愛因斯坦對理論物理的影響

1979年，是愛因斯坦百年誕辰，世界各地開會紀(jì)念。7月，在意大利特里亞斯特（Trieste）舉行的第二屆馬賽耳·格羅斯曼（Marcel Grossman）會議上，楊振寧作了報告“Einstein's Impact on Theoretical Physics”，原載Physics Today，1980年6 月。中譯文載《讀書教學(xué)四十年》，香港：三聯(lián)書店，1985年。譯者：甘幼玶、黃得勛。

對稱支配相互作用，幾何是物理的核心，形式美在對世界的描述中極為重要，這些都是對當(dāng)前的思想有著深刻影響的見地。

本世紀(jì)初，發(fā)生了三次概念上的革命，深刻地改變了人們對物理世界的認(rèn)識。這三次革命是：狹義相對論（1905）、廣義相對論（1915）和量子力學(xué)（1925）。愛因斯坦本人發(fā)動了頭兩次革命，影響并幫助形成了第三次革命。然而，我這里所要談的，并非他在這些概念革命中的工作。關(guān)于這方面的文章已經(jīng)不少了。我要概略討論的是愛因斯坦對理論物理結(jié)構(gòu)的見地及其與本世紀(jì)下半葉物理學(xué)發(fā)展的關(guān)系。我的討論將分作四部分，當(dāng)然，這四部分是密切相關(guān)的。

對稱支配相互作用

基礎(chǔ)物理學(xué)中發(fā)現(xiàn)的第一個重要的對稱原理是洛倫茲（Lorentz）不變性。這是作為麥克斯韋（Maxwell）方程的數(shù)學(xué)性質(zhì)而被發(fā)現(xiàn)的，而麥克斯韋方程則是在電磁學(xué)實(shí)驗(yàn)定律的基礎(chǔ)上建立起來的。在這一歷史過程中，不變性，或者說對稱性，只是次要的發(fā)現(xiàn)。后來赫曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski）倒轉(zhuǎn)了這一過程。愛因斯坦在其自傳筆記^[1]中對此大加贊賞。閔可夫斯基引入的觀念是從洛倫茲不變性入手要求場方程不變，如表80b.1所示。

表80b.1　對稱性與物理定律

對稱原理的巨大物理成果給愛因斯坦留下了極為深刻的印象。他于是悉心研究以求擴(kuò)大洛倫茲不變性的范圍。他的廣義坐標(biāo)不變性的想法，加上等價原理，導(dǎo)致出了廣義相對論。所以可以說，是愛因斯坦首先用了對稱支配相互作用這一原則。它是近年來出現(xiàn)的各種場論的基礎(chǔ)，這些發(fā)展包括：

? 坐標(biāo)變換不變導(dǎo)致廣義相對論

? 阿貝爾（Abel）規(guī)范對稱導(dǎo)致電磁學(xué)

? 非阿貝爾規(guī)范對稱導(dǎo)致非阿貝爾規(guī)范場

? 超對稱導(dǎo)致費(fèi)米（Fermi）子和玻色（Bose）子間的對稱理論

? 超引力對稱導(dǎo)致超引力場論

場論與統(tǒng)一

1920年以后，愛因斯坦在他的論文及講演中反復(fù)強(qiáng)調(diào)，場概念對于基礎(chǔ)物理具有核心重要性。例如，1936年，他在刊載于《富蘭克林學(xué)院學(xué)報》上的一篇論文中寫道^[2]：

法拉第和麥克斯韋的電場理論把物理從這不能令人滿意的局面下解脫出來，這也許是牛頓時代以來基礎(chǔ)物理的最深遠(yuǎn)的轉(zhuǎn)變。

那個時候（1936）已知的兩個場論，一是麥克斯韋的理論，一是愛因斯坦的廣義相對論。愛因斯坦在他生命的最后二十年致力于將這兩個理論統(tǒng)一起來。1934年，在一篇題為《物理學(xué)上關(guān)于空間、以太及場的問題》^[3]的論文中，他解釋了這樣做的必要性：

……存在著兩種互相獨(dú)立的空間結(jié)構(gòu)，一種是度規(guī)-引力，一種是電磁……我們被激起這樣的信念，即這兩種場必須結(jié)合成統(tǒng)一的空間結(jié)構(gòu)。

在《相對論的意義》一書的最后版本中，愛因斯坦加了一篇附錄，里面提出了一個有非對稱度規(guī)gμυ的統(tǒng)一理論。反對稱部分被認(rèn)為是電磁場張量fμυ。這一努力并不特別成功，以致有些人曾一度有一種說法，以為統(tǒng)一只是愛因斯坦晚年的一種奇妄的想法。是的，這確是奇妄的想法，可是是有洞察力的奇妄想法，是洞察到理論物理學(xué)的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)的想法。今天，我應(yīng)該加一句，愛因斯坦的這個想法已成了基本物理學(xué)的主題。

而且，愛因斯坦對統(tǒng)一的強(qiáng)調(diào)立刻產(chǎn)生了效果。它使好些杰出的數(shù)學(xué)家，包括杜利奧·列維-西維塔（Tullio Levi-Civita）、埃利·嘉當(dāng)（Elie Cartan）和赫爾曼·韋耳（Hermann Weyl）等更深入地探索對時空的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)進(jìn)行增補(bǔ)的可能性。

自1918年、1919年開始，韋耳努力要將電磁學(xué)與引力結(jié)合起來。他提出了“規(guī)范理論”^[4]。既然正確處理坐標(biāo)不變產(chǎn)生了引力理論，韋耳認(rèn)為一個新的幾何不變性能夠產(chǎn)生電磁理論。他因而提出了規(guī)范不變。

如果xμ和xμ＋dxμ是相鄰的兩個時空點(diǎn)，f是某物理量，它在xμ為f，在xμ＋dxμ為，韋耳研究隨時空而變的f的重新標(biāo)度。如表80b.2中最后兩行所示。請?zhí)貏e注意第三行所給的標(biāo)度因子

表80b.2　標(biāo)度變換

［上面應(yīng)用了記號，并且用了求和慣例。］

關(guān)于此標(biāo)度因子，韋耳觀察到兩點(diǎn)。第一，Sμ有著與電磁勢Aμ同樣數(shù)目的分量。第二，經(jīng)過進(jìn)一步研究，他證明如果要求這個理論在標(biāo)度改變（1）下保持不變，那么只有Sμ的旋度，而不是Sμ自身有物理意義。而這也正是電磁勢Aμ的特點(diǎn)。因此，他認(rèn)為Sμ和Aμ乘一系數(shù)等同。可是這一想法行不通。好幾位物理學(xué)家為此進(jìn)行了討論，其中包括愛因斯坦。愛因斯坦證明韋耳的理論不可能描述電磁學(xué)。韋耳于是放棄了他的想法。

到了1925年，量子力學(xué)問世，這是與韋耳的理論完全無關(guān)的發(fā)展。

大家知道，在經(jīng)典力學(xué)中，在有電磁力參與的情況下，出現(xiàn)的不是粒子動量Pμ，而總是下面的組合：

在量子力學(xué)中，πμ變成

這是由符拉基米爾·亞歷山大羅維奇·福克（Vladimir Alexandrovitch Fock）于1927年指出來的^[5]。緊接著，弗利茨·倫敦（Fritz London）將（3）和表80b.2中最后一公式中的增量算符作了比較^[6]，得出結(jié)論說，Sμ不和Aμ等同，而等同于（。這和韋耳的最初設(shè)想的不同只是加入了一個因子。可是這個因子影響深遠(yuǎn)。公式（1）因而變成了

這是相位的改變而不是標(biāo)度的改變。因此，局部的相不變是電磁現(xiàn)象的量子力學(xué)特性。

韋耳自己開頭曾經(jīng)將此概念稱為“Masstab Invarianz”，后來又改稱“Eich-Invarianz”。20年代初，這一名稱被翻譯為英語，叫作“gauge invariance”，以后中譯為規(guī)范不變。若我們今天將它重新命名，很明顯，應(yīng)該稱之為相不變。同樣，規(guī)范場其實(shí)應(yīng)當(dāng)稱為相場。

一旦懂得規(guī)范不變即相不變，便會發(fā)現(xiàn)，關(guān)鍵是一個不可積分的相因子。如果用復(fù)雜的相［即李（Lie）群的一個元素］，取代簡單的復(fù)數(shù)相，便進(jìn)一步得到非阿貝爾規(guī)范理論。這個推廣最初于1954年被提出。

這里我們要強(qiáng)調(diào)，相的概念在現(xiàn)代物理學(xué)中具有巨大的實(shí)際意義。例如，超導(dǎo)理論、超流理論、約瑟夫遜（Josephson）效應(yīng)、全息術(shù)、量子放大器及激光等，都以各個不同形式的相概念為根基。

1967年，史蒂文·溫伯格（Steven Weinberg）和阿布道斯·薩拉姆（Abdus Salam）各自獨(dú)立地提出了一個電磁與弱相互作用統(tǒng)一理論的模型。此模型基于兩個關(guān)鍵概念：非阿貝爾規(guī)范場及破缺對稱。又由于謝爾登·格拉肖（Sheldon Glashow）的工作，認(rèn)識到需要一個重要的進(jìn)一步的思想來消除模型與實(shí)驗(yàn)之間的矛盾。最近六年來，此模型取得了令人驚異的實(shí)驗(yàn)上的支持。這一成功激發(fā)出一個蓬勃的局面，使許多人在為強(qiáng)相互作用、電磁相互作用和弱相互作用一起的更大的統(tǒng)一而努力。我認(rèn)為，我們離成功的大統(tǒng)一仍然還有一段距離，而離這些相互作用與廣義相對論的全盤統(tǒng)一更遠(yuǎn)。可是，已經(jīng)不容懷疑的是愛因斯坦洞察力的深與準(zhǔn)：他曾面對種種公開和未公開的批評，始終堅(jiān)持統(tǒng)一的重要性并勇敢地為之辯護(hù)。

物理學(xué)的幾何化

在愛因斯坦關(guān)于理論物理基礎(chǔ)的信念中，另一個經(jīng)常出現(xiàn)的主題，出自愛因斯坦對幾何概念的偏愛。這并不奇怪，因?yàn)樘岢鲋亓土W(xué)應(yīng)該用黎曼幾何來描述這個意義深遠(yuǎn)的概念的人，正是愛因斯坦自己。他認(rèn)為，電磁學(xué)也是幾何的。這個觀點(diǎn)在他1934年發(fā)表的上面引過的一篇論文中已很清楚地提到：他在該文中說，電磁學(xué)是一種空間的“結(jié)構(gòu)”。如果我們接受愛因斯坦偏愛幾何的論點(diǎn)，那么甚至可以把這論點(diǎn)進(jìn)一步發(fā)揮，認(rèn)為愛因斯坦喜歡波動力學(xué)，因?yàn)樗容^幾何化，而他不喜歡矩陣力學(xué)，因?yàn)樗容^代數(shù)化。

愛因斯坦竭力要找出產(chǎn)生電磁學(xué)的那種幾何結(jié)構(gòu)。他了解這樣一個事實(shí)，即洛倫茲不變并不足以導(dǎo)出麥克斯韋方程^[7]：

麥克斯韋方程導(dǎo)致“洛倫茲群”，但“洛倫茲群”并不導(dǎo)致麥克斯韋方程。

例如，標(biāo)量場看來比麥克斯韋的電磁場簡單，也不違背洛倫茲不變性，但卻不是電磁學(xué)的基礎(chǔ)。

愛因斯坦也深刻認(rèn)識到必須有一種導(dǎo)致非線性方程的幾何結(jié)構(gòu)^[1]：

正確的定律不可能是線性的，它們也不可能從線性導(dǎo)出。

原來，愛因斯坦在尋求的結(jié)構(gòu)是規(guī)范場：正如我們將要討論到的那樣，它是一種幾何結(jié)構(gòu)；最簡單的阿貝爾規(guī)范場是麥克斯韋的電磁場；而非阿貝爾規(guī)范場必定是非線性的。

前幾分鐘我們談過規(guī)范場的初期歷史。只是到了近年，物理學(xué)家才懂得規(guī)范場和纖維叢（fiber bundle）上的關(guān)聯(lián)（connection）這個幾何概念有密切關(guān)系。為了顯示規(guī)范場的幾何本性，讓我們把高斯定律和法拉第定律寫成下述大家熟知的形式：

圖80b.1
一個區(qū)域的邊界是沒有邊界的。此Moebius條帶僅有一個表面，其邊界是單一邊緣，可是邊緣本身并無邊界。關(guān)于此定理的進(jìn)一步解釋，見圖80b.2（文內(nèi)所有插圖皆由Louis Fulgoni作。）

圖80b.2　拓?fù)鋵W(xué)定理
一個區(qū)域的邊界本身沒有邊界。在左圖中，帶陰影的二維區(qū)域有一個一維圈作其邊界。此圈沒有端點(diǎn)，即它本身并無邊界。
中圖的三維區(qū)域由一個封閉的二維曲面限定其范圍。這個曲面同樣無邊緣，也就是無邊界。
若我們將此區(qū)域割開，拋去下部，則給了曲面一邊緣。但同時我們另外創(chuàng)造出一個平面，如右圖所示。此圖中的三維區(qū)域的邊界包括兩部分，一為曲面，一為平面。每一部分都有邊界，這兩個邊界正好方向相反，互相抵消，所以右圖的三維區(qū)域的總邊界也沒有邊界

圖80b.3　規(guī)范場的全局效應(yīng)
強(qiáng)度為g的磁單極是一個簡單而自然的概念。狄拉克在1931年指出，在量子力學(xué)中，g值與電荷e的關(guān)系必須由下述條件決定：整數(shù)。原來，這個條件是拓?fù)鋵W(xué)里非常普遍且意義深遠(yuǎn)的陳-韋爾（Chern-Weil）定理的一個最簡單的特例。陳-韋爾定理的又一個最簡單的例子是1975年發(fā)現(xiàn)的SU2規(guī)范場的所謂“瞬息子”。特霍夫特-泡利雅柯夫單極是某種規(guī)范場的無奇點(diǎn)解。它的存在與拓?fù)湫再|(zhì)有關(guān)。
博姆-阿哈羅諾夫?qū)嶒?yàn)是1959—1960年間提出并進(jìn)行的。如圖所示，由電子源發(fā)出的電子從一個長螺線管兩旁經(jīng)過，但不能進(jìn)入管內(nèi)。電子在屏幕上產(chǎn)生一個干涉圖案。螺線管外既沒有電場，也沒有磁場，因此電子沒有受到電磁力。然而干涉圖案卻與管內(nèi)的磁通量有關(guān)。這表明電磁的效應(yīng)并不完全是局域的

式中fμυ是電磁場。可以證明，這個方程和“一個區(qū)域的邊界本身并沒有邊界”這個定理有深刻的關(guān)系，而此定理當(dāng)然是一個幾何命題（參看圖80b.1與圖80b.2）。規(guī)范場的幾何本性的另一個表現(xiàn)可以從這樣一個事實(shí)看出，即通過下述理論和實(shí)驗(yàn)上的發(fā)展，對規(guī)范場來說，全局（global）的考慮變得重要起來：

? 狄拉克的磁單極（1931）。

? 博姆-阿哈羅諾夫（Bohm-Aharonov）實(shí)驗(yàn)（1960）。

? 特霍夫特-泡利雅柯夫（'t Hooft-Polyakov）單極（1974）。

? 瞬息子（instanton）（1975）。

圖80b.3闡述了上述思想。

規(guī)范場本質(zhì)上也同廣義相對論有關(guān)，而后者的基礎(chǔ)是幾何概念。但它們之間的準(zhǔn)確關(guān)系相當(dāng)難以捉摸，目前仍在探討。

關(guān)于理論物理的方法

1933年，愛因斯坦在他的赫伯特·斯賓塞（Herbert Spencer）講座中，以本節(jié)的小標(biāo)題為題，分析了理論物理的意義及其發(fā)展。下面幾段令人矚目的文字就是引自他的演講^[8]：

理論物理的基本假設(shè)不可能從經(jīng)驗(yàn)中推斷出來，它們必須是不受約束地被創(chuàng)造出來……

經(jīng)驗(yàn)可能提示某些適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)概念，但可以非?？隙ǖ卣f，這些概念不可能由經(jīng)驗(yàn)演繹出來……

但創(chuàng)造寓于數(shù)學(xué)之中。因此，在某種意義上我認(rèn)為，單純的思考能夠把握現(xiàn)實(shí)，就像古代思想家所夢想的那樣。

愛因斯坦是否在說，基礎(chǔ)理論物理是數(shù)學(xué)的一部分？他是否在說，基礎(chǔ)理論物理應(yīng)該具有數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)和風(fēng)格？答案是否定的。愛因斯坦是物理學(xué)家而不是數(shù)學(xué)家。而且，他本人也自認(rèn)為如此。他在自傳筆記里^[1]對此中原因說得十分透徹：

這顯然是因?yàn)槲以跀?shù)學(xué)方面的直覺不夠強(qiáng)，不能把最重要的、真正基本的、同其余多少可以廢棄的腐學(xué)清楚地區(qū)分開來。除此之外，我對大自然的興趣無疑要濃厚得多。而且，作為一個學(xué)生，我并不清楚，要掌握物理學(xué)基本原理方面的更淵博的知識，離不開非常錯綜復(fù)雜的數(shù)學(xué)方法。經(jīng)過多年的獨(dú)立科學(xué)研究，我才逐漸明白了這個道理。當(dāng)然，物理學(xué)本身也分成了許多獨(dú)立的領(lǐng)域，其中每一個領(lǐng)域都可以消耗我們短促的一生的全部精力，還不一定能滿足我們獲得更深奧知識的欲望。在這里，大量彼此間無聯(lián)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也是人們難以招架的?？墒窃谶@個領(lǐng)域中，我很快就學(xué)會從一大堆充斥我們的頭腦、分散我們對本質(zhì)事物注意力的東西中，分辨出哪些可能導(dǎo)致根本性的結(jié)果，而置其他于不顧。

但是愛因斯坦從自己的經(jīng)驗(yàn)及本世紀(jì)初物理學(xué)的幾次大革命中認(rèn)識到，雖然實(shí)驗(yàn)定律一直是（而且繼續(xù)是）物理學(xué)的根基，然而，數(shù)學(xué)的簡和美對于基礎(chǔ)物理概念的形成起著越來越大的作用。他把“接近于經(jīng)驗(yàn)的”理論和更數(shù)學(xué)化的理論進(jìn)行了比較^[7]：

另一方面，必須承認(rèn)，如果一個理論的基本概念和假設(shè)接近于經(jīng)驗(yàn)，它就具有一種重要的優(yōu)越性，人們對這樣的一種理論自然就有更大的信心。尤其因?yàn)橛媒?jīng)驗(yàn)去反駁這些理論既省時又省力，所以被完全引入歧途的危險性就比較小。然而，隨著認(rèn)識的深入，我們要尋求物理理論基礎(chǔ)的邏輯簡單性和一致性，因而我們要放棄上述的這種優(yōu)越性。

為了防備物理學(xué)界的誤解，他申辯道^[3]：

一個理論科學(xué)家就越來越被迫讓純粹數(shù)學(xué)的、形式的思考來引導(dǎo)他……這種理論家不應(yīng)該被斥為空想家，相反，他應(yīng)該有自由想象的權(quán)利，因?yàn)?，要達(dá)到目的，別無他法。

基礎(chǔ)理論物理和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系，是一個引人入勝的題目。說到這里，請?jiān)试S我給大家講一個故事。

規(guī)范場與纖維叢理論有關(guān)系，這給我留下了深刻印象。我在1975年驅(qū)車前往陳省身先生在伯克利（Berkeley）附近El Cerrito的寓所。40年代初期，當(dāng)他是中國昆明西南聯(lián)大的年輕教授而我是該校的學(xué)生時，我曾聽過他的課。那時，纖維叢在微分幾何里還未顯示出重要性，陳教授也還未以他對高斯-波涅特（Gauss-Bonnet）定理的推廣及建立陳氏級（Chern Classes）所作的貢獻(xiàn)而創(chuàng)造歷史。我們談了許多：朋友們，親戚們，中國。當(dāng)我們的談話轉(zhuǎn)到纖維叢理論時，我告訴他，我終于從吉姆·西蒙斯（Jim Simons）那里學(xué)到了纖維叢理論和意義深遠(yuǎn)的陳-韋爾定理的美妙。我說，規(guī)范場恰是纖維叢上的關(guān)聯(lián)，而后者是數(shù)學(xué)家在不涉及物理世界的情況下發(fā)展起來的，這實(shí)在令人驚異。我還加了一句：“這既令人震驚，也令人迷惑不解，因?yàn)槟銈償?shù)學(xué)家憑空夢想出了這些概念?！彼R上提出異議：“不，不。這些概念不是夢想出來的。它們是自然的，也是實(shí)在的?！?/p>

雖然數(shù)學(xué)和物理學(xué)關(guān)系密切，但是，如果以為這兩門學(xué)科重疊得很多，則是錯誤的。事實(shí)不是這樣。它們各有各的目標(biāo)和愛憎。它們有明顯不同的價值觀和不同的傳統(tǒng)。在基本概念上，二者令人詫異地具有某些共同的概念。然而，即使在這些方面，二者的生命力也向著不同的方向奔馳。

注釋：

[1]A．Einstein，“Autobiographical Notes”，in Albert Einstein，Philosopher-Scientist，P．A．Schilpp，ed.，Open Court，Evanston，Ill．（1949）.

[2]A．Einstein，J．Franklin Inst．221，43（1936）.

[3]A．Einstein，in Mein Weltbild，Querido，Amsterdam（1934），translated in Ideas and Opinions，Bonanza，New York（1954）.

[4]關(guān)于規(guī)范場的簡史，見楊振寧：Ann．N．Y．Acad．Sci．294，86（1977）。

[5]V．A．Fock，Z．Phys．39，226（1927）.

[6]F．London，Z．Phys．42，375（1927）.

[7]A．Einstein，Sci．Am.，April 1950，p.13.

[8]A．Einstein，On the Method of Theoretical Physics，Clarendon，Oxford（1933）；reprinted in ref．3.