?。ㄒ唬┨煳膶W(xué)與數(shù)學(xué) 天文學(xué)宋朝歷法一共改了十九次，是我國(guó)歷史上歷法改革頻繁的一個(gè)朝代。歷法的不斷改革，反映了天文學(xué)研究的活躍。

　　宋朝天文學(xué)的發(fā)展可分為三個(gè)階段。北宋初到神宗前，歷法以崇天歷為代表，主要成就是超新星的觀測(cè)；神宗朝到北宋末，歷法以紀(jì)元?dú)v為代表，主要成就是水運(yùn)儀象臺(tái)的制造；南宋時(shí)代以編撰統(tǒng)天歷為著名。

　　北宋初，用后周王樸的欽天歷。欽天歷在天體運(yùn)動(dòng)的計(jì)算中提出了等加速運(yùn)動(dòng)的公式，是準(zhǔn)確的。仁宗朝用崇天歷前后達(dá)四十年。著名的天文學(xué)家楚衍參與崇天歷的編撰。在司天監(jiān)任職四十多年的天文學(xué)家楊惟德，在他的著述中曾一再介紹崇天歷。崇天歷的天文數(shù)據(jù)較接近天文實(shí)際。至和元年（一○五四年）四月朔 有一次日全食。當(dāng)時(shí)在汴京觀測(cè)這次日食是“日食既，至申乃見(jiàn)，食九分之余”。用崇天歷推算食甚時(shí)間在申正一刻二十分，食分為九分半弱，與觀測(cè)所得幾乎相同。北宋又有紀(jì)元?dú)v，是天文學(xué)家姚舜輔等所編撰，它的求赤道坐標(biāo)變換為黃道坐標(biāo)的計(jì)算方法比較簡(jiǎn)易。紀(jì)元?dú)v中還引進(jìn)了四次方程式的算法。它的各項(xiàng)天文數(shù)據(jù)多為金大明歷和元授時(shí)歷所采用。北宋沈括提出了十二氣歷的編制方法，雖沒(méi)有實(shí)行，但在歷法史上無(wú)疑是一項(xiàng)卓越的成就。

　　北宋的天象觀測(cè)很有成績(jī)。對(duì)天空三十一大區(qū)（即三垣：紫微垣、太微垣、天市垣和二十八宿）恒星位置的觀測(cè)共進(jìn)行了六次。大中祥符、景祐、皇祐、元豐、紹圣和崇寧年間各進(jìn)行過(guò)一次。元豐時(shí)的觀測(cè)被畫(huà)成星圖，見(jiàn)于蘇頌的《新儀象法要》和黃裳的天文圖。一二四七年（淳祐七年）黃圖在乎江府復(fù)刊，即現(xiàn)存的蘇州天文圖。崇寧年間觀測(cè)到的記錄，部分載入紀(jì)元?dú)v內(nèi)，所測(cè)二十八宿距度星的平均誤差絕對(duì)值只有0°.15，已很精密。

　　 江蘇蘇州南宋石刻《天文圖》 北宋有兩次超新星的觀測(cè)，一次是一○○六年（景德三年），一次是一○五四年（至和元年）。前者是在司天監(jiān)內(nèi)觀測(cè)到的，在騎官星西，相當(dāng)今天蝎宮星座，形狀如同半個(gè)月亮，四周有光芒，亮度可以鑒別物體。后者是楊惟德觀測(cè)到的。這星本來(lái)很暗淡，他觀測(cè)時(shí)忽然亮起來(lái)，星的亮度和金星差不多，四周都是光芒，顏色已達(dá)到熾白狀。這是因?yàn)樾堑膬?nèi)部結(jié)構(gòu)突然變化而引起爆發(fā)，亮度增加千萬(wàn)倍所致。楊惟德觀測(cè)到這顆超新星的位置在天關(guān)星附近，相當(dāng)今金牛宮星座內(nèi)、所以這超新星稱為一○五四年金牛座超新星。

　　一○○二年（咸乎五年）司天監(jiān)對(duì)獅子座流星雨的觀測(cè)，一○六四年（治平元年）沈括對(duì)隕星的觀測(cè)，一○六六年（治平三年）司天監(jiān)對(duì)哈雷彗星的觀測(cè)，都很有名。沈括對(duì)這次隕星的記錄也很翔實(shí)。歷史上以隕星為隕鐵的解釋，沈括是第一人。

　　 元代銅壺滴漏北宋的天文儀器制造也有成就。在計(jì)時(shí)儀器方面，仁宗朝有燕肅造蓮花漏，在很多州使用。蓮花漏就是浮漏，用兩個(gè)放水壺，一個(gè)受水壺，再用兩根叫“渴烏”的細(xì)管，利用虹吸原理，把放水壺中的水，逐步放到受水壺中，使受水壺中水平面高度保持恒定。相等時(shí)間內(nèi)受水壺的水流速度恒定，據(jù)以測(cè)定時(shí)間。

　　元祐年間，蘇頌和韓公廉等制造水運(yùn)儀象臺(tái)。這是把測(cè)量?jī)x器的渾儀，表演儀器的渾象和計(jì)時(shí)儀器集中在一起的一項(xiàng)劃時(shí)代創(chuàng)作。這個(gè)水運(yùn)儀象臺(tái)分三層，高三丈，上層放渾儀，中層放渾象，下層是傳動(dòng)機(jī)械設(shè)置部分。在報(bào)時(shí)的設(shè)置上又分五層木閣。古代以一天為一百刻，又一天有十二時(shí)辰，一夜有五更，一更有五籌（五夜）。這五層木閣都能報(bào)告出來(lái)。這個(gè)儀器用水力轉(zhuǎn)動(dòng)，吸收前人許多優(yōu)點(diǎn)而發(fā)明了和鐘表中相同的擒縱器，使這儀象臺(tái)有節(jié)奏的按時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，把報(bào)時(shí)、觀象、測(cè)天同時(shí)表達(dá)出來(lái)。劉弇（元豐二年進(jìn)士）在《龍?jiān)萍肪矶短敷鸩⑿颉芬晃闹姓f(shuō)：“其后筑臺(tái)，別置渾儀象，激金水其下，機(jī)擎輪吞排，晦斡明至，與造化分疾徐低昂?！蓖瞥鐐渲?。

　　南宋改歷，以寧宗朝楊忠輔的統(tǒng)天歷為冠。統(tǒng)天歷定一回歸年的長(zhǎng)度是365.2425日，和現(xiàn)代通用的格列高利歷相同。后來(lái)元朝的授時(shí)歷也同這個(gè)數(shù)據(jù)。統(tǒng)天歷還提出了回歸年日數(shù)長(zhǎng)度變化的法則。

　　紹興年間，王及甫曾制造假天儀，見(jiàn)他所著的《天經(jīng)》。這假天儀整個(gè)形狀象一個(gè)甕，甕里面“鉆穴為星”，把我國(guó)看不到的南天星座部分作為甕口，甕用柱撐起，甕口有四柱小梯，觀看時(shí)可以扶梯進(jìn)去。這個(gè)甕還有一根軸可以轉(zhuǎn)動(dòng)表演。元朝郭守敬造玲瓏儀也是一個(gè)假天儀，是王及甫工作的繼續(xù)。

　　金滅北宋，把紀(jì)元?dú)v也帶到北方，成為金楊級(jí)編大明歷的底本。一一八○年（大定二十年），趙知微重修大明歷。趙知微的貢獻(xiàn)有兩條，一是對(duì)太陽(yáng)視運(yùn)動(dòng)的計(jì)算中初步用了內(nèi)插法三次差的公式。二是對(duì)日月食食限的計(jì)算用了幾何方法。這都是天文計(jì)算方面進(jìn)步的措施。契丹人耶律履修乙未歷，沒(méi)有實(shí)行。后來(lái)耶律履之子耶律楚材在元初修庚午歷，庚午歷內(nèi)容雖十九采自趙知微的大明歷，但耶律楚材在歷法中提出了樸素的地球經(jīng)度（里差）概念，也是我國(guó)古代天文學(xué)上的一項(xiàng)創(chuàng)見(jiàn)。又據(jù)《金史·天文志》，興定五年（一二二一年）司天臺(tái)內(nèi)還有女真族天文學(xué)家?jiàn)A谷德玉擔(dān)任天象觀測(cè)工作。

　　金朝從北宋得到的天文儀器，放在法物庫(kù)內(nèi)擱置了二十多年。一一五四年（貞元二年）始交司天臺(tái)管理。貞祐南渡后沒(méi)有搬回開(kāi)封。又因當(dāng)時(shí)銅的缺乏，在開(kāi)封也沒(méi)有造新的渾儀。據(jù)《金史·章宗紀(jì)》，承安四年（一一九九年）有丑和尚進(jìn)浮漏、水稱、影儀、簡(jiǎn)儀等圖，當(dāng)時(shí)“命有司依式造之?！备÷┘粗干徎?。水稱在北宋水運(yùn)儀象臺(tái)中約相同于天衡。影儀和簡(jiǎn)儀的內(nèi)容不詳（可能為后來(lái)郭守敬造簡(jiǎn)儀和景符時(shí)所據(jù)）。

　　明昌年間，張行簡(jiǎn)又造星丸漏，比較新穎。星丸漏北宋叫輥彈漏刻，很少記載，相傳是后唐僧人文浩所發(fā)明。利用一銅丸，通過(guò)四個(gè)曲折的孔道，從上放入自下落出，保持恒定速度而測(cè)定時(shí)刻，在行軍和旅途中應(yīng)用。后來(lái)元朝都城用的碑漏，也是星丸漏的一種。又據(jù)《金史·章宗紀(jì)》，泰和四年（一二○四年）司天臺(tái)長(zhǎng)行張翼曾進(jìn)《天象傳》。長(zhǎng)行是司天臺(tái)內(nèi)的散職官名，《天象傳》當(dāng)是天象記錄的專書(shū)。

　　元朝天文學(xué)以郭守敬等人編制授時(shí)歷為其高潮。清代所編《疇人傳·郭守敬傳》說(shuō)：“推步之術(shù)，測(cè)與算二者而已。簡(jiǎn)儀、仰儀、景符、幾之制，前此言測(cè)候者未之及也；垛疊招差、勾股弧矢之法，前此言算造者弗能用也。先之以精測(cè)，繼之以密算，上考下求，若應(yīng)準(zhǔn)繩，施行于世，垂四百年?？芍^集古法之大成，為將來(lái)之典要者矣?！边@不獨(dú)是對(duì)郭守敬等人的評(píng)價(jià)，也是我國(guó)古代天文學(xué)的總結(jié)。測(cè)是觀測(cè)，代表儀象；算是歷算，代表歷法。先通過(guò)觀測(cè)實(shí)踐，再通過(guò)計(jì)算實(shí)踐，所得結(jié)論是“若應(yīng)準(zhǔn)繩”，便以為法。一二八○年（至元十七年）授時(shí)歷編成，郭守敬等人在給忽必烈的奏報(bào)中說(shuō)：自西漢三統(tǒng)歷到北宋紀(jì)元?dú)v共一千一百八十多年，歷法改了七十次，其中新創(chuàng)法的有十三家。從紀(jì)元?dú)v到至元十七年又一百七十多年，授時(shí)歷考正凡七事，新創(chuàng)法又五事。按授時(shí)歷中考正七事都是對(duì)天文數(shù)據(jù)的重新測(cè)定。包括冬至?xí)r刻、回歸年長(zhǎng)度、太陽(yáng)的位置、月亮的位置、交食的辰刻、二十八宿距度和太陽(yáng)出入時(shí)刻。其中測(cè)二十八宿距度比北宋崇寧年間觀測(cè)的還要精細(xì)?；貧w年長(zhǎng)度則采用了統(tǒng)天歷的數(shù)據(jù)而加以詳細(xì)證明。創(chuàng)法五事都是對(duì)天文計(jì)算的改革，可歸納為兩點(diǎn)，一是全面用內(nèi)插法三次差計(jì)算并定出公式，即所謂“垛疊招差”。二是引進(jìn)了球面直角三角形法，即所謂“立渾比量”。

　　授時(shí)歷的完成主要?dú)w功于郭守敬在儀象觀測(cè)上的貢獻(xiàn)。在天文儀器制造上郭守敬確有驚人的創(chuàng)造力。他十五六歲時(shí)即致力于這方面的工作，一直到大德年間將近七十高齡還造天文鐘呈進(jìn)。專研于此，達(dá)半個(gè)世紀(jì)。郭守敬在天文儀器制造方面勇于創(chuàng)新，力求提高精確度和切合實(shí)用。元以前的渾儀上有七八個(gè)大小的環(huán)，環(huán)環(huán)相套，在觀測(cè)上妨礙視線。郭守敬造簡(jiǎn)儀以簡(jiǎn)化渾儀，只保留了兩套觀測(cè)用環(huán)，一個(gè)是測(cè)量赤道坐標(biāo)，一個(gè)是測(cè)量地平坐標(biāo)。元以前的圭表高八尺，郭守敬造高四十尺的銅表比舊有的表高五倍，這樣對(duì)測(cè)量日影長(zhǎng)度的相對(duì)誤差可減少到五分之一，測(cè)量的精確度大為提高。又在高表上設(shè)置了景符，能測(cè)量到太陽(yáng)圓面中心的精確位置。他又造七寶燈漏、柜香漏、屏風(fēng)香漏等計(jì)時(shí)設(shè)置，都是根據(jù)不同要求而制造使用的。

　　元朝在天文學(xué)上還有一項(xiàng)重要的成就，即一二七九年（至元十六年）的大規(guī)模緯度測(cè)量。這次測(cè)量在二十七個(gè)觀測(cè)站舉行，地理緯度從北緯15°到65°。觀測(cè) 河南登封元代觀星臺(tái)的結(jié)果在陜西行省、河南行省和中書(shū)省直轄地的十四個(gè)觀測(cè)點(diǎn)用緯度值來(lái)比較，平均誤差在半度以內(nèi)?？梢?jiàn)觀測(cè)的精細(xì)可貴。

　　數(shù)學(xué)與天文學(xué)關(guān)系密切的數(shù)學(xué)，宋元時(shí)代也很發(fā)達(dá)，出現(xiàn)了好幾位有成就的數(shù)學(xué)家。北宋有賈憲，南宋末有秦九韶和楊輝，金末有李冶，元初有朱世杰。秦、楊、李、朱是金元之際數(shù)學(xué)上的四大家。

　　賈憲是天文學(xué)家楚衍晚年的學(xué)生，做過(guò)右班殿直和左班殿直。時(shí)在沈括之前。王洙《談錄》上說(shuō)：“賈憲運(yùn)算亦妙，有書(shū)傳于世?！辟Z憲在數(shù)學(xué)上的發(fā)明有二：一是開(kāi)方作法本源圖，就是指數(shù)為正整數(shù)的二項(xiàng)式定理系數(shù)表，從商除、平方、立方、四次方一直到六次方的系數(shù)列成一個(gè)圖，世稱賈憲三角形。比西方同樣的巴斯加三角形要早六百年。二是增乘開(kāi)方法，是解一元多次方程求正根的一種簡(jiǎn)便方法。這種方法也比西方為早。商除是一次，平方是二次（是面積），立方是三次（是體積），這都容易理解。再進(jìn)一步碰到四次是什么，要突破這一點(diǎn)，確實(shí)很非凡，開(kāi)四次方可以，則開(kāi)多次方便可類推了。賈憲為我國(guó)古代代數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

　　賈憲以后，沈括在數(shù)學(xué)上也做了些工作。一項(xiàng)叫會(huì)圓術(shù)，就是已知弓形的弦和圓徑求弧長(zhǎng)。在我國(guó)歷史上首先提出孤線與直線的關(guān)系，但沈括的結(jié)論還是一近似公式（這公式元朝郭守敬等人撰授時(shí)歷時(shí)用到它）。又一項(xiàng)叫隙積術(shù)，用到一種高階等差級(jí)數(shù)求和的方法。沈括還發(fā)明了指數(shù)相乘的法則。物理學(xué)上凹面鏡成倒像的解釋，沈括說(shuō)籮家叫“格術(shù)”。天文學(xué)上推算五星運(yùn)動(dòng)的順逆留合，沈括說(shuō)算家叫“綴術(shù)”。測(cè)量學(xué)上的審方面勢(shì)，沈括說(shuō)算家叫“喜術(shù)”。當(dāng)時(shí)對(duì)待數(shù)學(xué)和其他科學(xué)的關(guān)系，于此可見(jiàn)。

　　秦九韶，南宋未普州安岳人。早年曾在杭州從隱君子受數(shù)學(xué)。一二四七年（淳枯七年）著《數(shù)書(shū)九章》一書(shū)。他在著作中發(fā)展了賈憲的增乘開(kāi)方法，解一個(gè)一元十次方程式，并附有算圖。算圖中列算式如層層剝筍，秩序井然，所以現(xiàn)在還有人把增乘開(kāi)方法叫“秦九韶程序”。秦九韶還發(fā)明了整數(shù)論中一次同余式組的普遍解法，這就是聞名世界的中國(guó)剩余定理。

　　金代，數(shù)學(xué)上發(fā)明了天元術(shù)。大約金中時(shí)開(kāi)始流行，之后得到迅速的推進(jìn)。一一八四年（大定二十四年），平陽(yáng)畢履道為了校訂地理書(shū)用到當(dāng)時(shí)流行的算法。又有平陽(yáng)人蔣周著《益古》一書(shū)，記錄了天元術(shù)。還有金都水監(jiān)頒印的《河防通議》（約在明昌年間）也有算法講到天元術(shù)。蔣周這部書(shū)已伏，《河防通議》中的算法可以從元人引用中得知。最早的天元術(shù)比較簡(jiǎn)單，立出算式只是解一個(gè)一元二次方程。天元術(shù)發(fā)明后，平陽(yáng)、太原、東平、真定等地區(qū)廣為傳播。

　　天元術(shù)以“元”代表未知數(shù)X，以“太”代表常數(shù)項(xiàng)。列式時(shí)把元字寫(xiě)在算碼的右側(cè)，如11元即表示2x，或單寫(xiě)太，如11太也同。寫(xiě)了元便不寫(xiě)太，寫(xiě)了太便不寫(xiě)元。方程式的各項(xiàng)是從下而上，即太在元下，太是常數(shù)項(xiàng)，元是X項(xiàng)，元上是X2項(xiàng)，再上是X3項(xiàng)等等。太下是1/X（即X-1）項(xiàng)，再下是X-2項(xiàng)等等。也有記法從上而下恰恰相反。在用算籌排列時(shí)，正數(shù)用紅色籌。負(fù)數(shù)用黑色籌。用算碼時(shí)，正負(fù)數(shù)也用紅黑色區(qū)別，但為了書(shū)寫(xiě)方便，可在算碼的個(gè)位數(shù)加一斜撇，如-2作■，-231作‖川卜。天元術(shù)的方法一般是根據(jù)問(wèn)題中已有條件，立天元一（x）為未知數(shù)（所求數(shù)），最后列出方程式，解方程得數(shù)。至于解方程式在一元三次以上，就要用到賈憲的方法。

　　金末在真定府一帶流傳的一部數(shù)學(xué)著作叫《洞淵測(cè)圓》，指演算勾股容圓（直角三角形的內(nèi)接圓）算題共有十三問(wèn)。李冶根據(jù)此書(shū)加以推廣，又集天元術(shù)的大成，寫(xiě)出了他的名著《測(cè)圓海鏡》。

　　天元術(shù)出現(xiàn)后，很自然地發(fā)展為天地二元木，天地人三元術(shù)和天地人物四元術(shù)。這大概已是元代的事了。

　　現(xiàn)在流傳下來(lái)的元代數(shù)學(xué)著作有：《錦囊啟源》、《透廉細(xì)草》、《丁巨算法》（一三五五年），只存輯本；《算法全能集》、《詳明算法》、《算學(xué)啟蒙》（一二九九年）、《四元玉鑒》（一三○三年）存有足本。后兩書(shū)都是朱世杰所撰。朱世杰是元朝數(shù)學(xué)家的代表，也是當(dāng)時(shí)世界上杰出的數(shù)學(xué)家之一。

　　朱世杰在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)主要是發(fā)明四元術(shù)和多種高階等差級(jí)數(shù)求和方法。他是一位數(shù)學(xué)教習(xí)，周游湖海二十余年。他的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)大約在元朝初期。由天元術(shù)發(fā)展到四元術(shù)是當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)演算中的必然結(jié)果。四元術(shù)以天地人物表示四個(gè)未知數(shù)，天在下，地在左，人在右，物在上，中間是太。和天元術(shù)的表示法相類，太（常數(shù)項(xiàng)）下面是天的一次方、二次方等等，左邊是地的一次方、二次方等等，右邊是人的一次方、二次方等等，上面是物的一次方、二次方等等。如果天與地相乘則放在左下方各位置，地物、物人、人天相乘類似。只有不相鄰的天物（上下）、地人（左右）相乘各項(xiàng)，則放在相應(yīng)的夾縫內(nèi)。四元術(shù)的計(jì)算方法用四元消法，把四個(gè)元經(jīng)過(guò)剔消，最后剩下一個(gè)元。這個(gè)元如果不是天元，可以易位。然后用天元術(shù)的解法，求得答案?！端脑耔b》的一篇序文上說(shuō)：“上升下降，左右進(jìn)退?；ネㄗ兓顺鶃?lái)。用假象真，以虛問(wèn)實(shí)。錯(cuò)綜正負(fù)，分成四式?！边@種數(shù)學(xué)思想的形成是經(jīng)過(guò)了比較復(fù)雜的思辯過(guò)程。在我國(guó)古代數(shù)學(xué)中明確提出數(shù)學(xué)“用假象真，以虛問(wèn)實(shí)”，這還是第一次。

　　朱世杰的多種高階等差級(jí)數(shù)求和方法，古代叫垛積術(shù)。他以茭草垛（即一加二加三加四……）為母垛，推演出各種不同方式的垛而求其積。其名稱有英草落一形、三角落一形、撤星更落一形等十多種。朱世杰在垛積命名和演算上都掌握了演繹歸納的初步方法，他演算的結(jié)果和推導(dǎo)的公式都很準(zhǔn)確。朱世杰這方面的工作，在當(dāng)時(shí)的世界上也是先進(jìn)的。

　　由于手工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)達(dá)，商業(yè)上交換的頻繁，宋元時(shí)代實(shí)用算術(shù)方面也有很大的進(jìn)展。第一是發(fā)明了除法口訣。第二是出現(xiàn)了完整的算碼。第三是計(jì)算工具由籌算發(fā)展為珠算。

　　簡(jiǎn)易乘除法在唐中葉已有人注意。北宋初徐仁美設(shè)“增成立一”法，沈括說(shuō)：“增成一法，都不用乘除，但補(bǔ)虧就盈而已。假如欲九除者增一便是，八除者增二便是?！本懦鲆缓桶顺龆褪呛髞?lái)的九一下加一和八一下加二等句。同時(shí)，宋初的應(yīng)天歷內(nèi)提到身外除一、身外除三等，身外除一指除數(shù)是十一，身外除三指除數(shù)是十二?？芍谠E在宋初已開(kāi)始有了萌芽。這一新生事物很快為廣大人民所掌握，到南宋末和元初，除法九歸的口訣便全部成熟了。二一添作五、三一三十一等句在計(jì)算技術(shù)中傳誦開(kāi)來(lái)。又在田畝計(jì)算中發(fā)明了飛歸。在斤兩換算中，創(chuàng)造出斤求兩和兩求斤炔。記錄簡(jiǎn)易乘除法的專書(shū)應(yīng)推南宋末楊輝的著作。楊輝是錢(qián)塘人，著有《楊輝算法》，對(duì)后來(lái)省算工作的推廣影響很大。

　　南宋出現(xiàn)了算碼，關(guān)鍵是零符號(hào)的發(fā)明。南宋蔡沈的《律呂成書(shū)》內(nèi)，把118098用文字表示為十一萬(wàn)八千□□九十八，這□□即代表空百。畫(huà)方時(shí)一快便變成○了 。大約江南在南宋未，北方在金末元初，數(shù)學(xué)著述中都出現(xiàn)了○的符號(hào)。零的發(fā)現(xiàn)是數(shù)學(xué)史上一件大事。北宋司馬光《潛虛》中曾經(jīng)以×表示四。這樣我國(guó)算碼的初步形體是|||川 乂 ò■■■義，后來(lái)書(shū)寫(xiě)ò變成8，義變?yōu)殁簽槲?。這就是后世所說(shuō)的蘇州碼子字。在阿拉伯?dāng)?shù)碼字推廣使用以前，我國(guó)數(shù)學(xué)上的演算，商業(yè)上的會(huì)計(jì)都用這種算碼。

　　元代已普遍使用算盤(pán)。劉因《靜修先生文集》中有算盤(pán)詩(shī)。元?jiǎng)≈幸惨?jiàn)算盤(pán)。元末明初陶宗儀的《輟耕錄》已論算盤(pán)珠。近年發(fā)現(xiàn)洪武辛亥（一三七一年）金陵王氏勤有書(shū)堂新刊《對(duì)相四言雜字》（看圖識(shí)字書(shū)）有算盤(pán)圖，十檔，上二珠下五珠。這是目前發(fā)現(xiàn)最早的珠算算盤(pán)圖。這部《對(duì)相四言雜字》中圖繪的服裝純是元代式樣，知此書(shū)的租本當(dāng)在元代。書(shū)中還有算子圖，算子即算籌?！端疂G傳》中所稱的算子也即這種算籌。由此看來(lái)，元朝到明初仍是籌算和珠算并用時(shí)代，大概到明中葉以后，便廢棄籌算而專用珠算。