我第一次遇到運用科學解決復雜性的問題是在 20世紀 70年代初打橋牌的時候。每當我的搭檔羅伯特 ?梅不玩牌時，他都在桌角的一個筆記本上涂畫一些我無法辨認的潦草字跡和標志。當時，我并不知道他正在創(chuàng)造歷史。

邏輯斯蒂差分方程

一個叫做邏輯斯蒂差分方程的簡單方程使羅伯特感到困惑。數學家用邏輯斯蒂差分方程來描述動物種群數量的增長。這是一個非常有用的方程，它可以推導出非常有價值的答案。例如，它預測人口最初呈指數增長，但當食物、空間或其他資源變得有限時，人口將達到一個環(huán)境可以承受的穩(wěn)定水平。

不過，羅伯特也發(fā)現了一個悖論。當人口增長達到一定的速度時，方程會陷入瘋狂的狀態(tài)。它并沒有預測出穩(wěn)定的變化，而是在“繁榮”和“蕭條”之間循環(huán)或出現混亂，在這種情況下，人口可能出現繁榮，然后突然間崩潰。造成這種情況的原因是因為該方程含有正反饋元素和負反饋元素?，F在人們認為這些元素對各種復雜性的出現極為重要，包括自然界中種群數量的劇烈變動、股票市場上的大幅波動，以及群體智能中包含的穩(wěn)定模式的出現。

邏輯斯蒂差分方程看似非常簡單，但與歷史上其他的方程相比，它可能會讓更多的數學家發(fā)瘋。

該方程最初被應用于人口增長。如果 p個個體的數量可以以恒定速度 r無限制地增長，那么我們可以簡單地表示為：

p目前 = r ×p之前

例如，如果人口以每年 3%的速度增長，而且在每年的同一天計算人口數量，那么 r的值為 1.03。

這就是所謂的指數增長，很顯然，我們的星球無法一直承受這種無限期的增長。無論我們進行怎樣的調整，都會有一個上限。我們將 K設定為地球可以承受的最大的人口數量。比利時數學家皮埃爾 ?弗朗索瓦 ?費爾哈斯特（ Pierre Fran.ois Verhulst）在 1838年提出一個絕妙想法，他用一個簡單的方程式說明了當人口增長接近人口上限時必須放慢速度，而如果人口數量超過上限，則會變成負增長。邏輯斯蒂差分方程如下：

p目前 = r × p之前 [(K – p之前 )/K]

這個看似簡單的方程式（注意，方程是非線性的，因為 p之前本身發(fā)生倍增）確實已引發(fā)了一些非凡的見解。

公式看起來十分簡單。當人口數量遠未達到極限時， p之前遠小于 K值，該方程可簡化為指數增長方程。當人口數量逐漸接近極限時，增長便立即減速，直至（K – p之前）的結果越來越接近零。

這個方程簡單描述了細菌在有蓋培養(yǎng)皿中或藻類在池塘中的增長情況（只要存在食物或光線）。如果根據時間畫一個人口數量圖表，則會出現一個經典的 S形線條，開始呈指數增長，經過很長一段時間逐漸達到穩(wěn)定狀態(tài)——只要增長的速度不是太快。

一切都保持穩(wěn)定的狀態(tài)，直到我們達到“三倍”的增長率（ r = 3）時，奇怪的事情發(fā)生了：平緩的人口增長曲線開始在兩個不同的狀態(tài)：“繁榮與蕭條”之間波動震蕩。當增長率達到 3.449 5時，曲線開始在四個不同的狀態(tài)之間波動。當增長率達到 3.596時，人口數量在 16個不同狀態(tài)之間快速波動。增長率再稍微高一點，便進入混亂狀態(tài)。

關于“繁榮與蕭條”的數學計算準確描述了現實世界發(fā)生的許多事件。不幸的是，它并未使預測變得更加容易—— 2008年的信貸危機便是一個很好的證明。這在一定程度上是因為基本模型通常過于簡化，同時也因為系統(tǒng)的運行狀況非常敏感地依賴于某些精確的條件。