我第一次遇到運(yùn)用科學(xué)解決復(fù)雜性的問(wèn)題是在 20世紀(jì) 70年代初打橋牌的時(shí)候。每當(dāng)我的搭檔羅伯特 ?梅不玩牌時(shí)，他都在桌角的一個(gè)筆記本上涂畫(huà)一些我無(wú)法辨認(rèn)的潦草字跡和標(biāo)志。當(dāng)時(shí)，我并不知道他正在創(chuàng)造歷史。

邏輯斯蒂差分方程

一個(gè)叫做邏輯斯蒂差分方程的簡(jiǎn)單方程使羅伯特感到困惑。數(shù)學(xué)家用邏輯斯蒂差分方程來(lái)描述動(dòng)物種群數(shù)量的增長(zhǎng)。這是一個(gè)非常有用的方程，它可以推導(dǎo)出非常有價(jià)值的答案。例如，它預(yù)測(cè)人口最初呈指數(shù)增長(zhǎng)，但當(dāng)食物、空間或其他資源變得有限時(shí)，人口將達(dá)到一個(gè)環(huán)境可以承受的穩(wěn)定水平。

不過(guò)，羅伯特也發(fā)現(xiàn)了一個(gè)悖論。當(dāng)人口增長(zhǎng)達(dá)到一定的速度時(shí)，方程會(huì)陷入瘋狂的狀態(tài)。它并沒(méi)有預(yù)測(cè)出穩(wěn)定的變化，而是在“繁榮”和“蕭條”之間循環(huán)或出現(xiàn)混亂，在這種情況下，人口可能出現(xiàn)繁榮，然后突然間崩潰。造成這種情況的原因是因?yàn)樵摲匠毯姓答佋睾拓?fù)反饋元素。現(xiàn)在人們認(rèn)為這些元素對(duì)各種復(fù)雜性的出現(xiàn)極為重要，包括自然界中種群數(shù)量的劇烈變動(dòng)、股票市場(chǎng)上的大幅波動(dòng)，以及群體智能中包含的穩(wěn)定模式的出現(xiàn)。

邏輯斯蒂差分方程看似非常簡(jiǎn)單，但與歷史上其他的方程相比，它可能會(huì)讓更多的數(shù)學(xué)家發(fā)瘋。

該方程最初被應(yīng)用于人口增長(zhǎng)。如果 p個(gè)個(gè)體的數(shù)量可以以恒定速度 r無(wú)限制地增長(zhǎng)，那么我們可以簡(jiǎn)單地表示為：

p目前 = r ×p之前

例如，如果人口以每年 3%的速度增長(zhǎng)，而且在每年的同一天計(jì)算人口數(shù)量，那么 r的值為 1.03。

這就是所謂的指數(shù)增長(zhǎng)，很顯然，我們的星球無(wú)法一直承受這種無(wú)限期的增長(zhǎng)。無(wú)論我們進(jìn)行怎樣的調(diào)整，都會(huì)有一個(gè)上限。我們將 K設(shè)定為地球可以承受的最大的人口數(shù)量。比利時(shí)數(shù)學(xué)家皮埃爾 ?弗朗索瓦 ?費(fèi)爾哈斯特（ Pierre Fran.ois Verhulst）在 1838年提出一個(gè)絕妙想法，他用一個(gè)簡(jiǎn)單的方程式說(shuō)明了當(dāng)人口增長(zhǎng)接近人口上限時(shí)必須放慢速度，而如果人口數(shù)量超過(guò)上限，則會(huì)變成負(fù)增長(zhǎng)。邏輯斯蒂差分方程如下：

p目前 = r × p之前 [(K – p之前 )/K]

這個(gè)看似簡(jiǎn)單的方程式（注意，方程是非線性的，因?yàn)?p之前本身發(fā)生倍增）確實(shí)已引發(fā)了一些非凡的見(jiàn)解。

公式看起來(lái)十分簡(jiǎn)單。當(dāng)人口數(shù)量遠(yuǎn)未達(dá)到極限時(shí)， p之前遠(yuǎn)小于 K值，該方程可簡(jiǎn)化為指數(shù)增長(zhǎng)方程。當(dāng)人口數(shù)量逐漸接近極限時(shí)，增長(zhǎng)便立即減速，直至（K – p之前）的結(jié)果越來(lái)越接近零。

這個(gè)方程簡(jiǎn)單描述了細(xì)菌在有蓋培養(yǎng)皿中或藻類(lèi)在池塘中的增長(zhǎng)情況（只要存在食物或光線）。如果根據(jù)時(shí)間畫(huà)一個(gè)人口數(shù)量圖表，則會(huì)出現(xiàn)一個(gè)經(jīng)典的 S形線條，開(kāi)始呈指數(shù)增長(zhǎng)，經(jīng)過(guò)很長(zhǎng)一段時(shí)間逐漸達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)——只要增長(zhǎng)的速度不是太快。

一切都保持穩(wěn)定的狀態(tài)，直到我們達(dá)到“三倍”的增長(zhǎng)率（ r = 3）時(shí)，奇怪的事情發(fā)生了：平緩的人口增長(zhǎng)曲線開(kāi)始在兩個(gè)不同的狀態(tài)：“繁榮與蕭條”之間波動(dòng)震蕩。當(dāng)增長(zhǎng)率達(dá)到 3.449 5時(shí)，曲線開(kāi)始在四個(gè)不同的狀態(tài)之間波動(dòng)。當(dāng)增長(zhǎng)率達(dá)到 3.596時(shí)，人口數(shù)量在 16個(gè)不同狀態(tài)之間快速波動(dòng)。增長(zhǎng)率再稍微高一點(diǎn)，便進(jìn)入混亂狀態(tài)。

關(guān)于“繁榮與蕭條”的數(shù)學(xué)計(jì)算準(zhǔn)確描述了現(xiàn)實(shí)世界發(fā)生的許多事件。不幸的是，它并未使預(yù)測(cè)變得更加容易—— 2008年的信貸危機(jī)便是一個(gè)很好的證明。這在一定程度上是因?yàn)榛灸Ｐ屯ǔ＿^(guò)于簡(jiǎn)化，同時(shí)也因?yàn)橄到y(tǒng)的運(yùn)行狀況非常敏感地依賴(lài)于某些精確的條件。