至于第四維與愛因斯坦相對論的關(guān)系，那是有目共睹的。龐加萊于1898年發(fā)表的一篇論文探討了如何“在一個(gè)以時(shí)間為第四維的四維空間里建立一種數(shù)學(xué)表述”，其重要性立刻被愛因斯坦在瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學(xué)的數(shù)學(xué)老師閔可夫斯基捕捉到了，并適時(shí)傳遞給了學(xué)生，盡管數(shù)學(xué)家本人對這個(gè)經(jīng)常逃學(xué)的留小胡子的青年毫無印象。1904年，即發(fā)現(xiàn)狹義相對論的前一年，愛因斯坦讀到《科學(xué)與假設(shè)》的德文譯本，立刻被書中席卷數(shù)學(xué)、科學(xué)和哲學(xué)的氣勢所感動(dòng)，從中了解了幾何學(xué)的基礎(chǔ)?？墒?，直到1912年（龐加萊去世的那年，此時(shí)閔可夫斯基已經(jīng)過世三年），愛因斯坦才恍然領(lǐng)悟到，狹義相對論只有在高度幾何化后才能完全廣義化。而在廣義相對論發(fā)表后的第二年，即1916年，德國數(shù)學(xué)家希爾伯特發(fā)出了這樣的感嘆：“物理學(xué)家必須要首先成為幾何學(xué)家?！?/p>

雖然愛因斯坦的相對論誕生已經(jīng)快一個(gè)世紀(jì)了，人們對它的理解仍十分膚淺，只知道根據(jù)這一理論：時(shí)間是相對的，空間是彎曲的，光并不是沿著直線傳播的；物質(zhì)和能量的分布決定著時(shí)空的彎曲，這種時(shí)空彎曲等同于萬有引力。這里我想引用一位物理學(xué)家舉的例子：“讓我們設(shè)想有兩只飛船。飛船X以每秒10萬公里的速度飛離地球。飛船上的觀測者和地球上的觀測者同時(shí)對這一速度進(jìn)行測量，他們得到的結(jié)果是一致的。而飛船Y以與飛船X相同的方向運(yùn)行，地球上的觀測者測量它的速度是每秒18萬公里?？墒?，愛因斯坦預(yù)言，如果兩只飛船上的觀測者來測量它們之間分離的速度時(shí)，卻是每秒10萬公里而不是8萬公里?！?/p>

這個(gè)結(jié)果表面上看起來十分荒謬，但可以用愛因斯坦發(fā)現(xiàn)的質(zhì)能轉(zhuǎn)換公式來推導(dǎo)，也即一個(gè)質(zhì)量為M的物質(zhì)的能量E等于該質(zhì)量M和光速c（每秒18.6萬公里）的平方的乘積。這個(gè)公式為愛因斯坦贏得了持久的聲譽(yù)，“政治是暫時(shí)的，而方程式是永恒的”。同時(shí)，c平方這個(gè)龐大的數(shù)字也可以解釋投放在廣島和長崎的那兩顆原子彈的威力。不過，那兩次爆炸使得愛因斯坦痛心不已。正是他在1939年致函美國總統(tǒng)羅斯福，指出研制原子能的必要性，并強(qiáng)調(diào)美國搶在德國之前發(fā)展這一武器的重要性。這封信促進(jìn)了直接導(dǎo)致第一顆原子彈出現(xiàn)的“曼哈頓計(jì)劃”的展開。

如果上述例子仍不足以解釋相對論，還有一種辦法可以幫助我們理解，那就是試圖理解更難的非歐幾何學(xué)。直到18世紀(jì)末19世紀(jì)初，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下，笛卡爾的解析幾何只是改變了幾何研究的方法，并使牛頓和萊布尼茨發(fā)明的微積分學(xué)表述得更加清晰，卻沒有從本質(zhì)上改變歐氏幾何本身的內(nèi)容。歐氏幾何賴以存在的前提中有這么一條不那么自明的假設(shè)，即“過直線外一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線平行”，也就是所謂的“第五公設(shè)”。這個(gè)曖昧的假設(shè)引起了數(shù)學(xué)家的廣泛關(guān)注，其中大多數(shù)人試圖證明它，也有的沿著不同的方向，即試圖給出相反的假設(shè)。

俄國人羅巴切夫斯基就是一個(gè)叛逆性的人物。1826年，他在偏遠(yuǎn)的喀山（那里離哈薩克斯坦比莫斯科更近一些）大學(xué)發(fā)表了非歐幾何學(xué)的第一篇論文，正是建立在假定“過直線外一點(diǎn)可以引至少兩條直線與已知直線平行”的基礎(chǔ)上?？墒牵捎谡Z言的隔膜和交通的不便，這項(xiàng)成果將近十年以后才傳遞到西歐，幾乎就被匈牙利數(shù)學(xué)家鮑耶搶了先。1854年，德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)展了羅氏理論而建立起更廣泛的非歐幾何學(xué)。他引進(jìn)了流形曲率的概念，在三維常曲率空間里有三種情況，即曲率為正常數(shù)、零或負(fù)常數(shù)。后面兩種情形分別對應(yīng)于歐氏幾何和羅巴切夫斯基幾何，而第一種幾何是黎曼本人的創(chuàng)造，它意味著“過直線外一點(diǎn)不能引任何直線與已知直線平行”。

至此，有關(guān)非歐幾何學(xué)的含義就變得比較明晰了。多年以后，龐加萊等人又先后在歐氏空間中給出非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義。無論是歐氏幾何還是非歐幾何，都存在任意有限維的甚至無限維的空間。龐加萊為物理學(xué)家提供了那個(gè)以時(shí)間為第四維的四維空間，可以看作是非歐幾何學(xué)的一個(gè)特例。閔可夫斯基進(jìn)一步指出，在這個(gè)四維度量空間的長度計(jì)算公式里，第四維時(shí)間t的平方前面需要加一個(gè)負(fù)號(hào)。這個(gè)公式是如此美妙，愛因斯坦的一位同事、物理學(xué)家馬克斯·玻恩這樣感嘆：“從那以后，所有的理論物理學(xué)家每天都在使用它?！笨傊?，在廣義相對論里，空間和時(shí)間變成了一種四維結(jié)構(gòu)，只不過這個(gè)四維結(jié)構(gòu)的形狀被其中的大質(zhì)量物體扭曲了。這樣一來，宇宙就由一塊剛性的鐵板變成了一個(gè)彈性的墊子。