數(shù)學(xué)與經(jīng)濟學(xué)：馮·諾依曼與摩根斯坦恩

在伯努利和其他人提出的實驗中，雖然結(jié)果不一樣，但是成功與失敗的幾率是相等的。投擲硬幣雖然不適用于所有的賭博，但在這里是一個合理的假設(shè)。伯努利關(guān)注的主要是效用與財富之間的關(guān)系，而馮·諾依曼 馮·諾依曼，1903年12月生于匈牙利布達佩斯，1957年2月卒于美國華盛頓，美國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和計算機科學(xué)專家?！g者注 （Von Neumann）與摩根斯坦恩1（Morgenstern）在對效用進行討論的時候，將重點從結(jié)果轉(zhuǎn)向了勝算的概率。他們沒有研究一個人參與賭博的原因，而是觀察一個人在面對多種賭局時會選擇哪一種。他們認為，人們對賭局的預(yù)期效用取決于兩種要素，即最終結(jié)果和每種結(jié)果出現(xiàn)的概率。人們選擇此種賭局而不是彼種賭局，目的是為了獲得最大的預(yù)期效用。

馮·諾依曼與摩根斯坦恩關(guān)于效用的觀點是建立在所謂的“選擇公理”的基礎(chǔ)之上的。這個公理的第一條被稱為“可比性”或者“完備性”，它要求賭博或選擇具有可比性，并且參與選擇的人可以表達自己的偏好。第二條被稱為“傳遞性”，其含義是如果一個人對A的偏好勝過B，B勝過C，那么他對A的偏好就勝過C。第三條是“獨立性”，它指出每一個賭局或者每一次賭博都是相互獨立的。這可能是最重要也是最具爭議性的選擇定理。這里，我們提出的假設(shè)是在兩個賭局之間的偏好順序不因它們與第三個賭局的比較而改變。就是說，如果我們對賭局A的偏好勝過賭局B，那么把這兩個賭局和賭局C進行對比，將不會改變我們對于A和B的偏好順序。第四條是“可測量性”，它指的是每次賭博的各種結(jié)果的出現(xiàn)概率是可以測量的。最后一條定理是“排序定理”。假定一個人在A和D之間排定了B和C的順序，那么B與A、D之間的關(guān)系，或是C與A、D之間的關(guān)系對他來說無所謂。這并不影響B(tài)、C之間原有的博弈關(guān)系。馮·諾依曼和摩根斯坦恩從這些定理中導(dǎo)出了博弈的預(yù)期效用函數(shù)，就是單個結(jié)果的預(yù)期效用概率的線性函數(shù)。簡而言之，如果一場賭博贏得10美元和100美元具有同等概率，那么它的預(yù)期效用可以表示成如下的等式：

E(U)=0.5U(10)+0.5U(100)

按照這種方法，我們可以估算出任何博弈的預(yù)期效用，前提是我們可以列出所有可能的結(jié)果和概率。下文中我們會提到，許多人并不贊同上述的這些選擇公理，所以導(dǎo)致了對風(fēng)險趨避的爭論持續(xù)了幾十年。

馮·諾依曼和摩根斯坦恩的研究有助于人們對風(fēng)險的理解和分析，這是毫無異議的。這兩位學(xué)者不僅研究了個體是否應(yīng)該參與博弈，而且研究了如何在不同的博弈之間進行選擇，這就為現(xiàn)代投資組合理論和風(fēng)險管理實踐打下了基礎(chǔ)。投資者必須在不同的風(fēng)險資產(chǎn)（比如股票與?地產(chǎn)）之間進行選擇，還必須在同一類風(fēng)險資產(chǎn)投資（比如投資谷歌公司還是投資可口可樂公司）之間進行選擇，而馮·諾依曼和摩根斯坦恩的方法能幫助人們作出這樣的選擇。在風(fēng)險管理活動中，預(yù)期效用理論不僅幫助我們了解個人及企業(yè)應(yīng)該如何駕馭風(fēng)險，而且?guī)椭覀兞私怙L(fēng)險管理的成本與回報之間的關(guān)系。我們用β系數(shù)2估算股票投資的預(yù)期回報率，再利用“風(fēng)險價值”來衡量風(fēng)險的影響，就能夠?qū)嵺`馮·諾依曼和摩根斯坦恩的理論。