1.1.4 矢量有限單元法

關(guān)于矢量有限元的研究應(yīng)用是一個(gè)較新的課題, 國內(nèi)外的研究主要是集中在波導(dǎo)結(jié)構(gòu)分析、 腔體散射和貼片天線輻射問題的分析當(dāng)中。1957年, Whitney最早提出了棱邊元的構(gòu)想, 但直到20世紀(jì)80年代初期, Bossavit等將四面體棱邊元應(yīng)用于三維渦流問題, 1987年, Barton和Cendes將四面體棱邊元首次應(yīng)用于三維磁場(chǎng)計(jì)算才揭開了基于棱邊的有限元方法在電磁問題中應(yīng)用的序幕。從20世紀(jì)90年代開始, Jianming Jin和Volakis等人應(yīng)用Edge-based FEM與其他求解技術(shù)相結(jié)合的混合方法, 分析了一系列電磁散射與輻射問題。1990年, Sakiyama和 Kotera 等人利用矢量有限單元法分析了電磁散射模型。Inoue和Koshiba利用了矢量有限單元法研究了不連續(xù)波導(dǎo)的電磁特性。1995年, Lee詳細(xì)地研究了矢量有限單元法在電磁散射問題中的應(yīng)用。在國內(nèi), 矢量有限元的研究工作大多集中在波導(dǎo)和諧振腔方面的研究。徐善駕、 周樂柱等學(xué)者在矢量有限元的應(yīng)用和高次棱邊元的研究方面也取得了許多成果。1994年, 饒明忠、 譚邦定和黃鍵研究了矢量有限元在工程渦流場(chǎng)計(jì)算中的應(yīng)用。徐金平、 丁衛(wèi)平(2003)對(duì)電磁散射與輻射問題中基于矢量有限元的混合方法進(jìn)行了研究。聶在平、 班永靈(2006)研究了高階矢量有限元方法在三維電磁散射與輻射中的應(yīng)用問題。所有的這些工作基本上都與電磁散射和輻射相關(guān)。

在地球物理領(lǐng)域, 尤其是在電(磁)法領(lǐng)域, 矢量有限元的研究還很薄弱, 就目前檢索到的文獻(xiàn)而言, 閻述(2003)研究了基于矢量有限元的可控源音頻大地電磁法的正演問題。Xueming Shi等人(2004)研究了結(jié)合散度校正的三維大地電磁矢量有限元模擬, 隨后, 韓國學(xué)者M(jìn)yung Jin Nam, Hee Joon Kim等人于2007年在Geophysical Prospecting上發(fā)表了一篇關(guān)于利用矢量有限元進(jìn)行三維大地電磁正演模擬的文章。國內(nèi)的王緒本和毛立峰(2006)對(duì)井-地交流電法的矢量有限元三維正演問題進(jìn)行了研究。孫向陽、 聶在平和趙延文等人(2008)用矢量有限元方法模擬了隨鉆測(cè)井儀在傾斜各向異性地層中的電磁響應(yīng)。王燁(2008)用矢量有限元對(duì)高頻大地電磁法進(jìn)行了三維數(shù)值模擬。

總的來說, 這幾種數(shù)值模擬方法在地球物理正演模擬方面都有一定的優(yōu)勢(shì)和不足。 有限差分法的優(yōu)點(diǎn)在于方法簡(jiǎn)便易算, 缺點(diǎn)是當(dāng)物性參數(shù)復(fù)雜分布或場(chǎng)域的幾何特征不規(guī)則時(shí), 適應(yīng)性比較差。有限單元法與上述方法相比具有推導(dǎo)過程簡(jiǎn)單, 適合處理復(fù)雜的幾何形狀, 靈活和適應(yīng)性強(qiáng)等特點(diǎn), 但它的計(jì)算量龐大, 耗費(fèi)的計(jì)算時(shí)間較多?；谶叺氖噶坑邢拊哂幸恍﹤鹘y(tǒng)節(jié)點(diǎn)有限元無法比擬的優(yōu)點(diǎn), 不僅避免了偽解的出現(xiàn), 而且能很容易加載介質(zhì)的邊界條件。但該方法在處理矢量電磁場(chǎng)問題中仍有其不足, 由于矢量基函數(shù)沿單元棱邊方向取值恒定, 沿棱邊法向是線性插值, 這限制了基函數(shù)模擬實(shí)際電磁場(chǎng)的插值精度。

1.1.5 自適應(yīng)有限單元法

自適應(yīng)有限元最早始于20世紀(jì)70年代。Oliveria于1971年通過極小能量利用最優(yōu)節(jié)點(diǎn)分布討論了網(wǎng)格優(yōu)化問題, 所提出的網(wǎng)格重分布方法成為移動(dòng)節(jié)點(diǎn)法的基礎(chǔ)。20世紀(jì)70年代中期, Oliveria進(jìn)一步創(chuàng)造性地提出在應(yīng)變能密度變化最大的區(qū)域加密網(wǎng)格或增加插值函數(shù)的高階自由度, 開創(chuàng)了最優(yōu)離散化的研究。20世紀(jì)70年代后期, Peano提出用疊層細(xì)分構(gòu)造混合階插值, 給出了非常有用的疊層p-型單元族。20世紀(jì)80年代, Zienkiewicz等在此基礎(chǔ)之上通過實(shí)例研究了h、 p組合法的精度和有效性問題。20世紀(jì)90年代, Oden等也進(jìn)一步研究了p-改進(jìn)和h-加密的組合方法, 旨在以最少的參數(shù)達(dá)到最高的精度。Mark Ainsworth對(duì)有限元的后驗(yàn)誤差做了綜合的探討, 分別給出了橢圓邊值問題的基于殘值和基于梯度的后驗(yàn)誤差, 為自適應(yīng)有限元后驗(yàn)誤差的計(jì)算奠定了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)。Zienkiewicz等人在誤差估計(jì)方面做了大量富有成效的工作。他們提出通過局部應(yīng)力場(chǎng)的節(jié)點(diǎn)插值或最小二乘擬合求取非連續(xù)有限元應(yīng)力場(chǎng)的平滑應(yīng)力, 并由能量范數(shù)度量的兩應(yīng)力場(chǎng)間的差值表示離散誤差。Ainosworth 等曾證明了此法的有效性, 這一有效方法已被人們所廣泛采用。進(jìn)入21世紀(jì), 對(duì)于自適應(yīng)有限元的研究愈加廣泛, Vera Nübel等提出了塑性全量理論的rp自適應(yīng)有限元策略, 并且能夠達(dá)到指數(shù)級(jí)的收斂速度。Stephan等將hp自適應(yīng)有限元和邊界元耦合的方法用于時(shí)諧形式的麥克斯韋方程組的求解。近年來, 隨著并行計(jì)算研究的深入, 基于C++面向過程的并行自適應(yīng)有限元算法和軟件的開發(fā)也有了新的進(jìn)展。2005年以來, Demkowicz與Rachowicz等人開展了穩(wěn)定電流場(chǎng)及電磁場(chǎng)的hp型自適應(yīng)有限元算法研究, 對(duì)石油勘探中的直流電測(cè)井模型進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算, 得出了高精度的視電阻率結(jié)果。Key (2006)開展了大地電磁二維模型的自適應(yīng)有限元計(jì)算, Li(2006)給出了海底可控源電磁法二維模型的初步計(jì)算結(jié)果, 三維電磁場(chǎng)的自適應(yīng)有限元模擬還未見文獻(xiàn)報(bào)道。

國內(nèi)學(xué)者也投入了大量的時(shí)間與精力研究傳統(tǒng)有限元法在各種工程計(jì)算中的理論與實(shí)際應(yīng)用, 取得了顯著成果。但對(duì)于自適應(yīng)有限元的研究則起步相對(duì)較晚, 只有一些在工程計(jì)算方面的應(yīng)用。陳志明等對(duì)橢圓變分不等式和連續(xù)鑄鋼模型等非線性問題的后驗(yàn)誤差分析和自適應(yīng)進(jìn)行了系統(tǒng)和深入研究, 取得了突破性進(jìn)展。杜強(qiáng)對(duì)Delaunay網(wǎng)格生成算法進(jìn)行了大量的探討, 為自適應(yīng)網(wǎng)格剖分奠定了理論基礎(chǔ), 并且形成了網(wǎng)格生成的軟件包。黃云清、 陳傳淼、 朱啟定對(duì)有限元高精度理論和多重網(wǎng)格算法做了深入的研究, 張智民對(duì)后驗(yàn)誤差進(jìn)行了深入的探討。大多學(xué)者都是在各自領(lǐng)域進(jìn)行了一些研究, 沒有形成一套用自適應(yīng)有限元求解的普適性的軟件。目前應(yīng)用自適應(yīng)有限元方法求解資源勘探和材料科學(xué)等領(lǐng)域復(fù)雜問題的關(guān)鍵技術(shù)亟待解決。