算學(xué)捃華百篇 任測(cè)一恒星欲 定北極度其法若何 汪鳳藻 * 圖略 如圖甲己乙丙子午 圈甲乙為地平丙為天頂丁為所推之北極則戊己為赤道任測(cè)一星如子 欲定北極出地度法先測(cè)得子庚赤道北緯度戊庚星距午線赤道經(jīng)度及 子辛高度乃取丁子丙斜弧三角形用垂弧法作子丑垂弧 高弧交地平點(diǎn)近子點(diǎn)則垂弧在形內(nèi)出地度少近午點(diǎn)則垂弧在形外出 地度多分原形 為丁子丑子丑丙二正弧三角形有丁子弧 象限減北緯子 丙弧 象限減高度丁 角 即戊庚赤經(jīng)度 及丑直角先求子丑垂弧次求丁丑及丑丙二弧相加得丁丙以減丙甲象 限余丁甲即所推北極出地度 金星二百二十 五日一周某日與地同行試推須俟若干日復(fù) [ 與 地同行](推北極出地度 ) 蔡錫勇 答曰五百八 十四日又五分日之二 按金星繞日一周為 地球繞日一周八分之五乃有比例 一率八五 二率三六五 四之一 三率一四率五八四 五之二 地距日一萬(wàn)二 千地徑求所受光熱有幾分 馬呈忠 答曰二十三 億零四百萬(wàn)分之一 法以天球面積除地 球面積即得 * 算式略 以地徑為一日 徑為百零六日距地一萬(wàn)二千月距地三十當(dāng)月食推地影尖距月若干 遠(yuǎn) 貴榮 答曰八十四 又七分之二 * 圖略 如圖甲乙為日徑丁 戊為地徑壬辛為月徑丙己日距地一萬(wàn)二千 兩心相距己子 月距地三十兩 心相距命己丑 為天乃有等數(shù) * 算式略 求得己丑一一四又 一0五之三0 約之得一一四又七分之二內(nèi)減己子月距地三 0余子丑八四又七分之二為地影尖距月之度 已知月地距測(cè) 日食東西視差以推日地距其法若何 楊兆鎣 * 圖略 如圖甲乙為地面二 測(cè)處丙為月人在甲見(jiàn)月在日面丑人在乙見(jiàn)月在日面子法先測(cè)兩處月 過(guò)太陽(yáng)面出入時(shí)刻以二處時(shí)刻之較變?yōu)榻嵌攘康米蛹壮蠡蜃右页笠?差角又以甲乙二處距弧求得通弦甲乙而甲丙等乙丙皆為地面距月 心故有甲乙丙三角形有三邊求得丙角與半周減得甲丙子角既得甲丙 子角即可得丙子甲角乃以子角正弦與甲角正弦比若甲丙月距地與丙 子月距日比得丙子加 [ 乙 ] 丙即日地距 測(cè)月地距其法 若何 王宗福 * 圖略 如圖子為月甲為地 面測(cè)處心為地心心子甲角為視差角乙為天頂子甲乙角為月距天頂角 其外角為子甲心角法用心甲子三角形有三角及甲心邊 地半徑求得子 心邊即月地二心距也 日月二視徑相 等以何法測(cè)其真徑 徐廣坤 法以半徑為一率地 心距日月心為二率視角 即地心視日月以日月半徑為對(duì)邊之角 正弦為三率求得四率倍 之即日月真徑 * 圖略 如圖甲為日心甲丙 為日半徑乙為地心乙甲為地心距日心之遠(yuǎn)自乙視甲成甲乙丙三角形 乙角可測(cè)而知丙為直角求甲丙邊有比例 一率半徑 二率乙角正弦 三率甲乙邊 四率甲丙邊 求得甲丙為日真半 徑倍之得日徑測(cè)月 同置閏之法與 理試詳言之 陳壽田 考之閏者日月不齊 之?dāng)?shù)圣人立四仲中星以定之在璇璣玉衡以齊之職此之故乃參贊化育 之道調(diào)燮四時(shí)之理不可不慎也蓋其法以歲實(shí)三百六十五日四分日之 一太陽(yáng)每日行天一度太陰每日行天十三度十九分度之七以定三年 一閏五年再閏十九年七閏萬(wàn)古不易之理也今以法計(jì)之以每日日行一 度與月行十三度十九分度之七相減余十二度十九分度之七為一日之 月距日度用通分法通為二百三十五分為法以周天三百六十五度四 分度之七亦通為六千九百三十九分小余七五為實(shí)以法除實(shí)得二十九 日二百三十五分日之一百二十四小余七五約為二十九日九百四十分 日之四百九十九小余七五為朔策乃以每歲三百六十日與歲實(shí)三百六 十五日四分日之一相減余五日四分日之一通為五日九百四十分日 之二百三十五為一歲之氣盈以朔策二十九日九百四十分日之四百九 十九與三十日相減余九百四十分日之四百四十一為一月之朔虛以十 二月乘之得五千二百九十二分以九百四十分收之得五日九百四十分 日之五百九十二為一歲之朔虛乃以一歲之氣盈朔虛日數(shù)相并得十 日九百四十分日之八百二十七即一歲之閏率遞加之得逐歲之閏率視 某歲某月無(wú)中氣即可定閏月也此即置閏之法至于其理乃氣盈朔虛所 積 [ 而 ](面) 成何謂氣盈氣中氣也盈 有余也朔月與日會(huì)光盡而復(fù)蘇也虛不足也夫歲有十二月月有三十 日三百六十日一歲之常數(shù)也太陽(yáng)行黃道一周日與天會(huì)則三百六十五 日五時(shí)三刻三分奇較常數(shù)多五日五時(shí)三刻三分有奇是謂氣盈 此系用時(shí)刻分與前同以周日分之得前法之氣盈 月與日會(huì)一月則二十九 日十二時(shí)二刻十二分有奇若十二會(huì)三百五十四日三刻三分有奇較常 數(shù)少五日十五時(shí)十一分奇是為朔虛是以置閏必以氣盈朔虛為主然 三年何以一閏因尚不足以盡余分五年再閏則又太過(guò)須至十九年七閏 其閏余已足朔策之七倍則氣數(shù)分齊乃為一章其數(shù)有常而不變此皆以 平行言之也今節(jié)氣合朔皆日用之實(shí)行以無(wú)中氣之月為閏月 凡閏月必準(zhǔn)一節(jié)氣 日有盈縮月有遲疾其節(jié) 氣合朔有進(jìn)退故置閏之遠(yuǎn)近較平行復(fù)有參差然至十九年則盈縮遲疾 已過(guò)數(shù)周合而計(jì)之實(shí)行與平行之?dāng)?shù)亦得近合矣 有半球體求重 心 王鍾祥 * 圖略 如圖子丑寅為半球 體作丑子丑寅二線成丑子寅圓錐形取丑辰四分之一午點(diǎn)為圓錐重心 既得圓錐重心以反比例求之即得半球之重心有比例如左 一率半球體積 二率圓錐體積 三率圓錐重心 四率半球體重心 半周有質(zhì)弧線 求重心 王宗福 * 圖略 如圖甲丙乙為半周 有質(zhì)弧線丙心為半徑半徑自乘以象限周除之得重圓二心距丁心丁點(diǎn) 即重心 * 算式略 有半圓面截去 六十度截線正交圓徑求殘積之重心 王宗福 * 圖略 如圖甲丙乙半圓面 丙乙六十度丙丁正交甲乙徑求甲丙丁殘積之重心先作心丙半徑將殘 積分為甲心丙丙心丁二分丙心丁句股之句為半徑之半求得丙心丁之 重心為卯復(fù)求得半圓重心比例得一百二十度甲心丙積之重心如子 作子卯線甲丁丙積與丙心丁積比若子卯與子丑比丑即所求重心 有端硯一塊長(zhǎng) 一尺寬五寸厚二寸作一圓池距三邊各五分深一寸二分求重心距各邊 若干 博勒洪武 * 圖略 如圖甲乙丙丁為硯 丙戊庚丁甲乙庚戊二正方相等壬子圓池圓距丙戊丙丁丁庚三邊皆五 分法先求得壬子積與丙戊庚丁積相減余三二四 八甲乙戊庚積亦為五十方寸則有比例 如左 一率共積 二率共長(zhǎng) 三率丙戊庚丁殘積三二四八 四率丁心一九 求得丁心一九則距 甲乙邊三寸四分強(qiáng)距丙丁邊六寸六分距甲丙乙丁皆二寸五分 有杠桿長(zhǎng)二十 七尺以人力百斤欲移動(dòng)千二百五十斤之石試推其倚所當(dāng)在何處 杜法孟 答曰距石二 尺內(nèi) * 圖略 法以力重相加為一 率桿長(zhǎng)為二率力為三率求得四率得倚所 有鐵錘四其重 如三四五六之?dāng)?shù)按次分懸于直桿每錘相距一尺試求定點(diǎn) 楊兆鋆 * 圖略 如圖甲乙丙句股面 取甲乙句三分之一于丁甲丙股三分之一于戊各作垂線丁己戊庚交點(diǎn) 心即句股面重心切心點(diǎn)正交乙丙作線辛壬作辛點(diǎn)為合弦平地平之點(diǎn) 而戊辛等甲丁戊心辛與本形同式故比例如句與戊心 句三之一一相 乘股除之得戊辛以加戊丙得辛丙 大分減甲戊得 甲辛 小分又法用心 庚己形求之有等式 * 算式略 求得辛丙即大分減 股得小分 有句八股十五 句股面于弦取二點(diǎn)令懸之一句平如地平一股平如地平其法若何 席淦 * 圖略 如圖先求句股重心 甲自甲作句股之垂線引長(zhǎng)至懸弦于丙辛二點(diǎn)則句股合地平丙己為弦 三之一辛己為弦三之二何也甲丁為庚丁三之二乙丁必為戊丁三之二 丙乙與戊己平行丙丁必為己丁三之二而丙己必為三之一又己甲為 己癸三之二己壬必為己戊三之二辛壬與丁戊平行則辛己必為丁己三 之二 丙己五六六六六辛己一一三三三三 有膛徑尺五 若以鐵較水重八倍求其子輕重若何 貴榮 法以方圓邊線相等 體積不同定率立方一九九八五九三一七為一率球積一為 二率膛以一五自乘再乘得三三七五為三率求得四率一七六七寸又一 九九八五九三一七之二七八五八六八六一為球積再以水每方尺率 七十六斤化為一千二百一十六兩以一千寸除之 得每方寸十二線又二十五分之四以乘球積得二一二四再八倍之得 一六九六三二以十六除之得一千六百斤強(qiáng)即子重 有鎗子向上直 放二十秒始落求其升高若干并作圖明其理 文續(xù) 答曰一千六 百尺 法以二十秒折半自 之得一百以初秒所過(guò)之路十六尺乘之得一千六百尺即所求之高 * 圖略 如圖甲乙丙三角形 甲乙等縱線為時(shí)乙丙等橫線為速十秒內(nèi)所過(guò)之路即為甲乙丙三角形 積 有物下墜數(shù)秒 而末秒之路為全路三分之一試求其秒數(shù) 時(shí)永清 答曰七秒又 一七八二 二方根為一四一四 二三方根為一六四三 一兩根較為二二八九乃有比例 一率兩根較二二 八九 二率三方根一六四三一 三率一秒 四率七秒又一七八二 * 圖略 如圖甲乙丙為全路 積甲丁戊積為三分之二戊丁乙丙積為三分之一甲乙為共時(shí)丁乙 為一秒甲乙丙積與甲丁戊積比若三與二比甲乙丙積與甲丁戊積比 又若甲乙方與甲丁方比即三與二比若甲乙方與甲丁方比亦即三方根 與二方根比若甲乙與甲丁比故三方根二方根較與三方根比若甲乙甲 丁較之丁乙一秒與甲乙共時(shí)比 有一其最遠(yuǎn) 界二十里移于高山頂高出平地四十里下測(cè)一敵營(yíng)須用四十五度方向 方能及之求營(yíng)距若干遠(yuǎn) 王宗福 答曰四十里 * 圖略 如圖甲為甲壬為 四十五度方向丑為拋物線頂點(diǎn)甲辛即山高丁為敵營(yíng)丑未五與丙未方 一百比若丑未加己丁四五與己未方九百比得己三十即得甲己 [ 即]辛丁 距四十里 今有臺(tái)六百 九十七尺長(zhǎng)對(duì)面有敵國(guó)兵船從此頭視之成角八十四度四十分從彼頭 視之成角八十六度三十分求船距二處及臺(tái)與船最近之處相距各若 干 楊樞 答曰船距此 頭四千五百三十一又距彼頭四千五百一十九尺臺(tái)與船最近之處相 距四千五百十一尺 * 圖略 先求乙角法以丙角 八十四度四十分與丁角八十六度三十分相并以減半周一百八十度余 八度五十分為乙角度數(shù) 次求乙丁邊 一率乙角正弦九 一八六二八 二率丙丁邊二八四三二三 三率丙角正弦九九九八一一 四率乙丁邊三六五五六 檢表得乙丁 邊四千五百一十九尺 次求乙丙邊 一率乙角正弦九 一八六二八 二率丙丁邊二八四三二三 三率丁角正弦九九九九一八 四率乙丙邊三六五六一三 檢表得乙丙邊四千五百三十一尺 末求乙戊中垂線 一率半徑一0000000 二率丙角正弦九九九八一一 三率乙丙邊三六五六一九 四率乙戊垂線三六五四三0 檢表得四千 五百一十一尺即臺(tái)與船相距最近之處 今有兄弟三家 欲掘井使距各家維均甲乙相距二十丈乙丙二十二丈丙甲二十四丈試 推其井應(yīng)在何處與距各家之遠(yuǎn)近若何 左秉隆 答曰井與各 家相距十二丈五尺有奇 * 圖略 如圖以甲丙為一率 甲乙乙丙和為二率甲乙乙丙較為三率求得四率為底邊較三丈五尺與 甲丙相減半之為句以甲乙為弦求得股十七丈四尺余為甲乙丙三角形 之中垂線次以中垂線為一率甲乙為二率乙丙為[三]率 求得四率二十五丈有奇為圓徑半之為井與各家相距數(shù) 今有弧矢田試 作一界線平分為二分 杜法孟 * 圖略 如圖丙乙甲弧矢田 先作乙甲直線自乙甲弧折半丁點(diǎn)至壬作丁壬小矢自壬至丙作壬丙線 以丁壬丙[為 界](乙)即 分弧矢田為兩平分 解曰丁壬甲等于丁 壬乙自壬與乙丙平行作壬戊線與甲丙平行作壬辛線則成壬戊甲壬戊 丙辛壬乙辛壬丙四句股形等式等積甲壬丙乙壬丙皆得二句股積故等 又解曰丁壬甲等于 丁壬乙甲壬丙乙壬丙二三角形其底等甲壬 等于乙壬其高又 等 同以壬丙為高 故其積等 弧矢形內(nèi)求任 作相切二圓其心俱在弧背其周俱切弦其法若何 楊兆鋆 * 圖略 法自大圓心作心甲 半徑取甲點(diǎn)作戊辛之垂線甲丙以甲為心甲乙為度作圓 乙即甲圓周切弦之一點(diǎn) 引長(zhǎng)甲丙線至丁作丁甲 半徑 甲即甲圓心切弦之一點(diǎn) 自丁至戊作丁戊線割甲 圓周于己即二圓切點(diǎn)乃作甲己線引長(zhǎng)至弧背得庚點(diǎn)即為庚圓心以庚 己為度作圓其切弦點(diǎn)為壬即丁戊線交弦之點(diǎn)也 三角內(nèi)求作相 等相切六圓 懿善 * 圖略 平分三邊形之三邊 于一二三作乙一丙 二甲三三中垂線相交于丁平分丁甲一 角作分角線遇丁一線于子以丁為心以丁子為度度于二三兩線遇于丑與寅則丑子寅為所求之三圓心而子一為其半徑若過(guò) 子點(diǎn)作線與甲丙邊平行遇甲三丙二兩 線于卯辰又自卯與辰各作線與甲乙乙丙兩線平行則得又三圓心 有長(zhǎng)橢圓體及 圓錐體橢圓短徑等于錐之底徑長(zhǎng)徑等于錐高此二體和即等徑等高之 圓柱試解其理 蔡錫勇 * 圖略 如圖甲乙丙丁為圓 柱積其長(zhǎng)甲乙 戊己丙丁并同 即戊己庚辛橢圓體之長(zhǎng)徑戊 [ 乙 ](己) 丁錐體之高其闊甲丙 庚辛乙丁并同 即橢圓體之短徑錐體之底徑夫渾圓本得同徑圓柱積三分之二錐體得 三分之一橢圓亦然今以甲丙短徑求得甲壬丙癸圓面甲乙乘之為柱 積三歸之為戊庚辛半橢圓積亦為戊乙丁圓錐積則戊庚己辛全橢圓積 必得圓柱積三分之二戊乙丁圓錐積必得圓柱積三分之一故相并即圓 柱積也 大球截積內(nèi)求 所容相等相切三球 蔡兆熊 * 圖略 如圖子辰午為大球 截積子午為截積通弦己午為正弦取丑未倍己午作丑未寅等邊三角形 其中垂線寅己引長(zhǎng)己申至卯今申卯等于半己申以卯為心寅為界截辰 卯線于酉則酉己為小球全徑乃于截積平圓內(nèi)面以圓心己為心酉己 為邊作等 [ 邊 ](趨) 邊三角其三角點(diǎn)即小球 切點(diǎn)也 又圖設(shè)三球心為乙 為丙為甲作三線相連成乙甲丙等邊三角形其心為戊丁為大球心作丁 戊丁丙成戊丙丁句股乃立小球半徑為天以代數(shù)求之 * 算式略 依式是三正弦為方 正字上大矢為長(zhǎng)闊較開(kāi)四個(gè)方得小球半徑三大矢為長(zhǎng)闊較開(kāi)一個(gè)方 為小球全徑寅己方三倍午己方己卯為半較得酉己即為小球徑 六面體內(nèi)容八 面體其二體比例若何 汪鳳藻 * 圖略 如圖甲乙正六面體 先求作內(nèi)容八等面體法取子乙乙丑丑卯卯子四面之心丙丁戊己四點(diǎn) 作丙己己戊戊丁丁丙四線成丙戊直角四等邊形即內(nèi)容八面體半錐體 之底面次取子丑乙卯二面之心庚辛二點(diǎn)作庚丙庚丁庚己庚戊辛戊 辛丁辛己辛丙八線成庚辛丁己八等面體其六角均切六面體之面心欲 明二體之比例命六面體之一邊為甲八面體之一邊為乙以數(shù)明之 * 算式略 不等面立三角 求重心其法若何 汪鳳藻 法任以一面為底面 求得其重心點(diǎn)自此點(diǎn)至頂角作線必過(guò)立三角重心復(fù)取一面如法作之 得二線交點(diǎn)即所求準(zhǔn)此自底面取重心線四分之一即重心 今有正圓球三 角垛共十球球徑一尺求垛頂至平面高若干 杜法孟 答曰二尺六 寸三分強(qiáng) * 圖略 法自上層一球與中 層三球四球心作六線成六等邊形邊與球徑等以一邊為弦半邊為句求 得股為每一線之中垂線又以一邊為弦中垂線三分之二 即分角線為句 求得股為六等邊自尖至底中心之立垂線倍之加球徑為垛頂至平面之 高 如圖子丑辰卯己午 未寅酉申十球子為上層辰丑卯為中層己午未寅酉申為下層試自子辰 丑卯四球心作甲乙丙丁六邊形棱六角四平鋪之則面亦四 如壬辛各成一 等邊三角形試以乙丙丁一面為底取乙丙一邊為弦丁丙一邊折半為句 求得乙戊股為底面之中垂線又以甲丙一邊為弦己丙 中垂線三分之二 為句求得甲己股為自尖 至底中心之立垂線即六邊行之高亦即上層球心至中層球心之高亦即 中層球心至層底球心之高故倍之加上下二半徑得垛頂至平面之高 又法以倍球徑為邊 作六等邊形如前法求得立垂線加球徑即得如前圖甲乙邊倍則甲己立 垂線必倍故加球徑即得 又法以每邊自乘三 歸二因開(kāi)平方即得自尖至底中心之立垂線如前圖戊丙為甲丙線之半 則戊丙方為甲丙方四分之一甲戊方必為甲丙方四分之三亦十二分之九又己戊線 為甲戊線三分之一則己戊方為甲戊方九分之一甲 己方必為甲戊方九分之八亦即甲丙方十二分之八亦即甲丙方三分之 二故以每邊自乘三歸二因開(kāi)平方得立垂線 今有官司依平 方招兵初日方邊四尺以后每日遞加二尺每人日給銀一兩二錢(qián)已支銀二 萬(wàn)六千零四十兩推招了幾日已 招若干兵 黎子祥 答曰共招十 四日 招兵四 千九百五十六名 * 算式略 瓜豆同日發(fā)芽 生蔓瓜蔓初日長(zhǎng)一尺六寸以后每日所長(zhǎng)遞減半豆蔓初日長(zhǎng)一寸以后 每日所長(zhǎng)遞加半二蔓第幾日相等 蔡錫勇 答曰五日 解曰此即連比例率 數(shù)瓜蔓初日所長(zhǎng)為末率豆蔓初日所長(zhǎng)為首率得若干率數(shù)即二蔓相等 日數(shù)以代數(shù)明之 * 算式略 于此可見(jiàn)未之指數(shù) 必比層數(shù)減一命層數(shù)于天則末率恒為● 即●準(zhǔn)代數(shù)之理上式可變?yōu)?●為首率一之對(duì)數(shù)等于故以二之對(duì)數(shù) 一0三 除瓜蔓初日所長(zhǎng)一尺六 寸之對(duì)數(shù) 四0二一 得四加一得五為相等日 數(shù) 有平句有明股 求圓徑 長(zhǎng)秀 * 算式略 有邊股有平句 股較求圓徑 廷鐸 * 算式略 有底句有明股 求圓徑 長(zhǎng)秀 * 算式略 有底弦較和有 高句股較求圓徑 辛澤賢 * 算式略 有斷句股較有 大弦和和求圓徑 聯(lián)印 * 算式略 有明弦有底句 求圓徑 斌衡 * 算式略 有明句有平弦 求圓徑 巴克他訥 * 算式略 有平句股較有 弦求圓徑 李逢春 * 算式略 有底弦和較有 句弦較求圓徑 左庚 * 算式略 有斷句股較有 句弦較求圓徑 韓常泰 * 算式略 有斷句股較有 明弦較較求圓徑 王鎮(zhèn)賢 * 算式略 有大差弦和較 有斷句股較求圓徑 任敬和 * 算式略 有斷句股較有 大弦和和求圓徑 王鍾祥 * 算式略 有股弦較有 明句弦較求圓徑 王鎮(zhèn)賢 * 算式略 有虛句股和有 大中垂線求圓徑 賡善 * 算式略 有容方邊有 [ ] 句股較求圓徑 王鎮(zhèn)賢 * 算式略 有圓城甲出北 門(mén)東行二百步而立乙出南門(mén)直行回望見(jiàn)甲與城參相直復(fù)斜行至甲處 其行五百六十步求城徑若干 廷俊 答曰二百四 十步 立天元一為半徑倍 之即大弦和較甲行之路等于底句乙共行之路等于底弦明股和底句內(nèi) 減天元得甲[元]為 大股弦較二底弦明股和內(nèi)減二底句得為二明三事和即二大句弦較以 乘大股弦較得寄左另以大弦和較自之得元為同數(shù)與左相消得二開(kāi) 方得半徑倍之即全徑 * 算式略 二明股弦較等 于虛弦和較試作圖解 陳壽田 * 圖略 如圖甲乙丙明句股 卯丙午虛句股試自圖心己至切點(diǎn)作己戊線癸午與午戊等丙乙與丙戊 等則丙午虛弦與丙乙午癸和等加卯丙午卯虛句股和得卯乙卯癸和為 虛和和與乙丑等試取丁點(diǎn)令甲丁等于明弦則乙丁為明股弦較夫甲 己與甲午等甲丁甲丙同為明弦以甲己減甲丁得丁己以甲午減甲丙得 丙午為虛弦依顯丁己亦為虛弦復(fù)取己子令與丁己等則子丑亦為明股 弦較與乙丁必等丁子必為二虛弦以乙丑虛和和減之得乙丁子丑二 之虛弦和較亦即二明股弦較故二明股弦較等于虛弦和較也 虛句弦較等 于句股較試作圖解 英鐸 * 圖略 如圖子丑虛句丁戊 弦以子丑與丑戊句相加得子戊為平句以丁戊與地丁股相加得 地戊亦為平句試于子戊平句內(nèi)減去丁戊弦余必等于地丁弦再于 地丁股內(nèi)減 [ 丑 戊]句 余即為句股較也 大股內(nèi)減邊弦 等于平句股較試作圖解 陳壽田 * 圖略 如圖戊為圓心甲乙 為大股作丁戊線與丑戊正交戊丁丙平句股甲丁壬為邊句股甲丁為邊 弦丙丁為平句丙戊平股與丙乙等則丁乙即平句股較以甲乙減甲丁得 丁乙即平較故大股減邊弦等于平句股較也 大股內(nèi)減平句 股較等于邊股平句和試作圖解 懿善 * 圖略 如圖甲乙丙大句股 甲己丁邊句股丁戊丙平句股甲乙大股甲己邊股丁戊平股己乙等取己 庚如丙戊為平句己乙平股內(nèi)減己庚平句即庚乙平句股較故甲乙大股 內(nèi)減庚乙平句股較等于甲己邊股加己庚平句 句股和內(nèi)減 虛股弦較等于弦試作圖解 承霖 * 圖略 如圖庚壬丙為半徑 為股之平句股其弦則庚己虛弦己丙弦和其股則庚戊虛股戊壬股 和其股弦較必為虛股弦較股弦較和而丁辛乙辛同為半徑則平股弦 較又等句依句股例和較小較相加為句則[虛]虛 股弦較必等弦和較句股和減弦和較 即虛小較故等 于弦 明股句相乘 等于虛句股積試言其理 王宗福 * 圖略 如圖甲子己大句股 外之丙天丁為虛句股今自圓心作甲己之垂線心地則丙地等丙辰 明句地丁等丁 戊 股天辰內(nèi)減 天丙虛句余為半虛較和天戊內(nèi)減天丁虛股余為半虛較較 緣天辰天戊均為半虛和和故 按較較乘較和等于二直 積則明句之半虛較和乘股之半虛較較必等于虛句股積惟明句乘 股原等于句乘明股故明股句相乘等于虛句股積 高股乘平句等 于明股弦和乘句弦和試作圖解 胡玉麟 * 圖略 如圖甲乙丙大句股 乙丁容圓方自心至切點(diǎn)作戊己線正交甲丙則辛己戊為高句股戊己庚 為平句股 以半徑為勾半徑為股故 己癸等癸寅己子等子丑 則辛己高股為明句弦和己庚平句即為股弦和故明句弦和 高股與句弦 和比若明股弦和與股弦和 平句比 大差句乘小差 句等于虛句乘大股亦等于邊股乘倍股試作圖解 胡玉麟 * 圖略 如圖甲乙丙大句股 乙丁容圓方戊辰丙底句股癸午丙平句股子寅大差句己丑小差股自圓 心至切點(diǎn)作甲丙正交線辛壬則戊壬辛為高句股辛壬癸為平句股 以半徑為句半徑為股故 壬癸等丙午壬丙即等 丙辰則戊丙底弦減壬丙底句余戊壬等甲庚庚乙原等戊辰則甲乙大股 即為底弦較和又壬己等己未子壬即等子卯作己申線與丙乙平行作子 酉線與丁丑平行則戊申等戊壬申辰即為底弦和較等申辰之己丑亦為 弦和較子酉癸亦為平句股辛未等丁未則未癸為平股弦較未酉即為 平弦和較等未酉之丁子亦為其弦和較夫寅丁全徑原為二平股內(nèi)減丁 子平弦和較則子寅大差句即平弦較和也故平弦較和 大差句與底弦 較和 大股比若平弦 和較 虛句與底弦和 較 小差股比 又壬子等子卯寅亥 等寅卯甲壬即等甲亥則壬癸即為邊股弦較壬癸原等癸酉則酉亥即為 邊弦和較等酉亥之子寅亦為其弦和較又壬己原等己未丑辰原等丑未 二壬丙即小差三事和內(nèi)各減己丙小差弦 [ 余 ]二己 壬股即為小差弦和較故邊弦和較 大差句與小差 弦和較 [ 二股 ]比若邊股與 小差股比 弦和較乘弦和 和等于二直積試作圖明其理 汪遠(yuǎn)焜 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 以弦句為半徑各作圓引長(zhǎng)乙丙股至己及丁末作甲己甲戊二直線則成 甲丙己甲丙戊大小二同式句股形丁戊小句股較 本形弦和較與 甲丙 [ 小 股] 本形句 之比若丙壬 丙己內(nèi)減去等丙戊之己壬即得 大小二句股較和 本形二股與甲 丙丙己大小二股和 本形弦和和之 比故弦和較乘弦和和等于二直積 中垂線乘弦等 于圓徑乘半和試作圖明其理 貴榮 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 甲壬句弦較癸丙股弦較壬癸為弦和較方 即圓徑方依乙丁 中垂線平行作甲午丙己二線次依甲丙平行作戊己線聯(lián)之則戊丙為中 垂線乘弦移甲乙戊于丙庚辛移丙乙己于甲庚辛戊丙中垂線乘弦必等 于辛乙句股直積除甲癸矩不動(dòng)外移子癸股弦較乘弦和較于癸丑將 辛寅股弦較乘句弦較改為甲卯弦和較半方則卯丑圓徑乘半和 辰丑弦和較即圓徑 亦等于辛乙句股直積卯 丑與戊丙既各等句股直積則二矩宜無(wú)不等所以中垂線乘弦等于容圓 徑乘半和 三事和乘邊線 較等于圓徑乘邊線和試作圖明其理 王鍾祥 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 乙丁中垂線乙己戊己均為方邊自己作乙丁丁丙之垂線己庚己辛成乙 庚己戊辛己二句股形與本句股形同式均以方邊為弦則二形必等夫庚 己等己辛亦等庚丁則乙庚己三事和即等于邊線和而邊線較即等其 弦和較故大三事和與小弦和較 即邊線較相乘 等于小三事和 即邊線和與大 弦和較 即圓徑相未也 句乘弦較較等 于三事和乘股弦較試作圖明其理 貴榮 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 以弦為半徑作丙戊己丁圓次從丙角作丙丁及丙戊二線成丁乙丙及丙 乙戊大小二同式句股形何則試引長(zhǎng)丙乙作丙己線丙己正交丁戊各至 圓界戊己弧等于戊丙弧丁己弧等于丁丙弧小形丙角所當(dāng)戊己弧與 大形丁角所當(dāng)戊丙弧等小形戊角所當(dāng)丁丙弧與大形丙角所當(dāng)丁己弧 等余二乙角又俱直角所以同式大句 本形句與大句 股和 本形三事和之 比若小句 本形股弦較與 小句股和 本形弦較較之比 句弦和乘弦和 較等于弦較較乘股試作圖明其理 貴榮 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 丁乙為弦和較丁戊為其方戊丙為股弦較戊己為其倍乙己為弦較較甲 丁為句弦較甲己矩為弦較較乘股冪除甲戊矩不動(dòng)外試將庚辛二股弦 較乘句弦較矩改為戊壬弦和較方次移辛己二股弦較乘弦和較矩補(bǔ) 于壬癸成 一甲癸冪其長(zhǎng)即句弦和其闊即弦和較 與原積甲己冪必等 倍股乘股弦較 等于弦和較乘弦較較試作圖明其理 杜法孟 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 丙子為股弦較丙丁為其方丙戊為句丙己為其方戊子為弦和較戊庚丁 盤(pán)折形為弦和較乘弦較較丁辛壬盤(pán)折形為倍股乘股弦較二形之積等 試各加一丙丁正方則子辛壬為股弦較乘股弦和丙己為句方其積原 等今各減一丙丁正方其積仍等 句弦較乘倍股 弦和等于弦較和自乘試作圖明其理 貴榮 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 依弦作戊丙己半圓甲為圓心從形心作三分角線及三垂線復(fù)從丙作丙 戊線成戊乙丙甲丁心大小二同式句股形可以比例 一率小句股較本 形句弦較 二率倍小股本形弦較和 三率大句股較本形弦較和 四率倍大股本形倍股弦和 前 題 李逢春 * 圖略 如圖甲乙丙為邊句 股丁戊己為明句股甲庚己為大差句股戊辛為明句自乘壬癸與邊句等 庚壬為明句乘邊句之積倍之得丑壬為明句乘邊句之倍積必與子辛大 差句自乘等何則因丑辛為同用之積所余子寅寅壬二積亦等因卯寅 為二明句乘虛句寅辰亦為二明句乘虛句卯丑為平弦和較方午壬為平 股弦較乘二平句弦較此二積又等故明句乘倍邊句等于大差句自乘也 明句即句 前 題 王文秀 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 以股為半徑截弦于丁丁丙為股弦較與丙戊等乙戊為弦和較作己戊方 甲己為句弦較庚己為其倍自庚作直線切辛角而至丙 即弦和較為股弦較二句弦較之中率故必切辛角 成大小二同式形故庚己 小股 即二句弦較與庚 己辛小句股和 即弦較和之比 若庚乙大股 即弦較和與庚 乙丙大句股和 即股弦和之比 弦較邊句即股 弦和大差句即弦較和股弦和乘倍句弦較等于弦較和自乘試作圖明其 理 汪鳳藻 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 甲丙為股乙丁為股弦和乙戊為其方己丁為弦較和己庚方弦較和自乘 也己辛為倍句弦較辛壬長(zhǎng)方股弦和乘倍句弦較也曷見(jiàn)己庚辛壬二形 積等乎曰除同用之己癸矩余丁癸 弦和較承弦較和 癸壬 句乘倍句弦較 二長(zhǎng)方形試于丁癸形內(nèi)作庚子方 弦和較自乘于 癸壬形內(nèi)作癸丑矩 股弦較乘倍句弦較 為等積尚余子丁丑午二 形 同為弦和較乘倍句弦較 又相等即丁癸與癸壬等 矣次每加一己癸矩則己庚方不與辛壬長(zhǎng)方等積乎 句弦較乘句弦 和再以句乘之與股乘倍句股積等試作圖明其理 杜法孟 * 圖略 如圖庚己為句子辛 等庚辛為股己戊等己辛為直積即二句股積再以己戊股乘之得辛戊一 立方積子壬為句弦較乙丙等子乙為句弦和壬丙等子丙為句弦和乘句 弦較再以子辛句乘之得辛丙一長(zhǎng)立方積與辛戊之積等蓋子丙面積 為句弦較乘句弦和子戊面積為股自乘方其面積原等庚己子辛俱為句 其高度又等故二立方之積等 前 題 貴榮 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 甲戊股冪乙丁句乘股直積 即倍句股積并 之得丁戊矩為句股和乘股冪 己丁邊句股和 試截乙己大方股冪 即句弦較乘句弦和蓋句弦較乘句弦和原等股冪 與乙丁小方倍句股積之 比若甲己大邊股與甲丁小邊句之比即股乘股與股乘句之比若股與句 比故句乘股冪 [ 即句弦較乘句弦和 ]等于股乘倍 句股積 句股形容長(zhǎng)方 有句股較有長(zhǎng)闊和有積較求句股及長(zhǎng)闊 陳壽田 * 算式略 右開(kāi)方得句股和加 句股較半之得股減句股較半之得句句股和句股較各自乘相減入歸之 為句股積減積較得長(zhǎng)方積四因之以減長(zhǎng)闊和自乘開(kāi)平方得長(zhǎng)闊較與 長(zhǎng)闊和相加半之為長(zhǎng)與長(zhǎng)闊和相減半之為闊 有直積一百二 十有句股二方較一百六十一求句股弦各若干 聯(lián)秀 答曰句八股 十五弦十七 * 算式略 開(kāi)方得八為 句自之加二方較開(kāi)方得股十五用句股求弦法得弦十七 今有容方容圓 二徑和一百三十尺二徑較加中垂線九十四尺求邊徑線各若干 胡玉麟 答曰方邊六 十尺圓徑七十尺中垂線八十四尺 * 算式略 開(kāi)方倍之得容圓徑 七十尺于甲數(shù)內(nèi)減之余六十尺為方邊乙數(shù)內(nèi)減二徑較十尺余八十四 尺即中垂線 前 題 王宗福 答曰方邊六 十尺圓徑七十尺中垂線八十四尺 * 圖略 如圖甲己辛句股形 卯辰丁午均為 [ 圓 ](圖) 徑丙庚庚己均為方邊己 丁為中垂線自庚作庚子庚癸二垂線成丙庚子己庚癸二同式句股形弦 既等則句股亦等而癸庚等庚子亦等癸丁即己癸庚句股和等中垂線又 自丑作丑寅垂線丑乙半徑成乙丑寅句股形與本形同式即亦與丑己 戊同式己丑與丑乙同為半徑既等則寅丑等戊己寅乙等戊丑移乙丑于 乙卯移寅卯于戊丁則乙丑寅三事和等于中垂線而乙丑寅弦和較等于 線徑較以代數(shù)求之有等式 * 算式略 開(kāi)方得邊六十與和 相減余七十為圓徑于九十四內(nèi)減二徑較十余八十四為中垂線 城根有河不知 其闊由城樓頂引繩至河之外岸繩長(zhǎng)一百九十五尺樓高一百六十九尺 求河寬若干 廷俊 答曰九十七 尺強(qiáng) * 算式略 有甲乙二物俱 不知價(jià)但云甲價(jià)之立方三倍等于乙價(jià)之平方而乙價(jià)之立方等于甲價(jià) 之平方八十一倍求甲乙價(jià)各若干 王文秀 答曰甲三乙 九 天地二元細(xì)草 立天元一為甲價(jià)立 地元一為乙價(jià)天元自之又以天元乘之又以三乘之得 ●乃以地元自之得●為同數(shù) 與左相消得●為今式置天元自之以 八十一乘之得●乃以地元自之又以 地元乘之得●為同數(shù)與左相消得 ●為云式以地元乘今式直減云式得 ●為右行與今式之左一行相乘得● 又以今式與右行之左一行相乘得● 二數(shù)相消得●為左行置左右 二行以?xún)?nèi)二行相乘得●相消得 ●外二行相乘得●相消得 ● 開(kāi)四乘方得甲價(jià) 三乃以三自乘再乘又以三乘之得八十一以平方開(kāi)之即得乙價(jià)九 今有甲乙二數(shù) 不知多少但知甲之三乘方根等于乙甲乙二數(shù)相乘倍之等于四倍乙之 自乘數(shù)求甲乙數(shù)各若干 賡善 答曰甲十六 乙二 * 算式略 今有人贖質(zhì)物 本利共錢(qián)九千八百五十文只云利錢(qián)平方開(kāi)之得數(shù)以加本錢(qián)共五千六 百九十文又開(kāi)方數(shù)為日數(shù)一百二十五分之十三求本利及日數(shù)每十文 月利若干 每月三十日不用小建 王文灝 答曰本五千 六百二十五文利四千二百二十五文日數(shù)六百二十五日 * 算式略 今有人賭錢(qián)失 本四分之一復(fù)得 三兩旋失三分之一又得 二兩終于失七分之一僅剩十 二兩求本銀若干 王文灝 答曰二十兩 * 算式略 今有富翁有銀 九萬(wàn)分與四兒多寡不同但云大兒之銀以二除之二兒之銀減二千三兒 之銀加二千四兒之銀以二乘之則皆等求四兒銀各若干 塔克什訥 答曰大兒四 萬(wàn)二兒二萬(wàn)二千三兒一萬(wàn)八千四兒一萬(wàn) * 算式略 今欲造正方臺(tái) 三座甲臺(tái)之邊多于乙臺(tái)邊七尺乙臺(tái)之邊多于丙臺(tái)邊五尺定造磚見(jiàn)方 五寸共十二萬(wàn)一百八十四枚求三臺(tái)各高若干 貴榮 答曰甲臺(tái)高 二丈二尺乙臺(tái)高一丈五尺丙臺(tái)高一丈 * 算式略 開(kāi)方得四四折半得 二丈二尺為甲臺(tái)高減七尺得一丈五尺為乙臺(tái)高又減五尺得一丈為丙 臺(tái)高 大小月每十九 年循環(huán)共二百三十五計(jì)日六千九百四十求大小月各若干 熊方 答曰大月一 百二十五小月一百一十 法以二百三十五用 月小之二十九日乘之得六千八百一十五日以減六千九百四十余一百 二十五即大月數(shù)以大月數(shù)減二百三十五余一百一十即小月數(shù)更以一 百二十五用三十日乘之得三千七百五十以一百一十用二十九日乘 之得三千一百九十并之恰得六千九百四十合問(wèn) 欲造一土臺(tái)上 廣二丈長(zhǎng)三丈下廣二丈三尺長(zhǎng)三丈五尺高一丈八尺每日每人程工八 立尺用匠七十二人幾日畢工 沈鐸 答曰二十一 日又八分日之七 法以上長(zhǎng)三丈倍之 得六丈加下長(zhǎng)三丈五尺共九丈五尺以上廣二丈乘之得一九0 0尺另倍下長(zhǎng)得七丈加上長(zhǎng)三丈共得十丈以下廣二丈三尺乘 之得二三00尺以?xún)蓴?shù)相并得四二0 0尺以一丈八尺乘之得七五六00尺 以六除之得一二六00為實(shí)以七十二 人乘每日每人程工八立尺得五七六為法除之得二十一日又八分日之 七 今有塔系石磚 木造成全高三分之一為石四分之一為磚六分之一為木但知瓦頂三丈 六求塔高若干 彥慧 答曰十四丈 四尺 * 算式略 法以三分之一展為 六分之二加六分之一得六分之三收為四分之二加四分之一得四分之 三為石磚木之高則瓦頂三丈六自必為四分之一以四倍三丈六得十四 丈四尺即塔高 今有長(zhǎng)方營(yíng)盤(pán) 南北一百八十丈東西一百二十丈四面濠溝與營(yíng)盤(pán)同積求濠溝寬若 干 聯(lián)芳 答曰三十丈 * 算式略 某火藥局藏硝 炭磺不知各若干斤亦不知共若干斤但云于其共重之半加二千五百斤 為硝于其共重之四分之一減一千斤為炭于其共重十分之二減一千斤 為磺試推其共重若干斤 朱格仁 答曰一萬(wàn)斤 * 算式略 制球形炸徑 一尺二寸厚三寸求需鐵若干 李逢春 答曰五千三 百零三兩三錢(qián)強(qiáng) 先求大球積 一率定率立方積一000000 000 二率定率球積五二三五九八七七五 三率今有立方積一七二八 四率今求大球積九0四 又七七八六八三三0八 次求小球積 一率定率立方積一000000 000 二率定率球積五二三五九八七七五 三率今有立方積二二六 四率今求小球積一二三 又0八0三 三五四00 既得大小二球相減 余七九一六九一三四七九00以方寸 鐵重六兩 七錢(qián)乘之得五千三百零三兩 三錢(qián)強(qiáng)即所求 今有馬二匹鞍 一副值銀二十兩加于此馬則與彼馬價(jià)等加于彼馬則與此馬價(jià)相倍求 馬價(jià)各若干 貴榮 答曰此馬價(jià) 值四十兩彼馬價(jià)值六十兩 * 算式略 有某問(wèn)漁者得 魚(yú)若干對(duì)曰以魚(yú)數(shù)自乘加十三開(kāi)平方以十二乘之以四減之其數(shù)為八 十試推魚(yú)數(shù) 辛澤賢 答曰六魚(yú) * 算式略 今有錢(qián)不知數(shù) 欲勻分于若干人每人十二文多十二文每人十四文少十四文求人數(shù)錢(qián) 數(shù)各若干 博勒洪武 答曰人數(shù)十 三錢(qián)數(shù)一百六十八法以天代錢(qián)數(shù)以地代人數(shù)得方程式 * 算式略 今有賣(mài)柑者云 我果共值錢(qián)一萬(wàn)六千四百六十四文每果值錢(qián)倍于筐數(shù)每筐盛果三倍 于筐數(shù)求筐果各若干 王鎮(zhèn)賢 答曰筐十四 只果五百八十八枚 * 算式略 設(shè)一達(dá)官有侍 姬八人每日令二人待飲周而復(fù)始每周不得二人兩次同班求錢(qián)日一周 每人每周值班幾日 博勒洪武 答曰一周二 十八日每人每周值班七日 法以八減去一得七 為高以八乘之得五十六折半得二十八即一周日數(shù)再題言每周不得二 人兩次同班則八減一得七即每周每人值班日數(shù) 有船載男婦小 兒九十人男較婦多四小兒較男婦多十求各數(shù)若干 聯(lián)第 答曰男二十 二名婦十八名小兒五十名 法以男婦小兒九十 名內(nèi)減十小兒余八十折半得四十內(nèi)減四男余三十六折半得十八即婦 人共數(shù)加四男得二十二即男人共數(shù)男婦二數(shù)相并得四十再加十小兒 得五十即小兒共數(shù) 今有桃梅李三 果只云三桃比二梅二李價(jià)多二十四文二桃三李比五梅價(jià)少十二文四 桃三梅比八李價(jià)多一百零八文求三果價(jià)各若干 時(shí)南化 答曰桃價(jià)四 十八文梅價(jià)三十六文李價(jià)二十四文 * 算式略 問(wèn)鄉(xiāng)人種地若 干曰若以畝數(shù)加四開(kāi)平方復(fù)加原數(shù)得二十六求原數(shù)若干 慶全 答曰二十一 * 算式略 試將甲乙二數(shù) 之和與甲乙二數(shù)之較以代數(shù)自乘 長(zhǎng)秀 * 算式略 今有紹酒三 高梁酒四共銀二十 六兩紹酒四高梁酒三共銀二十 七兩又十二分兩之一求二酒每銀若 干 聯(lián)興 答曰紹酒每 四兩又三分兩之一高梁酒每三兩又四分兩之一 * 算式略 有甲乙二人各 買(mǎi)油五斤合盛一大瓶?jī)?nèi)回家欲分之既無(wú)秤又無(wú)量只有二小瓶一七斤 而滿(mǎn)一三斤而滿(mǎn)用以量而分之其法若何 王鍾祥 法先以大瓶之油用 三斤瓶灌出二瓶俱傾入七斤瓶?jī)?nèi)次復(fù)用三斤瓶從大瓶灌出一瓶即以 三斤瓶?jī)?nèi)之油將七斤之瓶續(xù)滿(mǎn)則三斤瓶?jī)?nèi)必余二斤乃以七斤仍還入 大瓶以三斤瓶?jī)?nèi)所余之二斤傾入七斤一瓶?jī)?nèi) [ 末 ]以大 瓶?jī)?nèi)所余八斤之油再以三斤之瓶灌出一瓶亦傾入七斤瓶?jī)?nèi)則七斤瓶 內(nèi)合前所余之二斤為五斤大瓶?jī)?nèi)亦余五 [ 斤 ] 今有將軍以實(shí) 體方形擺隊(duì)或問(wèn)每隊(duì)兵數(shù)曰若于二十五萬(wàn)內(nèi)減全營(yíng)兵數(shù)余開(kāi)方復(fù)以 一隊(duì)兵數(shù)乘之為十二萬(wàn)求每隊(duì)兵數(shù)若干 楊兆鋆 答曰三百 * 算式略 有句三股四句 股欲于股上取一點(diǎn)懸之令弦平于地平其法若何 席淦 * 圖略 如圖先求句股積之 重心甲自甲作弦正交線丙乙懸于丙即弦合地平求丙戊線法以戊丁戊 己方倍之相并減丁己方四除之開(kāi)方得戊庚四二七自庚作庚辛垂線求 得戊辛大分邊四一戊庚與辛戊若戊甲與乙戊二七三又丁戊與己戊 若乙戊與丙戊三四一 前 題 楊兆鋆 * 圖略 如圖甲乙丙句股形 取甲乙句三分之一于丁乙丙股三分之一于戊各作線己丁庚戊交點(diǎn)心 即句股面重心因庚戊過(guò)心點(diǎn)正交乙丙己丁過(guò)心點(diǎn)正交甲乙故取庚己 二點(diǎn)懸之股與句必皆平于地平又因丁己為句三分之一乙戊為股三 分之一故己丙甲庚必均為弦三分之一