遲速蓋距緯有寛狹寛則入影淺而時(shí)刻少狹則入影深而時(shí)刻多又月與影之半徑各有小大月大影小則過影速而時(shí)刻少月小影大則過影遲而時(shí)刻多抑且自行有遲疾遲則出影遲疾則出影速故雖距緯同半徑同而自行不同即時(shí)刻亦不同也其食甚前后各限相距之時(shí)刻恒等而食甚又非實(shí)望之時(shí)所差雖微而理則實(shí)異夫地影之心即太陽正對之點(diǎn)地影心距交之黃道經(jīng)度與月心距交之白道經(jīng)度等是為東西同經(jīng)即為實(shí)望然月心與影心斜距猶逺惟従白極出弧線過影心至白道與白道成直角月心臨此直角之點(diǎn)乃為食甚蓋惟此時(shí)月心與影心相距甚近食分最深也
　　如圖甲乙為黃道甲丙為
　　白道甲為交點(diǎn)丙為實(shí)望
　　之度丁戊己庚為地影乙
　　為影心甲乙與甲丙等辛
　　壬癸子丑為五限月心所
　　在辛為初?戊為初?之
　　點(diǎn)壬為食既丁為食既之
　　點(diǎn)癸為食甚癸乙為食甚
　　距緯較丙乙為近此線引
　　長必過白極故與白道成
　　直角子為生光庚為生光
　　之點(diǎn)丑為復(fù)圓己為復(fù)圓
　　之點(diǎn)癸丙為食甚距實(shí)望
　　之弧辛癸為初?距食甚
　　之弧與復(fù)圓距食甚之癸
　　丑弧等壬癸為食既距食
　　甚之弧與生光距食甚之
　　癸子弧等故求得食甚前
　　兩限距食甚之時(shí)刻以減
　　食甚時(shí)刻得食甚前兩限
　　之時(shí)刻以加食甚時(shí)刻得
　　食甚后兩限之時(shí)刻也若
　　以丙為食甚則丙乙之距
　　大于癸乙必非入影最深
　　之處而前后各限之距俱
　　不相等矣
　　推食甚時(shí)刻求癸丙弧法
　　用乙甲癸正弧三角形此
　　形有癸直角有甲角有甲
　　乙黃道度與甲丙交周度
　　等求得甲癸以甲癸與甲
　　丙相減得癸丙乃用變時(shí)
　　法以一時(shí)之月實(shí)行與一
　　時(shí)之比同于癸丙度分與
　　食分之比即得時(shí)之若干
　　分秒而行癸丙弧為食甚
　　距實(shí)望之時(shí)分加減實(shí)望
　　時(shí)刻即得食甚之時(shí)刻矣
　　推初?復(fù)圓時(shí)刻用辛乙
　　癸正弧三角形此形有癸
　　直角有癸乙弧有辛戊月
　　半徑與戊乙影半徑相加
　　之辛乙弧求得辛癸為初
　　?距食甚之弧亦用一時(shí)
　　之月實(shí)行比例得時(shí)分以
　　減食甚時(shí)刻得初?時(shí)刻
　　以加食甚時(shí)刻得復(fù)圓時(shí)
　　刻也
　　推食既生光時(shí)刻用壬乙
　　癸正弧三角形此形有癸
　　直角有癸乙弧有丁壬月
　　半徑與丁乙影半徑相減
　　之壬乙弧求得壬癸為食
　　既距食甚之弧亦用一時(shí)之
　　月實(shí)行比例得時(shí)分以減食
　　甚時(shí)刻得食既時(shí)刻以加食
　　甚時(shí)刻得生光時(shí)刻也

　　見食先后
　　月食深淺分?jǐn)?shù)天下皆同而?復(fù)各限時(shí)刻不同者非月入影有先后乃人居地面有東西也蓋日之所之為時(shí)隨人所居各以見日出入為東西日中為南為子午而平分時(shí)刻故其地同居一子午線者雖南北懸殊【北極出地髙下不同】而時(shí)刻不異若東西易地雖北極同髙而西方見食必先東方見食必后也凡東西差一度則時(shí)差四分今以京師為主視各省之子午線在京師東者以時(shí)差加在京師西者以時(shí)差減皆加減京師各限時(shí)刻為各省各限時(shí)刻也是故欲定各省之時(shí)刻必先定各省之子午線而欲定各省之子午線非分測各省之月食其道無由也

　　定月食方位
　　厯來厯書定月食初?復(fù)圓方位距緯在黃道北初?東南復(fù)圓西南在黃道南初?東北復(fù)圓西北食八分以上則初?正東復(fù)圓正西此東西南北主黃道之經(jīng)緯言非謂地平經(jīng)度之東西南北也惟月實(shí)行之度在初宮六宮初度望時(shí)又為子正則黃道經(jīng)緯之東西南北與地平經(jīng)度合否則黃道升降有斜正而加時(shí)距午有逺近故兩經(jīng)緯迥然各別而所推之東西南北必不與地平之方位相符不如實(shí)指其在月體之上下左右為眾目所共覩乃為親切也其法従天頂作髙弧過月心至地平即分月體為左右兩半周乂平分為上下兩象限即成左上左下右上右下四象限而黃道在地平上之半周亦平分為東西兩象限乃于初?復(fù)圓二限各求其黃道交髙弧之角若月當(dāng)黃道無距緯而交角滿九十度則初?正左復(fù)圓正右在黃道西象限而交角在四十五度以上初?左稍偏上復(fù)圓右稍偏下交角在四十五度以下初?上稍偏左復(fù)圓下稍偏右在黃道東象限者反是若月在交前后有距緯則又須求得緯差角與髙弧交角相加減為定交角然后可定其上下左右也加減之法月距黃道北而在西象限初?為加復(fù)圓為減在東象限初?為減復(fù)圓為加月距黃道南者反是乃視定交角為相加者在九十度以內(nèi)則?復(fù)之上下左右如前論若過九十度為鈍角則易象限之上下又或定交角為相減者而交角內(nèi)減去差角則?復(fù)之上下左右如前論若差角內(nèi)減去交角則易象限之左右也
　　求黃道髙弧交角如圖甲
　　乙丙為子午規(guī)甲為天頂
　　乙丙為地平甲丁戊為髙
　　弧己庚辛為黃道壬庚癸
　　為赤道庚為春分子為北
　　極子丑丁為過極經(jīng)圏丁
　　庚為月距春分黃道度丑
　　庚為月距春分赤道度【度】壬丑為月距正午赤道【即食
　　甚時(shí)太陽距子正赤道度】壬庚為春分
　　距正午赤道度月實(shí)行度
　　在丁求黃道與髙弧相交
　　之丁角先用庚辛癸斜弧
　　三角形求黃道交地平之
　　辛角此形有庚角為春分
　　角有癸角為赤道髙減半
　　周之余有庚癸春分距地
　　平弧為春分距正午之余
　　求得辛角為黃道交地平
　　之角并求得庚辛弧為黃
　　道距地平之邊乃以丁庚
　　月距春分度與庚辛弧相
　　加得丁辛弧因用丁辛戊
　　正弧三角形求丁角此形
　　有丁辛弧有辛角有戊直
　　角即求得丁角為黃道與
　　髙弧相交之角也
　　緯差角者初?復(fù)圓時(shí)月
　　與地影兩心相距之線與
　　黃道相交之角也如圖甲
　　乙丙為黃道丁戊巳為白
　　道乙為地影心庚戊辛皆
　　為月心乙戊為距緯即食
　　其時(shí)兩心相距之?dāng)?shù)乙庚
　　為并徑即初?時(shí)兩心相
　　距之?dāng)?shù)壬庚為距緯乙辛
　　亦并徑為復(fù)圓時(shí)兩心相
　　距之?dāng)?shù)癸辛為距緯如月
　　適當(dāng)黃道無距緯則初?
　　復(fù)圓時(shí)兩心相距之線與
　　甲乙丙黃道相合而無差
　　角矣因有緯度故乙庚兩
　　心相距之線與甲乙丙黃
　　道相離即成甲乙庚角乙
　　戊之距愈寛其差角愈大
　　也法以乙庚并徑之正?與
　　初?距緯壬庚之正?為比
　　同于半徑一千萬與乙角之
　　正?為比即初?之緯差角
　　也又以乙辛并徑之正?與
　　復(fù)圓距緯癸辛之正?為比
　　同于半徑一千萬與乙角之
　　正?為比即復(fù)圓之緯差角
　　也月正當(dāng)交點(diǎn)無距緯
　　則無緯差角如圖甲乙丙為
　　黃道一象限庚為初?月心
　　辛為復(fù)圓月心如在黃道西
　　象限則黃道左昂右低而甲
　　乙丑或丙乙卯交角在四十
　　五度以上故初?子點(diǎn)在月
　　體之左稍偏上復(fù)圓寅點(diǎn)在
　　月體之右稍

　　偏下也【如交角在四十五度以下則初?為
　　上稍偏左復(fù)圓為下稍偏右】若在黃道
　　東象限則黃道左低右昂而
　　甲乙卯或丙乙丑交角在四
　　十五度以下故初?子點(diǎn)在
　　月體之下稍偏左復(fù)圓寅點(diǎn)
　　在月體之上稍偏右也如月
　　距黃道【如交角在四十五度以上則初?為
　　左稍偏下復(fù)圓為右稍偏上】
　　之南而在黃道東象限如圖
　　甲乙卯或丙乙丑為黃道交
　　髙弧之角庚乙甲為初?緯
　　差角辛乙丙為復(fù)圓緯差角
　　因月距黃道之南初?時(shí)宜
　　以庚乙甲緯差角與甲乙卯
　　交角相加得卯乙庚為定交
　　角在四十五度以上如交角
　　在四十五度以下則初?為
　　故初?子點(diǎn)在月體之左
　　稍偏下復(fù)圓時(shí)須以辛乙
　　丙緯差角與丙乙丑交角
　　相減余丑乙辛為定交角
　　在四十五度以下故復(fù)圓
　　寅點(diǎn)在月體之上稍偏右
　　也若在黃道西象限則初
　　?之緯差角為減復(fù)圓之
　　緯差角為加與此相反
　　如月距黃道之北而在黃
　　道東象限如圖甲乙卯或
　　丙乙丑為黃道交髙弧之
　　角庚乙甲為初?緯差角
　　辛乙丙為復(fù)圓緯差角因
　　月距黃道之北初?時(shí)宜
　　以庚乙甲緯差角與甲乙
　　卯交角相減余卯乙庚為
　　定交角在四十五度以下
　　故初?子點(diǎn)在月體之下
　　稍偏左復(fù)圓時(shí)須以辛乙
　　內(nèi)緯差角與內(nèi)乙丑交角
　　相加得丑乙辛為定交角
　　在四十五度以上故復(fù)圓
　　寅點(diǎn)在月體之右稍偏上
　　也若在黃道西象限則初
　　?之緯差角為加復(fù)圓之
　　緯差角為減與此相反

　　繪月食圖
　　凡繪月食圖先作橫豎二線直角相交橫線當(dāng)黃道豎線當(dāng)黃道經(jīng)圈用地影半徑為度于中心作圜以象闇虛又以月半徑與地影半徑相減用其余數(shù)為度作內(nèi)虛圈為食既生光之限又以兩半徑相并為度作外虛圈為初?復(fù)圓之限次視實(shí)交周在初宮十一宮于外虛圈上周黃經(jīng)線右取黃白大距五度作識實(shí)交周在五宮六宮于外虛圈上周黃經(jīng)線左取黃白大距五度作識乃自所識作線過圜心至外虛圈下周即為白道經(jīng)圈于此線上自圜心取食其距緯度作識即食甚時(shí)月心所在従此作橫線與白道經(jīng)圈相交成直角即為白道而白道割外虛圈右周之點(diǎn)乃初?時(shí)月心所在割內(nèi)虛圈右周之點(diǎn)乃食既時(shí)月心所在割內(nèi)虛圈左周之點(diǎn)乃生光時(shí)月心所在割外虛圈左周之點(diǎn)乃復(fù)圓時(shí)月心所在也末以五限月心所到之點(diǎn)為心月半徑為度作各小圜以象月體即初?食既食甚生光復(fù)圓之象俱備矣
　　如圖甲乙豎線如黃道經(jīng)
　　圈丙丁橫線如黃道戊己
　　庚圈為地影甲丙乙丁外
　　虛圈為初?復(fù)圓之限其
　　丙辛半徑為月與地影兩
　　半徑相并之?dāng)?shù)壬癸內(nèi)虛
　　圈為食既生光之限其癸
　　辛半徑為月與地影兩半
　　徑相較之?dāng)?shù)設(shè)實(shí)交周五
　　宮或六宮則于外虛圈上
　　周甲乙經(jīng)線之左取黃白
　　大距五度如子従子作線
　　過圜心辛至下周丑為白
　　道經(jīng)圈于子丑白道經(jīng)圈
　　上自圜心辛向上取食甚
　　距緯度如寅辛此寅點(diǎn)即
　　食甚時(shí)月心所在也【此以實(shí)交
　　周五宮為例其緯在北故自圜心辛向上取寅點(diǎn)若
　　實(shí)交周是六宮其緯在南則自圜心辛向下取寅點(diǎn)】乃従寅取直角作卯辰線
　　與子丑白道經(jīng)圈相交即
　　為白道而白道割外虛圈
　　右周卯點(diǎn)為初?限割內(nèi)
　　虛圈右周巳點(diǎn)為食既限
　　割內(nèi)虛圈左周午點(diǎn)為生
　　光限割外虛圈左周辰點(diǎn)
　　為復(fù)圓限于卯巳寅午辰
　　五點(diǎn)各為心月半徑為度
　　作圜以象月體即見月心
　　在卯其周正切闇虛而光
　　將缺是為初?月心至巳
　　其體全入闇虛而光盡掩
　　是為食既月心至寅其體
　　深入闇虛兩心相距甚近
　　是為食甚月心至午其體
　　將出闇虛而光初吐是為
　　生光月心至辰其體全出
　　闇虛而光才滿是爲(wèi)復(fù)圓
　　也

　　御制歴象考成上編卷七
<子部,天文算法類,推步之屬,御制歷象考成>
　　欽定四庫全書
　　御制厯象考成上編卷八
　　交食厯理三
　　太陽食限
　　日食三限時(shí)刻
　　黃平象限白象限之同異
　　日食三差
　　求黃平象限及黃道髙弧交角并太陽髙弧求白平象限及白道髙弧交角并太陰髙弧求東西南北差
　　求日食食甚用時(shí)食甚交周食甚實(shí)緯求日食食甚真時(shí)及食甚視緯
　　求日食初?復(fù)圓用時(shí)