在17世紀(jì)的頭幾十年里，人類對(duì)地球與天體的認(rèn)識(shí)大大加深了，這一進(jìn)程通常被稱為“科學(xué)革命”。大學(xué)過去非常倚重亞里士多德的哲學(xué)，這種倚重此時(shí)正在迅速減弱，雖然就整個(gè)歐洲而言，亞里士多德的自然哲學(xué)與倫理學(xué)作為本科生階段的課程，一直要按部就班地講授到17世紀(jì)末。在亞里士多德的自然哲學(xué)體系中，物體的運(yùn)動(dòng)是“按照因果關(guān)系”用物體所擁有的四元素(土、水、氣、火)的多少來解釋的：物體因?yàn)樽陨硖囟ㄔ氐闹亓績?yōu)勢(shì)或升或降，向著各自的“自然”位置運(yùn)動(dòng)。人們會(huì)習(xí)慣性地將自然哲學(xué)與數(shù)學(xué)或光學(xué)、流體靜力學(xué)和和聲學(xué)等“混合數(shù)學(xué)性”科目進(jìn)行對(duì)比。在這些科目中，可用數(shù)字來測(cè)量外部量，如長度和持續(xù)時(shí)間等。不過，這一切都是在這樣一個(gè)宇宙觀中進(jìn)行的：地球位于中心，周圍則環(huán)繞著太陽和行星。

第一次認(rèn)識(shí)上的巨變發(fā)生在天文學(xué)上。哥白尼的日心體系盡管遭到天主教會(huì)和許多新教派別的正式反對(duì)，但還是獲得了新的皈依者。在1596到1610年之間，約翰尼斯·開普勒和伽利略·伽利雷^[1]的著作引發(fā)了一場(chǎng)天文學(xué)革命。開普勒在其1596年發(fā)表的《宇宙的秘密》中假定了一個(gè)以太陽為中心的宇宙體系。在這個(gè)體系中，行星之間的距離可以通過在正立體中內(nèi)切行星的軌道而求得。1609年，開普勒出版了巨著《新天文學(xué)》，提出了一個(gè)引人入勝的關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的理論，其中就含有后來以“開普勒三定律”而聞名的行星運(yùn)動(dòng)定律的頭兩條(行星沿橢圓軌道運(yùn)行，而太陽則位于其軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上；所有的行星圍繞著太陽在相等時(shí)間內(nèi)掃過同等的面積)。

1609年，伽利略將多個(gè)鏡頭組合在一起，發(fā)明了一臺(tái)能夠放大物體的儀器。他將這臺(tái)“望遠(yuǎn)鏡”轉(zhuǎn)向太空，發(fā)現(xiàn)木星周圍有一系列衛(wèi)星繞行，就像行星繞著太陽運(yùn)行一樣。1610年，伽利略出版了《星際使者》。在這本小書中，伽利略還宣布月球上有山巒和峽谷，而銀河是由成千上萬顆恒星組成的。1613年，伽利略證明太陽也有黑點(diǎn)，而當(dāng)時(shí)的人們普遍認(rèn)為，天是“永不腐敗的”。1619年，開普勒出版《宇宙諧和論》，提出自己的第三定律，指出對(duì)任何行星的軌道而言，行星到太陽的平均半徑的三次方跟行星公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值不變。伽利略的一系列發(fā)現(xiàn)徹底推翻了人們認(rèn)為天完美無缺的看法，而開普勒定律將在牛頓論證《原理》的關(guān)鍵命題中發(fā)揮至關(guān)重要的作用。

伽利略對(duì)17世紀(jì)科學(xué)的貢獻(xiàn)并不限于他在天文學(xué)上的工作。1632年，伽利略勇敢地出版了《關(guān)于兩大世界體系的對(duì)話》，該書試圖證明哥白尼的世界體系。就是因?yàn)檫@本書，他被軟禁在家，直到1642年去世。不過，就在軟禁期間，他還是設(shè)法于1638年出版了光輝著作《關(guān)于兩門新科學(xué)的談話和數(shù)學(xué)證明》。亞里士多德認(rèn)為，拋出的物體首先會(huì)經(jīng)歷“劇烈”的運(yùn)動(dòng)，然后便被“自然”運(yùn)動(dòng)所取代，而自然運(yùn)動(dòng)會(huì)促使拋射體中的土粒子向下運(yùn)動(dòng)，回到它們的自然位置。亞里士多德還認(rèn)為，物體下降的速度和物體的重量成正比。然而，伽利略卻在《談話》中宣布拋射體的運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線，并且接近地球表面的物體所受的垂直分力可以用一條定律來表示。根據(jù)這一定律，任何重量或“體積”的物體垂直降落的總距離與降落時(shí)間的平方成正比。伽利略還清楚地指出，重力的物理起因并不重要，而且要揭示出來的確極其困難，這又一次和亞里士多德的整個(gè)學(xué)說體系相反。伽利略揭示了地球上的好些現(xiàn)象都是可以用數(shù)學(xué)來描述的，從而為力學(xué)這門現(xiàn)代科學(xué)奠定了基礎(chǔ)。牛頓在其同名巨著《數(shù)學(xué)原理》中展示了他的輝煌成就，旨在表明“數(shù)學(xué)原理”也是更多自然現(xiàn)象的基礎(chǔ)所在。

現(xiàn)代科學(xué)的另一個(gè)重要方面則是由弗朗西斯·培根勾勒出來的。在伽利略和開普勒發(fā)展天文學(xué)和力學(xué)的同時(shí)，培根也在提倡這樣一種思想：理解自然的正確方法是直接研究自然，而不應(yīng)通過亞里士多德的著述(或其他任何文獻(xiàn))來進(jìn)行。培根認(rèn)為自然哲學(xué)上的進(jìn)步只能通過協(xié)作項(xiàng)目來實(shí)現(xiàn)，并由此提到了新近發(fā)現(xiàn)美洲和太平洋的壯舉，贊揚(yáng)了藝術(shù)與貿(mào)易所取得的進(jìn)步。對(duì)迥然不同的事實(shí)進(jìn)行觀察，會(huì)增加人們對(duì)這個(gè)可見世界的認(rèn)識(shí)，而設(shè)計(jì)精良的實(shí)驗(yàn)?zāi)軐⒆匀皇澜绶纸鉃楦鱾€(gè)組成部分，從而得出有關(guān)大自然真正秘密的信息。培根甚至還贊揚(yáng)了煉金術(shù)士用以分析自然的方法，不過他同時(shí)對(duì)煉金術(shù)士們的封閉生活方式和模糊的行話感到悲哀。

并非所有的反亞里士多德主義者都認(rèn)同伽利略的方案就是發(fā)現(xiàn)科學(xué)真理的正確方法。勒內(nèi)·笛卡兒提出了一種復(fù)雜的解釋，用以描述這個(gè)物理世界背后的各種微結(jié)構(gòu)。笛卡兒認(rèn)為，我們周圍的世界中存在的那些機(jī)械現(xiàn)象也在不可見的層面上運(yùn)作著。在他的機(jī)械哲學(xué)中，一個(gè)不可見的微觀世界配有許多鉤子和螺絲，將各種元素凝聚在一起。根據(jù)笛卡兒的解釋，一種巨大的太陽“渦旋”通過運(yùn)動(dòng)壓出各種物質(zhì)，對(duì)地球上的現(xiàn)象產(chǎn)生重大影響，從而產(chǎn)生了諸如磁、熱、重力和電等大規(guī)?，F(xiàn)象。笛卡兒認(rèn)同伽利略的反亞里士多德學(xué)說(同時(shí)還秘密地認(rèn)同伽利略和開普勒信奉的哥白尼學(xué)說)，但他又指責(zé)這個(gè)意大利人的“建構(gòu)缺乏基礎(chǔ)”，聲稱科學(xué)解釋需要采用自然界的微觀機(jī)械建構(gòu)模塊。我們將會(huì)看到，這就是青年牛頓從事的最有影響的工作，雖然它很快就成了對(duì)手的批評(píng)對(duì)象。

數(shù)學(xué)新手

最初，牛頓接受的是劍橋大學(xué)本科生所受的標(biāo)準(zhǔn)教育。他得閱讀大量規(guī)定的神學(xué)文獻(xiàn)和亞里士多德的著作。他對(duì)嚴(yán)肅數(shù)學(xué)的興趣，則很可能是巴羅于1664年春的盧卡斯數(shù)學(xué)講座激發(fā)的。根據(jù)牛頓后來的記述，大約就在巴羅開講的那會(huì)兒，他學(xué)習(xí)了威廉·奧特雷德的《數(shù)學(xué)之鑰》和笛卡兒的《幾何學(xué)》。在1664到1665年的冬天，牛頓認(rèn)真研究了笛卡兒的分析數(shù)學(xué)(以及荷蘭數(shù)學(xué)家弗蘭斯·范·斯庫藤在其編譯的笛卡兒的《幾何學(xué)》中所加的評(píng)注)、弗朗索瓦·韋達(dá)的代數(shù)學(xué)著作，以及約翰·沃利斯的“不可分割法”。牛頓利用我們所說的笛卡兒坐標(biāo)幾何學(xué)，掌握了定義各種圓錐曲線(圓、拋物線、橢圓和雙曲線)的方程。盡管牛頓最初低估了歐幾里得在《幾何原本》中的成就，但他后來非常欽佩歐幾里得和阿波羅尼奧斯的偉大成就，視他們的方法為從事數(shù)學(xué)工作的模板。

到1664年年底，牛頓找到了求曲線任意點(diǎn)上的“曲度”或斜率的方法。這就是所謂的切線問題。詹姆斯·格雷果里和勒內(nèi)·弗朗索瓦·德·斯盧斯等數(shù)學(xué)家當(dāng)時(shí)正致力于研究這一問題。笛卡兒發(fā)明了一種通過找出一個(gè)大圓在接觸曲線的點(diǎn)上的曲率半徑來確定曲線“法線”(即垂直于切線的直線)的方法。不久，牛頓便改進(jìn)了這一方法。他利用近距離兩點(diǎn)之間的法線，讓這兩點(diǎn)之間的距離變得任意小，由此便能求出“表達(dá)”任意圓錐曲線的方程中任意點(diǎn)的切線，還可求出相關(guān)方程的最大值和最小值。牛頓將這個(gè)過程加以推廣，用來表述我們現(xiàn)在稱為微分法的基本要素。根據(jù)微分法，切線的斜率代表著曲線在任何一點(diǎn)的變化率。

圖3　笛卡兒的渦旋：圍繞著太陽S的太陽系，以FFFFGG為界。其他星系也以恒星為中心。

早在1663到1664年的冬天，牛頓已開始研究沃利斯有關(guān)曲線截面下面積求法的分析。沃利斯的方法是將曲線下的區(qū)域分割為無窮小的截面來計(jì)算。到沃利斯1655年出版《無窮算術(shù)》的時(shí)候，人們已經(jīng)知道對(duì)于基本方程式x = yⁿ，其曲線下0到a之間的面積是aⁿ⁺¹/n+1。這就是有名的“求面積法”或“求積法”，也就是我們現(xiàn)在稱為“積分法”的雛形。但對(duì)于更復(fù)雜的方程式來說，則需要使用不同的技巧，例如利用無窮級(jí)數(shù)。在無窮級(jí)數(shù)中，隨著一系列項(xiàng)達(dá)到極限，就能夠接近一個(gè)終值。沃利斯發(fā)展了這一思想，他對(duì)拋物線和雙曲線求積，發(fā)現(xiàn)了一系列接近π值的項(xiàng)。

在1664到1665年的冬天，牛頓認(rèn)真研究了沃利斯的著作，并提出了能夠取得同樣結(jié)果的另一種方法。不久，牛頓對(duì)沃利斯的方法加以提煉，開始考慮利用分?jǐn)?shù)冪(涉及平方根、立方根和其他根)來求曲線面積的方法。牛頓還超越了沃利斯，發(fā)現(xiàn)了求與圓面積相等的正方形面積的正確級(jí)數(shù)。他進(jìn)而拓展了從這一成功中得到的洞察力，最終證明了廣義二項(xiàng)式定理(既適用于整數(shù)冪也適用于分?jǐn)?shù)冪)，可以用來展開任何(a+x)^n/m形式的方程式。在1676年致萊布尼茨的一封信中，牛頓首次公開宣布了這一發(fā)現(xiàn)。